华中科技大学硕士学位论文连续时间政府支出与税收的随机模型姓名：罗青兰申请学位级别：硕士专业：概率论与数理统计指导教师：胡晓山2010-05-17
华中科技大学硕士学位论文 摘 要 政府在经济社会中充当着重要的角色，担负着诸多职责。税收和支出的计划是其工作很重要的两方面，两者在数量上互相影响和制约，对国民经济的运行和发展有极其重要的作用。从计量经济角度上对税收和政府支出的研究有助于我们进一步探讨它们之间的本质关系，更好地优化税收，服务经济建设。 本文的第一部分介绍了问题的提出和意义，以及最优税收理论的发展情况。第二部分着重介绍了要用到的一些经济学和时间序列分析知识，包括差分方程相关概念、几个经典定理等。还介绍了最基本的随机过程Brownian运动的相关结论。最后介绍了效用函数和一般的随机最优化方法，为模型的建立和求解作准备。在文章的第三部分介绍了Robert J. Barro于1979提出的离散时间最优化税收模型，以及对原来的模型中政府支出作出分化后的改进结果。 本文的第四部分参照消费最优决策理论中的一个基准模型Ramsey模型，从政府的角度出发，在随机最优化的方法框架内引入随机项，把模型推广到连续时间上，建立了随机连续时间税收模型，并运用随机分析相关知识对简化后的模型进行求解，得到了两种效用函数下的最优解。 关键词：政府支出 税收模型 最优化方法 随机微分方程 布朗运动 I
华中科技大学硕士学位论文 Abstract The government in the economy society plays an important role, it bears many responsibilities. Revenue and expenditure plans are very important aspects of the government work, they influence and restriction each other in the quantity. They also play an extremely important role in the operation and development of national economy. From the angle of the econometric, the research of taxes and government expenditures will help us further explores the essential relation between them and better optimized tax and service to economic construction. This first part introduces the problem and its significance, and the development of the theory of optimal taxes. The second part was introduced emphatically to some knowledge about economics and time series analysis which used in, including difference equations and several classic theorem, etc. It also introduced the related conclusions of the basic random process (Brownian movement). Finally, it introduces the utility function and general stochastic optimization method for establish and solution model. In the third part of the article, it introduces a discrete time optimal tax model which put forward by Robert J. Barro in 1979, and then it introduces the improve results after differentiation in government spending. In the fourth part, according to the theory of optimum decision-making consumption model (Ramsey model), from the angle of the government, a continuous random tax model was established in stochastic optimization method into random item within the framework of the model and to promote the continuous time. Then the optimal solutions were obtained in two kinds of utility function of use of stochastic analysis of related knowledge for the simplified model. Keywords: government spending tax model optimization method stochastic differential equation Brownian motion II
