概率与数理统计宁同科Email:tkning@上海师范大学商学院March3,2014宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结PartIII条件概率宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结1条件概率2全概率公式和贝叶斯公式3事件独立性4小结宁同科概率与数理统计
(1).抛硬币试验，要求均匀的硬币；(2).掷骰子试验，要求骰子必须是均匀的正的立方体等.在概率论中，其实任何的试验都有一定的先决条件，这些条件是已知的，被看作是固定不变的，在这个前提下要计算的概率称为“无条件概率”。在一个试验里，如果再加入其他的条件或假定，然后在这些条件或假定下再去求一个事件的概率，就是“条件概率”.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率什么是条件概率？我们在讲随机试验时，其实都会提前给定一些条件:宁同科概率与数理统计
(2).掷骰子试验，要求骰子必须是均匀的正的立方体等.在概率论中，其实任何的试验都有一定的先决条件，这些条件是已知的，被看作是固定不变的，在这个前提下要计算的概率称为“无条件概率”。在一个试验里，如果再加入其他的条件或假定，然后在这些条件或假定下再去求一个事件的概率，就是“条件概率”.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率什么是条件概率？我们在讲随机试验时，其实都会提前给定一些条件:(1).抛硬币试验，要求均匀的硬币；宁同科概率与数理统计
在概率论中，其实任何的试验都有一定的先决条件，这些条件是已知的，被看作是固定不变的，在这个前提下要计算的概率称为“无条件概率”。在一个试验里，如果再加入其他的条件或假定，然后在这些条件或假定下再去求一个事件的概率，就是“条件概率”.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率什么是条件概率？我们在讲随机试验时，其实都会提前给定一些条件:(1).抛硬币试验，要求均匀的硬币；(2).掷骰子试验，要求骰子必须是均匀的正的立方体等.宁同科概率与数理统计
在一个试验里，如果再加入其他的条件或假定，然后在这些条件或假定下再去求一个事件的概率，就是“条件概率”.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率什么是条件概率？我们在讲随机试验时，其实都会提前给定一些条件:(1).抛硬币试验，要求均匀的硬币；(2).掷骰子试验，要求骰子必须是均匀的正的立方体等.在概率论中，其实任何的试验都有一定的先决条件，这些条件是已知的，被看作是固定不变的，在这个前提下要计算的概率称为“无条件概率”。宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率什么是条件概率？我们在讲随机试验时，其实都会提前给定一些条件:(1).抛硬币试验，要求均匀的硬币；(2).掷骰子试验，要求骰子必须是均匀的正的立方体等.在概率论中，其实任何的试验都有一定的先决条件，这些条件是已知的，被看作是固定不变的，在这个前提下要计算的概率称为“无条件概率”。在一个试验里，如果再加入其他的条件或假定，然后在这些条件或假定下再去求一个事件的概率，就是“条件概率”.宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率什么是条件概率？我们在讲随机试验时，其实都会提前给定一些条件:(1).抛硬币试验，要求均匀的硬币；(2).掷骰子试验，要求骰子必须是均匀的正的立方体等.在概率论中，其实任何的试验都有一定的先决条件，这些条件是已知的，被看作是固定不变的，在这个前提下要计算的概率称为“无条件概率”。在一个试验里，如果再加入其他的条件或假定，然后在这些条件或假定下再去求一个事件的概率，就是“条件概率”.宁同科概率与数理统计
解：样本空间𝑆={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻,𝑇𝑇},事件𝐴={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻},𝑃(𝐴)=34;事件𝐵={𝐻𝐻,𝑇𝑇},𝑃(𝐵)=12;事件𝐴𝐵={𝐻𝐻},𝑃(𝐴𝐵)=14;事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为𝑃(𝐵|𝐴),则𝑃(𝐵|𝐴)=1=1/4=𝑃(𝐴𝐵)3/4𝑃(𝐴̸=𝑃(𝐵)=)2条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率Example(例1.)将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.用Ｈ代表正面，Ｔ代表反面．宁同科概率与数理统计
事件𝐴={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻},𝑃(𝐴)=34;事件𝐵={𝐻𝐻,𝑇𝑇},𝑃(𝐵)=12;事件𝐴𝐵={𝐻𝐻},𝑃(𝐴𝐵)=14;事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为𝑃(𝐵|𝐴),则𝑃(𝐵|𝐴)=1=1/4=𝑃(𝐴𝐵)3/4𝑃(𝐴̸=𝑃(𝐵)=)2条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率Example(例1.)将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.用Ｈ代表正面，Ｔ代表反面．解：样本空间𝑆={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻,𝑇𝑇},宁同科概率与数理统计
𝑃3(𝐴)=4;事件𝐵={𝐻𝐻,𝑇𝑇},𝑃(𝐵)=12;事件𝐴𝐵={𝐻𝐻},𝑃(𝐴𝐵)=14;事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为𝑃(𝐵|𝐴),则𝑃(𝐵|𝐴)=1=1/4=𝑃(𝐴𝐵)3/4𝑃(𝐴̸=𝑃(𝐵)=)2条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率Example(例1.)将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.用Ｈ代表正面，Ｔ代表反面．解：样本空间𝑆={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻,𝑇𝑇},事件𝐴={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻},宁同科概率与数理统计
事件𝐵={𝐻𝐻,𝑇𝑇},𝑃(𝐵)=12;事件𝐴𝐵={𝐻𝐻},𝑃(𝐴𝐵)=14;事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为𝑃(𝐵|𝐴),则𝑃(𝐵|𝐴)=1=1/4=𝑃(𝐴𝐵)3/4𝑃(𝐴̸=𝑃(𝐵)=)2条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率Example(例1.)将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.用Ｈ代表正面，Ｔ代表反面．解：样本空间𝑆={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻,𝑇𝑇},事件𝐴={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻}3,𝑃(𝐴)=4;宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐵)=12;事件𝐴𝐵={𝐻𝐻},𝑃(𝐴𝐵)=14;事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为𝑃(𝐵|𝐴),则𝑃(𝐵|𝐴)=1=1/4=𝑃(𝐴𝐵)3/4𝑃(𝐴̸=𝑃(𝐵)=)2条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率Example(例1.)将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.用Ｈ代表正面，Ｔ代表反面．解：样本空间𝑆={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻,𝑇𝑇},事件𝐴={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻},𝑃(𝐴)=34;事件𝐵={𝐻𝐻,𝑇𝑇},宁同科概率与数理统计
事件𝐴𝐵={𝐻𝐻},𝑃(𝐴𝐵)=14;事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为𝑃(𝐵|𝐴),则𝑃(𝐵|𝐴)=1=1/4=𝑃(𝐴𝐵)3/4𝑃(𝐴̸=𝑃(𝐵)=)2条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率Example(例1.)将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.用Ｈ代表正面，Ｔ代表反面．解：样本空间𝑆={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻,𝑇𝑇},事件𝐴={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻},𝑃(𝐴)=34;事件𝐵={𝐻𝐻,𝑇𝑇},𝑃(𝐵)=12;宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐴𝐵)=14;事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为𝑃(𝐵|𝐴),则𝑃(𝐵|𝐴)=1=1/4=𝑃(𝐴𝐵)3/4𝑃(𝐴̸=𝑃(𝐵)=)2条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率Example(例1.)将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.用Ｈ代表正面，Ｔ代表反面．解：样本空间𝑆={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻,𝑇𝑇},事件𝐴={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻},𝑃(𝐴)=34;事件𝐵={𝐻𝐻,𝑇𝑇},𝑃(𝐵)=12;事件𝐴𝐵={𝐻𝐻},宁同科概率与数理统计
事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为𝑃(𝐵|𝐴),则𝑃(𝐵|𝐴)=1=1/4=𝑃(𝐴𝐵)3/4𝑃(𝐴̸=𝑃(𝐵)=)2条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率Example(例1.)将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.用Ｈ代表正面，Ｔ代表反面．解：样本空间𝑆={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻,𝑇𝑇},事件𝐴={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻},𝑃(𝐴)=34;事件𝐵={𝐻𝐻,𝑇𝑇},𝑃(𝐵)=12;事件𝐴𝐵={𝐻𝐻},𝑃(𝐴𝐵)=14;宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结条件概率Example(例1.)将一枚硬币抛掷两次,观察其出现正反两面的情况,设事件A为“至少有一次为正面”,事件B为“两次掷出同一面”.现在来求已知事件A已经发生的条件下事件B发生的概率.用Ｈ代表正面，Ｔ代表反面．解：样本空间𝑆={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻,𝑇𝑇},事件𝐴={𝐻𝐻,𝐻𝑇,𝑇𝐻},𝑃(𝐴)=34;事件𝐵={𝐻𝐻,𝑇𝑇},𝑃(𝐵)=12;事件𝐴𝐵={𝐻𝐻},𝑃(𝐴𝐵)=14;事件A已经发生的条件下事件B发生的概率,记为𝑃(𝐵|𝐴),则𝑃(𝐵|𝐴)=1=1/4=𝑃(𝐴𝐵)3/4𝑃(𝐴̸=𝑃(𝐵)=)2宁同科概率与数理统计
条件𝑃(·|𝐴)概率满足:1非负性∀𝐵,𝑃(𝐵|𝐴)≥02规范性𝑃(𝑆|𝐴)=13可列可加性设若𝐵1,𝐵2,···是两两互不相容的事件,且𝐵𝑖𝐵𝑗=𝜑,𝑖̸=𝑗,𝑖,𝑗=1,2,···,则⋃︁∞𝑃(𝐵𝑖|𝐴)=𝑃(𝐵1|𝐴)+𝑃(𝐵2|𝐴)+···.𝑖=1因此条件概率也是概率的一种。4𝑃(𝐵|𝐴)=1−𝑃(?¯?|𝐴)条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Definition设A和B为两个事件，𝑃(𝐴)>0，称𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)为在事件A发生𝑃(𝐴)的条件下(给定事件A)事件B发生的概率。宁同科概率与数理统计
2规范性𝑃(𝑆|𝐴)=13可列可加性设若𝐵1,𝐵2,···是两两互不相容的事件,且𝐵𝑖𝐵𝑗=𝜑,𝑖̸=𝑗,𝑖,𝑗=1,2,···,则⋃︁∞𝑃(𝐵𝑖|𝐴)=𝑃(𝐵1|𝐴)+𝑃(𝐵2|𝐴)+···.𝑖=1因此条件概率也是概率的一种。4𝑃(𝐵|𝐴)=1−𝑃(?¯?|𝐴)条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Definition设A和B为两个事件，𝑃(𝐴)>0，称𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)为在事件A发生𝑃(𝐴)的条件下(给定事件A)事件B发生的概率。条件𝑃(·|𝐴)概率满足:1非负性∀𝐵,𝑃(𝐵|𝐴)≥0宁同科概率与数理统计
3可列可加性设若𝐵1,𝐵2,···是两两互不相容的事件,且𝐵𝑖𝐵𝑗=𝜑,𝑖̸=𝑗,𝑖,𝑗=1,2,···,则⋃︁∞𝑃(𝐵𝑖|𝐴)=𝑃(𝐵1|𝐴)+𝑃(𝐵2|𝐴)+···.𝑖=1因此条件概率也是概率的一种。4𝑃(𝐵|𝐴)=1−𝑃(?¯?|𝐴)条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Definition设A和B为两个事件，𝑃(𝐴)>0，称𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴为在事件A发生)的条件下(给定事件A)事件B发生的概率。条件𝑃(·|𝐴)概率满足:1非负性∀𝐵,𝑃(𝐵|𝐴)≥02规范性𝑃(𝑆|𝐴)=1宁同科概率与数理统计
