第八讲 离散型随机变量的数字特征
课标要求 考情分析
理解离散型随机变
量的数字特征(均
值、方差)
高考中常将相互独立事件、互斥事件、
随机变量的分布列、期望与方差等知识
放在一起在解答题中考查，主要考查运
用概率知识解决实际问题的能力
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
1.离散型随机变量的均值与方差
若离散型随机变量 X 的分布列为
2.均值与方差的性质
(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.
(2)D(aX＋b)＝a2D(X).(a，b为常数)
3.两点分布与二项分布的均值、方差
(1)若 X 服从两点分布，则 E(X)＝p，D(X)＝p(1－p).
(2)若 X～B(n，p)，则 E(X)＝np，D(X)＝np(1－p).
【名师点睛】
(1)若x1，x2相互独立，则E(x1·x2)＝E(x1)·E(x2).
(2)均值与方差的关系：D(X)＝E(X2)－E2(X).
(3)超几何分布的均值：若 X 服从参数为 N，M，n 的
超几何分布，则 E(X)＝
题组一 走出误区
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(1)期望值就是算术平均数，与概率无关.( )
(2)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量.
( )
(3)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值
偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平
均程度越小.( )
(4)均值与方差都是从整体上刻画离散型随机变量的
情况，因此它们是一回事.( )
答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)×
题组二 走进教材
2.(教材改编题)已知 X 的分布列为
答案：A
3.(教材改编题)若随机变量 X 满足 P(X＝c)＝1，其中 c
为常数，则 D(X)的值为________.
答案：0
题组三 真题展现
4.(2021 年浙江)袋中有 4 个红球，m 个黄球，n 个绿球.
现从中任取两个球，记取出的红球数为ξ，若取出的两个球
________，E(ξ)＝________.
5.(2020 年浙江)一个盒子里有 1 个红 1 个绿 2 个黄四
个质地大小相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即
停，设拿出黄球的个数为ξ，则 P(ξ＝0)＝________；E(ξ)
＝________.
答案：
1
3 1
考点一 离散型随机变量的均值与方差
[例 1](2021 年新高考Ⅰ)某学校组织“一带一路”知
识竞赛，有 A，B 两类问题.每位参加比赛的同学先在两类
问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错
误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随
机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结
束.A 类问题中的每个问题回答正确得 20 分，否则得 0 分；
B 类问题中的每个问题回答正确得 80 分，否则得 0 分.
已知小明能正确回答 A 类问题的概率为 ，能正确
回答 B 类问题的概率为 ，且能正确回答问题的概率与
回答次序无关.
(1)若小明先回答 A 类问题，记 X 为小明的累计得分，
求 X 的分布列；
(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类
问题？并说明理由.
X 0 20 100
P
解：(1)由已知可得，X 的所有可能取值为 0,20,100，
则 P(X＝0)＝1－＝，
P(X＝20)＝×(1－)＝，
P(X＝100)＝×＝，
所以 X 的分布列为
(2)由(1)可知小明先回答 A 类问题累计得分的期望为
E(X)＝0×＋20×＋100×＝，
若小明先回答 B 类问题，记 Y 为小明的累计得分，
则 Y 的所有可能取值为 0,80,100，
P(Y＝0)＝1－＝，
P(Y＝80)＝×(1－)＝，
P(Y＝100)＝×＝，
则 Y 的期望为 E(Y)＝0×＋80×＋100×＝
，
因为 E(Y)＞E(X)，
所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答 B
类问题.
【变式训练】
1.(2021 年拉萨二模)设随机变量 X，Y 满足 Y＝2X＋3，
若 E(X)＝2，D(X)＝8，则 E(Y)和 D(Y)分别等于( )
,8 ,8 ,32 ,35
解析：因为 Y＝2X＋3，E(X)＝2，D(X)＝8，所以 E(Y)
＝2E(X)＋3＝2×2＋3＝7，D(Y)＝22×D(X)＝4×8＝32.故
选 C.
答案：C
2.(2021 年瑶海月考)甲、乙两名运动员站在 A，B，C
三处进行定点投篮训练，每人在这三处各投篮一次，每人
每次投篮是否投中均相互独立，且甲、乙两人在 A，B，C
(1)设 X 表示甲运动员投中的个数，求随机变量 X 的分
布列和数学期望；
(2)求甲、乙两名运动员共投中的个数不少于 5 的概率.
解：(1)根据题意可知，随机变量 X 的所有可能取值为
0,1,2,3，
考点二 均值与方差在决策问题中的应用
[ 例 2] 某投资公司对以下两个项目进某省市场调
研，
项目 A：通信设备.根据调研，投资到该项目上，所有
可能结果为：获利 40%、损失 20%、不赔不赚，且这三种
项目 B：新能源汽车.根据调研，投资到该项目上，所
有可能结果为：获利 30%、亏损 10%，且这两种情况发生
的概率分别为 b，c.
