教 案
授课题目 ：
第一章 绪论
教学目的与要求：
1. 介绍计量经济学与金融计量学的基本概念、研究内容及建模步骤
2． 使学生在总体上对金融计量学建立初步的认识
3． 使学生充分认识到金融计量学在金融学科中的地位和作用，培养学生
的学习兴趣
【教学内容】
基本概念
1．金融计量学的发展历史与概念
2．金融计量学模型
3．金融计量学与计量经济学的关系
4．计量经济学在经济学科中的地位
5．计量经济学与其他学科之间的关系
6．金融计量学在金融学中的地位
7. 金融计量学的主要研究内容
第二节 金融计量学模型的建模步骤和要点
1．理论模型的设计：确定模型的变量、确定模型的数学形式、确定模型待估参数的期望值
2．样本数据的收集：数据的类型、数据质量
3．模型参数的估计
4．模型的检验：经济意义检验、统计检验、计量经济学检验、模型预测检验
5．金融计量学模型成功三要素：理论、方法与数据
6．金融计量学应用软件介绍：EViews、SPSS、SAS、GAUSS
第三节 金融计量学模型的应用
1．结构分析2．经济预测3．政策评价4．理论检验与发展
（三）思考与实践
1．什么是金融计量学？什么是计量经济学？ 两者的关系是什么？
2．计量经济学方法与一般经济数学方法有什么区别？
3．为什么说计量经济学是一门经济学科？它在经济学科体系中的作用和地位是什么？
4．金融计量学的主要研究内容包括哪些？
5. 试结合一个具体金融问题说明建立与应用金融计量学模型的主要步骤。
（四）教学方法与手段
课堂讲授、多媒体教学
授课题目 ：
第2章 差分方程和滞后算子
教学目的与要求：
1. 介绍计量经济学与金融计量学的基本概念、研究内容及建模步骤
2． 使学生在总体上对金融计量学建立初步的认识
3． 使学生充分认识到金融计量学在金融学科中的地位和作用，培养学生
的学习兴趣
第一节 差分方程
一．一阶差分方程
假定
期的
（输出变量）和另一个变量
（输入变量）和前一期的
之间存在如下动态方程：
（1）
则此方程为一阶线性差分方程，这里假定
为一个确定性的数值序列。差分方程就是关于一个变量与它的前期值之间关系的表达式。一阶差分方程的典型应用为美国货币需求函数：
其中
为货币量，
为真实收入，
为银行账户利率，
为商业票据利率。
1）用递归替代法解差分方程
根据方程（1），可以得到
（2）
如果我们知道
期的初始值
和
的各期值，则可以通过动态系统得到任何一个时期的值。即
（3）
这个过程称为差分方程的递归解法。
2）动态乘子：
对于方程（3），如果
随
变动，而
都与
无关，则
对
得影响为：
或
（4）
方程（4）称为动态系统的乘子，或脉冲响应函数（即暂时性影响）。动态乘子依赖于
，即输入
的扰动和输出
的观察值之间的时间间隔。
对于方程（1），当
时，动态乘子按几何方式衰减到零；当
，动态乘子振荡衰减到零；
，动态乘子指数增加；
，动态乘子发散性振荡。因此，
，动态系统稳定，即给定
的变化的后果将逐渐消失。
，系统发散。
当
时，此时
，即输出变量的增量是所有输入
的历史值之和。
如果
产生持久性变化，即
都增加一个单位，此时持久性影响为：
（5）
当
时，且
是，持久性影响为
（6）
如果考察
的一个暂时性变化对输出
的累积性影响，则和长期影响一致。
二．
阶差分方程
如果动态系统中的输出
依赖于它的
期滞后值以及输入变量
：
（7）
此时可以写成向量的形式，定义
，
，
从而（7）写成向量形式：
（8）
这个系统由
个方程组成。为了便于处理，将
阶数量系统变成一阶向量系统。还可以采用滞后算子的办法来处理这个系统。
0期的
值为：
1期的
值为：
期的
值为：
写成
和
的形式为：
（9）
该系统中的第一个方程代表了
的值。令
表示
中第
个元素，
表示
中第
个元素等等。于是
的值为：
（10）
或
（11）
表示成初始值和输入变量历史值的函数。此时