因此条件概率也是概率的一种。4𝑃(𝐵|𝐴)=1−𝑃(?¯?|𝐴)条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Definition设A和B为两个事件，𝑃(𝐴)>0，称𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴为在事件A发生)的条件下(给定事件A)事件B发生的概率。条件𝑃(·|𝐴)概率满足:1非负性∀𝐵,𝑃(𝐵|𝐴)≥02规范性𝑃(𝑆|𝐴)=13可列可加性设若𝐵1,𝐵2,···是两两互不相容的事件,且𝐵𝑖𝐵𝑗=𝜑,𝑖̸=𝑗,𝑖,𝑗=1,2,···,则⋃︁∞𝑃(𝐵𝑖|𝐴)=𝑃(𝐵1|𝐴)+𝑃(𝐵2|𝐴)+···.𝑖=1宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Definition设A和B为两个事件，𝑃(𝐴)>0，称𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴为在事件A发生)的条件下(给定事件A)事件B发生的概率。条件𝑃(·|𝐴)概率满足:1非负性∀𝐵,𝑃(𝐵|𝐴)≥02规范性𝑃(𝑆|𝐴)=13可列可加性设若𝐵1,𝐵2,···是两两互不相容的事件,且𝐵𝑖𝐵𝑗=𝜑,𝑖̸=𝑗,𝑖,𝑗=1,2,···,则⋃︁∞𝑃(𝐵𝑖|𝐴)=𝑃(𝐵1|𝐴)+𝑃(𝐵2|𝐴)+···.𝑖=1因此条件概率也是概率的一种。4𝑃(𝐵|𝐴)=1−𝑃(?¯?|𝐴)宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Definition设A和B为两个事件，𝑃(𝐴)>0，称𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)𝑃(𝐴为在事件A发生)的条件下(给定事件A)事件B发生的概率。条件𝑃(·|𝐴)概率满足:1非负性∀𝐵,𝑃(𝐵|𝐴)≥02规范性𝑃(𝑆|𝐴)=13可列可加性设若𝐵1,𝐵2,···是两两互不相容的事件,且𝐵𝑖𝐵𝑗=𝜑,𝑖̸=𝑗,𝑖,𝑗=1,2,···,则⋃︁∞𝑃(𝐵𝑖|𝐴)=𝑃(𝐵1|𝐴)+𝑃(𝐵2|𝐴)+···.𝑖=1因此条件概率也是概率的一种。4𝑃(𝐵|𝐴)=1−𝑃(?¯?|𝐴)宁同科概率与数理统计
解：我们用𝑏表示男孩，𝑔表示女孩，则样本空间为𝑆={(𝑏𝑏),(𝑏𝑔),(𝑔𝑏),(𝑔𝑔)}.用𝐴表示有一个男孩的家庭，则𝐴={(𝑏𝑏),(𝑏𝑔),(𝑔𝑏)};用𝐵表示有两个男孩的家庭，则𝐵={(𝑏𝑏)};则所要求的概率为𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)1/4𝑃(𝐴==1.)3/43条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例2.)考虑有两个孩子的家庭，假定生男孩和生女孩是等可能的。求：在随机抽样中发现一个家庭有一个男孩的情况下它还有一个男孩的概率。宁同科概率与数理统计
𝑆={(𝑏𝑏),(𝑏𝑔),(𝑔𝑏),(𝑔𝑔)}.用𝐴表示有一个男孩的家庭，则𝐴={(𝑏𝑏),(𝑏𝑔),(𝑔𝑏)};用𝐵表示有两个男孩的家庭，则𝐵={(𝑏𝑏)};则所要求的概率为𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)1/4𝑃(𝐴==1.)3/43条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例2.)考虑有两个孩子的家庭，假定生男孩和生女孩是等可能的。求：在随机抽样中发现一个家庭有一个男孩的情况下它还有一个男孩的概率。解：我们用𝑏表示男孩，𝑔表示女孩，则样本空间为宁同科概率与数理统计
用𝐴表示有一个男孩的家庭，则𝐴={(𝑏𝑏),(𝑏𝑔),(𝑔𝑏)};用𝐵表示有两个男孩的家庭，则𝐵={(𝑏𝑏)};则所要求的概率为𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)1/4𝑃(𝐴==1.)3/43条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例2.)考虑有两个孩子的家庭，假定生男孩和生女孩是等可能的。求：在随机抽样中发现一个家庭有一个男孩的情况下它还有一个男孩的概率。解：我们用𝑏表示男孩，𝑔表示女孩，则样本空间为𝑆={(𝑏𝑏),(𝑏𝑔),(𝑔𝑏),(𝑔𝑔)}.宁同科概率与数理统计
用𝐵表示有两个男孩的家庭，则𝐵={(𝑏𝑏)};则所要求的概率为𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)1/4𝑃(𝐴==1.)3/43条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例2.)考虑有两个孩子的家庭，假定生男孩和生女孩是等可能的。求：在随机抽样中发现一个家庭有一个男孩的情况下它还有一个男孩的概率。解：我们用𝑏表示男孩，𝑔表示女孩，则样本空间为𝑆={(𝑏𝑏),(𝑏𝑔),(𝑔𝑏),(𝑔𝑔)}.用𝐴表示有一个男孩的家庭，则𝐴={(𝑏𝑏),(𝑏𝑔),(𝑔𝑏)};宁同科概率与数理统计
则所要求的概率为𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)1/4𝑃(𝐴==1.)3/43条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例2.)考虑有两个孩子的家庭，假定生男孩和生女孩是等可能的。求：在随机抽样中发现一个家庭有一个男孩的情况下它还有一个男孩的概率。解：我们用𝑏表示男孩，𝑔表示女孩，则样本空间为𝑆={(𝑏𝑏),(𝑏𝑔),(𝑔𝑏),(𝑔𝑔)}.用𝐴表示有一个男孩的家庭，则𝐴={(𝑏𝑏),(𝑏𝑔),(𝑔𝑏)};用𝐵表示有两个男孩的家庭，则𝐵={(𝑏𝑏)};宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例2.)考虑有两个孩子的家庭，假定生男孩和生女孩是等可能的。求：在随机抽样中发现一个家庭有一个男孩的情况下它还有一个男孩的概率。解：我们用𝑏表示男孩，𝑔表示女孩，则样本空间为𝑆={(𝑏𝑏),(𝑏𝑔),(𝑔𝑏),(𝑔𝑔)}.用𝐴表示有一个男孩的家庭，则𝐴={(𝑏𝑏),(𝑏𝑔),(𝑔𝑏)};用𝐵表示有两个男孩的家庭，则𝐵={(𝑏𝑏)};则所要求的概率为𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)1/4𝑃(𝐴==1.)3/43宁同科概率与数理统计
Corollary设𝐴1,𝐴2,···,𝐴𝑛,(𝑛≥2),且𝑃(𝐴1𝐴2···𝐴𝑛−1)>0,则有𝑃(𝐴1𝐴2···𝐴𝑛)=𝑃(𝐴𝑛|𝐴1𝐴2···𝐴𝑛−1)𝑃(𝐴𝑛−1|𝐴1𝐴2···𝐴𝑛−2)···𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)上述式子称为乘法公式要注意表示条件的事件是如何一步一步的“相乘”的。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结乘法定理Theorem设𝑃(𝐴)>0,则有𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)宁同科概率与数理统计
上述式子称为乘法公式要注意表示条件的事件是如何一步一步的“相乘”的。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结乘法定理Theorem设𝑃(𝐴)>0,则有𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)Corollary设𝐴1,𝐴2,···,𝐴𝑛,(𝑛≥2),且𝑃(𝐴1𝐴2···𝐴𝑛−1)>0,则有𝑃(𝐴1𝐴2···𝐴𝑛)=𝑃(𝐴𝑛|𝐴1𝐴2···𝐴𝑛−1)𝑃(𝐴𝑛−1|𝐴1𝐴2···𝐴𝑛−2)···𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)宁同科概率与数理统计
要注意表示条件的事件是如何一步一步的“相乘”的。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结乘法定理Theorem设𝑃(𝐴)>0,则有𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)Corollary设𝐴1,𝐴2,···,𝐴𝑛,(𝑛≥2),且𝑃(𝐴1𝐴2···𝐴𝑛−1)>0,则有𝑃(𝐴1𝐴2···𝐴𝑛)=𝑃(𝐴𝑛|𝐴1𝐴2···𝐴𝑛−1)𝑃(𝐴𝑛−1|𝐴1𝐴2···𝐴𝑛−2)···𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)上述式子称为乘法公式宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结乘法定理Theorem设𝑃(𝐴)>0,则有𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐵|𝐴)𝑃(𝐴)Corollary设𝐴1,𝐴2,···,𝐴𝑛,(𝑛≥2),且𝑃(𝐴1𝐴2···𝐴𝑛−1)>0,则有𝑃(𝐴1𝐴2···𝐴𝑛)=𝑃(𝐴𝑛|𝐴1𝐴2···𝐴𝑛−1)𝑃(𝐴𝑛−1|𝐴1𝐴2···𝐴𝑛−2)···𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)上述式子称为乘法公式要注意表示条件的事件是如何一步一步的“相乘”的。宁同科概率与数理统计
解：假设产品标有序号，1，2，3位一等品，4为三等品，则从中依次取两件产品的随机试验的样本空间可以表示为：𝑆={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}事件𝐴={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}事件𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}事件𝐴𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}因此𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)12𝑃(𝐴=6/)9/12=69=23条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例3.)一盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率𝑃(𝐵|𝐴)。宁同科概率与数理统计
𝑆={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}事件𝐴={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}事件𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}事件𝐴𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}因此𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)12𝑃(𝐴=6/)9/12=69=23条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例3.)一盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率𝑃(𝐵|𝐴)。解：假设产品标有序号，1，2，3位一等品，4为三等品，则从中依次取两件产品的随机试验的样本空间可以表示为：宁同科概率与数理统计
事件𝐴={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}事件𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}事件𝐴𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}因此𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)12𝑃(𝐴=6/)9/12=69=23条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例3.)一盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率𝑃(𝐵|𝐴)。解：假设产品标有序号，1，2，3位一等品，4为三等品，则从中依次取两件产品的随机试验的样本空间可以表示为：𝑆={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}宁同科概率与数理统计
事件𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}事件𝐴𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}因此𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)12𝑃(𝐴=6/)9/12=69=23条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例3.)一盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率𝑃(𝐵|𝐴)。解：假设产品标有序号，1，2，3位一等品，4为三等品，则从中依次取两件产品的随机试验的样本空间可以表示为：𝑆={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}事件𝐴={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}宁同科概率与数理统计
事件𝐴𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}因此𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)12𝑃(𝐴=6/)9/12=69=23条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例3.)一盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率𝑃(𝐵|𝐴)。解：假设产品标有序号，1，2，3位一等品，4为三等品，则从中依次取两件产品的随机试验的样本空间可以表示为：𝑆={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}事件𝐴={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}事件𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}宁同科概率与数理统计