独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果.尽我所知,除文中已经标明引用的内容外,本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果.对本文的研究做出贡献的个人和集体,均已在文中以明确方式标明.本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担. 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定,即：学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅.本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文. 保密□ ,在________年解密后适用本授权书. 本论文属于 不保密□. （请在以上方框内打“√”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日
华中科技大学硕士学位论文 1 绪论 问题的提出和意义 税收之父亚当 斯密（Adam Smith）在1776年对于税收概念的表述是：“公共资本和土地，即君主或国家所特有的两项大收入源泉，既不宜用以支付也不够支付一个大的文明国家的必要费用，那么，这必要费用的大部分就必须取决于这种或那种税收，换言之，人民需拿出自己一部分私人收入，给君主或国家，作为一笔公共收入。”1991年年底出版的《中国税务百科全书》中把税收定义为“国家为满足社会公共需要，依据其社会职能，按照法律规定，参与国民收入中剩余产品分配的一种形式。” 税收通过参与国民收入分配，可以获得一定财政收入，满足国家行使职能所必[1]需的物质需求，这是税收最基本和最重要的职能。一般来讲，税收具有两大职能，即财政职能和经济职能，它能对总需求与总供给平衡、资源配置及社会财富分配进[2]行调节。 与税收紧密相关的是政府公共开支，它的自己直接目的就是为了实现政府职能，满足社会的公共需要，按照国际货币基金组织编写的《政府财政统计手册》，政府公共开支从政府职能可分为四大类：一般政府服务职能支出；公共服务和社会服务职[3]能的支出；经济服务职能的支出；其他职能的支出。若按经济特征分类可分为：经[3]常性支出；资本性支出；贷款、转贷和产权参股；借款本金偿还。 税收和政府支出是密不可分的两部分，两者在数量上互相影响和制约，对国民经济的运行和发展有极其重要的作用。而从计量经济角度上的研究有助于我们进一步探讨它们之间的本质关系，更好地优化税收，服务经济建设。 税收模型的发展 国外早些时候，税收理论的研究主要集中在关于征税以用来提供公共产品的必1
华中科技大学硕士学位论文 [4]要性方面。后来，Robert J. Barro（1979）提出的模型以最优税收作为政府决策的目标，并用美国1916-1976年间的数据为例进行了实证研究；随后他在文献[5]中阐述了债务冲击的影响，即公共债务的变动使系统行为发生了偏离；Daniel Landau，[6][7][8]（1983）把重心放在政府支出对经济增长的贡献上；而R J. Barro（1986）表明了赤字、政府支出和国债之间的联系；Edgar A. Peden 和 Michael D. Bradley[9]（1989）讨论了政府规模和经济增长、生产力水平的关系；Gerald W. Scully[10]（1989）讨论了政府支出的公共选择替代私人选择的利弊，并以1960-1980年间[11]115个市场经济体的经济发展数据证明了自己的观点；后来，R J. Barro（1990）把内生增长模型扩展到包含税收财政上，讨论得出公用事业支出的增加导致增长率和储蓄率下降的结论。当政府支出增长时，增长率和储蓄率上升，但随后却下降。 [12]并用经验证据支持了结论；由G W. Scully（1995）创建的模型则显示，总税收与增长率有关。在他的模型中，占GDP一部分的总税收和增长率有关。和1990年的巴罗模型一样，若作为GDP一部分的政府支出在一个低水平上，则税率的增加提高了增长率，因为所提供的基础设施、教育、公共卫生、财产保护是生产性的。而若政府支出在高水平上，政府支出的特征就更倾向于是非生产性支出（如转移支付、[7]补助等），这是由于税率的增加降低了增长率。以上文献的研究主要是从消费者选择和税收的关系出发，通过个体的纳税情况来分析对整个政府税收情况的影响，并且以离散时间的情况为主。 国内在这方面的研究相对较少，而且主要集中在政策理论上。卿定文和朱锡平在文献[13]中介绍了最优税收理论中兰姆斯推导的模型，以及鲍莫尔和布莱德福德提[14]出的逆弹性规则。熊萍萍和门可佩则将政府花费引入到生产函数和效用函数中，建立了连续时间随机内生经济增长模型，并讨论了政府花费、税收和随机扰动对经济增长的影响。文献[15]建立了内生经济增长模型和随机均衡模型，并在这些模型中[16]研究了最优税收问题。殷红和何穗基于经典的确定性的Mirrlees税收模型，建立了一般化的动态随机均衡模型，并论证了消费者的最优资本存量和收入，以及政府的最优税收和公共花费的存在性问题。文献[17]介绍了动态最优税收理论的分析框架，即一级最优(First-best)、二级最优(Second-best)和三级最优(Third-best)分析框架，2
华中科技大学硕士学位论文 并在一个扩展的最优税收模型中讨论了最优税收理论的一级最优和二级最优分析框架，然后在一个基准的动态最优税收理论模型中考察了二级最优税收政策的时间不一致性，最后回顾了三级最优分析框架的最新进展。 全文的主要工作 本文主要以Robert J. Barro于1979提出的模型为基础，参照消费最优决策理论[18]中的一个基准模型Ramsey模型，从政府的角度出发，建立连续时间税收模型，并运用最优化和随机分析相关知识对简化后的模型进行求解。各部分主要内容如下： 第一章为绪论。主要介绍了问题的背景和意义，以及所研究问题的现有理论和成果。 第二章为预备知识，着重介绍了经济学和时间序列分析中的一些知识，包括差分方程、Wold表示定理等。还介绍了最基本的随机过程Brownian运动的相关结论。最后介绍了效用函数和一般的随机最优化方法，为模型的建立和求解作准备。 第三章详细介绍了离散时间Barro模型，以及用最优化的方法对原来的模型进行深入分析和改进后的一些结论。 第四章主要讨论了随机连续时间税收模型。参照消费最优决策理论中的Ramsey模型，从政府的角度出发，在随机最优化的方法框架内引入随机项，把模型推广到连续时间上，建立了随机连续时间税收模型∞−ρt⎧minEeU(T(t))dt,⎪0∫T0，并运用随机分析相关⎨⎪(t)=[G(t)−T(t)+r(t)B(t)]dt+σ(t)dW(t),B(0)=B⎩0知识对简化后的模型进行求解，着重讨论了二次效用函数及CARA（常数绝对风险厌恶系数）效用函数下的最优解。并得到了几个关于T(t)结论。 最后对本文的主要工作进行了总结，指出本文存在的许多不足之处，并给出了改进的建议。 3
