第八章 卖方双头垄断、买方寡头垄断和双边垄断
到此为止，我们所考虑的市场形式，是以存在唯一一个卖主（卖方垄断），或者存在大量卖主（完全竞争和卖方垄断竞争）为特征的。在前一种情形下，卖主无竞争对手，因而不必考虑她的行动对其竞争对手可能产生的影响。在后一种情形下，卖主非常之多，任何一个卖主的行动，对其竞争对手都只有可以忽略不计的影响。
卖主数目很小但又大于1的市场，提出了新问题。有两个卖主的市场是卖方双头垄断市场（duopoly market），卖主很少但多于两个的市场叫卖方寡头垄断市场（oligopoly market）。假设一个相同产品（homogeneous product）市场。买主之间的竞争将产生一种全部卖主的唯一价格。但是，每个卖主都与市场有重大联系，使其行动能对其竞争对手产生明显的影响。一个卖主的产出的变动，将影响所有卖主得到的价格。单个卖主力图实施的价格变动的后果，是不确定的。他的竞争对手可能跟着其变动，也可能不跟随其变动，但是，他不能再假定他们不注意他的变动，部分卖方双头垄断者或卖方寡头垄断者任何变动的结果，取决于其对手的反映。对于单个厂商，不可能确定价格－销量关系，因为，一般来说，反应模型是不知道的。绝对的利润最大化是不可能的，因为，单个厂商不可能控制影响其利润的一切变量。对于卖方双头垄断和卖方寡头垄断市场，存在着许许多多的可能的反应模型，因此，也就存在着许许多多的卖方双头垄断和卖方寡头垄断的理论。在这一章中，我们只能讨论许多可能的反应模型中的少数几种。
在本章第一节里，讨论拥有相同产品的卖方双头垄断者和卖方寡头垄断者的几个具体理论。第二节的主题则是拥有差别产品（differentiated product）的卖方双头垄断和卖方寡头垄断。第三节是卖方双头垄断和卖方寡头垄断的概要。第四节讨论的是对策论（theory of games）及其在只有不多的参与者的市场中的应用。在第五节里，把本章展开的某些概念运用到了双边垄断情形。
第一节 卖方双头垄断与卖方寡头垄断：相同产品
双头垄断行业包括两个卖主；卖方寡头垄断行业，包括足够少的卖主，使得任何一个卖主的行动都能对其竞争对手产生有感影响。单是根据卖主数量，要把卖方寡头垄断与相同产品的完全竞争，或差别产品的卖方垄断竞争中有许多卖主的情形，完全区分开来，是很困难的。基本的不同性质，是各个卖主的行动的相互依存关系。如果一个卖主的数量决策对另一个卖主的利润的影响，，是无感的（imperceplible）,则该行业满足完全竞争和有许多卖主情形下卖方垄断竞争的基本要求。如果的数值大小值得重视，则该行业是双头垄断的或寡头垄断的。
卖方双头垄断者（duopolist）或卖方寡头垄断者（oligopolist）的价格—数量组合和利润，取决于其市场所有成员的行动。他能控制他自己的产出水平（或价格，如果他的产品有差别的话），但是，他不能直接控制影响其利润的所有其他变量。每个卖主的利润，都是所有市场成员决策的相互作用的结果。就像完全竞争者和卖方垄断者一样，对于卖方的寡头垄断者和双头垄断者，不存在普通接受的行为假定。卖方双头垄断者的和卖方寡头垄断者的市场，存在许多不同的解，每一个解都是建立在一系列不同的行为假定基础上的。
在这一节里，确定了对应于完全竞争的价格等于MC的条件的解，然后与建立在具体的行为假定基础上的三个解的可比结果作了比较。这里论述的每一个问题都是因卖方双头垄断市场而展开的，但每一个都可推广到卖方寡头垄断市场。
一，准竞争解
考虑一个市场，两个厂商生产一种相同产品。反需求函数表明价格是总销售量的函数：
（8-1）
其中，和为卖方双头垄断者的产出水平。每个双头垄断者的总收益，取决于其自己的产出水平和其竞争对手的产出水平：
每个卖方双头垄断者的利润：
(8-2)
完全竞争解是以价格与MC相等为特征的。卖主数目很小的市场的准竞争解定义为，如果每个卖主都遵循竞争法则，应该实现的解。它由解方程
（8-3）
求出来决定。在任何特定市场中，准竞争解也许实现，也许没有实现。在任何一种情况下，它都提供一种标准，使得为数不多的解可以进行比较。在福利经济学中，这种比较尤其重要（见第十一章）。
为阐述起见，设需求函数和成本函数由：
（8-4）