因此𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)12𝑃(𝐴=6/)9/12=69=23条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例3.)一盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率𝑃(𝐵|𝐴)。解：假设产品标有序号，1，2，3位一等品，4为三等品，则从中依次取两件产品的随机试验的样本空间可以表示为：𝑆={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}事件𝐴={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}事件𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}事件𝐴𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例3.)一盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率𝑃(𝐵|𝐴)。解：假设产品标有序号，1，2，3位一等品，4为三等品，则从中依次取两件产品的随机试验的样本空间可以表示为：𝑆={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}事件𝐴={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}事件𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}事件𝐴𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}因此𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)12𝑃(𝐴=6/)9/12=69=23宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例3.)一盒子装有4只产品，其中有3只一等品、1只二等品。从中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样。设事件A为“第一次取到的是一等品”、事件B为“第二次取到的是一等品”。试求条件概率𝑃(𝐵|𝐴)。解：假设产品标有序号，1，2，3位一等品，4为三等品，则从中依次取两件产品的随机试验的样本空间可以表示为：𝑆={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}事件𝐴={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4)}事件𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)}事件𝐴𝐵={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)}因此𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐴𝐵)12𝑃(𝐴=6/)9/12=69=23宁同科概率与数理统计
解：用𝐴𝑖表示第𝑖(1≤𝑖≤5)个人抓到“有”这一事件。则𝑃(𝐴1)=25𝑃(𝐴2)=𝑃(𝐴2𝑆)=𝑃(𝐴2𝐴1∪𝐴¯21)=𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=1×2+1×3=245255如何计算𝑃(𝐴3)哪？条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结抓阄是否与次序有关?Example(例4.)五个阄，其中两个阄内写着“有”字，三个阄内不写字，五人依次抓取，问各人抓到“有”字阄的概率是否相同？宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐴2)=𝑃(𝐴2𝑆)=𝑃(𝐴2𝐴1∪𝐴¯21)=𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=1×2+1×3=245255如何计算𝑃(𝐴3)哪？条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结抓阄是否与次序有关?Example(例4.)五个阄，其中两个阄内写着“有”字，三个阄内不写字，五人依次抓取，问各人抓到“有”字阄的概率是否相同？解：用𝐴𝑖表示第𝑖(1≤𝑖≤5)个人抓到“有”这一事件。则𝑃(𝐴1)=25宁同科概率与数理统计
如何计算𝑃(𝐴3)哪？条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结抓阄是否与次序有关?Example(例4.)五个阄，其中两个阄内写着“有”字，三个阄内不写字，五人依次抓取，问各人抓到“有”字阄的概率是否相同？解：用𝐴𝑖表示第𝑖(1≤𝑖≤5)个人抓到“有”这一事件。则𝑃(𝐴1)=25𝑃(𝐴2)=𝑃(𝐴2𝑆)=𝑃(𝐴2𝐴1∪𝐴¯21)=𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=1×2+1×3=245255宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结抓阄是否与次序有关?Example(例4.)五个阄，其中两个阄内写着“有”字，三个阄内不写字，五人依次抓取，问各人抓到“有”字阄的概率是否相同？解：用𝐴𝑖表示第𝑖(1≤𝑖≤5)个人抓到“有”这一事件。则𝑃(𝐴1)=25𝑃(𝐴2)=𝑃(𝐴2𝑆)=𝑃(𝐴2𝐴1∪𝐴¯21)=𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=1×2+1×3=245255如何计算𝑃(𝐴3)哪？宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结抓阄是否与次序有关?Example(例4.)五个阄，其中两个阄内写着“有”字，三个阄内不写字，五人依次抓取，问各人抓到“有”字阄的概率是否相同？解：用𝐴𝑖表示第𝑖(1≤𝑖≤5)个人抓到“有”这一事件。则𝑃(𝐴1)=25𝑃(𝐴2)=𝑃(𝐴2𝑆)=𝑃(𝐴2𝐴1∪𝐴¯21)=𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=1×2+1×3=245255如何计算𝑃(𝐴3)哪？宁同科概率与数理统计
所以𝑃(𝐴3)=𝑃(𝐴3𝑆)=𝑃(𝐴3𝐴1𝐴2)+𝑃(𝐴3𝐴¯12)+𝑃(𝐴¯31𝐴2)+𝑃(𝐴¯¯312)=𝑃(𝐴3|𝐴1𝐴2)𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴3|¯1𝐴2)𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=𝑃(𝐴3|𝐴¯12)𝑃(¯2|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=1×1×3+1×3×2+2×1×3325345345=25依此类推可以得到𝑃(𝐴4)=𝑃(𝐴5)=25故抓阄与次序无关.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结由于𝑆=𝐴¯¯¯1𝐴2∪𝐴12∪¯1𝐴2∪12宁同科概率与数理统计
依此类推可以得到𝑃(𝐴4)=𝑃(𝐴5)=25故抓阄与次序无关.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结由于𝑆=𝐴1𝐴2∪𝐴¯12∪¯1𝐴2∪¯¯12所以𝑃(𝐴3)=𝑃(𝐴3𝑆)=𝑃(𝐴3𝐴1𝐴2)+𝑃(𝐴3𝐴¯12)+𝑃(𝐴¯31𝐴2)+𝑃(𝐴¯¯312)=𝑃(𝐴3|𝐴1𝐴2)𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴3|¯1𝐴2)𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=𝑃(𝐴3|𝐴¯12)𝑃(¯2|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=1×1×3+1×3×2+2×1×3325345345=25宁同科概率与数理统计
故抓阄与次序无关.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结由于𝑆=𝐴1𝐴2∪𝐴¯12∪¯1𝐴2∪¯¯12所以𝑃(𝐴3)=𝑃(𝐴3𝑆)=𝑃(𝐴3𝐴1𝐴2)+𝑃(𝐴3𝐴¯12)+𝑃(𝐴¯31𝐴2)+𝑃(𝐴¯¯312)=𝑃(𝐴3|𝐴1𝐴2)𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴3|¯1𝐴2)𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=𝑃(𝐴3|𝐴¯12)𝑃(¯2|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=1×1×3+1×3×2+2×1×3325345345=25依此类推可以得到𝑃(𝐴4)=𝑃(𝐴5)=25宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结由于𝑆=𝐴1𝐴2∪𝐴¯12∪¯1𝐴2∪¯¯12所以𝑃(𝐴3)=𝑃(𝐴3𝑆)=𝑃(𝐴3𝐴1𝐴2)+𝑃(𝐴3𝐴¯12)+𝑃(𝐴¯31𝐴2)+𝑃(𝐴¯¯312)=𝑃(𝐴3|𝐴1𝐴2)𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴3|¯1𝐴2)𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=𝑃(𝐴3|𝐴¯12)𝑃(¯2|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐴3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=1×1×3+1×3×2+2×1×3325345345=25依此类推可以得到𝑃(𝐴4)=𝑃(𝐴5)=25故抓阄与次序无关.宁同科概率与数理统计
解：用𝐴𝑖,(𝑖=1,2,3,4)表示事件第𝑖次取到红球。则所要求的概率为𝑃(𝐴1𝐴¯¯234)𝑃(𝐴¯1𝐴¯234)=𝑃(¯4|𝐴1𝐴¯23)𝑃(¯3|𝐴1𝐴2)𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)=𝑡+𝑎𝑟+𝑡+×𝑡×𝑟+𝑎3𝑎𝑟+𝑡+2𝑎𝑟+𝑡+×𝑟𝑎𝑟+𝑡此模型被用来作为描述传染病的数学模型.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例5.)设袋中装有r只红球，t只白球。每次自袋中任取一只球，观察其颜色后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取四次，试求第一、二次取到红球且第三次、四次取到白球的概率宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐴¯1𝐴¯234)=𝑃(¯4|𝐴1𝐴¯23)𝑃(¯3|𝐴1𝐴2)𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)=𝑡+𝑎𝑟+𝑡+×𝑡×𝑟+𝑎3𝑎𝑟+𝑡+2𝑎𝑟+𝑡+×𝑟𝑎𝑟+𝑡此模型被用来作为描述传染病的数学模型.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例5.)设袋中装有r只红球，t只白球。每次自袋中任取一只球，观察其颜色后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取四次，试求第一、二次取到红球且第三次、四次取到白球的概率解：用𝐴𝑖,(𝑖=1,2,3,4)表示事件第𝑖次取到红球。则所要求的概率为𝑃(𝐴¯¯1𝐴234)宁同科概率与数理统计
此模型被用来作为描述传染病的数学模型.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例5.)设袋中装有r只红球，t只白球。每次自袋中任取一只球，观察其颜色后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取四次，试求第一、二次取到红球且第三次、四次取到白球的概率解：用𝐴𝑖,(𝑖=1,2,3,4)表示事件第𝑖次取到红球。则所要求的概率为𝑃(𝐴1𝐴¯¯234)𝑃(𝐴¯1𝐴¯234)=𝑃(¯4|𝐴1𝐴¯23)𝑃(¯3|𝐴1𝐴2)𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)=𝑡+𝑎𝑟+𝑡+×𝑡×𝑟+𝑎×𝑟3𝑎𝑟+𝑡+2𝑎𝑟+𝑡+𝑎𝑟+𝑡宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例5.)设袋中装有r只红球，t只白球。每次自袋中任取一只球，观察其颜色后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取四次，试求第一、二次取到红球且第三次、四次取到白球的概率解：用𝐴𝑖,(𝑖=1,2,3,4)表示事件第𝑖次取到红球。则所要求的概率为𝑃(𝐴1𝐴¯¯234)𝑃(𝐴¯1𝐴¯234)=𝑃(¯4|𝐴1𝐴¯23)𝑃(¯3|𝐴1𝐴2)𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)=𝑡+𝑎𝑟+𝑡+×𝑡×𝑟+𝑎3𝑎𝑟+𝑡+2𝑎𝑟+𝑡+×𝑟𝑎𝑟+𝑡此模型被用来作为描述传染病的数学模型.宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例5.)设袋中装有r只红球，t只白球。每次自袋中任取一只球，观察其颜色后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球。若在袋中连续取四次，试求第一、二次取到红球且第三次、四次取到白球的概率解：用𝐴𝑖,(𝑖=1,2,3,4)表示事件第𝑖次取到红球。则所要求的概率为𝑃(𝐴1𝐴¯¯234)𝑃(𝐴¯1𝐴¯234)=𝑃(¯4|𝐴1𝐴¯23)𝑃(¯3|𝐴1𝐴2)𝑃(𝐴2|𝐴1)𝑃(𝐴1)=𝑡+𝑎𝑟+𝑡+×𝑡×𝑟+𝑎3𝑎𝑟+𝑡+2𝑎𝑟+𝑡+×𝑟𝑎𝑟+𝑡此模型被用来作为描述传染病的数学模型.宁同科概率与数理统计
解：方法一：用𝐴𝑖,(𝑖=1,2,3)表示事件“透镜第𝑖落下打破”，以𝐵表示事件“透镜落下三次而未打破”，所以𝐵=¯¯¯123,因而所要求的概率为：𝑃(𝐵)=𝑃(¯¯¯123)=𝑃(¯3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=(1−910)(1−710)(1−12)=3200.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例6.)设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.宁同科概率与数理统计
以𝐵表示事件“透镜落下三次而未打破”，所以𝐵=¯¯¯123,因而所要求的概率为：𝑃(𝐵)=𝑃(¯¯¯123)=𝑃(¯3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=(1−910)(1−710)(1−12)=3200.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例6.)设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解：方法一：用𝐴𝑖,(𝑖=1,2,3)表示事件“透镜第𝑖落下打破”，宁同科概率与数理统计
所以𝐵=¯¯¯123,因而所要求的概率为：𝑃(𝐵)=𝑃(¯¯¯123)=𝑃(¯3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=(1−910)(1−710)(1−12)=3200.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例6.)设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解：方法一：用𝐴𝑖,(𝑖=1,2,3)表示事件“透镜第𝑖落下打破”，以𝐵表示事件“透镜落下三次而未打破”，宁同科概率与数理统计