阶差分方程的动态乘子：
（12）
是
的
元素。因此对于任何一个
阶差分方程，
，
（13）
对于更大
值，通过分析表达式（12）就非常有用。通过矩阵
的特征根地进行求解。矩阵
的特征根为满足下式的
值：
（14）
对于一个
阶系统，行列式（14）为特征根
的
阶多项式，多项式的
个解是
的
个特征根。
定理1：
矩阵
的特征根由满足下式的
值组成：
（15）
1．具有相异特征根的
阶差分方程的通解
此时存在一个
阶非奇异矩阵
，满足
（16）
其中
是一个
矩阵，主对角线由
得特征根组成，其它元素为零，即
（17）
令
表示
的第
行、第
列的元素，
表示
的第
行、第
列的元素。因此方程为：
（18）
因此
的第
个元素为：
（19）
或者
（20）
其中
。因为
。将（20）代入（12），得到
阶差分方程的动态乘子：
（21）
定理2：
如果矩阵
的特征值
是相异的，则
（22）
因此求出
的特征值
，就可以求出相应的
，由此就可以根据（21）计算得到动态乘子。
如果所有的特征值都是实根。如果存在一个特征根的绝对值大于1，则系统是发散的。根据（21），我们发现动态乘子最终由绝对值最大的特征根的指数函数决定。
第二节 滞后算子
一．滞后算子定义：
假定由序列
生成新序列
。其中
期的
值等于
时期的
值，
，这称为对
运用了滞后算子，即
这里的
称为滞后算子。根据滞后算子，
。通常情况下由于利用滞后算子和乘法具有同样的代数规则，因此常称为
乘以
。
二．一阶差分方程
利用滞后算子，可得
（23）
整理得到
（24）
（3）两边同时乘以
，得到
（25）
即
（26）
可见利用滞后算子和递归方法得到的结果相同。当
，
很大时，根据（4）
（27）
有界序列：对于序列
，如果存在一个有限数
，使得
对所有的
则称该序列有界。在随机序列情况下，有界序列转为平稳随机过程。
当
，对有界序列使用滞后算子，则由（6），
近似为
的逆。算子
称为恒等算子，即
。
在有界序列或平稳随机过程情况下，对于
，两边同时除以
，得
或
（28）
三．二阶差分方程
利用滞后算子形式可得
（29）
对于滞后算子，
（30）
给定
的值，建立方程组
（31）
即能求出
。即求解特征方程
。此时，令特征方程左右两侧为零，可得
和
。
定理3：将
分解成
得到的
和矩阵
的特征值相同。这里二阶差分方程矩阵表示为：
（32）
根据第一节讨论，任意特征值
都小于1，系统才是稳定的。只要存在一个特征值的模大于1，系统就是发散的。通常有两种表达方式：
1）对于由矩阵
得到的特征方程
，系统稳定条件为：
特征方程的根落在单位圆内。
2）对于由矩阵
得到的特征方程
，系统稳定条件为：
特征方程的根落在单位圆外。
对于二阶差分系统
，两边同时乘以
，
（33）
利用有界序列算子逆的定义
（34）
（35）
或者写成
（36）
这里
、
。由此计算动态算子为
（37）
四．
阶差分方程
滞后算子形式为
（38）
其中
（39）
令
，（35）两侧同时乘以
，则
（40）
因此特征值就是求（36）的解。
定理4：将
阶滞后算子多项式分解为
得到的系数
和矩阵
的特征根相同。
差分方程（38）是稳定的，则特征方程
根落在单位圆外或
的根落在单位圆内。
现假定序列有界，逆
都存在。并且假定特征根相异，则差分方程（38）可以表示为
（41）
右边的算子多项式可以扩展成为：
（42）
两边同时乘以
，得
（43）
为了保证
成立，则要求
或
（44）
同样为了保证
成立，则要求
（45）
从而（41）可以写成
（46）
从而得到动态乘子：
（47）
对
的现值的影响为
（48）
长期乘子则是
，且
的极限：
（49）
五． 实际例子（考察初始条件的作用）
令
表示股票价格，
表示红利。如果一个投资者在时期
买进股票并在
时刻卖出，投资者将得到红利收益
和资本利得
