经济模型与应用软件
江西财经大学数学与管理工程系
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层次分析法(AHP)
层次分析法
层次分析法(AHP)首先是由T．L．SAATY在20世纪70年代提出来的，是系统工程中经常使用的一种评价与决策方法。它特别适用于处理那些多目标、多层次的复杂大系统问题和难于完全用定量方法来分析与决策的社会系统工程的复杂问题。它可以将人们的主观判断用数量形式来表达和处理，是一种定性和定量相结合的分析方法。
目前,层次分析法正越来越受到国内外学术界的重视，我国已经应用于地区经济规划，畜牧业发展战略，工业部门设置的系统分析等等方面，是一种新的、简洁的、实用而富有成效的决策方法之一。
使用层次分析法的关键问题是要搞清楚问题的背景和条件，要达到的目标、涉及的因素和解决问题的途径与方案等等。这就需要将问题概念化，构成概念之间的逻辑结构关系，即层次结构模型，然后通过建立判断矩阵，进行排序计算，最后就能得到满意的决策结果。
下面通过一个实际例子扼要介绍层次分析法的基本原理和步骤。
某工厂在扩大企业自主权后，有一笔企业留成利润要由厂
领导和职工代表大会决定如何使用。可以供选择的方案有：
(1) 作为奖金发给职工
(2) 扩建职工宿舍、食堂、托儿所等福利设施
(3) 办职工业余技术学校
(4) 建图书馆、俱乐部、文工团与体工队
(5) 引进技术设备进行企业技术改造
这些方案都有其合理的因素，但哪一个方案更能调动
职工的积极性，更能促进企业快速发展呢?这是厂领导和职
工代表大会所面临的需要分析决策的问题。
层次分析法（AHP）求解流程图
建立
层次
结构
分析
模型
构造
判断
矩阵
层次单
排序及
其一致
性检验
层次总
排序的
一致性
检验
层次
总排
序
层次分析法的基本步骤
一、建立层次结构分析模型
二、构造判断矩阵
三、层次单排序及其一致性检验
四、层次总排序
五、层次总排序的一致性检验
一、建立层次结构分析模型
在深入分析所面临的问题以后，应将问题所包含的因素划分为下面的层次，如目标层，准则层，指标层，方案层，措施层等等，用框图的形式说明层次的递阶结构与因素的从属关系。当某个层次包含的因素较多时，可以将该层次进一步划分为若干个层次。
对于上例，经过分析后，上面五个措施可以归结为三个方面的准则，即
(1)调动职工劳动积极性
(2) 提高企业技术水平；
(3) 改善职工物质文化生活。
以上三个准则都是以合理使用企业利润，促进企业发展为目的的。因此，整个层次结构分析模型可以分成三层：
最高层 (目的层)——合理使用利润，促进企业发展。
中间层 (各种使用企业留成利润方案所应当考虑的准则)——进一步调动广大职工劳动积极性，大力提高企业技术水平和尽力改善职工物质文化生活。
最低层（所考虑的五种措施）—选择最优方案。这种层次结构分析模型可用下图5- 3所示。
合理使用企业利润
促进企业发展
调动职
工劳动
积极性B1
提高企
业技术
水平B2
改善职工
物质文化
生活B3
发奖
金S1
扩大集
体福利
事业S2
办职工
业余技
校S3
建图书馆
俱乐部文
体工队S4
引进新
技术设
备S5
目
标（A）
层
准
则（B）
层
措施层
(S)
层次分析法的基本步骤
一、建立层次结构分析模型
二、构造判断矩阵
三、层次单排序及其一致性检验
四、层次总排序
五、层次总排序的一致性检验
二、构造判断矩阵
判断矩阵是层次分析法的计算基础，判断矩阵元素的值反映了人们对各因素相对重要性的认识，也直接影响决策的效果。判断矩阵的元素一般采用1~9及其倒数的标度方法。
表示两个因素相比，具有同样重要性
表示两个因素相比，一个比另一个稍微重要
表示两个因素相比，一个比另一个明显重要
表示两个因素相比，一个比另一个强烈重要
表示两个因素相比，一个比另一个极端重要
表示上述两相邻判断的中值
若因素i与j比较得判断Bij,则因素j与i 比较的判断为Bji=1/Bij