给定。根据这个例子，求（8—3）的解，并代入（8-2），得出准竞争解
（8-5）
这种解可与下列解进行比较。
二，串谋解
卖方双头（或寡头）垄断者可能会认识到他们的相互作用关系，并且，为了行业总利润的最大化，采取联合行动。因此，每个卖方双头（或寡头）垄断者的产出水平，都在同一控制之下，从效应上看，该行业就是一个卖方垄断行业。令：
总利润是：
它与（7-16）相同，是有两个工厂的卖方垄断者的利润函数，这样，一阶条件要求，每个生产者的MC等于整个产出的MR。
考虑（8-4）给定的例子，行业利润是：
令的偏导数等于零,
解出和，并代入利润方程和需求方程，得
（8-6）
与（8-5）给出的准竞争解相反，总产出非常低，价格非常高，利润也非常高。在两种解中，两个厂商的MC都是相等的，但是，现在这些MC都与行业MR相等，而不是与价格相等。（8-6）的利润水平，由单个厂商的利润函数给出。总利润的最终分配，或许取决于卖方双头垄断者之间的谈判。
三，库诺解
卖方双头（和寡头）问题的古典解，与19世纪早期的法国经济学家库诺（Augustin Cournt）的名字联系在一起。假定两个厂商生产相同产品。库诺解的基本行为假定是，根据其竞争对手的产量不因其自己的产量决策而变动的假设，每个双头垄断者最大化其利润。第一个卖方双头垄断者（简写为Ⅰ）决定以最大化，把看作一个参数。第二个卖方双头垄断者（简写为Ⅱ）决定以最大化，把做为一个参数。令（8-2）相应的偏导数等于零：
（8-7）
一阶条件要求每个卖方双头垄断者的MR等于其MC。二阶条件要求每个卖方双头垄断者的MR，必须比其MC较缓慢地上升，即：
，或，i=1,2 （8－8）
库诺解的最大化过程，不同于有两个工厂的卖方垄断者的最大化过程，在那里，每个工厂的产出水平受唯一一个人的控制。在这里，每个卖方双头垄断者根据在其控制之下的唯一变量，最大化其利润。它允许双头垄断者们的MR不一定相等。令和。卖方双头垄断者的MR为：
证明： ，
可知，产出较大的卖方双头垄断者，其MR将较小。
如果和的值是这样的，即每个卖方双头垄断者最大化其利润，给定其他双头垄断者的产出，并且，没有谁愿意改变其产出，则卖方双头垄断市场处于均衡状态。如果（8-8）得到满足，则根据（8-7）解出和，就能得出均衡解。
在求出均衡产品水平以前，引用一些别的步骤，可以把市场过程描述得更为全面。反应函数表明，每个卖方双头垄断者的产出是其竞争对手的产出的函数，它由解（8-7）的第一个方程求和解第二个方程求决定：
（8-9）
Ⅰ的反应函数给出了和之间的关系，和有这样的性质：:对于任何特定的的值，对应的值都最大化。Ⅱ的反应函数给出的值，对于任何特定的的值，这个的值都最大化，均衡解是一对和的值，它们同时满足两个反作用函数。
如果需求和成本函数为：
且所有参数都是正数，则卖方双头垄断者的利润为：
令相应的偏导数等于零,
对应的反应函数为：
（8-10）
q2
q1=
E
O q1
图8-1
因为B，b1，b2都是正数，所以，任意一个卖方双头垄断者产出的增加，都将导致其他卖方双头垄断者最优产出的下降。反应函数是象图8-1所示的那样线性的。（8-10）的解，或者说反应曲线的交点，如图8-1中的E点，提供了一种均衡。（8-10）的解是：
二阶条件得到线性需求和二次成本函数的满足：
回到（8-4）那个例子，读者可以证明，反应函数为：
（8-11）
而其均衡解为
与准竞争解（8-5）比较可以看到，库诺卖方双头垄断者生产较少的总产出，价格较高，利润较大。与串谋解（8-6）比较表明，库诺卖方双头垄断者总产出较高，价格较低，总利润较小。由此可见，对于如何分配行业利润的协议，无论对于哪一个卖方双头垄断者，串谋解都比库诺解好。然而，容易看到，串谋解并不是唯一一个优于库诺解者。例如，如果Ⅰ生产79单位的，Ⅱ生产29单位的（二者都比库诺解少1单位），他们的利润应分别为。这样，根据其他卖方双头垄断者生产其库诺均衡产出的假定，虽然库诺解对每个卖方双头垄断者是最优的，但是，对于产出水平的协同变动（joint and coordinated changes），库诺解却并不是最优的。