，从而投资者总收益为：
（50）
假定投资者在不同时期的投资收益为常数，即
。进一步整理得到：
（51）
这就是一个差分方程。递归得到
（52）
从（52）可以看出，如果给定
和
的值就可确定
。但如果仅给定
，并不能唯一确定
的值。
现假设
为常数，则
（53）
如果
为常数，则
（54）
这表明在股利为常数，且初始值
的情况下，股价不会有任何变化。其收益率仅仅是股息收益率。
如果
，此时对股价的估计超过红利收益的潜在能力。只要投资者相信股票价格还要继续上涨，每个人都会从实现的资本利的中得到要求的收益。这就是股价的投机泡沫。
第3章 单变量线性随机模型
第一节 预期、平稳性和遍历性
一、预期和随机过程
1．实现值（Realization）：观测到的序列值
。
2．随机过程：随机过程
是一族随机变量，即对指标集
中的每个
，
是一个随机变量。如果
为时间，则
是过程在时刻
的状态。因此随机过程可以视为T个随机变量
的样本。
3．无条件均值
设想生成
个独立同分布
的无穷序列
，再从每一个序列中取出
期观测值
，这就是随机变量
的
个实现的样本。它的概率密度称为
的无条件密度：
（1）
其均值如果存在，则称为无条件均值：
（2）
例如过程
，其无条件均值为
是常数；过程
是含时间趋势的过程，其无条件均值为
，是时间的函数。
二．自协方差和自相关
1．对于随机过程
是随机变量
的联合分布。可由该分布计算出
的第
各自协方差
：
（3）
它是
及其滞后值之间的协方差，因此称为自协方差。第0个自协方差
恰是
的方差。
2．自相关系数
对于协方差平稳过程
，定义
（4）
为第
个自相关系数。显然
。并且任意协方差平稳过程的第0阶自相关系数
。自相关系数
也可以看作
的函数，称为自相关函数。自相关函数做成图形就是自相关图。ACF和均值、方差一起共同表现了弱平稳随机过程的特征。ACF通过测量过程的某个值和历史值的相关程度，显示了过程的“记忆”长度和力度。
三．平稳性
1．严平稳：
假设随机过程的性质不受时间地点变化的影响，称为绝对（严）平稳。即联合分布函数只取决于时期的间隔，与时期本身无关。从而它的所有矩都不依赖于时间。
2．弱（协方差）平稳：
如果随机过程的均值和协方差都不依赖于时间
，即
对所有
对所有的
和
则过程是协方差平稳的或弱平稳的。过程
是协方差平稳的，其
，
均为常数；过程
是含时间趋势的过程，其无条件均值
是时间的函数，因此就不是协方差平稳的。
3．平稳和宽平稳的关系：
1） 具有有限二阶矩的严平稳过程，一定是弱平稳过程。
2） 弱平稳过程只限定一阶矩和二阶矩，但如果弱平稳过程是高斯过程，则它一定是严格平稳过程。
四．遍历性
前面进行的把时间序列的期望看作是总体平均。因此它是时间序列平均。如果时间平均收敛于总体平均，则称为过程是关于均值遍历的。仅当过程是遍历时，利用单组实现值来推断联合概率分布的未知参数才是正确的。
1．均值遍历：
如果一个协方差平稳过程
的自协方差
满足
则
是关于均值遍历的。
2．二阶矩遍历：
如果协方差平稳过程满足
对所有的
成立，则称该过程是关于二阶矩遍历的。如果
是一个高斯平稳过程，则
就能够保证过程关于所有矩都是遍历的。
3．平稳性和遍历性的区别：
考察一个平稳但非遍历的例子。假定第
个实现
的均值
是由
生成的，即
（5）
其中
是独立于
的均值为零、方差为
的高斯白噪声过程。此时
明显，过程是协方差平稳的。但并不满足遍历性条件。此时时间平均
收敛于
而不是
的均值零。
第二节 白噪声
一．白噪声过程：
对于一个均值
、方差
的序列
，满足
此时过程
称作一个白噪声过程。
二．独立白噪声过程
对于一个均值
、方差
的序列
，满足
相互独立
此时过程
称作一个白噪声过程。
三．高斯白噪声过程
对于一个均值
、方差
的序列
，
，满足
相互独立
此时过程
称作高斯白噪声过程。
第三节 移动平均