因而所要求的概率为：𝑃(𝐵)=𝑃(¯¯¯123)=𝑃(¯3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=(1−910)(1−710)(1−12)=3200.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例6.)设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解：方法一：用𝐴𝑖,(𝑖=1,2,3)表示事件“透镜第𝑖落下打破”，以𝐵表示事件“透镜落下三次而未打破”，所以𝐵=¯¯¯123,宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐵)=𝑃(¯¯¯123)=𝑃(¯3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=(1−910)(1−710)(1−12)=3200.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例6.)设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解：方法一：用𝐴𝑖,(𝑖=1,2,3)表示事件“透镜第𝑖落下打破”，以𝐵表示事件“透镜落下三次而未打破”，所以𝐵=¯¯¯123,因而所要求的概率为：宁同科概率与数理统计
=(1−910)(1−710)(1−12)=3200.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例6.)设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解：方法一：用𝐴𝑖,(𝑖=1,2,3)表示事件“透镜第𝑖落下打破”，以𝐵表示事件“透镜落下三次而未打破”，所以𝐵=¯¯¯123,因而所要求的概率为：𝑃(𝐵)=𝑃(¯¯¯¯¯123)=𝑃(¯3|¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(1)宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例6.)设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解：方法一：用𝐴𝑖,(𝑖=1,2,3)表示事件“透镜第𝑖落下打破”，以𝐵表示事件“透镜落下三次而未打破”，所以𝐵=¯¯¯123,因而所要求的概率为：𝑃(𝐵)=𝑃(¯¯¯123)=𝑃(¯3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=(1−910)(1−710)(1−12)=3200.宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例6.)设某光学仪器厂制造的透镜,第一次落下时打破的概率为1/2,若第一次落下未打破,第二次落下打破的概率为7/10,若前两次落下未打破,第三次落下打破的概率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率.解：方法一：用𝐴𝑖,(𝑖=1,2,3)表示事件“透镜第𝑖落下打破”，以𝐵表示事件“透镜落下三次而未打破”，所以𝐵=¯¯¯123,因而所要求的概率为：𝑃(𝐵)=𝑃(¯¯¯123)=𝑃(¯3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=(1−910)(1−710)(1−12)=3200.宁同科概率与数理统计
?¯?=𝐴1∪𝐴2∪𝐴3=𝐴1∪¯1𝐴2∪¯¯12𝐴3𝑃(?¯?)=𝑃(𝐴1)+𝑃(¯1𝐴2)+𝑃(¯¯12𝐴3)利用乘法公式可以得到𝑃(¯1𝐴2)=𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=710(1−12)=720𝑃(¯¯12𝐴3)=𝑃(𝐴3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=910(1−710)(1−12)=27200𝑃(𝐵)=1−𝑃(?¯?)=1−1(2+720+27200)=3200.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结方法二：利用对立事件的运算，考虑事件𝐵的对立事件，利用Venns图我们可以得到事件?¯?的互不相容事件的分解式宁同科概率与数理统计
𝑃(?¯?)=𝑃(𝐴1)+𝑃(¯1𝐴2)+𝑃(¯¯12𝐴3)利用乘法公式可以得到𝑃(¯1𝐴2)=𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=710(1−12)=720𝑃(¯¯12𝐴3)=𝑃(𝐴3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=910(1−710)(1−12)=27200𝑃(𝐵)=1−𝑃(?¯?)=1−1(2+720+27200)=3200.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结方法二：利用对立事件的运算，考虑事件𝐵的对立事件，利用Venns图我们可以得到事件?¯?的互不相容事件的分解式?¯?=𝐴1∪𝐴2∪𝐴3=𝐴1∪¯1𝐴2∪¯¯12𝐴3宁同科概率与数理统计
利用乘法公式可以得到𝑃(¯1𝐴2)=𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=710(1−12)=720𝑃(¯¯12𝐴3)=𝑃(𝐴3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=910(1−710)(1−12)=27200𝑃(𝐵)=1−𝑃(?¯?)=1−1(2+720+27200)=3200.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结方法二：利用对立事件的运算，考虑事件𝐵的对立事件，利用Venns图我们可以得到事件?¯?的互不相容事件的分解式?¯?=𝐴1∪𝐴2∪𝐴3=𝐴1∪¯1𝐴2∪¯¯12𝐴3𝑃(?¯?)=𝑃(𝐴1)+𝑃(¯1𝐴2)+𝑃(¯¯12𝐴3)宁同科概率与数理统计
𝑃7(¯1𝐴2)=𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=710(1−12)=20𝑃(¯¯12𝐴3)=𝑃(𝐴3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=910(1−710)(1−12)=27200𝑃(𝐵)=1−𝑃(?¯?)=1−1(2+720+27200)=3200.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结方法二：利用对立事件的运算，考虑事件𝐵的对立事件，利用Venns图我们可以得到事件?¯?的互不相容事件的分解式?¯?=𝐴1∪𝐴2∪𝐴3=𝐴1∪¯1𝐴2∪¯¯12𝐴3𝑃(?¯?)=𝑃(𝐴1)+𝑃(¯1𝐴2)+𝑃(¯¯12𝐴3)利用乘法公式可以得到宁同科概率与数理统计
𝑃(¯¯12𝐴3)=𝑃(𝐴3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=910(1−710)(1−12)=27200𝑃(𝐵)=1−𝑃(?¯?)=1−1(2+720+27200)=3200.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结方法二：利用对立事件的运算，考虑事件𝐵的对立事件，利用Venns图我们可以得到事件?¯?的互不相容事件的分解式?¯?=𝐴1∪𝐴2∪𝐴3=𝐴1∪¯1𝐴2∪¯¯12𝐴3𝑃(?¯?)=𝑃(𝐴1)+𝑃(¯1𝐴2)+𝑃(¯¯12𝐴3)利用乘法公式可以得到𝑃7(¯1𝐴2)=𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=710(1−12)=20宁同科概率与数理统计
=910(1−710)(1−12)=27200𝑃(𝐵)=1−𝑃(?¯?)=1−1(2+720+27200)=3200.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结方法二：利用对立事件的运算，考虑事件𝐵的对立事件，利用Venns图我们可以得到事件?¯?的互不相容事件的分解式?¯?=𝐴1∪𝐴2∪𝐴3=𝐴1∪¯1𝐴2∪¯¯12𝐴3𝑃(?¯?)=𝑃(𝐴1)+𝑃(¯1𝐴2)+𝑃(¯¯12𝐴3)利用乘法公式可以得到𝑃(¯1𝐴2)=𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=710(1−12)=720𝑃(¯¯12𝐴3)=𝑃(𝐴3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐵)=1−𝑃(?¯?)=1−1(2+720+27200)=3200.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结方法二：利用对立事件的运算，考虑事件𝐵的对立事件，利用Venns图我们可以得到事件?¯?的互不相容事件的分解式?¯?=𝐴1∪𝐴2∪𝐴3=𝐴1∪¯1𝐴2∪¯¯12𝐴3𝑃(?¯?)=𝑃(𝐴1)+𝑃(¯1𝐴2)+𝑃(¯¯12𝐴3)利用乘法公式可以得到𝑃(¯1𝐴2)=𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=710(1−12)=720𝑃(¯¯12𝐴3)=𝑃(𝐴3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=910(1−710)(1−12)=27200宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结方法二：利用对立事件的运算，考虑事件𝐵的对立事件，利用Venns图我们可以得到事件?¯?的互不相容事件的分解式?¯?=𝐴1∪𝐴2∪𝐴3=𝐴1∪¯1𝐴2∪¯¯12𝐴3𝑃(?¯?)=𝑃(𝐴1)+𝑃(¯1𝐴2)+𝑃(¯¯12𝐴3)利用乘法公式可以得到𝑃(¯1𝐴2)=𝑃(𝐴2|¯1)𝑃(¯1)=710(1−12)=720𝑃(¯¯12𝐴3)=𝑃(𝐴3|¯¯12)𝑃(¯2|¯1)𝑃(¯1)=910(1−710)(1−12)=27200𝑃(𝐵)=1−𝑃(?¯?)=1−1(2+720+27200)=3200.宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结1条件概率2全概率公式和贝叶斯公式3事件独立性4小结宁同科概率与数理统计
则，我们称之为样本空间的划分(或完备事件群)。Definition设𝑆为某试验𝐸的样本空间，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝐸的一组事件，若满足(1).𝐵𝑖𝐵𝑗=Φ,𝑖̸=𝑗,𝑖,𝑗=1,2,···,𝑛(2).𝐵1∪𝐵2∪···∪𝐵𝑛=𝑆,则称𝐵1,𝐵2,···,𝐵𝑛为样本空间𝑆的一个划分(或完备事件群)。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结样本空间的划分(或完备事件群)如果样本空间如下图宁同科概率与数理统计
则，我们称之为样本空间的划分(或完备事件群)。Definition设𝑆为某试验𝐸的样本空间，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝐸的一组事件，若满足(1).𝐵𝑖𝐵𝑗=Φ,𝑖̸=𝑗,𝑖,𝑗=1,2,···,𝑛(2).𝐵1∪𝐵2∪···∪𝐵𝑛=𝑆,则称𝐵1,𝐵2,···,𝐵𝑛为样本空间𝑆的一个划分(或完备事件群)。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结样本空间的划分(或完备事件群)如果样本空间如下图宁同科概率与数理统计
Definition设𝑆为某试验𝐸的样本空间，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝐸的一组事件，若满足(1).𝐵𝑖𝐵𝑗=Φ,𝑖̸=𝑗,𝑖,𝑗=1,2,···,𝑛(2).𝐵1∪𝐵2∪···∪𝐵𝑛=𝑆,则称𝐵1,𝐵2,···,𝐵𝑛为样本空间𝑆的一个划分(或完备事件群)。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结样本空间的划分(或完备事件群)如果样本空间如下图则，我们称之为样本空间的划分(或完备事件群)。宁同科概率与数理统计
(1).𝐵𝑖𝐵𝑗=Φ,𝑖̸=𝑗,𝑖,𝑗=1,2,···,𝑛(2).𝐵1∪𝐵2∪···∪𝐵𝑛=𝑆,则称𝐵1,𝐵2,···,𝐵𝑛为样本空间𝑆的一个划分(或完备事件群)。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结样本空间的划分(或完备事件群)如果样本空间如下图则，我们称之为样本空间的划分(或完备事件群)。Definition设𝑆为某试验𝐸的样本空间，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝐸的一组事件，若满足宁同科概率与数理统计
(2).𝐵1∪𝐵2∪···∪𝐵𝑛=𝑆,则称𝐵1,𝐵2,···,𝐵𝑛为样本空间𝑆的一个划分(或完备事件群)。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结样本空间的划分(或完备事件群)如果样本空间如下图则，我们称之为样本空间的划分(或完备事件群)。Definition设𝑆为某试验𝐸的样本空间，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝐸的一组事件，若满足(1).𝐵𝑖𝐵𝑗=Φ,𝑖̸=𝑗,𝑖,𝑗=1,2,···,𝑛宁同科概率与数理统计
则称𝐵1,𝐵2,···,𝐵𝑛为样本空间𝑆的一个划分(或完备事件群)。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结样本空间的划分(或完备事件群)如果样本空间如下图则，我们称之为样本空间的划分(或完备事件群)。Definition设𝑆为某试验𝐸的样本空间，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝐸的一组事件，若满足(1).𝐵𝑖𝐵𝑗=Φ,𝑖̸=𝑗,𝑖,𝑗=1,2,···,𝑛(2).𝐵1∪𝐵2∪···∪𝐵𝑛=𝑆,宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结样本空间的划分(或完备事件群)如果样本空间如下图则，我们称之为样本空间的划分(或完备事件群)。Definition设𝑆为某试验𝐸的样本空间，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝐸的一组事件，若满足(1).𝐵𝑖𝐵𝑗=Φ,𝑖̸=𝑗,𝑖,𝑗=1,2,···,𝑛(2).𝐵1∪𝐵2∪···∪𝐵𝑛=𝑆,则称𝐵1,𝐵2,···,𝐵𝑛为样本空间𝑆的一个划分(或完备事件群)。宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结样本空间的划分(或完备事件群)如果样本空间如下图则，我们称之为样本空间的划分(或完备事件群)。Definition设𝑆为某试验𝐸的样本空间，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝐸的一组事件，若满足(1).𝐵𝑖𝐵𝑗=Φ,𝑖̸=𝑗,𝑖,𝑗=1,2,···,𝑛(2).𝐵1∪𝐵2∪···∪𝐵𝑛=𝑆,则称𝐵1,𝐵2,···,𝐵𝑛为样本空间𝑆的一个划分(或完备事件群)。宁同科概率与数理统计