库诺解的基本行为假定，在相当大程度上是人为的和无力的，每个卖方双头垄断者好像其竞争对手的产出是固定的一样地行动。然而，实际并非如此。如果认为通过连续不断的调整达到均衡（见习题8-9），则一个卖方双头垄断者确定一种产出，就会导致另一个卖方双头垄断者调整其产出，而这又反过来引致第一个卖方双头垄断者调整其产出，如此等等。认为每一方都将假定如果他的每次调整都随着其竞争对手的反应而立即进行，他的数量决策就不会影响其对手的数量决策，这种认识是很不现实的。如果认为均衡是同时达到的，则卖方双头垄断者Ⅰ的最优数量并不是由给出的，而是由给定的，卖方双头垄断者Ⅱ则与此相似，因为，每一方都知道对方的行为模型。换句话说，这实际上假定，每一方都根据其对手的价格保持不变的假设最大化其利润，但是，对于相同产品，这是一种非常不现实的假设。卖方双头垄断者和买方寡头垄断者一般都认识到他们的相互依存关系。
在某些情况下，库诺解与限制厂商数目增加情况下的准竞争解是一致的。作为一种叙述，假定有n个厂商，其产出水平为，并令反需求函数为，其中。设所有厂商都是可以确认的，并且总成本。如果有一种相同产品，而厂商有可确认的成本，且每个厂商将生产产出水平。为得到库诺解微分
对于：
代入，得：
当n→∞时，q→（c/a）1/b。通过解aqb =c（在这种情况下p=MC）求q可以证明，这就是准竞争解。
四、斯塔克伯格解
一般来说，每个卖方双头垄断者的利润都是双方产出水平的函数：
（8-12）
库诺解是假定q2是常数，调整q1最大化π1，和假定q1为常数，调整q2最大化π1而得到的。更一般地说，每个厂商都可能制定关于其竞争对手的反应的某些其他假定。这样，两个卖方双头垄断者的利润最大化要求
（8-13）
和代表推测变量（conjectural variation），即每个厂商对其竞争对手产出的反应。
建立有关推测变量假设的比较有趣的事例之一，包含在对领导厂商和追随厂商的分析中，这个分析由德国经济学家斯塔克伯格（Heinrich Von Stackelberg）展开。追随厂商遵循其反作用函数（8-9），根据其假定为领导厂商的竞争对手给定的数量决策，调整其产出水平，以最大化其利润。领导厂商却并不遵循其反作用函数，他假定其竞争对手像追随厂商一样行动，根据给定的其对手的反作用函数，最大化其利润。如果Ⅰ想充当领导厂商的角色，那他假定Ⅱ的反作用函数是有效的，并把这种关系代入其利润函数：
现在，Ⅰ的利润只是的函数，从而可以根据这唯一的变量最大化。
假定Ⅰ遵循其反作用函数并像追随厂商一样行动的，Ⅱ也能从领导厂商的角度决定其最大利润。作为追随厂商的Ⅱ的最大利润，由把Ⅰ的最优领导厂商产出水平代入Ⅱ的反作用函数来决定。
每个卖方双头垄断者都从领导厂商和追随厂商两个角度决定其最大利润，并想充当产生较大的最大利润的角色。有四种可能的结果：
（1）Ⅰ想当领导厂商，Ⅱ想做追随厂商。Ⅰ假定Ⅱ将像追随厂商那样行动，他确实那样做；Ⅱ假定Ⅰ将像领导厂商那样行动，他也确实那样做。结果形成一致的行为模型，因而达到一种明确的均衡。
（2）Ⅱ想当领导厂商，Ⅰ想做追随厂商。同样也形成一种明确的均衡。
（3）二者均想做追随厂商。如果二者都想成为追随厂商，他们的期望就回落空，因为每个人都假定另一个人为领导厂商。这时，卖方双头垄断者必须改变他们的期望。在斯塔克伯格假定下，如果每个人都期望像追随厂商那样行动，并知道另一个人将也像追随厂商那样行动，就能实现库诺解。否则，在能够实现均衡之前，一个人必须改变其行为模型，并像领导厂商那样行动。
（4）二者均想当领导厂商。如果二者都想成为领导厂商，每一个人都假定另一个人的行为由其反作用函数制约，但是，事实上，一个反作用函数也没得到遵循，这时就会出现斯塔克伯格不均衡。斯塔克伯格相信，这种不均衡是最常出现的结果。斯塔克伯格不均衡的最终结果不可能先验地预测。如果他是正确地，这种情形将导致经济激战。而且，直至一个人已屈服于另一个人的领导或者共同协议已经达成，均衡不会实现。
再回到（8-4）给定的例子。Ⅰ的最大化领导厂商利润，是通过把Ⅱ的反作用函数（8-11）代入Ⅰ的利润方程而得到的：
对于最大化，
Ⅱ与此相似，
为了决定追随厂商Ⅰ的最大利润，首先通过把Ⅱ的领导者产出（35单位）代入其反作用函数（8-11）决定他的产出，然后再计算他的利润：
相仿，把代入追随厂商Ⅱ的反作用函数，然后计算他的利润：