华中科技大学硕士学位论文 2 预备知识 差分方程和推移算子 在经济分析中，求解离散时间的模型，通常就是解差分方程。因此，差分方程是研究离散经济模型的一个基本工具。 推移算子 设X(t∈Z)是一时间序列，给出无穷级数 t∞jψ(z)=bz∑jj=−∞， 只要级数 ∞bX ∑jt−jj=−∞在某种意义下是收敛的，定义 ∞jψ(L)=bL,∑jj=−∞ ∞jψ(L)XbLXbX,∑∑ttjt−jj=−∞j=−∞[19]称L是时间t的向后推移算子，简称为推移算子或者时滞算子。 齐次差分方程的解 给定p个实数a,a,L,a,a≠0，我们称 12ppX−[aX+aX+L+aX]=0,t∈ ， （） t1t−12t−2pt−p4
뮪훐뿆벼듳톧쮶쪿톧캻싛컄 캪p뷗웫듎뎣쾵쫽쿟탔닮럖랽돌ꎬ볲돆캪웫듎닮럖랽돌ꆣ싺ퟣꎨꎩ뗄쪵횵ꎨ믲뢴[19]횵ꎩ쪱볤탲쇐{X}돆캪ꎨꎩ뗄뷢ꆣ t샻폃췆틆쯣ퟓLꎬ뿉틔냑ꎨꎩ킴돉뗈볛탎쪽 ψ(L)X=0,t∈¢ꎬ t웤훐 pjψ(z)=1−bzꆣ ∑jj=1ψ(z)돆캪ꎨꎩ뗄쳘헷뛠쿮쪽ꆣ 짨ψ(z)폐k룶뮥늻쿠춬뗄쇣뗣z,z,L,zꎬ웤훐z쫇r(j)훘쇣뗣ꆣ퓲 12kj−tl{zt},l=0,1,L,r(j)−1,j=1,2,L,k j쫇ꎨꎩ뗄p룶뷢ꎻ뛸쟒ꎬꎨꎩ뗄죎뫎뷢{X}뚼뿉틔킴돉헢p룶뷢뗄쿟탔ퟩ뫏ꎺ tr(j)−1kl−tXUz,∈¢ꎬ ꎨꎩ ∑∑t,jj=1l=0웤훐뗄쯦믺뇤솿U뿉틔평{X}뗄돵횵X,X,L,X캩튻뻶뚨ꆣꎨꎩ돆캪웫듎닮l,jt01p−1[19]럖랽돌뗄춨뷢ꆣ 웚췻쯣ퟓꎺ 룸뚨 E=EIꎬ tt5
뮪훐뿆벼듳톧쮶쪿톧캻싛컄 [20]쫇쳵볾웚췻ꎬI쫇t웚뗄탅쾢벯ꆣ룸돶뫳쏦뗄쒣탍탨튪폃떽뗄튻룶릫쪽ꎺ t−1−1Eψ(L)E=Eψ(L)ꎬ ꎨꎩ tttꎨꎩ쪽횤쏷죧쿂ꎺ ∞∞−1−j−jEψ(L)EbELEbEL∑∑ttjttjt+j=−∞=−∞ ∞−j−1bEL=Eψ(L).∑jttj=−∞ 솽룶뇘튪뗄뚨샭 쒿잰ꎬ뛔폚샫즢뺭볃쒣탍뗄퇐뺿뷏춸뎹ꎬ폐탭뛠돉쫬뗄랽램샭싛뫍쿖돉뗄뷡싛ꎬ쓜릻ퟶ돶뇈뷏뫃뗄뷡맻ꆣ틔쿂뷩짜놾컄붫튪폃떽뗄벸룶뚨샭ꆣ Wold뇭쪾뚨샭 Wold뇭쪾뚨샭쫇쿖듺쪱볤탲쇐럖컶샭싛뗄쇩믪ꎬ쫇릹퓬쒣탍쓢뫏욽컈탲쇐뗄샭싛믹뒡ꆣ쿈룸돶욽컈탲쇐뗄뚨틥ꆣ [19]뚨틥1 죧맻쪱볤탲쇐{X}={X:t∈¥}싺ퟣ tt2ꎨ1ꎩ 뛔죎뫎t∈¥,EX<∞ꎻ tꎨ2ꎩ 뛔죎뫎t∈¥,EX=µꎻ tꎨ3ꎩ 뛔죎뫎t,s∈¥,E[(X−µ)(X−µ)]=γꎬ tst−s뻍돆{X}쫇욽컈쪱볤탲쇐ꎬ볲돆캪욽컈탲쇐ꆣ t[19ꆢ21]뚨샭1 죎튻럇뻶뚨탔뗄쇣뻹횵욽컈탲쇐{X}뿉틔뇭쪾돉 t6
华中科技大学硕士学位论文 ∞jX=ϕ(L)ε+V,t∈Z,其中ϕ(L)aL， （） ∑tttj=0其中 （1）ε=X−L(XX,X,L)为零均值的白噪声，满足 tttt−1t−2∞E(Xε)tt−j222Eε=σ>0,a=1,a=,a<∞； ∑t0jj2σj=0∞（2）{Uaε,t∈Z}是和{V}正交的平稳序列； ∑tjt−jtj=0（3）定义H(t)= sp{ε：j≤t},H(t)=sp{U：j≤}。对任何ttεjUjH(t)=H(t) Uε（4）{U}是纯非决定性的平稳序列，有谱密度 t22∞σijλf(λ)=ae； ∑j2πj=0（5）{V}是决定性的平稳序列。对任何t,k∈Z,V∈H。 ttt−k此定理的证明较长，此处省略，可参看文献[19]及[21]。 Wold分解定理说明任何平稳序列都可以分解为确定性序列（多项式确定趋势）和随机序列（平稳的零均值误差）之和。 [22-23] Hansen-Sargent引理 ∞j定理2 若X=ϕ(L)ε+X,t∈Z,其中ϕ(L)aL，函数在z≤1上无零∑ttj=07
华中科技大学硕士学位论文 点，则如下等式成立： ∞βϕ(β)XLϕ(L)−βϕ(β)jβEX=+X， （） ∑tt+jt(1−β)ϕ(1)(Lβ)ϕ(L)j=0证明：因为 ∞∞XjjβEX=+βaEε∑∑tt+jktt+j−k1−β=0=0∞∞Xj=+βaε∑∑kt+j−k1−βj=0k=j∞kXj−j=+aLβLε∑∑t1−βk=0j=0 −1k+1∞X1−(β)k=+aLε∑t−11−βLk=0XLϕ(L)−βϕ(β)=+(X−X)t1−β(L)(L)βϕ(β)XLϕ(L)−βϕ(β)=+Xt(1−β)ϕ(1)(Lβ)ϕ(L)得证。 随机分析 当把随机模型推广到连续型中时，常需借助更多的数学工具。下面简要给出本文需要用到的一些随机数学知识。 Brownian运动 最常用到的随机项是布朗运动（又称Wiener过程）。在经济体中很多我们研究的变量的随机扰动，近似地满足它的性质，可用它来进行描述。 [24]定义2 Brownian运动{W(t)}是具有如下性质的随机过程： 1.（增量独立性）对任意t>s，W(t)−W(s)与过去独立，即与W(u),0≤u≤s，8