经测算，当投入 A，B 两个项目的资金相等时，它们
所获得的平均收益(即数学期望)也相等.
(1)求 a，b，c 的值；
(2)若将 100 万元全部投到其中的一个项目，请你从投
资回报稳定性考虑，为投资公司选择一个合理的项目，并
说明理由.
X2 －
P b c
X2 的分布列为
【题后反思】随机变量的均值反映了随机变量取值的
平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们
从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案
取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用
方差来决定.
【变式训练】
计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站.
过去 50 年的水文资料显示：水库年入流量 X(一年内上游
来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在 40 以上.其中，
有 10 年不足 80，有 35 年不低于 80 且不超过 120，有 5
年超过 120.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概
率，并假设各年的年入流量相互独立.
年入流量X 40<X<80 80≤X≤120 X>120
发电机最多可运行台数 1 2 3
(1)求未来 4 年中，至多有 1 年的年入流量超过 120 的
概率；
(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电
机最多可运行台数受年入流量 X 限制，并有如下关系：
若某台发电机运行，则该台发电机年利润为 5 000 万
元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损 800 万元.
欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少
台？
(2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元).
①安装 1 台发电机的情形
由于水库年入流量总大于 40，故一台发电机运行的概
率为 1，
对应的年利润 Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.
Y 4 200 10 000
P
②安装 2 台发电机的情形
依题意，当 40<X<80 时，一台发电机运行，此时 Y＝
5 000－800＝4 200，因此 P(Y＝4 200)＝P(40<X<80)＝p1＝
；当 X≥80 时，两台发电机运行，此时 Y＝5 000×2＝
10 000，因此 P(Y＝10 000)＝P(X≥80)＝p2＋p3＝.由此
得 Y 的分布列为
所以 E(Y)＝4 200×＋10 000×＝8 840.
③安装3台发电机的情形
依题意，当40<X<80时，一台发电机运行，此时Y＝
5 000－1 600＝3 400，因此P(Y＝3 400)＝P(40<X<80)＝p1
＝；
当80≤X≤120时，两台发电机运行，此时Y＝5 000×2－
800＝9 200，因此P(Y＝9 200)＝P(80≤X≤120)＝p2＝；
Y 3 400 9 200 15 000
P
当 X>120 时，三台发电机运行，此时 Y＝5 000×3＝
15 000，因此 P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝.因此得 Y
的分布列为
所以 E(Y)＝3 400×＋9 200×＋15 000×＝
8 620.
综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装
发电机 2 台.
⊙利用分类讨论思想求数学期望
[例 3](2021 年佛山调研)某企业拥有三条相同的且相
互独立的生产线.据统计，每条生产线每月出现故障的概率
(1)求该企业每月有且只有 1 条生产线出现故障的概
率；
(2)在正常生产的情况下，每条生产线每月的利润是 12
万元；如果一条生产线出现故障能及时维修，还能创造 8
万元的利润；如果出现故障不能及时维修，该生产线就没
有利润.为提高生产效益，企业决定安排维修工人对出现故
障的生产线进行维修.如果一名维修工人每月只能及时维
修一条生产线，且一名工人每月所需费用为 1 万元，以该
企业每月实际利润的期望值为决策依据，你选择安排几名
维修工？(实际利润＝生产线创造利润－维修工人费用)
若 X＝1，则 Y1＝12×2＋8×1－1＝31；
若 X＝2，则 Y1＝12×1＋8×1＋0×1－1＝19；
若 X＝3，则 Y1＝12×0＋8×1＋0×2－1＝7；
【高分训练】
(2020 年太原一模)新冠病毒是一种通过飞沫和接触传
播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血
液样本相关指标是否为阳性，对于 a 份血液样本，有以下
两种检验方式：一是逐份检验，则需检验 n 次.二是混合检
验，将其中 k 份血液样本分别取样混合在一起，若检验结
果为阴性，那么这 k 份血液全为阴性，因而检验一次就够
了；如果检验结果为阳性，为了明确这 k 份血液究竟哪些
为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时 k 份血液检验的
次数总共为 k＋1 次.某定点医院现取得 4 份血液样本，考
虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均
分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验.假设在接
受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性
都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为 P＝
(1)求把 2 份血液样本混合检验结果为阳性的概率；
(2)若检验次数的期望值越小，则方案越“优”.方案
一、二、三中哪个最“优”？请说明理由.
设方案二的检验次数为ξ，则ξ的可能取值为 2,4,6，
其分布列为
方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数为η，η
的可能取值为 1,5，
其分布列为
∵E(η)＜E(ξ)＜4.故选择方案三最“优”.