每个卖方垄断者都从充当领导厂商中得到一定的更大利润，因而双方都希望像领导厂商那样行动。库诺解很容易确定的一个例子，由于基本行为假定的改变，已经变成了一种斯塔克伯格不均衡。
第二节 卖方双头垄断与卖方寡头垄断：差别产品
像垄断竞争一样，在卖方双头垄断和卖方寡头垄断情况下，也可能发生产品差别。
一，产品差别
在卖方寡头垄断市场上，差别产品的各个生产者面临其自己独特的需求曲线。他能销售的数量，取决于该行业所有成员的价格决策：
（8-14）
其中，对于一切 EMBED 和。第i个销售者价格的提高，在所有其他价格保持不变的情况下，导致其产出水平的下降。他的某些客户将转向其竞争对手。如果某些其他销售者提高价格，则第i个销售者可以固定价格销售更大数量，他的竞争对手的某些客户将转到他这儿来。在垄断竞争条件下，一个生产者的行动的效应，是不知不觉地扩散到很多地竞争者中地，在卖方双头垄断和卖方寡头垄断情况下，这种效应却是明显地扩散到少数几个竞争对手中间的。
各个生产者既可确定价格，也能决定生产数量，需求函数可以表示成其反函数的形式，其中把产出水平作为自变量：
（8－15）
通过用各个需求函数替换，库诺解、串谋解和斯塔克伯格解很容易修正，以适应于产品差别：
这种分析还能扩张到价格是自变量的情形：
利润被表示为生产数量的函数：
通过变换得：
每个卖方双头垄断者的利润，都是双方价格的函数。而最大化则可以根据价格来进行。
在差别产品情形下，卖方双头垄断者的利润也许还取决于他们的广告支出的数量。如果广告是有效的，它可使得一个厂商以既定的价格销售更大数量的产品，或以更高的价格销售既定的产品数量。需求曲线为
其中，A1和A2分别是Ⅰ和Ⅱ的广告支出数量。利润函数变成
现在，每个卖方双头垄断者必须象对待其产出水平一样，根据其广告支出最大化其利润。
二，市场份额解
推测变量的另一形式是假定Ⅱ期望保持差别产品总销售量的一定的固定份额，而不管他的行动对其短期利润有何影响。他的主要注意力放在通过维持一定的市场份额而获取长期利润上，Ⅰ的数量变动，将立即伴之以Ⅱ的相应变动。其关系式是
（8-16）
其中，k是Ⅱ期望的市场份额，将始终保持不变。Ⅰ的行动总是有Ⅱ以预先决定了的方式随着行动，在这种意义上说，Ⅰ是个市场领导厂商。
Ⅰ的反需求函数是，而他的利润函数是
根据（8-16）代入得：
Ⅰ的利润只是的函数，因而，只要Ⅱ坚持保持他的市场份额，Ⅰ就可以根据这一唯一的变量最大化其利润。
令Ⅰ的需求和成本函数为
设，因而。Ⅰ的利润是
令的一阶导数等于零，解求，并代入上述关系式，
Ⅰ在10单位产出时最大化其利润，这时Ⅱ生产5单位。
三，奇异需求曲线解——斯威齐模型
某些卖方双头垄断和寡头垄断市场，是以价格的极少变动为特征的。在这种市场上，厂商们的成本曲线作小规模的移动，但它们一般却并不改变他们的价格－数量组合。奇异需求曲线解（kinked-demand-curve solution）提供了一种与这种观察到的行为相一致的理论分析。从预定的价格－产量组合出发，如果卖方双头垄断者中的一方降低其价格（提高其产量），假定另一方为了维持其市场份额，也降低价格（提高产量），如果卖方双头垄断者中的一方提高其价格，假定另一方却使其价格保持不变而提高其市场份额。价格降低是跟随的，价格提高却不跟随。
假定卖方双头垄断者的反需求函数和成本函数为
（8-17）
现在确定的价格和产量为。如果Ⅰ提高价格，Ⅱ将使自己的价格保持在55美元不变。把代入Ⅱ的需求函数（8-17），并解之求，得
（8-18）
当Ⅰ提高其价格，从而降低其产出水平时，Ⅱ的产出水平和市场份额将提高，把由（8-18）给出的的值代入Ⅰ的需求函数（8-17），得
（8-19）
给定Ⅱ把其价格保持在55美元的假定，则Ⅰ的价格只是的函数。从最初的状态出发，（8-19）只有当时才是有效的。Ⅰ提高价格的MR函数，可以通过从（8-19）建立他的总收益函数而取得：
从而 （8-20）
当时，Ⅰ提高价格的MR为美元。
如果Ⅰ降低价格，由（8-19）和（8-20）给出的需求和MR函数都是无效的。在这种情形下，Ⅱ将跟着降低一定幅度的价格，直至足够允许他保持总销量的一半。当Ⅱ努力维持其市场份额：时，Ⅱ必须把产出水平提高到与Ⅰ相同的数量，把代入Ⅰ的需求函数（8-17），得