뮪훐뿆벼듳톧쮶쪿톧캻싛컄 믲폫W(u),0≤u≤s닺짺뗄σ-폲F뛀솢ꆣ s2.ꎨ퓶솿헽첬탔ꎩW(t)−W(s):N(0,t−s)ꆣ 3.ꎨ맬뗀솬탸탔ꎩW(t),t≥0쫇t뗄솬탸몯쫽ꆣ [24-25]뚨샭3 Brownian퓋뚯W(t)퓚[0,t]짏뗄뛾듎뇤닮쫇tꆣ 횤쏷ꎺ틲캪Brownian퓋뚯뗄뛾듎뇤닮[W,W](t)캪 n2nn[W,W](t)=[W,W]([0,t])=limW(t)−W(t)ꎬ ∑ii−1i=1웤훐벫쿞쫇뛔쟸볤[0,t]뗄죎튻럖룮쟳뗃뗄ꎬ떱n→∞쪱ꎬ럖룮뗄쾸뛈nnδ=max(t−t)→0ꎬδ<∞ꆣ쇮 ni+1∑innn2nnTW(t)−W(t)ꎬ n∑ii−1i=1nnnn평Brownian퓋뚯뗄뚨틥횪W(t)W(t):N(0,tt)ꎬ맊틗볻 ii−1ii−12n2nnnnnnE(T)=EW(t)−W(t)=VarW(t)−W(t)+EW(t)−W(t)n∑ii−1∑∑iiii−1=1=1=1 nnn=(t−t)=t−0=t,∑ii−1i=124샻폃럾듓헽첬럖늼N(0,σ)뗄쯦믺뇤솿뗄쯄뷗뻘쫇3σꎬ뻍쓜뗃떽 nn2nnnn2Var(T)=VarW(t)−W(t)Var(W(t)−W(t)n∑ii−1∑ii−1=1i=1n2nn4nn[E(W(t)−W(t)−E(W(t)−W(t)]()∑iiii i=1nn2nn2nn2=[3(tt)−(tt)]2(tt)−1−1∑iiiiii−1=nn≤2max(tt)t=2tδ.ii−1n9
华中科技大学硕士学位论文 ∞∞2因此Var(T)<∞。利用单调收敛定理，有E(T−ET)<∞。这表明期望内的∑n∑nnn=1n=1式子几乎处处收敛。因此T−ET→.，即T→.。所以T→.，nnnnn即为 n2nn[W,W](t)=limW(t)−W(t)=limT=t。 ∑ii−1ni=1有了这个结论，我们可以进行一些关于布朗运动的计算。 ˆ Ito公式 Brownian运动广泛用于对随机变量的建模。下面介绍一种带漂移的布朗运动的推广。其形式为 dX(t)=a(X,t)dt+b(X,t)dW(t)， （） 式中dW(t)是Brownian运动的增量；a(X,t)和b(X,t)为已知的（非随机的）函数。这里的漂移系数和扩散系数是当前状态和时刻的函数。由式（）所表示的连续时[26]间随机过程X(t)称为伊藤过程（ˆIto过程）。 ˆIto过程对时间是连续的，但又是不可微的，这就需要介绍新的工具。下给出比较普遍的一维ˆIto过程的ˆIto公式。 [24]定理4 设X(t)在0≤t≤T上有随机导数 dX(t)=μ(t)dt+σ(t)dW(t)， 2若f(x)是二阶连续可微（C函数），则过程Y(t)=f(X(t))的随机导数是存在的，即为 1′′df(X(t)=f(X(t)dX(t)+f(X(t)d[X,X](t)2 12′′=f(X(t))dX(t)+f(X(t))σ(t)dt210
华中科技大学硕士学位论文 1⎛⎞2′′′=f(X(t)μ(t)+f(X(t)σ(t)dt+f(X(t)σ(t)dW(t). ⎜⎟2⎝⎠[24]下面是一个常用的结论： 若给定 dX(t)=μ(t)dt+σ(t)dW(t),XX dY(t)=μ(t)dt+σ(t)dW(t),YY则有 d(X(t)Y(t))=X(t)dY(t)+Y(t)dX(t)+d[X,Y](t)X(t)dY(t)Y(t)dX(t)dX(t)dY(t) 2=X(t)dY(t)+Y(t)dX(t)+σ(t)σ(t)(dW(t)),XY由定理3得 d(X(t)Y(t))=X(t)dY(t)+Y(t)dX(t)+σ(t)σ(t)dt。 （） XY 随机最优化方法 下面介绍本文将要用到的随机最优化的方法。先给出一个常用到的动态规划基本方程。 [27-29] 哈密顿-雅可比-贝尔曼（Hamilton-Jacobi-Bellman）方程对于下面形式的最优控制问题： T⎧minf[X(t),U(t)]dt,()⎪0∫t0 ⎨⎪′(t)=f[X(t),U(t)],X(t)=X,t≤tT.()⎩000令V(X,t)是这个控制问题满足初始条件X(t)=X,t≤t≤T的最小指标值，111101为讨论简便，设V,f和f都是充分可微的。 011
华中科技大学硕士学位论文 *设U是()和()式在[t,T]上的一个最优控制，δ>0充分小，则 0T**V(X,t)=f[X(t,U),U(t)]dt000∫t0+δT0****f[X(t,U),U(t)]dtf[X(t,U),U(t)]dt ∫t+δ0t+δ0**=f[X(t,U),U(t)]dtV(X,tδ).()∫t0（）式最后一项是根据最优化原理： T**V[X(t+δ,U),t+δ]=f[X(t,U),U(t)]dt 00∫t+δ0得到的。利用关于f和V的假设条件得 **V(t+δ,U)=X+δf[X,U(t)]+O(δ)， （） 00V[X(t+δ,U),t+δ]=δ{∇V(X,t)⋅f[X,U(t)]+V(X,t)}00x000t0 +V(X,t)+O(δ),()00t+δ0***f[X(t,U),U(t)]dt=δf[X,U(t)]+O(δ)。 （） 0∫t0O(δ)其中lim[]=0，∇是梯度计算，“⋅”是内积。 xδ→0δ将（）~（）式代入（）式且令δ→0，就得出下面的关于V的偏微分方程： **V(X,t)=−{∇V(X,t)⋅f[X,U(t)]+f[X,U(t)]}。 t00x000000如果回到（）式，又可以写成 t+δ0V(X,t)minf[X(t,U),U(t)]dtV[X(tδ,U),t+δ]， t00{000}∫U∈Δt0类似地有 V(X,t)=−min∇V(X,t)⋅f[X,U(t)]+f[X,U(t)]，（） {}t00x0000000U(t)∈Ω0但是U(t)可以取Ω中的任意值，X,t也是任意的，则由（）式可知对于所有000X,t>0，有 V(X,t)=−min∇V(X,t)⋅f[X,W]+f(X,W)， （） {}tx0W∈Ω12