过程
一．一阶移动平均
1．如果
满足白噪声过程，定义过程
（6）
其中
和
为常数。这个序列称为一阶移动平均过程
。期望为
（7）
方差为
（8）
一阶自协方差为
（9）
高阶自协方差
（10）
上述均值和协方差都不是时间的函数，因此不管
为何，
过程都是协方差平稳的。
一阶自相关系数
（11）
高阶自相关系数均为0。此时自相关函数在1阶处截尾。
例子：
，此时
2．几点结论：
1）正的
值得到正的自相关系数，一个大的
后面通常是一个比平均值大的
。
2）负的正的
值得到负的自相关系数，一个大的
后面通常是一个比平均值小的
。
3）自相关系数的取值区间
，并且对于每一个
，都有
和
与之对应。
二．
阶移动平均过程
：
表达式为：
（12）
其中
为白噪声过程，
为任何实数。其均值、方差和自协方差分别为：
（13）
（14）
即自相关函数在
阶处截尾。
例如：
过程
：
（15）
三．无限阶移动平均过程
：
表达式为：
（16）
过程应注意其自协方差总是存在，此时其平稳性要求绝对可加
或平方可加
。此时自相关函数不具有截尾特征。
第四节 自回归过程
一．一阶自回归过程
表达式为差分方程：
（17）
为白噪声序列。其中输入变量
。
1．如果
，系统（17）中
对
的影响随着时间累增而不是消失，系统不是有限方差的协方差平稳过程。这个过程一般称为爆炸性过程。
2．
时，系统为协方差平稳过程，此时利用滞后算子系统变为：
（18）
利用求逆，从而得到此过程的解为
过程：
（19）
明显，当
时，满足绝对可加性：
（20）
此时系统的均值、方差、自协方差函数和自相关函数分别为：
（21）
从函数可以发现，自相关系数函数按几何方式衰减。自相关系数函数与脉冲响应函数或动态乘子相同。
增加一个单位对于
的影响等于
和
之间的相关系数。正的
值意味着
和
之间正相关。负的
值意味着
和
之间负相关。此时自相关函数拖尾。
如果假定过程是协方差平稳的（
），可直接利用差分方程
计算各阶矩。对（17）两边取期望：
（22）
从而，
（23）
系统（17）变形，得到：
或
（24）
两边平方求期望：
（25）
将
代入（25），可得
（26）
从而得到协方差平稳
过程的方差：
（27）
根据同样的道理，（17）两侧同时乘以
，再求期望，可得自协方差函数：
（28）
即
（29）
解自协方差函数的差分方程，得到
（30）
自相关函数为：
（31）
结论相同。并且得到脉冲响应函数和
过程的自相关函数相同的原因。
二．二阶自回归过程
：
表达式为
（32）
或者写成滞后算子形式：
（33）
差分方程（33）的平稳条件是特征方程
的根都落在单位圆外。此时自回归算子的逆为：
（34）
这里的
由矩阵
的第
个元素给出。
将（33）两边同时乘以
得到：
（35）
显然
（36）
也可直接对（32）两边取期望，从而有
（37）
再次得到
（38）
系统（32）变形为
（39）
进一步变形
（40）
两边同时乘以
，求期望，得到
（41）
两边同时除以
，得到
（42）
可见，对于
过程，其自协方差和自相关函数仍然是差分方程。当
时，
；当
时，
；由此通过逐次求解迭代就可以求得自相关函数。自相关函数仍然具有拖尾特征。
下面我们求二阶自回归过程的方差。（40）两侧同时乘以
，再求期望得到：
（43）
即
（44）
整理一下，得到
（45）
三．
阶自回归过程
表达式为：
（46）
其平稳性条件为特征方程
的根都在单位圆外。假设过程协方差平稳，则对（46）两边求期望，得到：
（47）
从而可以得到均值：
（48）
表达式（46）可以写成：
（49）
表达式两侧同时乘以
，再取期望可得自协方差：
（50）
已知
，因此得到结论：当
时，
是
的函数。
（50）两侧同时除以
，得到由拉沃克（Yule-Walker）方程：
（51）
因此表达式（50）和（51）表明，