（8-21）
给定Ⅱ维持其市场份额得事实，则Ⅰ的价格只是的函数。对于，（8-21）给出的需求函数是有效的，通过从（8-21）建立总收益函数，可以得到降低价格时Ⅰ的MR函数：
从而
当时，降低价格的Ⅰ的MR是40美元。
初始状态代表Ⅰ的最大利润点。他的10单位产出的MC是50美元。他不可能通过提高价格（降低产出水平）来增加其利润，因为MR 超过MC（），而这种差将因价格提高而扩大。他不能利用降低价格（提高产量）来增加利润，因为MR小于MC（40<50），而这种差将因价格下降而扩大。对于从到40美元之间的任何MC的值，他最初的价格－产量组合都是最合适的。数量不超过10美元的他的MC的下降，不会引致他降低价格而扩大销量。同样，数量不超过美元的MC的提高，也不会引致他提高价格而缩小其销量。
从图形上看，Ⅰ的有效需求曲线是“奇异的”，而他的有效MR曲线在其最初产出水平上则是不连续的。如果Ⅱ的反应是维持其市场份额，则Ⅰ的需求曲线为（见图8-2）；如果Ⅱ的反应是维持其价格，则Ⅰ的需求曲线为。对价格提高是有效的，而则对价格降低是有效的。他的有效MR曲线，相当于对应于到其最初产出水平左边的MR曲线和对应于到其最初产出水平右边的MR曲线。Ⅰ无法使MR等于MC。
p1
D’
MC
D
MR
D
D’
MR’
q1
O
图： 8-2
第三节 买方双头垄断与买方寡头
第七章第四节考虑了买方垄断者的情形。在某些投入市场上，买主数量不止一个，但仍然很少，使得按不变的竞争价格购买的假定无法维持。这种市场在这一节予以考虑。只有两个买主的市场叫做买方双头垄断市场（duopsony），买主很少但多于两个的市场叫做买方寡头垄断市场（oligopsony）。
买主数量很少的市场同卖主很少的市场是相似的：每个买主都能控制其购买水平，但是，每个买主都明显地受其他买主行为的影响。无差别产品的大多数卖方双头垄断和卖方寡头垄断的理论，都可以修正以适应于买方双头垄断的理论。这儿考虑经过修正的库诺解。
假设一个地方的劳工市场，那儿有两个厂商从许多竞争性卖主那儿购买劳动。如前一样，劳动的价格是数量的增函数：
其中，是两个厂商购买的数量。假定每个买主用劳动生产一种商品，并把它在竞争性市场上按固定价格销售。他们的生产函数为
他们的利润分别为
（8-22）
基本的库诺行为假定：每个双头垄断者根据对方行为不受其影响的假定，最大化其利润。
令（8-22）相应的偏导数等于零，
因而
（8-23）
每个买方双头垄断者都使其边际产品值等于他的投入的边际成本。除非，否则，在均衡情形下，买方双头垄断者将不可能有相同的边际成本。购买水平较高的买方双头垄断者将有较高的边际成本。二阶条件是（7-32）的直接一般化：每个买方垄断者的边际产品之值，必定以缓于其边际成本的速度上升。
投入的反应函数把每个买方双头垄断者的购买量表达为另一个的购买量的函数，它可以通过解（8-23）的第一个方程求来决定：
解的范围可能与卖方双头垄断情形相似，并能适应斯塔克伯格式的领导厂商或追随厂商模型。
第四节 博弈论
本章第一节和第二节对卖方双头垄断和卖方寡头垄断的讨论，运用微积分学而求得解析解。然而，它们都有问题，都武断地假定：每个厂商关于其竞争对手对其行动的反应的自信。数学上的博弈论是另一种方法，它已被广泛用于具有相互作用结果的小数量市场的分析。本节前三部分讨论非合作博弈，主要是二人零和博弈，以及纳什均衡。本节的最后两部分讨论合作博弈，即参与者对联合行为有兴趣的情况。
一，二人零和博弈
博弈一般包括三个基本因素：局中人、策略集和支付矩阵。局中人就是博弈的所有参与者，策略集就是每个局中人可以采取的各种策略的集合，策略是指局中人的具体活动的明确规定，一般假设策略集是有限集。支付矩阵反映每个局中人在每个特定的策略组合下的收益。
非合作博弈是指博弈的局中人不可能事先协调他们的策略，或者即便协调了，也有可能违反协议。
一个博弈可能是由一系列连续的行动构成的，称作重复博弈，如在国际象棋中；也可能是由其每个参与者的一次性活动构成，称作单次博弈。一个博弈又可以按照信息条件分为完全信息博弈和不完全信息博弈。一个博弈还可以按照局中人的人数分为一人，二人，三人，在一般情况下，n个人博弈。一个博弈还可以按照局中人的收益的代数和的不同分为负和博弈、零和博弈和正和博弈，零和博弈一定是非合作博弈，因为如果一个局中人总是亏损掉另一个所赢取的，那就不可能有合作的余地。