全概率公式告诉我们,事件𝐴的概率可能在许多互相排斥的原因下发生，利用各种原因的概率和在各种原因下的条件概率组合可以给出事件𝐴的概率。全概率公式将复杂事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题(“化整为零”)，最后应用概率的可加性求出最终结果(“各个击破”)。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结全概率公式和贝叶斯公式Theorem设试验𝐸的样本空间为𝑆，𝐴为𝐸的事件，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝑆的一个划分，且𝑃(𝐵𝑖)>0(𝑖=1,2,···,𝑛)，则有∑︁𝑛𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)𝑖=1称之为全概率公式。宁同科概率与数理统计
全概率公式将复杂事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题(“化整为零”)，最后应用概率的可加性求出最终结果(“各个击破”)。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结全概率公式和贝叶斯公式Theorem设试验𝐸的样本空间为𝑆，𝐴为𝐸的事件，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝑆的一个划分，且𝑃(𝐵𝑖)>0(𝑖=1,2,···,𝑛)，则有∑︁𝑛𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)𝑖=1称之为全概率公式。全概率公式告诉我们,事件𝐴的概率可能在许多互相排斥的原因下发生，利用各种原因的概率和在各种原因下的条件概率组合可以给出事件𝐴的概率。宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结全概率公式和贝叶斯公式Theorem设试验𝐸的样本空间为𝑆，𝐴为𝐸的事件，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝑆的一个划分，且𝑃(𝐵𝑖)>0(𝑖=1,2,···,𝑛)，则有∑︁𝑛𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)𝑖=1称之为全概率公式。全概率公式告诉我们,事件𝐴的概率可能在许多互相排斥的原因下发生，利用各种原因的概率和在各种原因下的条件概率组合可以给出事件𝐴的概率。全概率公式将复杂事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题(“化整为零”)，最后应用概率的可加性求出最终结果(“各个击破”)。宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结全概率公式和贝叶斯公式Theorem设试验𝐸的样本空间为𝑆，𝐴为𝐸的事件，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝑆的一个划分，且𝑃(𝐵𝑖)>0(𝑖=1,2,···,𝑛)，则有∑︁𝑛𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)𝑖=1称之为全概率公式。全概率公式告诉我们,事件𝐴的概率可能在许多互相排斥的原因下发生，利用各种原因的概率和在各种原因下的条件概率组合可以给出事件𝐴的概率。全概率公式将复杂事件的概率计算问题，分解为若干个简单事件的概率计算问题(“化整为零”)，最后应用概率的可加性求出最终结果(“各个击破”)。宁同科概率与数理统计
贝叶斯公式在自然现象和人类活动的各个领域都有着很多的应用。例如：𝐴表示大盘早盘高开，𝐵𝑛是几个引起高开的原因，则贝叶斯公式帮着投资者判断那个原因引起了早盘高开。贝叶斯现在是一个统计学派的名称，该公式在应用时，由于人们缺乏对先验概率的知识而受到限制。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结贝叶斯公式Theorem设试验𝐸的样本空间为𝑆，𝐴为𝐸的事件，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝑆的一个划分，且𝑃(𝐴)>0,𝑃(𝐵𝑖)>0(𝑖=1,2,···,𝑛)，则有𝑃(𝐵𝑖|𝐴)=∑︁𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)𝑛,𝑖=1,2,···,𝑛𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)𝑖=1称为贝叶斯公式.其中称𝑃(𝐴|𝐵𝑖)为先验概率,𝑃(𝐵𝑖|𝐴)为后验概率.宁同科概率与数理统计
贝叶斯现在是一个统计学派的名称，该公式在应用时，由于人们缺乏对先验概率的知识而受到限制。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结贝叶斯公式Theorem设试验𝐸的样本空间为𝑆，𝐴为𝐸的事件，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝑆的一个划分，且𝑃(𝐴)>0,𝑃(𝐵𝑖)>0(𝑖=1,2,···,𝑛)，则有𝑃(𝐵𝑖|𝐴)=∑︁𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)𝑛,𝑖=1,2,···,𝑛𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)𝑖=1称为贝叶斯公式.其中称𝑃(𝐴|𝐵𝑖)为先验概率,𝑃(𝐵𝑖|𝐴)为后验概率.贝叶斯公式在自然现象和人类活动的各个领域都有着很多的应用。例如：𝐴表示大盘早盘高开，𝐵𝑛是几个引起高开的原因，则贝叶斯公式帮着投资者判断那个原因引起了早盘高开。宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结贝叶斯公式Theorem设试验𝐸的样本空间为𝑆，𝐴为𝐸的事件，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝑆的一个划分，且𝑃(𝐴)>0,𝑃(𝐵𝑖)>0(𝑖=1,2,···,𝑛)，则有𝑃(𝐵𝑖|𝐴)=∑︁𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)𝑛,𝑖=1,2,···,𝑛𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)𝑖=1称为贝叶斯公式.其中称𝑃(𝐴|𝐵𝑖)为先验概率,𝑃(𝐵𝑖|𝐴)为后验概率.贝叶斯公式在自然现象和人类活动的各个领域都有着很多的应用。例如：𝐴表示大盘早盘高开，𝐵𝑛是几个引起高开的原因，则贝叶斯公式帮着投资者判断那个原因引起了早盘高开。贝叶斯现在是一个统计学派的名称，该公式在应用时，由于人们缺乏对先验概率的知识而受到限制。宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结贝叶斯公式Theorem设试验𝐸的样本空间为𝑆，𝐴为𝐸的事件，𝐵1，𝐵2，···，𝐵𝑛为𝑆的一个划分，且𝑃(𝐴)>0,𝑃(𝐵𝑖)>0(𝑖=1,2,···,𝑛)，则有𝑃(𝐵𝑖|𝐴)=∑︁𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)𝑛,𝑖=1,2,···,𝑛𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)𝑖=1称为贝叶斯公式.其中称𝑃(𝐴|𝐵𝑖)为先验概率,𝑃(𝐵𝑖|𝐴)为后验概率.贝叶斯公式在自然现象和人类活动的各个领域都有着很多的应用。例如：𝐴表示大盘早盘高开，𝐵𝑛是几个引起高开的原因，则贝叶斯公式帮着投资者判断那个原因引起了早盘高开。贝叶斯现在是一个统计学派的名称，该公式在应用时，由于人们缺乏对先验概率的知识而受到限制。宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例7.)某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的，根据以往的记录有以下数据元件制造厂次品率提供元件的份额这三家工厂的产品在仓库里均匀混合没有任何标志，问(1).任取一件产品是次品的概率为多少？(2).任取一件产品，若知道其为次品，那么它来之三家工厂之一的概率为多少？宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐵1)=,𝑃(𝐵2)=,𝑃(𝐵3)=𝑃(𝐴|𝐵1)=,𝑃(𝐴|𝐵2)=,𝑃(𝐴|𝐵3)=∑︁3(1).由全概率公式𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)=𝑖=1(2).由贝叶斯公式𝑃(𝐵1|𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵1)𝑃(𝐵1)𝑃4,𝑃(𝐵(𝐴=)2|𝐴)=,𝑃(𝐵3|𝐴)=.𝑃(𝐴|𝐵𝑖)是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率;𝑃(𝐵1|𝐴)是在得到信息之后再重新加以修正的概率叫做后验概率.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结解：设𝐴表示事件“取到的是一只次品”，𝐵𝑖(𝑖=1,2,3)表示“所取到的产品是由第𝑖家工厂提供的”，则𝑆=𝐵1∪𝐵2∪𝐵3为样本空间的一个划分。由题意知：宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐴|𝐵1)=,𝑃(𝐴|𝐵2)=,𝑃(𝐴|𝐵3)=∑︁3(1).由全概率公式𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)=𝑖=1(2).由贝叶斯公式𝑃(𝐵1|𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵1)𝑃(𝐵1)𝑃4,𝑃(𝐵(𝐴=)2|𝐴)=,𝑃(𝐵3|𝐴)=.𝑃(𝐴|𝐵𝑖)是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率;𝑃(𝐵1|𝐴)是在得到信息之后再重新加以修正的概率叫做后验概率.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结解：设𝐴表示事件“取到的是一只次品”，𝐵𝑖(𝑖=1,2,3)表示“所取到的产品是由第𝑖家工厂提供的”，则𝑆=𝐵1∪𝐵2∪𝐵3为样本空间的一个划分。由题意知：𝑃(𝐵1)=,𝑃(𝐵2)=,𝑃(𝐵3)=宁同科概率与数理统计
∑︁3(1).由全概率公式𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)=𝑖=1(2).由贝叶斯公式𝑃(𝐵1|𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵1)𝑃(𝐵1)𝑃4,𝑃(𝐵(𝐴=)2|𝐴)=,𝑃(𝐵3|𝐴)=.𝑃(𝐴|𝐵𝑖)是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率;𝑃(𝐵1|𝐴)是在得到信息之后再重新加以修正的概率叫做后验概率.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结解：设𝐴表示事件“取到的是一只次品”，𝐵𝑖(𝑖=1,2,3)表示“所取到的产品是由第𝑖家工厂提供的”，则𝑆=𝐵1∪𝐵2∪𝐵3为样本空间的一个划分。由题意知：𝑃(𝐵1)=,𝑃(𝐵2)=,𝑃(𝐵3)=𝑃(𝐴|𝐵1)=,𝑃(𝐴|𝐵2)=,𝑃(𝐴|𝐵3)=宁同科概率与数理统计
(2).由贝叶斯公式𝑃(𝐵1|𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵1)𝑃(𝐵1)𝑃4,𝑃(𝐵(𝐴=)2|𝐴)=,𝑃(𝐵3|𝐴)=.𝑃(𝐴|𝐵𝑖)是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率;𝑃(𝐵1|𝐴)是在得到信息之后再重新加以修正的概率叫做后验概率.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结解：设𝐴表示事件“取到的是一只次品”，𝐵𝑖(𝑖=1,2,3)表示“所取到的产品是由第𝑖家工厂提供的”，则𝑆=𝐵1∪𝐵2∪𝐵3为样本空间的一个划分。由题意知：𝑃(𝐵1)=,𝑃(𝐵2)=,𝑃(𝐵3)=𝑃(𝐴|𝐵1)=,𝑃(𝐴|𝐵2)=,𝑃(𝐴|𝐵3)=∑︁3(1).由全概率公式𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)=𝑖=1宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐵2|𝐴)=,𝑃(𝐵3|𝐴)=.𝑃(𝐴|𝐵𝑖)是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率;𝑃(𝐵1|𝐴)是在得到信息之后再重新加以修正的概率叫做后验概率.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结解：设𝐴表示事件“取到的是一只次品”，𝐵𝑖(𝑖=1,2,3)表示“所取到的产品是由第𝑖家工厂提供的”，则𝑆=𝐵1∪𝐵2∪𝐵3为样本空间的一个划分。由题意知：𝑃(𝐵1)=,𝑃(𝐵2)=,𝑃(𝐵3)=𝑃(𝐴|𝐵1)=,𝑃(𝐴|𝐵2)=,𝑃(𝐴|𝐵3)=∑︁3(1).由全概率公式𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)=𝑖=1(2).由贝叶斯公式𝑃𝐵(𝐵1)1|𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵1)𝑃(𝑃(𝐴=,)宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐵3|𝐴)=.𝑃(𝐴|𝐵𝑖)是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率;𝑃(𝐵1|𝐴)是在得到信息之后再重新加以修正的概率叫做后验概率.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结解：设𝐴表示事件“取到的是一只次品”，𝐵𝑖(𝑖=1,2,3)表示“所取到的产品是由第𝑖家工厂提供的”，则𝑆=𝐵1∪𝐵2∪𝐵3为样本空间的一个划分。由题意知：𝑃(𝐵1)=,𝑃(𝐵2)=,𝑃(𝐵3)=𝑃(𝐴|𝐵1)=,𝑃(𝐴|𝐵2)=,𝑃(𝐴|𝐵3)=∑︁3(1).