华中科技大学硕士学位论文 ***而最优控制U正好是使（）达到极小的W的一个值，U=U(X,t)。 方程（）称为连续动态规划的基本方程，简记为HJB方程。 [30] 随机最优化基本步骤考虑问题 T⎧maxEf(t,x,u)dt+φ(x(T),T),⎪∫0 ⎨⎪=g(t,x,u)dtσ(t,x,u)dW,x(0)=a.⎩其中a为给定常数；x(t)和u(t)分别为状态变量和控制变量，均为随机过程；dW(t)是布朗运动的增量。 对于任意的t，定义值函数 0TJ(t,x)=maxEf(t,x,u)dt+φ(x(T),T)， （） 00∫t0（）式是从t时刻开始的最优值。 0受约束于 dx=g(t,x,u)dt+σ(t,x,u)dW,x(t)=x。 00得到下面的优化问题： J(t,x)=maxEf(t,x,u)Δt+J(tΔt,x+Δx)。 {}u考虑到 12J(t+Δt,x+Δx)=J(t,x)+J(t,x)Δt+J(t,x)Δx+J(t,x)(Δx)+otxx2=J(t,x)+J(t,x)Δt+J(t,x)g(t,x,u)Δt+J(t,x)σ(t,x,u)ΔW txx12J(t,x)σ(t,x,u)to,xx2其中o是高阶无穷小。 因此有 13
华中科技大学硕士学位论文 J(t,x)=maxEf(t,x,u)Δt+J(t,x)+J(t,x)Δt+J(t,x)g(t,x,u)Δt{tx 2+J(t,x)σ(t,x,u)ΔW12J(t,x)σ(t,x,u)t+o.}这样，得到 0=maxEf(t,x,u)Δt+J(t,x)Δt+J(t,x)g(t,x,u)Δt+J(t,x)σ(t,x,u)ΔW{txx 2+12J(t,x)σ(t,x,u)to}xx和条件 J(T,x(T))=φ(x(T),T)。 [30]下面给出求解随机优化问题的过程： （1）通过条件 0=f(t,x,u)+J(t,x)g(t,x,u)+J(t,x)σσ(t,x,u) uxuxu把控制变量u(t)表示成状态变量x(t)的函数，即u=u(x)； （2）把u=u(x)代入Hamilton-Jacobi-Bellman（HJB）方程中，就可以得到以下结果： 0=maxEf(t,x,u)Δt+J(t,x)Δt+J(t,x)g(t,x,u)Δt+J(t,x)σ(t,x,u)ΔW{txx 2+12J(t,x)σ(t,x,u)to.}xx通过它可以求出值函数。 （4） 通过可行性条件 dx=g(t,x,u)dt+σ(t,x,u)dW 和初始条件x(0)=a求出最优解x。 效用函数 效用这个概念来自消费理论，是一个抽象概念。 [31]定义3 设p是消费集合X的偏好关系，一个定义在X上的实值函数u叫做是p的效用函数，是指u满足条件： 14
华中科技大学硕士学位论文 ∀x,y∈X有xpy⇔u(x)puy。 当u是p的效用函数时，也称u是p的效用表示，或称p是u诱导的偏好关系。 在经济分析中常用的效用函数有：二次效用函数、CARA效用函数及CRRA效用函数等。本文仅考虑一元效用函数U(⋅)。其实理论上，影响我们决策的所有变量都是可以进入效用函数的。但是这样会增加模型维数，增加问题的复杂性。本文中[20]总假定U(⋅)满足以下条件： U′()0,U′()0,U′(0),U′⋅>⋅<=∞(∞)=0。 （） 直观上，()表示政府追求更多的税收，但依照边际效用递减，政府征税的力[20]度会随着税收率的增加而递减。下面给出常用效用函数的形式： （1）二次效用函数 m2U(x)=x−()x(m>0)。 2（2）常数绝对风险厌恶效用函数(CARA) 其一般形式为 1−αxU(x)=−e(α>0)， α显然U(⋅)满足U′()>0,U′⋅(⋅)<0。其中 U′′(x)α=−， U′(x)为其常数绝对风险厌恶系数。 （3）常数相对风险厌恶效用函数(CRRA) 其一般形式为 1−σ⎧x−1,σ≠1,⎪U(x)= ⎨1−σ⎪lnx,σ=1,⎩其中参数σ>0就是相对风险厌恶系数： 15
华中科技大学硕士学位论文 xU′′(x)σ=−。 U′(x)除此之外，还有三次效用函数等，就不再一一介绍了。 16
华中科技大学硕士学位论文 3 离散型 模型的建立古典经济学派认为政府征税会影响普通消费者的行为，减少生产者的投资，从而对经济增长造成损失，即对经济造成了扭曲。确实如此，因为征税活动改变了经济活动的利润，使得资源从追求尽可能最大化的私人效用向政治和社会效用转变，实现资源再分配。这种再分配活动降低了增长率，转变了经济活动目的，也就产生了扭曲。罗伯特．J．巴罗（Robert J. Barro）于1979年提出了以国债计量的税收平[4]滑(Tax Smoothing)模型。该模型假定，扭曲用一个扭曲函数来表示。政府所面临的问题是，在未来各期税收的折现值等于初始债务与未来各期政府支出折现值之和的预算约束条件下，实现税收所产生的扭曲最小。 引入一些记号： 政府第t期的总支出——P； t政府第t期的税收额——T； t第t期的政府债务量——B； t本章仅采用常用的二次扭曲函数建立简单的离散型模型。 给出二次函数： m2D(T)=T−()T(m>0) （） 2所给的扭曲函数满足条件：′ D()0,D′⋅>(⋅)>0。 故目标函数为 17
华中科技大学硕士学位论文 ∞⎧tminEβD(T),()0∑t⎪Ttt=0⎪⎪=R(B+P−T),B给定,()⎨t+1ttt0 ⎪∞T−Ptt⎪B=∑tR⎪t=0⎩1其中β是折现系数，它满足0<β=<1,ρ>0；ρ是主观折现率或者称之为1+ρ[20]时间偏好率，ρ越大则消费者越倾向于当前消费，未来的效用对消费者越不重要。 （）式表示在t=0时刻做决策时，最小的未来总折现效用的期望值；（）式表示政府的动态预算约束条件，即下一期的政府债务额应等于回报率与本期政府收支余额的积；（）式表示政府的跨时预算约束条件，即政府虽然不一定会每期都保[20]持收支平衡，但在很长的时间(t→∞)内保证收支平衡。 最优性条件及一些结论 由（）式变形为 T−P=B−βB。 tttt+1故 t−1T−Pttt=B−βB。 ∑0ttRj=0所以， t−1T−PtttB=limE(βB)+E。 00∑t0tt→∞Rj=0与（）比较得，（）等价于 tlimE(βB)=0， （）′ 0tt→∞（）′式是横截性条件，最优解应满足此条件。 18