1
3
5
7
9
2，4，6，8
倒数
含义
标度
根据上面的例子，我们假定厂长或职工代表大会根据实际情况构造的数值判断矩阵如下：
（1）相对于合理使用企业利润，促进企业发展的总目标，各考虑准则之间的相对重要性比较 (判断矩阵A—B)：
矩阵中的数值为两个准则相对于总目标重要性比较的数值判断。例如第二行第一列元素B21=5表示相对于企业发展来说，提高企业技术水平准则B2同调动职工劳动积极性准则(B1)相比，前者比后者明显重要。其余类推。
层次模型
(2) 相对于调动职工劳动积极性准则，各方案之间的重要性比较 (判断矩阵B1—S)：
(3)相对于提高企业技术水平准则，各方案之间的重要性比较 (判断矩阵B2—S)：
层次模型
（4）相对于改善职工物质文化生活准则，各方案之间的重要性比较 (判断矩阵B3—S)：
层次模型
层次分析法的基本步骤
一、建立层次结构分析模型
二、构造判断矩阵
三、层次单排序及其一致性检验
四、层次总排序
五、层次总排序的一致性检验
三、层次单排序及其一致性检验
所谓单排序是指本层各因素对上层某一因素的重要性次序。它由判断矩阵的特征向量表示。例如，判断矩阵A的特征问题AW=λmaxW的解向量W，经规一化后即为同一层次相应因素对于上一层某因素相对重要性的排序权值，这一过程就称为层次单排序。
为保证层次单排序的可信性，需要对判断矩阵一致性进行检验，亦即要计算随机一致性比率。
一致性指标
一致性指标
0
0
RI
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
判断矩阵阶数n
随机一致性指标
一致性比率
只有CR<时，层次单排序的结果才认为是满意的，否则需要调整判断矩阵元素的取值。
0
0
RI
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
判断矩阵阶数n
一致性指标
随机一致性指标
一致性比率
对于例子，判断矩阵A-B相对重要性权值及λmax, CR分别为：
判断矩阵B1—S相对重要性权值及λmax，CR分别为：
判断矩阵B2—S相对重要性权值及λmax，CR分别为：
判断矩阵B3—S相对重要性权值及λmax，CR分别为：
显然，符合一致性检验要求
层次分析法的基本步骤
一、建立层次结构分析模型
二、构造判断矩阵
三、层次单排序及其一致性检验
四、层次总排序
五、层次总排序的一致性检验
四、层次总排序
计算同一层次所有因素对于最上层相对重要性的排序权值，称为层次总排序，这一过程是由最高层次到最低层次逐层进行的。
对于例子，各方案相对于总目标的层次总排序计算如下表
W1=
W2=
W3=
W4=
W5=
S层次总排
序权重
4
3
1
5
2
0
0
S1
S2
S3
S4
S5
2
1
3
序号
B3
B2
B1
层次B对层次
A的排序
层次S对
层次B的排序
层次分析法的基本步骤
一、建立层次结构分析模型
二、构造判断矩阵
三、层次单排序及其一致性检验
四、层次总排序
五、层次总排序的一致性检验
五、层次总排序的组合一致性检验
在层次分析法的整个过程中，除了对每一个判断矩阵进行一致性检验外，还要进行所谓的组合一致性检验。组合一致性检验可以逐层进行。
定义
那么，第p层对第一层的组合一致性比率为
只有当CR<时，认为层次总排序结果具有满意的一致性；否则需要重新调整判断矩阵的元素取值。
对于该例，通过计算得CR=<，因此决策结果是可信的，即最优方案为方案3。
W1=
W2=
W3=
W4=
W5=
S层次总排
序权重
4
3
1
5
2
0
0
S1
S2
S3
S4
S5
2
1
3
序号
B3
B2
B1
层次B对层次
A的排序
层次S对
层次B的排序
(1) 作为奖金发给职工
(2) 扩建职工宿舍、食堂、托儿所等福利设施
(3) 办职工业余技术学校
(4) 建图书馆、俱乐部、文工团与体工队
(5) 引进技术设备进行企业技术改造