由全概率公式𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)=𝑖=1(2).由贝叶斯公式𝑃(𝐵1|𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵1)𝑃(𝐵1)𝑃4,𝑃(𝐵(𝐴=)2|𝐴)=,宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐴|𝐵𝑖)是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率;𝑃(𝐵1|𝐴)是在得到信息之后再重新加以修正的概率叫做后验概率.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结解：设𝐴表示事件“取到的是一只次品”，𝐵𝑖(𝑖=1,2,3)表示“所取到的产品是由第𝑖家工厂提供的”，则𝑆=𝐵1∪𝐵2∪𝐵3为样本空间的一个划分。由题意知：𝑃(𝐵1)=,𝑃(𝐵2)=,𝑃(𝐵3)=𝑃(𝐴|𝐵1)=,𝑃(𝐴|𝐵2)=,𝑃(𝐴|𝐵3)=∑︁3(1).由全概率公式𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)=𝑖=1(2).由贝叶斯公式𝑃(𝐵1|𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵1)𝑃(𝐵1)𝑃4,𝑃(𝐵(𝐴=)2|𝐴)=,𝑃(𝐵3|𝐴)=.宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结解：设𝐴表示事件“取到的是一只次品”，𝐵𝑖(𝑖=1,2,3)表示“所取到的产品是由第𝑖家工厂提供的”，则𝑆=𝐵1∪𝐵2∪𝐵3为样本空间的一个划分。由题意知：𝑃(𝐵1)=,𝑃(𝐵2)=,𝑃(𝐵3)=𝑃(𝐴|𝐵1)=,𝑃(𝐴|𝐵2)=,𝑃(𝐴|𝐵3)=∑︁3(1).由全概率公式𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵𝑖)𝑃(𝐵𝑖)=𝑖=1(2).由贝叶斯公式𝑃(𝐵1|𝐴)=𝑃(𝐴|𝐵1)𝑃(𝐵1)𝑃4,𝑃(𝐵(𝐴=)2|𝐴)=,𝑃(𝐵3|𝐴)=.𝑃(𝐴|𝐵𝑖)是由以往的数据分析得到的,叫做先验概率;𝑃(𝐵1|𝐴)是在得到信息之后再重新加以修正的概率叫做后验概率.宁同科概率与数理统计
解：根据概率的性质知：𝑃(𝐴|¯)=1−𝑃(¯|¯)=1−=,𝑃(¯)=1−𝑃(𝐶)=由贝叶斯公式得：𝑃(𝐶|𝐴)=𝑃(𝐴|𝐶)𝑃(𝐶)𝑃(𝐴|𝐶)𝑃(𝐶)+𝑃(𝐴|¯)𝑃(¯=).条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例8.)根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有以下效果：若以𝐴表示事件“试验反应为阳性”，以𝐶表示事件“被诊断者患有癌症”，则有𝑃(𝐴|𝐶)=，𝑃(¯|¯)=。现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即𝑃(𝐶)=，求𝑃(𝐶|𝐴)。宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐶|𝐴)=𝑃(𝐴|𝐶)𝑃(𝐶)𝑃(𝐴|𝐶)𝑃(𝐶)+𝑃(𝐴|¯)𝑃(¯=).条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例8.)根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有以下效果：若以𝐴表示事件“试验反应为阳性”，以𝐶表示事件“被诊断者患有癌症”，则有𝑃(𝐴|𝐶)=，𝑃(¯|¯)=。现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即𝑃(𝐶)=，求𝑃(𝐶|𝐴)。解：根据概率的性质知：𝑃(𝐴|¯)=1−𝑃(¯|¯)=1−=,𝑃(¯)=1−𝑃(𝐶)=由贝叶斯公式得：宁同科概率与数理统计
.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例8.)根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有以下效果：若以𝐴表示事件“试验反应为阳性”，以𝐶表示事件“被诊断者患有癌症”，则有𝑃(𝐴|𝐶)=，𝑃(¯|¯)=。现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即𝑃(𝐶)=，求𝑃(𝐶|𝐴)。解：根据概率的性质知：𝑃(𝐴|¯)=1−𝑃(¯|¯)=1−=,𝑃(¯)=1−𝑃(𝐶)=由贝叶斯公式得：𝑃(𝐶|𝐴)=𝑃(𝐴|𝐶)𝑃(𝐶)𝑃(𝐴|𝐶)𝑃(𝐶)+𝑃(𝐴|¯)𝑃(¯=)宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结Example(例8.)根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有以下效果：若以𝐴表示事件“试验反应为阳性”，以𝐶表示事件“被诊断者患有癌症”，则有𝑃(𝐴|𝐶)=，𝑃(¯|¯)=。现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为，即𝑃(𝐶)=，求𝑃(𝐶|𝐴)。解：根据概率的性质知：𝑃(𝐴|¯)=1−𝑃(¯|¯)=1−=,𝑃(¯)=1−𝑃(𝐶)=由贝叶斯公式得：𝑃(𝐶|𝐴)=𝑃(𝐴|𝐶)𝑃(𝐶)𝑃(𝐴|𝐶)𝑃(𝐶)+𝑃(𝐴|¯)𝑃(¯=).宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结1条件概率2全概率公式和贝叶斯公式3事件独立性4小结宁同科概率与数理统计
利用条件概率的定义，这种情况可以得到𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)Definition设A和B为两个事件，如果满足等式𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)则称事件𝐴，𝐵相互独立，简称𝐴，𝐵独立。事件𝐴与事件𝐵相互独立,是指事件𝐴的发生与事件𝐵发生的概率无关.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结事件独立性如果条件概率和条件无关，则我们有𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵)宁同科概率与数理统计
Definition设A和B为两个事件，如果满足等式𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)则称事件𝐴，𝐵相互独立，简称𝐴，𝐵独立。事件𝐴与事件𝐵相互独立,是指事件𝐴的发生与事件𝐵发生的概率无关.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结事件独立性如果条件概率和条件无关，则我们有𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵)利用条件概率的定义，这种情况可以得到𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)宁同科概率与数理统计
事件𝐴与事件𝐵相互独立,是指事件𝐴的发生与事件𝐵发生的概率无关.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结事件独立性如果条件概率和条件无关，则我们有𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵)利用条件概率的定义，这种情况可以得到𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)Definition设A和B为两个事件，如果满足等式𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)则称事件𝐴，𝐵相互独立，简称𝐴，𝐵独立。宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结事件独立性如果条件概率和条件无关，则我们有𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵)利用条件概率的定义，这种情况可以得到𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)Definition设A和B为两个事件，如果满足等式𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)则称事件𝐴，𝐵相互独立，简称𝐴，𝐵独立。事件𝐴与事件𝐵相互独立,是指事件𝐴的发生与事件𝐵发生的概率无关.宁同科概率与数理统计
(1).两事件相互独立:𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)(2).两事件互不相容:𝐴𝐵=Φ,𝑃(𝐴𝐵)=0二者之间没有必然联系.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结独立性与互不相容的关系两事件𝐴，𝐵相互独立与两事件互不相容是否存在某种必然的联系呢？宁同科概率与数理统计
(2).两事件互不相容:𝐴𝐵=Φ,𝑃(𝐴𝐵)=0二者之间没有必然联系.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结独立性与互不相容的关系两事件𝐴，𝐵相互独立与两事件互不相容是否存在某种必然的联系呢？(1).两事件相互独立:𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)宁同科概率与数理统计
二者之间没有必然联系.条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结独立性与互不相容的关系两事件𝐴，𝐵相互独立与两事件互不相容是否存在某种必然的联系呢？(1).两事件相互独立:𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)(2).两事件互不相容:𝐴𝐵=Φ,𝑃(𝐴𝐵)=0宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结独立性与互不相容的关系两事件𝐴，𝐵相互独立与两事件互不相容是否存在某种必然的联系呢？(1).两事件相互独立:𝑃(𝐴𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)(2).两事件互不相容:𝐴𝐵=Φ,𝑃(𝐴𝐵)=0二者之间没有必然联系.宁同科概率与数理统计
Theorem设𝐴，𝐵相互独立，则下列各对事件也相互独立𝐴与?¯?；¯与𝐵；¯与?¯?条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结独立性的重要定理Theorem设𝐴，𝐵是两个的事件，且𝑃(𝐴)>0,若𝐴，𝐵相互独立充分必要条件为𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵)宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结独立性的重要定理Theorem设𝐴，𝐵是两个的事件，且𝑃(𝐴)>0,若𝐴，𝐵相互独立充分必要条件为𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵)Theorem设𝐴，𝐵相互独立，则下列各对事件也相互独立𝐴与?¯?；¯与𝐵；¯与?¯?宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结多事件独立性Definition设𝐴1,𝐴2,···,𝐴𝑛为𝑛(𝑛≥2)个事件，如果满足∀1<𝑘≤𝑛,𝑃(𝐴𝑖1𝐴𝑖2···𝐴𝑖𝑘)=𝑃(𝐴𝑖1)𝑃(𝐴𝑖2)···𝑃(𝐴𝑖𝑘)则称事件𝐴1,𝐴2,···,𝐴𝑛相互独立。宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结多事件独立性Definition设𝐴1,𝐴2,···,𝐴𝑛为𝑛(𝑛≥2)个事件，如果满足∀1<𝑘≤𝑛,𝑃(𝐴𝑖1𝐴𝑖2···𝐴𝑖𝑘)=𝑃(𝐴𝑖1)𝑃(𝐴𝑖2)···𝑃(𝐴𝑖𝑘)则称事件𝐴1,𝐴2,···,𝐴𝑛相互独立。宁同科概率与数理统计
2.若事件𝐴1，𝐴2，···，𝐴𝑛(𝑛≥2)相互独立，则将𝐴1，𝐴2，···，𝐴𝑛中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的𝑛个事件仍相互独立。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结独立性的重要结论1.若事件𝐴1，𝐴2，···，𝐴𝑛(𝑛≥2)相互独立，则其中任意𝑘(2≤𝑘≤𝑛)事件也相互独立。宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结独立性的重要结论1.若事件𝐴1，𝐴2，···，𝐴𝑛(𝑛≥2)相互独立，则其中任意𝑘(2≤𝑘≤𝑛)事件也相互独立。2.若事件𝐴1，𝐴2，···，𝐴𝑛(𝑛≥2)相互独立，则将𝐴1，𝐴2，···，𝐴𝑛中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的𝑛个事件仍相互独立。宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结独立性的重要结论1.若事件𝐴1，𝐴2，···，𝐴𝑛(𝑛≥2)相互独立，则其中任意𝑘(2≤𝑘≤𝑛)事件也相互独立。2.若事件𝐴1，𝐴2，···，𝐴𝑛(𝑛≥2)相互独立，则将𝐴1，𝐴2，···，𝐴𝑛中任意多个事件换成它们的对立事件，所得的𝑛个事件仍相互独立。宁同科概率与数理统计
解：用事件𝐴𝑖(𝑖=1,2,···,10)表示第𝑖名机枪手击落飞机。事件𝐵表示击落飞机；𝐵=𝐴1∪𝐴2∪···∪𝐴10𝑃(𝐵)=1−𝑃(?¯?)=1−𝑃(¯¯12···¯10)=1−=请同学们用加法公式计算一下，看哪种方法便捷？条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例9.)设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是，若10名机枪射击手同时向一架飞机射击，问击落飞机的概率是多少?宁同科概率与数理统计
𝐵=𝐴1∪𝐴2∪···∪𝐴10𝑃(𝐵)=1−𝑃(?¯?)=1−𝑃(¯¯12···¯10)=1−=请同学们用加法公式计算一下，看哪种方法便捷？条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例9.)设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是，若10名机枪射击手同时向一架飞机射击，问击落飞机的概率是多少?解：用事件𝐴𝑖(𝑖=1,2,···,10)表示第𝑖名机枪手击落飞机。事件𝐵表示击落飞机；宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐵)=1−𝑃(?¯?)=1−𝑃(¯¯12···¯10)=1−=请同学们用加法公式计算一下，看哪种方法便捷？条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例9.)设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是，若10名机枪射击手同时向一架飞机射击，问击落飞机的概率是多少?解：用事件𝐴𝑖(𝑖=1,2,···,10)表示第𝑖名机枪手击落飞机。事件𝐵表示击落飞机；𝐵=𝐴1∪𝐴2∪···∪𝐴10宁同科概率与数理统计