现在分析完全信息的单次博弈。二人单次博弈的支付矩阵的一般形式如下所示：
B
a11 b11 a12 b12 ………… a1m b1m
a21 b21 a22 b22 ………… a2m b2m
A ………………
An1 bn1 an2 bn2 ………… anm bnm
单人零和博弈是没意义的，困为，当事者除了其策略的选择而外，什么也得不到，一个卖方垄断者或一个买方垄断者可以看作一个人、非零和博弈中的唯一参与者。
二人零和对策可运用于卖方双头垄断市场，一个卖方双头垄断者的策略集包括对其控制下的每个变量具体值的选择。如果价格是他的唯一变量，则一个策略就包括对具体价格的选择。如果价格和广告支出都是变量，则一个策略包括对价格和广告支出各自具体值的选择。每个参与者被假定为掌握有限数目的策略，虽然这个数目也许非常大。这个假定排除了行动变量连续变动的可能性。一旦每个卖方双头垄断者选定了一个策略，卖方双头垄断竞争的结果，即每个参与者获取的利润，就由相关成本和需求关系来决定。
在这种市场里，一个参与者的获利总等于另一个参与者亏损的绝对值。一般地说，如果Ⅰ有m个策略，Ⅱ有n个策略，则对策的可能结果由利润矩阵来给定：
Ⅱ Ⅰ (8-24)
其中，aij是如果Ⅰ运用第i个策略且Ⅱ运用第j个策略，Ⅰ的利润。因为对策是零和的，所以，对应的Ⅱ获取的利润便是-aij。
举个具体例子，来考虑利润矩阵 8 40 20 5 10 30 -10 -8 (8-25)
如果Ⅰ运用第一个策略，Ⅱ运用第二个策略，则Ⅰ的利润是40，Ⅱ的利润则是-40. 如果Ⅰ运用其第二个策略，Ⅱ运用其第三个策略，则Ⅰ利润是-10，Ⅱ的利润则是10。
卖方双头垄断者的决策问题是由最优策略的选择构成的。Ⅰ期望结果在（8-25）的第一行第二列（40），而Ⅱ则期望结果在第二行第三列（-10）。最终的结果取决于卖方双头垄断者双方的策略，谁都无权强行实施自己的期望。如果Ⅰ选择其第一个策略，Ⅱ也许选择其第四个策略，则结果将是5，而不是40。如果Ⅱ选择其第三个策略，Ⅰ也许选择其第一个策略，则结果将是20，而不是-10。
博弈论要求在这些情况下找到均衡的行为。如果Ⅰ选择其第i个策略，他的最小利润，从而Ⅱ的最大利润则由利润矩阵第i行的最小因子给定:。在完全信息条件下，这最小利润便是他期望的从第i个策略的运用中获取的利润。如果Ⅱ没能选择其恰当的策略，则Ⅰ的利润将大于这个数字。Ⅰ希望最大化他的最小期望利润。因此，Ⅰ将选择为最大的策略i。他的预定利润是。他不可能取得更小的利润，而可能有更大的利润。
如果Ⅱ运用其第j个策略，他就担心Ⅰ会运用对应于利润矩阵第j列中最大因子的策略：。因此，Ⅱ选择为最小的策略j，而他的预期利润是。如果 = （8-26） 则卖方双头垄断者的决策是一致的，而均衡也就达到了。令k为=的指数，h为=的指数。如果（8-26）成立，则Ⅰ和Ⅱ的分别第k个策略和第h个策略便称为一个均衡策略对。均衡策略对就是博弈的均衡解，寻找均衡策略对的机制就被称作最大－最小原理。
回到（8-25）给定的例子，Ⅰ将运用他的第一个策略。如果Ⅱ预想到了他的选择，那Ⅰ的利润将是5。如果Ⅰ运用他的第二个策略，且Ⅱ预知了他的选择，则他的利润将为-10。Ⅱ将运用他的第四个策略，把他的亏损限定为5。（8-25）中的其它各列都有大于5的最大值。在这种情形下，
==5 卖方双头垄断者的决策是一致的，一种均衡建立了。哪一个卖方双头垄断者都不能通过改变他的策略而增加利润，如果他的对手的策略不变的话。
非合作博弈可能没有均衡解，也可能有多重均衡解。