华中科技大学硕士学位论文 现在考虑决策时间在t时刻的情形。值函数定义为 ∞i−tV(B)=minEβD(T)， ∑tttii=t相应的（′）条件改为 ilimE(βB)=0。 tii→∞根据最优性原理，值函数满足 V(B)=min{D(T)+βE[V(B)]}， （） ttttt+1t+1Tt故得 V(B)=D(T)+βEV(B),⎧ttttt+1t+1⎪⎪′0D′=(T)−βRE[V(B)], ⎨tt+1t+1⎪V(B)=βRE[V(B)].⎪⎩tttt+1t+1解得 ′D′(T)=βRE[D(T)]。 （） ttt+1由（）与（）联立得一阶差分方程组 B=R(B+P−T)⎧t+1ttt⎪， ⎨′D′(T)=βRE[D(T)]⎪⎩ttt+12为下面推导方便，假定βR>1。因为（）等价于 −1−1(1RL)B=T−P， （′） ttt所以利用泰勒展式有 ∞TPE(T−P)tttt+it+iB=E()。 （） ∑tt−1−1i1−RLRi=0由（）式得 D′(T)=1−mT， 又（）式可改写为 19
华中科技大学硕士学位论文 −1′E[(1−βRL)D(T)]=0， （′） tt故（）′式变为 −1E[(1−βRL)(1−mT)]=0， tt故对∀i>0，借助（）及（）式有 ii−i−1(1−βRL)E[(1βRL)(1mT)]tt0=E{}t−11−βRLii−i=E[(1−βRL)(1−mT)] ti=1−(R)−mT+m(βR)ET,tt+i所以 1T1tET=+−。 （） tt+iiim(βR)m(βR)将（）式带入（）式得 ∞1T1EPtt+iB[+−−]。 （） ∑ti2i2imR(βR)m(βR)Ri=0从（）式解出 −i2−i∞∞1EPR−(βR)tt+iT[(B+)−]∑∑t∞tiRm2−ii=0i=0(βR)∑i=0∞ −iR∑∞1EP11tt+ii=0=(1−)(B+)−+∑t2i∞βRRmm2−ii=0(βR)∑i=01∞−11EPtt+i1−R=(1−)(B+)−+ ∑t2i1βRRmmi=02−11−(βR)∞1EPβR−tt+i=(1−)(B+)−. （） ∑t2iβRRm(−1)i=0此式反映了T取决于当前国债额和未来政府支出的期望值。可以看到，它是一个前t20
华中科技大学硕士学位论文 向公式，需要未来的信息才能确定T。 t1一种特殊的情况是βR=1，即R=时，由（）式有 βET=T， tt+it即T是一个鞅。此时（）式简化为 t∞iT=(1 −β) (B+βEP)@ G （） ∑ttt+ipti=0上式中的G称为持久性政府支出。 后向表示 （）式和（）式都是前向公式，本节尝试用当前和过去的政府支出来表示βR=1的特殊情况下的税收。 设P是一个平稳过程，这个假设在一个平稳成熟的经济体中是合理的，则假设Ptt有Wold表示 ∞iP=P+B(L)ε,B(L)=bL， （） ∑tti=0∞2其中b<∞,b=1,且ε=P−EP。 ∑i0tt−1i=0首先导出后向公式。 借助节的定理2（H-S引理），将（）式代入（）式可得 βB(β)PLB(L)−βB(β)T=(1−β)[B++P] ttt(1−)B(1)(L)B(L)βB(β)P @ (1−β)B++G(L)P， （） ttB(1)21
华中科技大学硕士学位论文 LB(L)−βB(β)其中G(L)=(1−β)。因为B≠0，所以G(⋅)可展为幂级数的形式，故 0(L−β)B(L)T=(1−β)B+aP+aP+L+const 。 （） tt0t1t−1形式上可以看出政府的税收由当前的债务及过去的支出序列决定。 其次给出不含债务的后向公式。 由（′）得 −1−1−1−1−1B=−RLT−P=−βLT−P， ()()()()ttt代入（）式得 −1βB(β)PLB(L)−βB(β)−1T=1−β1−βLT−P++(1−β)P， ()()()ttt(1)(−β)(L)即 −11−βL()βB(β)PLB(L)−βB(β)−1−1T=T−P+−L+−βLP()()tttt1L() βB(β)βB(β)=T+P−PtB(1)LB(L)βB(β)=T+(P−)。 （） ttLB(L)从（）式中解出T得 t(1 −β) B( β)*T=(P−) @。G ( L ) ( P ) （） ttt(1 L) B( L)（）式显示税收取决于当前和过去的政府支出，政府的短期支出剧增（如国家遭[1]遇大规模的天灾、战争等）在长期内对税收有影响。 模型的一点改进 经典的Barro模型前提假设极其简化，模型中对于政府的开支和收入区分严格，我们可以对其进行许多方面的改进。Gwartney，Lawson和Holcombe（1998）认为：22
华中科技大学硕士学位论文 除了法则、基础设施和公共产品等重要职责以外的其他花销会阻碍经济的增长。而G W. Scully认为某些类型的政府消费和投资支出可以提高生产要素的边际生产力，从[7]而提高增长率。 事实上，政府的开支在很多方面会产生正的效用，促进政府收入的增加。比如政府增加福利补贴，可以部分消除家庭的后顾之忧，增加消费以带动经济增长，增加税收额；还可加大教育投入，将来可获得更高素质的生产者，从而提高生产力，增加税收额等等。所以，政府开支P并不是一种纯粹的支出，而是一种投资，能带t来一定的收益，用r来度量开支的回报率。 引入一些记号： K：政府第t期的资本存量； trK：K带来的收入； ttI(=ΔK=K−K)：政府第t期在资本账户上的开支； tt+1t+1tP：政府第t期非盈利性开支； t[17]则相应的约束条件()变为 B=R(B+P+I−T−rK) t+1ttttt =RB+P−T+K−RK， （） tttt+1t即 B−RK=R(B−RK+P−T)。 （） t+1t+1ttttˆ故可令B=B−RK，则条件（）可以写成 tttˆˆB=R(B+P−T)， t+1ttt所以改进后的模型变为 23
华中科技大学硕士学位论文 ∞⎧tminEβD(T),()0∑t⎪Ttt=0⎪⎪ˆˆ=R(B+P−T),B给定,()⎨t+1ttt0 ⎪tˆlimE(βB)=0.()0t⎪t→∞⎪⎩t其中（）即是横截性条件limE[β(B−RK)]=0。 0ttt→∞很明显，从式子的形式上看接下来的分析和之前的基本一致。仍假设取二次扭曲函数，仅讨论βR=1的情况。直接写出结论如下： （1）T是一个鞅。由（）式有 t∞iˆT=(1−β)(B+βEP)=G−rK， （） ∑ttt+iptti=0其中G为（）式中的形式。 pt式（）右端表明政府开支如果是存在收益的，则可以降低税收。 （2）后向公式（）修改为 βB(β)PT+rK=(1−β)B++G(L)P， ttttB(1)从左端可知，结论同上。 （3）不含债务的后向公式（）保持不变，也即当不考虑政府债务时税收与政府是否盈利无关。 24