阶自回归过程的自协方差函数和自相关函数具有相同形式的
阶差分方程，其自相关函数的具有拖尾特征。在相异根的条件下，自协方差解：
（52）
其中特征根
为特征方程
的解。
第五节 自回归移动平均过程
表达式为：
（53）
写成滞后算子的形式为：
（54）
两侧同时除以
，从而得到
（55）
其中
从而可以发现，
过程的平稳性完全取决于回归参数
而与移动平均参数无关。即
过程的平稳性条件为特征方程：
的根在单位圆外。
（53）变形：
（56）
两边同时乘以
，求期望得到自协方差。当
时，结果方程的形式
阶自协方差形式：
（57）
从而解为
（58）
时的自协方差函数比较复杂，并且不具有应用意义。不过
过程的自相关函数都具有拖尾特征。
过程容易出现的两个问题：
过度参数化问题。例如一个白噪声过程
也可以用
表示。此时无论
取何值，利用
都能够很好的拟合数据，因此造成估计的困难。
过程的表达式（54）的滞后多项式进行因式分解得到
（59）
假设自回归算子
和移动平均算子
存在共同根（公因子），同时除以公因子，得到的过程
和原来的
过程相同。
第六节
过程的可逆性及偏相关函数
一．
过程的可逆性
对于
过程
为白噪声。当
时，表达式（60）能够表示成无穷阶的自回归过程：
（60）
此时
过程可逆。
前面我们说过，对于
过程，其移动平均系数
和
能够得到相同的自相关系数。可逆性条件就是为了消除这种现象。从而可以避免某些估计和预测的算法失效。
二．偏自相关函数
对于
阶自回归过程
，可以改记为：
（61）
这是考虑了
步延迟后的偏自相关系数，它排除了
个中间变量
的影响后，
和
的自相关系数。设
的均值为零，该自相关系数为：
（62）
考虑（61）两侧同时乘以
，并取期望得到：
（63）
由于
给定，且
，从而有
（64）
当
时，
与
无关，故
（65）
所以当延迟
步时，
序列的偏自相关系数为
。偏自相关系数序列称为偏自相关函数。
根据上面的讨论，对于
过程，其偏自相关函数在
处截尾。而对于任何可逆
过程，由于都能表示成无穷阶的自回归过程，因此具有拖尾的偏自相关函数。
下面用图表总结一下：
表1 时间序列模型性质表
模型
性质
AR(p)
MA(q)
ARMA(p,q)
模型方程
平稳条件
的根在单位圆外
无条件平稳
的根在单位圆外
可逆条件
无条件可逆
的根在单位圆外
的根在单位圆外
ACF自相关
拖尾
在
截尾
拖尾
PACF偏自相关
在
截尾
拖尾
拖尾
第七节 预测
一．预测原理（基于条件的预测）：
定义1：均方误差
对于任何预测都存在误差，我们需要给出一个损失函数来度量预测偏离一个特定的量的程度。假定一个二次损失函数，选择
，使得
（66）
最小。表达式（66）称为预测值
的均方误差，记做
。
定理1：最小均方误差预测就是
条件下
的期望。
证明：
假定
为基于条件期望以外的其他函数
的预测
，其
为：
（67）
因为在
的条件下，
与
都是常数，因此
（68）
根据迭代期望法则，（68）的期望就是无条件期望，即
（69）
从而，（67）变为
（70）
右边第一项为常数，因此如果希望均方误差最小，只有：
（71）
定理得证。
定义2：线性投影
假设预测
为
的线性函数，即
。如果存在一个
，使得预测误差
与
，即
（72）
则预测
称为
关于
的线性投影。
定理2：在线性预测族中，线性投影具有最小均方误差。
证明和定理1相似。
线性投影是随机过程总体特征的归纳；而OLS回归是对样本观察值的归纳。
二．基于无限观察值的预测
1．基于滞后
的预测：
对于
过程
（73）
其中
为白噪声且
（74）
假定已知
期以前的
的所有观测值
、
以及
的值。根据（73），可以得到：
（75）
最优线性预测形式为
（76）
即令未知的
等于期望值零。预测误差为
（77）
根据线性投影的性质，预测误差的均值为零，且与