请同学们用加法公式计算一下，看哪种方法便捷？条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例9.)设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是，若10名机枪射击手同时向一架飞机射击，问击落飞机的概率是多少?解：用事件𝐴𝑖(𝑖=1,2,···,10)表示第𝑖名机枪手击落飞机。事件𝐵表示击落飞机；𝐵=𝐴1∪𝐴2∪···∪𝐴10𝑃(𝐵)=1−𝑃(?¯?)=1−𝑃(¯¯12···¯10)=1−=宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例9.)设每一名机枪射击手击落飞机的概率都是，若10名机枪射击手同时向一架飞机射击，问击落飞机的概率是多少?解：用事件𝐴𝑖(𝑖=1,2,···,10)表示第𝑖名机枪手击落飞机。事件𝐵表示击落飞机；𝐵=𝐴1∪𝐴2∪···∪𝐴10𝑃(𝐵)=1−𝑃(?¯?)=1−𝑃(¯¯12···¯10)=1−=请同学们用加法公式计算一下，看哪种方法便捷？宁同科概率与数理统计
解：用𝐸表示甲乙丙同时向飞机设计这个随机试验，𝑆表示样本空间，事件𝐴，𝐵，𝐶分别表示甲乙丙击中飞机；𝑃(𝐴)=,𝑃(𝐵)=,𝑃(𝐶)=;用事件𝐴𝑖表示有𝑖个人击中飞机;用事件𝐷表示飞机被击落；则𝐴0=¯?¯?¯,𝐴1=𝐴?¯?¯+¯¯+¯?¯?𝐶𝐴2=𝐴𝐵¯+𝐴?¯?𝐶+¯,𝐴3=𝐴𝐵𝐶𝑆=𝐴0+𝐴1+𝐴2+𝐴3构成一个划分条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例10.)甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，，飞机被一人击中而被击落的概率为，被两人击中而被击落的概率为，若三人都击中飞机必定被击落，求飞机被击落的概率。宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐴)=,𝑃(𝐵)=,𝑃(𝐶)=;用事件𝐴𝑖表示有𝑖个人击中飞机;用事件𝐷表示飞机被击落；则𝐴0=¯?¯?¯,𝐴1=𝐴?¯?¯+¯¯+¯?¯?𝐶𝐴2=𝐴𝐵¯+𝐴?¯?𝐶+¯,𝐴3=𝐴𝐵𝐶𝑆=𝐴0+𝐴1+𝐴2+𝐴3构成一个划分条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例10.)甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，，飞机被一人击中而被击落的概率为，被两人击中而被击落的概率为，若三人都击中飞机必定被击落，求飞机被击落的概率。解：用𝐸表示甲乙丙同时向飞机设计这个随机试验，𝑆表示样本空间，事件𝐴，𝐵，𝐶分别表示甲乙丙击中飞机；宁同科概率与数理统计
用事件𝐴𝑖表示有𝑖个人击中飞机;用事件𝐷表示飞机被击落；则𝐴0=¯?¯?¯,𝐴1=𝐴?¯?¯+¯¯+¯?¯?𝐶𝐴2=𝐴𝐵¯+𝐴?¯?𝐶+¯,𝐴3=𝐴𝐵𝐶𝑆=𝐴0+𝐴1+𝐴2+𝐴3构成一个划分条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例10.)甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，，飞机被一人击中而被击落的概率为，被两人击中而被击落的概率为，若三人都击中飞机必定被击落，求飞机被击落的概率。解：用𝐸表示甲乙丙同时向飞机设计这个随机试验，𝑆表示样本空间，事件𝐴，𝐵，𝐶分别表示甲乙丙击中飞机；𝑃(𝐴)=,𝑃(𝐵)=,𝑃(𝐶)=;宁同科概率与数理统计
𝐴0=¯?¯?¯,𝐴1=𝐴?¯?¯+¯¯+¯?¯?𝐶𝐴2=𝐴𝐵¯+𝐴?¯?𝐶+¯,𝐴3=𝐴𝐵𝐶𝑆=𝐴0+𝐴1+𝐴2+𝐴3构成一个划分条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例10.)甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，，飞机被一人击中而被击落的概率为，被两人击中而被击落的概率为，若三人都击中飞机必定被击落，求飞机被击落的概率。解：用𝐸表示甲乙丙同时向飞机设计这个随机试验，𝑆表示样本空间，事件𝐴，𝐵，𝐶分别表示甲乙丙击中飞机；𝑃(𝐴)=,𝑃(𝐵)=,𝑃(𝐶)=;用事件𝐴𝑖表示有𝑖个人击中飞机;用事件𝐷表示飞机被击落；则宁同科概率与数理统计
𝐴2=𝐴𝐵¯+𝐴?¯?𝐶+¯,𝐴3=𝐴𝐵𝐶𝑆=𝐴0+𝐴1+𝐴2+𝐴3构成一个划分条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例10.)甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，，飞机被一人击中而被击落的概率为，被两人击中而被击落的概率为，若三人都击中飞机必定被击落，求飞机被击落的概率。解：用𝐸表示甲乙丙同时向飞机设计这个随机试验，𝑆表示样本空间，事件𝐴，𝐵，𝐶分别表示甲乙丙击中飞机；𝑃(𝐴)=,𝑃(𝐵)=,𝑃(𝐶)=;用事件𝐴𝑖表示有𝑖个人击中飞机;用事件𝐷表示飞机被击落；则𝐴0=¯?¯?¯,𝐴1=𝐴?¯?¯+¯¯+¯?¯?𝐶宁同科概率与数理统计
𝑆=𝐴0+𝐴1+𝐴2+𝐴3构成一个划分条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例10.)甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，，飞机被一人击中而被击落的概率为，被两人击中而被击落的概率为，若三人都击中飞机必定被击落，求飞机被击落的概率。解：用𝐸表示甲乙丙同时向飞机设计这个随机试验，𝑆表示样本空间，事件𝐴，𝐵，𝐶分别表示甲乙丙击中飞机；𝑃(𝐴)=,𝑃(𝐵)=,𝑃(𝐶)=;用事件𝐴𝑖表示有𝑖个人击中飞机;用事件𝐷表示飞机被击落；则𝐴0=¯?¯?¯,𝐴1=𝐴?¯?¯+¯¯+¯?¯?𝐶𝐴2=𝐴𝐵¯+𝐴?¯?𝐶+¯,𝐴3=𝐴𝐵𝐶宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例10.)甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，，飞机被一人击中而被击落的概率为，被两人击中而被击落的概率为，若三人都击中飞机必定被击落，求飞机被击落的概率。解：用𝐸表示甲乙丙同时向飞机设计这个随机试验，𝑆表示样本空间，事件𝐴，𝐵，𝐶分别表示甲乙丙击中飞机；𝑃(𝐴)=,𝑃(𝐵)=,𝑃(𝐶)=;用事件𝐴𝑖表示有𝑖个人击中飞机;用事件𝐷表示飞机被击落；则𝐴0=¯?¯?¯,𝐴1=𝐴?¯?¯+¯¯+¯?¯?𝐶𝐴2=𝐴𝐵¯+𝐴?¯?𝐶+¯,𝐴3=𝐴𝐵𝐶𝑆=𝐴0+𝐴1+𝐴2+𝐴3构成一个划分宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例10.)甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为，，，飞机被一人击中而被击落的概率为，被两人击中而被击落的概率为，若三人都击中飞机必定被击落，求飞机被击落的概率。解：用𝐸表示甲乙丙同时向飞机设计这个随机试验，𝑆表示样本空间，事件𝐴，𝐵，𝐶分别表示甲乙丙击中飞机；𝑃(𝐴)=,𝑃(𝐵)=,𝑃(𝐶)=;用事件𝐴𝑖表示有𝑖个人击中飞机;用事件𝐷表示飞机被击落；则𝐴0=¯?¯?¯,𝐴1=𝐴?¯?¯+¯¯+¯?¯?𝐶𝐴2=𝐴𝐵¯+𝐴?¯?𝐶+¯,𝐴3=𝐴𝐵𝐶𝑆=𝐴0+𝐴1+𝐴2+𝐴3构成一个划分宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐴1)=𝑃(𝐴)𝑃(?¯?)𝑃(¯)+𝑃(¯)𝑃(𝐵)𝑃(¯)+𝑃(¯)𝑃(?¯?)𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴2)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(¯)+𝑃(𝐴)𝑃(?¯?)𝑃(𝐶)+𝑃(¯)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴3)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=,由全概率公式可得：𝑃(𝐷)=𝑃(𝐷|𝐴0)𝑃(𝐴0)+𝑃(𝐷|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐷|𝐴2)𝑃(𝐴2)+𝑃(𝐷|𝐴3)𝑃(𝐴3)=×+×+1×=条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结𝑃(𝐴0)=𝑃(¯)𝑃(?¯?)𝑃(¯)=宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐴2)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(¯)+𝑃(𝐴)𝑃(?¯?)𝑃(𝐶)+𝑃(¯)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴3)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=,由全概率公式可得：𝑃(𝐷)=𝑃(𝐷|𝐴0)𝑃(𝐴0)+𝑃(𝐷|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐷|𝐴2)𝑃(𝐴2)+𝑃(𝐷|𝐴3)𝑃(𝐴3)=×+×+1×=条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结𝑃(𝐴0)=𝑃(¯)𝑃(?¯?)𝑃(¯)=𝑃(𝐴1)=𝑃(𝐴)𝑃(?¯?)𝑃(¯)+𝑃(¯)𝑃(𝐵)𝑃(¯)+𝑃(¯)𝑃(?¯?)𝑃(𝐶)=宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐴3)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=,由全概率公式可得：𝑃(𝐷)=𝑃(𝐷|𝐴0)𝑃(𝐴0)+𝑃(𝐷|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐷|𝐴2)𝑃(𝐴2)+𝑃(𝐷|𝐴3)𝑃(𝐴3)=×+×+1×=条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结𝑃(𝐴0)=𝑃(¯)𝑃(?¯?)𝑃(¯)=𝑃(𝐴1)=𝑃(𝐴)𝑃(?¯?)𝑃(¯)+𝑃(¯)𝑃(𝐵)𝑃(¯)+𝑃(¯)𝑃(?¯?)𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴2)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(¯)+𝑃(𝐴)𝑃(?¯?)𝑃(𝐶)+𝑃(¯)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=宁同科概率与数理统计
由全概率公式可得：𝑃(𝐷)=𝑃(𝐷|𝐴0)𝑃(𝐴0)+𝑃(𝐷|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐷|𝐴2)𝑃(𝐴2)+𝑃(𝐷|𝐴3)𝑃(𝐴3)=×+×+1×=条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结𝑃(𝐴0)=𝑃(¯)𝑃(?¯?)𝑃(¯)=𝑃(𝐴1)=𝑃(𝐴)𝑃(?¯?)𝑃(¯)+𝑃(¯)𝑃(𝐵)𝑃(¯)+𝑃(¯)𝑃(?¯?)𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴2)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(¯)+𝑃(𝐴)𝑃(?¯?)𝑃(𝐶)+𝑃(¯)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴3)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=,宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐷)=𝑃(𝐷|𝐴0)𝑃(𝐴0)+𝑃(𝐷|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐷|𝐴2)𝑃(𝐴2)+𝑃(𝐷|𝐴3)𝑃(𝐴3)=×+×+1×=条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结𝑃(𝐴0)=𝑃(¯)𝑃(?¯?)𝑃(¯)=𝑃(𝐴1)=𝑃(𝐴)𝑃(?¯?)𝑃(¯)+𝑃(¯)𝑃(𝐵)𝑃(¯)+𝑃(¯)𝑃(?¯?)𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴2)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(¯)+𝑃(𝐴)𝑃(?¯?)𝑃(𝐶)+𝑃(¯)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴3)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=,由全概率公式可得：宁同科概率与数理统计
+𝑃(𝐷|𝐴3)𝑃(𝐴3)=×+×+1×=条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结𝑃(𝐴0)=𝑃(¯)𝑃(?¯?)𝑃(¯)=𝑃(𝐴1)=𝑃(𝐴)𝑃(?¯?)𝑃(¯)+𝑃(¯)𝑃(𝐵)𝑃(¯)+𝑃(¯)𝑃(?¯?)𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴2)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(¯)+𝑃(𝐴)𝑃(?¯?)𝑃(𝐶)+𝑃(¯)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴3)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=,由全概率公式可得：𝑃(𝐷)=𝑃(𝐷|𝐴0)𝑃(𝐴0)+𝑃(𝐷|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐷|𝐴2)𝑃(𝐴2)宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结𝑃(𝐴0)=𝑃(¯)𝑃(?¯?)𝑃(¯)=𝑃(𝐴1)=𝑃(𝐴)𝑃(?¯?)𝑃(¯)+𝑃(¯)𝑃(𝐵)𝑃(¯)+𝑃(¯)𝑃(?¯?)𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴2)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(¯)+𝑃(𝐴)𝑃(?¯?)𝑃(𝐶)+𝑃(¯)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=𝑃(𝐴3)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)𝑃(𝐶)=,由全概率公式可得：𝑃(𝐷)=𝑃(𝐷|𝐴0)𝑃(𝐴0)+𝑃(𝐷|𝐴1)𝑃(𝐴1)+𝑃(𝐷|𝐴2)𝑃(𝐴2)+𝑃(𝐷|𝐴3)𝑃(𝐴3)=×+×+1×=宁同科概率与数理统计