假定利润矩阵为 -2 4 -1 6 3 -1 5 10 （8-27） 其中，Ⅰ有两个策略，Ⅱ有四个策略。通过优势（dominance）概念的引进，这个利润矩阵以及它的对策问题都可简化。（8-27）的考察发现，Ⅱ决不会运用他的第三个策略，因为，运用的他的第一个策略，则不管Ⅰ怎样选择策略，他总能比选择第三个策略更好些。一般说来，如果对于一切i都有aij≤ai k，并至少一个i有aij<ai k，则第j列拥有压倒第k列的优势。（8-27）中的第四列也不如第一或第二两列有优势。对于Ⅰ的策略来讲，一般地说，如果对于一切j有aij≥ahj，而对于至少一个j有aij>ahj，则第i行拥有压倒第h行的优势。(8-27)中没有一行有压倒另一行的优势。理智的竞争者决不会不用优势策略。因此，通过排除所有非优势策略，利润矩阵可以简化。去掉（8-27）中的第三、四列，利润矩阵（8-27）变成 -2 4 3 -1 （8-28）
根据上面建立的规则，Ⅰ将运用他的第二个策略，以实现不低于－1的利润；而Ⅱ则力图运用其第一个策略，以实现不低于－3的利润；这些决策是不一致的： =a22= -1≠3=a21= 如果卖方双头垄断者运用这些策略，最初的结果将是a21=3。如果Ⅱ运用他的第一个策略，Ⅰ就只能运用他的第二个策略来实现利润3。然而如果Ⅰ运用第二个策略，则Ⅱ可通过转到第二个策略而把他的亏损由3降到-1。而如果Ⅱ转到第二个策略，则Ⅰ通过转到他的第一个策略能把其利润从-1提高到4。而如果Ⅰ转到他的第一个策略，则Ⅱ能通过转到他的第一个策略而把其亏损从4减少到-2。而如果Ⅱ转到他的第一个策略，则Ⅰ就只能回到他的第二个策略，由此循环往复，导致无止境的波动，没有均衡对存在。
二，混合策略
如果卖方双头垄断者按上述方式选择他们的策略，则一个具体对策可能有解，也可能无
解。像（8-28）中这种对策所出现的僵局，可以通过允许卖方双头垄断者根据概率来选择他们的策略而打破。
令r1,r2,…,rm是Ⅰ运用其m个策略中每一个策略的概率，其中0≦ri≦1(i=1,…,m)，。假定他运用某种随机的方法选择一个具体策略。例如，如果m=3且r1=，r2=，r3=，则他也许把数字0-2分配给第一个策略，把3分配给第二个策略，4-9分配给第三个策略，运用随机方法选定一个一位数，并运用选定的这个数对应的策略。随机选择将不允许Ⅱ预知Ⅰ的选择，哪怕他知道Ⅰ的概率。
Ⅱ也可以随机选择他的策略，把概率s1,s2,…,sn分配给他的策略，其中，0≦sj≦1(j=1,…,n)，。现在，卖方双头垄断者关心期望利润，而不是实际利润。一个卖方双头垄断者的期望利润等于，可能结果乘以各自发生的概率后的总和，比如说，如果Ⅱ运用其第j个策略，且其概率为1，而Ⅰ选择概率r1,…,rm，则Ⅰ的期望利润为。
每个卖方垄断者的决策问题，就是最合适的概率集合的选择，Ⅰ将选择最大化他自己的预期结果的策略（概率集合），也就是最小化Ⅱ的期望结果的策略，Ⅱ也同样如此。如果 ≧Ｖ j=1,…,n (8-29) 且 ≦Ｖ i=1,…,m (8-30) 其中，Ｖ定义为博弈值（value of the game），则卖方双头垄断者所运用的概率定义为最优概率。(8-29)的关系式表明，只要Ⅱ以某一概率运用其任何单一（pure）策略，Ⅰ的期望利润就至少与Ｖ一样大；（8-30）的关系式表明，只要Ⅰ以某一概率运用其任何单一策略，Ⅱ的预期亏损就至少与V一样小。非合作博弈的基本定理（纳什定理）表明，混合策略博弈的解（即满足（8-29）和（8-30）的r和s的值）总是存在的，并且V是唯一的。
如果两个卖方双头垄断者都根据概率选择他们的策略，则Ⅰ的期望利润E1可根据（8-29）来决定： E1=（）≧Ｖ 或 E1= EMBED ≧Ｖ （8-31） Ⅱ的期望亏损E2，可根据（8-30）来决定： E2=（）≦Ｖ 或 E2= EMBED ≦Ｖ (8-32)
(8-31)和（8-32）的中间项是相同的：Ⅰ的期望利润等于的Ⅱ期望亏损。合并(8-31)和（8-32），得： V≦E1＝E2≦V 它证明 E1=E2=V 即如果两方都运用他们的最合适概率，则每个卖方双头垄断者的期望结果是相同的，都等于对策值。如Ⅰ运用其最合适的概率，他的期望利润不可能小于V，而不管Ⅱ如何选择其策略。假如Ⅱ运用非最合适的概率集合，则Ⅰ的利润将大于V。同样，如果Ⅱ运用其最合适的概率，则他的预期亏损不可能大于V，而不管Ⅰ如何选择其策略。假使Ⅰ运用了非最合适的概率组合，则Ⅱ的亏损将小于V。
三，非零和非合作博弈，囚犯困境博弈
囚犯困境博弈是非合作博弈，其特征就是局中人都有动机去违反初始达成的协议。它的支付矩阵：
Ⅰ/Ⅱ 坦白 抗拒