华中科技大学硕士学位论文 4 连续型 在经济生活中，不论是政府的支出与收入，还是劳动生产率和利率等，都不会严格地按照相同的时间距作跳跃式变化。现实的情况是，它们都会随时间不断地变化。因此，离散型模型不能很好地度量这种不断变化的情况，我们有必要把模型推广到连续型上，借助新的随机工具来研究政府的税收问题。 模型的建立 Robert J. Barro（1979）提出的模型已经显示动态最优税收问题与消费者行为模[35]型之间具有形式上的相似。本节模型参考消费最优决策理论中的一个基准模型Ramsey模型。政府支出记为G(t)，政府税收记为T(t)，政府债务记为B(t)，利率记为r(t)，效用函数仍为U(⋅)。随机扰动项为σ(t)dW(t)，其中W(t)是标准Brownian运动，它刻画了波动情况。σ(t)与r(t)、G(t)等的波动有关，受整个大环境的影响。因此，政府的收入为I(t)=T(t)−r(t)B(t)，债务增加额′B(t)=G(t)−I(t)。所以，建立模型如下： ∞−ρt⎧minEeU(T(t))dt,()⎪0∫T0 ⎨⎪(t)=[G(t)−T(t)+r(t)B(t)]dt+σ(t)dW(t),B(0)=B.()⎩0t记R(t)=r(s)ds。对于()式，它是一个线性随机微分方程，下从此式中解∫0出B(t)。 设 B(t)=X(t)Y(t)， （） 其中 25
华中科技大学硕士学位论文 dX(t)=r(t)X(t)dt,() dY(t)=a(t)dt+b(t)dW(t),()故由ˆIto公式，有 dB(t)=X(t)dY(t)+Y(t)dX(t)+σ(t)σ(t)dtXYX(t)[a(t)dtb(t)dW(t)]Y(t)r(t)X(t)dt+0 =[a(t)X(t)+r(t)B(t)]dt+X(t)b(t)dW(t),()从（）式解得 R(t)−R(s)X(t)=X(s)e， （） 故由（）式与（）比较得 a(t)X(t)+r(t)B(t)=G(t)−T(t)+r(t)B(t),⎧() ⎨X(t)b(t)=σ(t).⎩从（）式解出a(t)、b(t)，并将（）式代入得 1⎧R(s)−R(t)a(t)=e[G(t)T(t)]⎪X(s)⎪。 ⎨1R(s)−R(t)⎪b(t)=σ(t)e⎪X(s)⎩又因为 ttY(t)=Y(s)+a(z)dz+b(z)dW(z)∫∫ssR (s)−R(z)R(s)−R(z)teσ()e=Y(s)+[G(z)−T(z)]dz+dW(z),∫X(s)X(s)所以 R(t)−R(s)B(t)=X(t)Y(t)=X(s)eY(t) tR(t)−R(s)R(s)−R(z)R(s)−R(z)B(s)e+e[G(z)−T(z)]dz+σ(z)edW(z).()∫∫从（）可知，较难解出问题（）中的T(t)。下面先讨论一些解需要满足的条件。 26
华中科技大学硕士学位论文 最优解的一些条件 根据动态规划的最优性原理，先给出值函数 ∞ρ(t−s)V(t,B(t))=EeU(T(t))ds(t≥0), （） t∫t因此，若T(t)是问题（）的最优解，它必须满足随机Bellman方程： ρV(t,B(t))=max[U(T(t))+LV(t,B(t))], （） 其中， 12LV(t,B(t))=V(t,B(t))+V(t,B(t))[G(t)−T(t)+r(t)B(t)]+σ(t)V(t,B(t))。 tBB2这样通过方程（），把一个跨时最优决策问题变成一个在每一个时刻作静态最优决策的问题。 为书写方便起见，以下各函数均省略掉变量。 最优解应满足的必要条件为： ρV=U+LV,⎧⎪0=U+(LV), （） ⎨TT⎪ρV=U+(LV).⎩BBB即为 1⎧2ρV=U+V+V(G−T+rB)+σV,()tBB⎪2⎪0U′=−V,() ⎨B⎪12⎪V=V+rV+V(G−T+rB)+V,()BtBBBBB⎩2方程组（）与（）应能确定最优解T(t)与值函数V(t,B(t))。 而且，最优解还应满足横截性条件： −ρslimE[eV(t,B(t))]=0(t≥0)。 （） ts→∞ 27
华中科技大学硕士学位论文 一种特殊情况下的显式解 若效用函数U(⋅)及（）中不显含t，即系统内各函数虽然仍随时间变化，但[17]变化规则不再随时间改变，此时系统处于平稳状态，这样的问题即为自治问题。这样的假设对一个平稳成熟的经济体是合理的。 设U(⋅)为二次效用函数。猜测值函数V(⋅)亦为二次函数，因此 2V(B)=a+aB+aB， （） 012其系数待定。 根据（），得 U′=1−mT=a+aB=V， 12B故有 1−a−2aB12 @T=L( B) ,()m将（）式代入（）式得 m1222ρ(a+aB+aB)=T−T+(a+aB)(G−T+rB)+σ⋅a, （） 012122再将（）式代入（）式即得 2ρa+aρB+aρB 01222(1−)2a(1−)2a2221=[+aG+aσ]+[−+aG+ar]B+(+ar)B， 122122mmm比较B各次幂的系数可得 ⎧⎪a=m(ρ−2r)2⎪(ρ−2r)(mG−1)⎪a=() ⎨1r⎪2⎪(1−a)21ρa=+aG+aσ⎪01⎩2m将（）和（）式代入（）得 28