解：用𝐸表示随机抽取三件乐器这个随机试验，样本空间为𝑆，𝐻𝑖(𝑖=0,1,2,3)表示事件“随机地取出3件乐器，其中恰好有𝑖件音色不存”；用𝐴表示事件“这批乐器被接收”则，𝐻0,𝐻1,𝐻2,𝐻3构成𝑆的一个划分。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例11.)要验收一批(100件)乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的)，如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收。设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为。如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的。试问这批乐器被接收的概率是多少？宁同科概率与数理统计
则，𝐻0,𝐻1,𝐻2,𝐻3构成𝑆的一个划分。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例11.)要验收一批(100件)乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的)，如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收。设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为。如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的。试问这批乐器被接收的概率是多少？解：用𝐸表示随机抽取三件乐器这个随机试验，样本空间为𝑆，𝐻𝑖(𝑖=0,1,2,3)表示事件“随机地取出3件乐器，其中恰好有𝑖件音色不存”；用𝐴表示事件“这批乐器被接收”宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例11.)要验收一批(100件)乐器。验收方案如下：自该批乐器中随机地取3件测试(设3件乐器的测试是相互独立的)，如果3件中至少有一件在测试中被认为音色不纯，则这批乐器就被拒绝接收。设一件音色不纯的乐器经测试查出其为音色不纯的概率为；而一件音色纯的乐器经测试被误认为不纯的概率为。如果已知这100件乐器中恰有4件是音色不纯的。试问这批乐器被接收的概率是多少？解：用𝐸表示随机抽取三件乐器这个随机试验，样本空间为𝑆，𝐻𝑖(𝑖=0,1,2,3)表示事件“随机地取出3件乐器，其中恰好有𝑖件音色不存”；用𝐴表示事件“这批乐器被接收”则，𝐻0,𝐻1,𝐻2,𝐻3构成𝑆的一个划分。宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐴|𝐻0)=,𝑃(𝐴|𝐻1)=×,𝑃(𝐴|𝐻2)=0(︃.99×)︃(︃,𝑃(𝐴)︃|𝐻3)=,(︃)︃(︃)︃(︃)︃而496100𝑃(𝐻0)=96100/,𝑃(𝐻1)=/(︃)︃3(︃)︃3(︃)︃1(︃2)︃(︃3)︃496100100𝑃(𝐻2)=/,𝑃(𝐻3)=4/21333所以∑︁3𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐻𝑖)𝑃(𝐻𝑖)=++0+0=𝑖=0条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为，而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的概率为，并且三件乐器的测试是相互独立的，因而有宁同科概率与数理统计
𝑃(𝐴|𝐻2)=0(︃.99×)︃(︃,𝑃(𝐴)︃|𝐻3)=,(︃)︃(︃)︃(︃)︃而496100𝑃(𝐻0)=96100/,𝑃(𝐻1)=/(︃)︃3(︃)︃3(︃)︃1(︃2)︃(︃3)︃496100100𝑃(𝐻2)=/,𝑃(𝐻3)=4/21333所以∑︁3𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐻𝑖)𝑃(𝐻𝑖)=++0+0=𝑖=0条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为，而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的概率为，并且三件乐器的测试是相互独立的，因而有𝑃(𝐴|𝐻0)=,𝑃(𝐴|𝐻1)=×,宁同科概率与数理统计
(︃)︃(︃)︃(︃)︃(︃)︃(︃)︃而96100496100𝑃(𝐻0)=/,𝑃(𝐻1)=/(︃)︃3(︃)︃3(︃)︃1(︃2)︃(︃3)︃496100100𝑃(𝐻2)=/,𝑃(𝐻3)=4/21333所以∑︁3𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐻𝑖)𝑃(𝐻𝑖)=++0+0=𝑖=0条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为，而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的概率为，并且三件乐器的测试是相互独立的，因而有𝑃(𝐴|𝐻0)=,𝑃(𝐴|𝐻1)=×,𝑃(𝐴|𝐻2)=×,𝑃(𝐴|𝐻3)=,宁同科概率与数理统计
(︃)︃(︃)︃(︃)︃(︃)︃(︃)︃496100100𝑃(𝐻2)=/,𝑃(𝐻3)=4/21333所以∑︁3𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐻𝑖)𝑃(𝐻𝑖)=++0+0=𝑖=0条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为，而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的概率为，并且三件乐器的测试是相互独立的，因而有𝑃(𝐴|𝐻0)=,𝑃(𝐴|𝐻1)=×,𝑃(𝐴|𝐻2)=0(︃.99×)︃(︃,𝑃(𝐴)︃|𝐻3)=,(︃)︃(︃)︃(︃)︃而496100𝑃(𝐻0)=96100/,𝑃(𝐻1)=/33123宁同科概率与数理统计
所以∑︁3𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐻𝑖)𝑃(𝐻𝑖)=++0+0=𝑖=0条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为，而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的概率为，并且三件乐器的测试是相互独立的，因而有𝑃(𝐴|𝐻0)=,𝑃(𝐴|𝐻1)=×,𝑃(𝐴|𝐻2)=0(︃.99×)︃(︃,𝑃(𝐴)︃|𝐻3)=,(︃)︃(︃)︃(︃)︃而496100𝑃(𝐻0)=96100/,𝑃(𝐻1)=/(︃)︃3(︃)︃3(︃)︃1(︃2)︃(︃3)︃496100100𝑃(𝐻2)=/,𝑃(𝐻3)=4/21333宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结已知一件音色纯的乐器，经测试被认为音色纯的概率为，而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的概率为，并且三件乐器的测试是相互独立的，因而有𝑃(𝐴|𝐻0)=,𝑃(𝐴|𝐻1)=×,𝑃(𝐴|𝐻2)=0(︃.99×)︃(︃,𝑃(𝐴)︃|𝐻3)=,(︃)︃(︃)︃(︃)︃而496100𝑃(𝐻0)=96100/,𝑃(𝐻1)=/(︃)︃3(︃)︃3(︃)︃1(︃2)︃(︃3)︃496100100𝑃(𝐻2)=/,𝑃(𝐻3)=4/21333所以∑︁3𝑃(𝐴)=𝑃(𝐴|𝐻𝑖)𝑃(𝐻𝑖)=++0+0=𝑖=0宁同科概率与数理统计
解：采用三局二胜制，甲最终获胜，其生局的情况是：“甲甲”或“甲乙甲”或“乙甲甲”且他们互不相容。所以甲最终获胜的概率为:𝑝1=𝑝2+2𝑝2(1−𝑝)条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例12.)甲乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为𝑝,𝑝≥1/2.问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利。设各局胜负相互独立。宁同科概率与数理统计
“甲甲”或“甲乙甲”或“乙甲甲”且他们互不相容。所以甲最终获胜的概率为:𝑝1=𝑝2+2𝑝2(1−𝑝)条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例12.)甲乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为𝑝,𝑝≥1/2.问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利。设各局胜负相互独立。解：采用三局二胜制，甲最终获胜，其生局的情况是：宁同科概率与数理统计
𝑝1=𝑝2+2𝑝2(1−𝑝)条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例12.)甲乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为𝑝,𝑝≥1/2.问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利。设各局胜负相互独立。解：采用三局二胜制，甲最终获胜，其生局的情况是：“甲甲”或“甲乙甲”或“乙甲甲”且他们互不相容。所以甲最终获胜的概率为:宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例12.)甲乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为𝑝,𝑝≥1/2.问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利。设各局胜负相互独立。解：采用三局二胜制，甲最终获胜，其生局的情况是：“甲甲”或“甲乙甲”或“乙甲甲”且他们互不相容。所以甲最终获胜的概率为:𝑝1=𝑝2+2𝑝2(1−𝑝)宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结例子Example(例12.)甲乙两人进行乒乓球比赛，每局甲胜的概率为𝑝,𝑝≥1/2.问对甲而言，采用三局二胜制有利，还是采用五局三胜制有利。设各局胜负相互独立。解：采用三局二胜制，甲最终获胜，其生局的情况是：“甲甲”或“甲乙甲”或“乙甲甲”且他们互不相容。所以甲最终获胜的概率为:𝑝1=𝑝2+2𝑝2(1−𝑝)宁同科概率与数理统计
而𝑝2−𝑝1=3𝑝2(𝑝−1)2(2𝑝−1)当𝑝>1/2时，𝑝2>𝑝1;当𝑝=1/2时，𝑝2=𝑝1.因此：当𝑝>1/2时，对甲来说采用五局三胜制有利。当𝑝=1/2时，两种赛制对甲乙来算胜算机会相同。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结采用五局三胜制，甲最终获胜至少需要比赛3局且最后一局必须甲获胜，而前面两局甲需要胜二局。有独立性，在五局三胜制下甲最终获胜的概率为(︃)︃(︃)︃𝑝3342=𝑝+3𝑝(1−𝑝)+𝑝3(1−𝑝2)22宁同科概率与数理统计
当𝑝>1/2时，𝑝2>𝑝1;当𝑝=1/2时，𝑝2=𝑝1.因此：当𝑝>1/2时，对甲来说采用五局三胜制有利。当𝑝=1/2时，两种赛制对甲乙来算胜算机会相同。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结采用五局三胜制，甲最终获胜至少需要比赛3局且最后一局必须甲获胜，而前面两局甲需要胜二局。有独立性，在五局三胜制下甲最终获胜的概率为(︃)︃(︃)︃𝑝3342=𝑝+3𝑝(1−𝑝)+𝑝3(1−𝑝2)22而𝑝2−𝑝1=3𝑝2(𝑝−1)2(2𝑝−1)宁同科概率与数理统计
当𝑝=1/2时，𝑝2=𝑝1.因此：当𝑝>1/2时，对甲来说采用五局三胜制有利。当𝑝=1/2时，两种赛制对甲乙来算胜算机会相同。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结采用五局三胜制，甲最终获胜至少需要比赛3局且最后一局必须甲获胜，而前面两局甲需要胜二局。有独立性，在五局三胜制下甲最终获胜的概率为(︃)︃(︃)︃𝑝3342=𝑝+3𝑝(1−𝑝)+𝑝3(1−𝑝2)22而𝑝2−𝑝1=3𝑝2(𝑝−1)2(2𝑝−1)当𝑝>1/2时，𝑝2>𝑝1;宁同科概率与数理统计
因此：当𝑝>1/2时，对甲来说采用五局三胜制有利。当𝑝=1/2时，两种赛制对甲乙来算胜算机会相同。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结采用五局三胜制，甲最终获胜至少需要比赛3局且最后一局必须甲获胜，而前面两局甲需要胜二局。有独立性，在五局三胜制下甲最终获胜的概率为(︃)︃(︃)︃𝑝3342=𝑝+3𝑝(1−𝑝)+𝑝3(1−𝑝2)22而𝑝2−𝑝1=3𝑝2(𝑝−1)2(2𝑝−1)当𝑝>1/2时，𝑝2>𝑝1;当𝑝=1/2时，𝑝2=𝑝1.宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结采用五局三胜制，甲最终获胜至少需要比赛3局且最后一局必须甲获胜，而前面两局甲需要胜二局。有独立性，在五局三胜制下甲最终获胜的概率为(︃)︃(︃)︃𝑝3342=𝑝+3𝑝(1−𝑝)+𝑝3(1−𝑝2)22而𝑝2−𝑝1=3𝑝2(𝑝−1)2(2𝑝−1)当𝑝>1/2时，𝑝2>𝑝1;当𝑝=1/2时，𝑝2=𝑝1.因此：当𝑝>1/2时，对甲来说采用五局三胜制有利。当𝑝=1/2时，两种赛制对甲乙来算胜算机会相同。宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结1条件概率2全概率公式和贝叶斯公式3事件独立性4小结宁同科概率与数理统计
𝑛(𝑛≥2)个事件𝐴1,𝐴2,···,𝐴𝑛相互独立⇔∀1<𝑘≤𝑛,𝑃(𝐴𝑖1𝐴𝑖2···𝐴𝑖𝑘)=𝑃(𝐴𝑖1)𝑃(𝐴𝑖2)···𝑃(𝐴𝑖𝑘)2.事件𝐴，𝐵相互独立⇔𝐴与?¯?；¯与𝐵；¯与?¯?相互独立。3.全概率公式。4.贝叶斯公式。条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结小结1.事件𝐴,𝐵相互独立⇔𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵)宁同科概率与数理统计
条件概率全概率公式和贝叶斯公式事件独立性小结小结1.事件𝐴,𝐵相互独立⇔𝑃(𝐵|𝐴)=𝑃(𝐵)𝑛(𝑛≥2)个事件𝐴1,𝐴2,···,𝐴𝑛相互独立⇔∀1<𝑘≤𝑛,𝑃(𝐴𝑖1𝐴𝑖2···𝐴𝑖𝑘)=𝑃(𝐴𝑖1)𝑃(𝐴𝑖2)···𝑃(𝐴𝑖𝑘)2.事件𝐴，𝐵相互独立⇔𝐴与?¯?；¯与𝐵；¯与?¯?相互独立。3.全概率公式。4.贝叶斯公式。宁同科概率与数理统计