线性无关。所以（76）为最优预测。其均方误差为：
（78）
例：
过程，
解：最优线性预测为：
（79）
均方误差
为
（80）
均方误差
随着预测长度的增加而增加，直到
为止。对于
的
解以后的预测，其预测值为该序列的无条件均值
。
为该序列的无条件方差
。
取多项式
除以
：
（81）
其零化算子
表示将
中的负次方变为零，即
（82）
此时最优预测
（83）
2．基于滞后
的预测：
对于
过程
（84）
其中
为白噪声，
，
，
。假定
多项式
和
多项式
之间有如下关系：
（85）
满足条件（82），则根据
的观察值构造出
。将（84）代入（83），得到
（86）
（86）称为维纳-科尔摩格洛夫（Wiener-Kolmogorov）预测。它以初始值
以及继后值
的形式表达
的值，再将式中含未来的
的项去掉。
定理3 多重投影定理
如果
的
期的预测是
期信息的投影，则结果为
的
期最小均方误差预测。
例1
过程
预测：
解：
代入（86），得到
随着预测期
的增加，预测值从
按几何方式衰减到
。前
期预测的均方误差为：
随着
的增加，渐进于无条件方差
。
例2
过程的预测
解：
过程可以表示为：
其中
。因此最优前
期预测为：
预测误差为：
对于
过程的预测，最简单的方法是简单递归。首先预测
，则最优预测为：
预测
的最优预测为：
于是
将
代入，得到
前
期预测可由下面的迭代得到：
其中
。
例3
过程的预测
解：
过程的表达式为
，其中
。将维纳-科尔摩格洛夫公式（86）中的
换成
，得到
时，
，于是
时，
，于是
例4：
过程的预测
解：对于可逆的
过程
，则预测公式（86）变为：
因此，
时，预测为：
其中
。
期的预测为无条件均值
。
例5．
过程预测
解：
过程
，当
时，满足平稳性和可逆性。因此预测为：
其中
从而预测为
对于
，预测服从递归算法：
即在一期以后，预测按几何方式以速度
收敛于无条件均值
。前一期的预测为：
其中
例6：
过程预测
解：对于
过程
1期预测为
其中
。前
期预测为：
当
时，预测为由自回归系数决定的
阶差分方程。
第八节
过程之和
一．
过程加白噪声过程
假定
过程：
（87）
其中
为均值为零、方差为
的白噪声。
的自协方差为：
（88）
令
表示均值为零、方差为
白噪声，且与
线性无关。因此
对所有的
（89）
令
表示
和
的和，则
（90）
其均值为0，自协方差为：
（91）
此时
是协方差平稳的。并且
可以表示为：
（92）
其中
。即
过程加白噪声过程产生一个新的移动平均过程。
二．两个移动平均过程相加
令
和
表示零均值的移动平均过程：
（93）
其中
。假定对所有的
，
。设
（94）
定义
。则
（95）
因此超过
阶滞后的自协方差为零，即
可以用
表示。
三．两个自回归过程相加
假设
和
表示两个
过程，
（96）
其中
和
都是白噪声且对于所有的
和
，
和
无关。假设
（97）
则（96）变形得到
（98）
相加得到：
（99）
即可用一个
来表示：
（100）
其中
（101）
当
时，
（102）
此时为
过程。
如果是
和
相加，即
（103）
则得到一个
过程
（104）
其中
。
参考文献：
1．《金融时间序列的经济计量学模型》 经济科学出版社 米尔斯著
2．《Introductory Econometrics for Finance》 Chris Brooks 剑桥大学出版社
3．《时间序列分析》 汉密尔顿 中国社会科学出版社
4．《经济周期的波动与预测方法》 董文泉 高铁梅著 吉林大学出版社
5．《协整理论与波动模型——金融时间序列分析与应用》张世英、樊智著 清华大学出版社
6．《数据分析与Eviews应用》 易丹辉主编 中国统计出版社
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