华中科技大学硕士学位论文 1−a1dB=[(ρ−r)B+G−]dt+σdW， （） m从中解出B(t) tta(s)−1⎧⎫g(t)−g(s)−g(s)1B(t)=eB+[G(s)+]eds+σ(s)edW(s),() ⎨⎬0∫∫0m⎩⎭其中 tg(t)=[ρ(s)−r(s)]ds。 ∫0将（）和（）式代入（）式即得 1(ρ(t)−2r(t)(mG(t)−1)g(t)T(t)=−−(ρ(t)−2r(t))emm()tt⎧(ρ(s)−2r(s))(mG(s)−1)r(s⎫)−g(s)−g(s)⋅B+[G(s)+]eds+σ(s)edW(s)⎨⎬0∫∫00mr(s)⎩⎭（） 命题1 模型（）在二次效用函数下的最优解为式（）。税收T(t)与政府支出G(t)、利率r(t)和初始债务B有关，并且受到扰动的影响。 0注：经过繁琐计算可验证（）式满足条件（）和（）。 下面讨论一种简化的情形。主观折现率与利率保持一致是一种粗略的假设，这g(t)与离散型模型中βR=1是一致的。当ρ(s)=r(s)时，e=1。故 tB(t)=B+σ(s)dW(s)， 0∫0则 1(ρ(t)−2r(t))(mG(t)−1)T(t)=−−(ρ(t)−2r(t)B(t)mm() t=G(t)+r(t)[B+σ(s)dW(s)].()0∫0通过上述分析可见，在二次效用函数的假设下，限定一些特殊条件，可以得到T(t)的显式表达。但是计算过程较繁琐。 29
华中科技大学硕士学位论文 其他效用函数的情形 除了二次函数，还有一些其他的常用效用函数，具有二次函数所没有的特点和优势。下面考虑CARA效用函数（常数绝对风险厌恶系数效用函数）。其计算过程要简洁的多。 CARA效用函数的一般形式为 1−αxU(x)=−e(α>0)， （） α其中 U′′(x)α=−， U′(x)为其常数绝对风险厌恶系数。 与上节做法类似，猜测值函数为 −ηBV(B)=−ξe， （） 其中ξ,η为待定系数。 由（）得 −αT−ηBU′=e=ξηe=V， （） B解出T为 1∗T=(ηB−lnξη) 。L ( B ) （） @α将（）~（）代入（）中，得 111−ηB−αT−ηB22−ηB−ρξe=−e+ξηe(G−ηB+lnξη+rB)−σξηeαα2 η111−ηB−ηB−ηB22=ξe(−)+ξe(G−ηB+lnξη+rB)+ξe(−ση)ααα2故 30
华中科技大学硕士学位论文 2ηηη122−ρ=−+G−B+lnξ+ηrB−σηααα2， 2ηηη122=(−+ηr)B−+ηG+lnξη−σηααα2则 2⎧η−+ηr=0⎪⎪α， ⎨α22⎪−ρα=−η+ηαG+ηlnξη−ση⎪⎩2可得参数满足 122η=αr=α(ρ+ηG−ση)+ηlnξη。 （） 2将（）式代入方程（）消去T得 1dB=(G+lnξη)dt+σdW， α故 tt1B=B+(G+lnξη)dt+σdW， （） 0∫∫0α从（）知 11ρ12lnξη=−−G+σαr， （） αααr2将（）式代入（）中可得 tt1ρ(s)α2B(t)=B+[−+σ(s)r(s)]ds+σ(s)dW(s)， 0∫∫0ααr(s)2故 1T(t)=[η(t)B(t)−lnξ(t)η(t)]α1=r(t)B(t)−lnξ(t)η (t)α1ρ(t)α2=r(t)B(t)−+−σ(t)r(t)+G(t)ααr(t)231
华中科技大学硕士学位论文 tt1ρ(s)α2=G(t)+r(t)B+r(t)[−+σ(s)r(s)]dt+r(t)σ(s)dW(s)0∫∫0ααr(s)2（） 1ρ(t)α2−+−σ(t)r(t)。ααr(t)2由以上分析，可以得到以下一些结论： 命题2 模型（）在CARA效用函数下的最优解为式（）。 命题3 政府支出G(t)的不断增大时，T(t)也随之增大。 因此，当政府花费持续增加时，必须要从民众手中征收更多的税款。这也支持了离散型中政府的短期支出剧增（如国家遭遇大规模的天灾、战争等）在长期内对税收有影响的结论。 命题4 若扰动项σ(t)dW(t)的值足够大，可以显著改变T(t)的轨道。 所以，引入随机项后对T(t)有实质的改变。 32
华中科技大学硕士学位论文 5 结束语 本文主要建立了随机连续时间税收模型。参照消费最优决策理论中的一个基准模型，从政府消费者而非个体消费者的角度出发，在模型中引入随机项，并推广至连续时间上，建立了随机连续时间税收模型，运用随机分析相关知识对简化后的模型进行求解，得到了两种效用函数下的最优解。 但是本文还存在许多不足之处，可从以下几个方面进行改进：一方面，可以进行数据分析，以检验结论是否正确、是否适用于实际情况；另一方面，模型的前提假设与实际情况有差距，过于简化。如没有考虑到税收的种类，如个人所得税会在一定程度抑制家庭成员工作、资产收入税会阻止人们储蓄。而税收种类不一样，对整个经济产生的效果是不一样的，这会影响税率的确定；模型中政府债券的回报率为固定值，而实际上回报率受很多因素影响，是个随机变量。因此可以在模型条件上进一步分析，建立更为贴近现实的模型；最后，本文涉及到许多宏观经济学、税收、财政政策等方面的知识，模型的解的背景意义解释欠缺深度。如能结合相关学科，必能得出更有实际意义的结论。 33
华中科技大学硕士学位论文 致 谢 两年的硕士研究生生活就要落下帷幕了，借着这次论文答辩的机会，我首先要特别地感谢我的授业导师胡晓山副教授，感谢两年来胡老师对我学习生活的悉心指导与严格要求，本文的完成从选题的把握到结果的论证更是得到了胡老师的悉心指导！其次，我要感谢概率统计系的每一位老师。两年来，他们为我讲授的每一门课程都开阔了我的眼界，提高了我的理论修养。特别要感谢为我们开设讨论课的刘继成老师的帮助，使我对分析问题的研讨方法有了更多的了解！ 初来的陌生和不习惯现在已经变成了不舍，想着即将离开这个渐渐熟悉和喜欢的校园，不免有些伤感。感谢随机分析方向的每一位同学，非常怀念一年多和你们一起学习讨论的日子，在和你们共同讨论的过程中，我对随机分析课程有了更多的认识和新思路。在这里，我要感谢邬文娟和李顺萍同学，很感谢她们对我的帮助和关心，让我在这两年里有了更为精彩的生活。 最后，我还要感谢我的父母对我多年的养育之恩，以及我的每一位亲人朋友和教育过我的所有老师们，非常感谢他们一直以来对我的支持与鼓励，没有他们，我不可能走到今天。在我以后的工作道路上，我将继续努力，不断奋斗，报答每一位关心我支持我的人！ 最后，我要感谢各位专家评委对本文的耐心审阅并希望能够提出宝贵意见！ 34
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