坦白 8 8 0 10
抗拒 10 0 1 1
严格竞争对策理论无法完全满足对卖方寡头垄断行为的解释。卖方寡头垄断者的兴趣
并总是完全相反的，他们的行为也可能是以竞争和合作因素的混和为特征的。在非零（非常）和对策中，就有可能产生合作。虽然偏好的结果也许是通过合作而实现的，但这种对策并不一定导致合作。为阐述起见，考虑一个简单的卖方双头垄断市场，在这个市场上，串谋解被法律禁止了。假定贿赂和利润的重新分配也是非法的。每个卖方双头垄断者都有两个策略：（1）他可声明自己是一个领导者，并且生产相对较多的产出；或者（2）他可声明自己是一个追随者，并且生产相对较少的产出。一旦每个人声明了他自己的地位，他就必须不管其竞争者声明什么，生产他已声明了的产出。假定利润矩阵为
卖方双头垄断者Ⅱ 领导者 追随者 卖方双头 领导者 （200，250）（1000，200）
垄断者Ⅰ 追随者 （150，950）（800，800） 其中，圆括号内每组数字的第一个数和第二个数，分别为Ⅰ和Ⅱ的利润水平。
如果他是领导者，而竞争对手为追随者，则能得到每个卖方双头垄断者的最佳结果；如果他们的角色是相对立的，则得到的就是双方的最坏结果。也许有人提议，对每个人都可行的策略应该是声明自己为追随者，因为这样的话，每一方都能得到中等满足的利润，可是，如果Ⅰ相信Ⅱ将是一个追随者，何况Ⅰ应该是领导者呢？同样的意见也适用于Ⅱ。因为每个人都有当领导者的刺激，于是，他们的“不合作”行为导致了每个人都只达到他的最低利润水平。实际上，卖方双头垄断者的领导者策略构成一个均衡对，而相对有利的追随者策略却没有。显然，双方都能从合作行为中得益。然而，合作能够成功地实现却是不明显的。即使每个人都同意作一个追随者，但每一个人都仍有打破契约、声明自己为领导者的刺激。寻求合作解的可能性，取决于相互达成的牢不可破的许诺和保证的可能性。
四、纳什协议解
考虑一种情形，卖方双头垄断者力图达成上述例子中的合作解（800，800）。假定每方
都希望最大化他的利润的期望效用（服从冯·纽曼—摩根斯顿公理）。假定图8-3中A，B，C和D为效用平面中例子里的四个利润结果。设卖方双头垄断者运用混合策略，则可行的效用区域由四边形ABCD给定（参见练习8-7）。谈判也就是从这个集合中进行点选择。
U2
C（150，950）
E B（800，800）
T
D（200，250）
A（1000，200）
U1 图8-3
假定如果卖方双头垄断者没能达成协议，双方就会相互威胁说为了得到保证的利润，将把他的产出折扣出售。令和代表折扣出售的利润的效用。图8-3中的T点有坐标（，）。合作解的目的是，在T东北的可行效用区域上，为卖方双头垄断者选择一点。很明显，这种解可能有无限多个。
根据纳什协议解（Nash bargaining solution），卖方双头垄断者应该同意这样的策略，它
使函数 W=（－）（－） 在可行效用区域内得以最大化。等W曲线定义为提供相同的W值的效用点的轨迹，它们是以T点为原点的等轴双曲线。随着W的增大这些曲线与T的距离不断扩大。图8-3表明了两条这样的曲线。点E提供纳什解。它位于与可行效用区域至少有一个共同点的最高等W曲线上，同时也在连接点B（双方均为追随者）和点C（Ⅰ为追随者，‖为领导者）的线段上。Ⅰ将运用单一策略，也就是当追随者。Ⅱ将运用组合策略。他的领导者概率由BE与BC的比率决定，他的追随者概率则由EC与BC的比率决定。
五，线性规划与博弈论
卖方双头垄断者的最优策略和对策值，可以通过把他们的对策问题转化为线性规划形式
（参见第五章第七节）来决定。首先考虑V﹥0的情形。对于卖方双头垄断者Ⅱ定义变量 zj = j=1,…,n (8-33) =z1+z2+…+zn (8-34) Ⅱ企图使他的最大期望亏损尽可能地小，或者换言之，他企图使1/V尽可能地大。他的线性规划等势（equivalent）是求出zj≧0（j=1,…,n）的值，这个值根据 ai1z1+ai2z2+…ainzn≦1 i=1,…,m (8-35)
最大化（8-34）。（8-35）的关系式是通过将（8-30）除以V再据（8-33）代入而得到的。
对于卖方双头垄断者Ⅰ定义变量 wi= (8-36)
根据这个定义 =w1+w2+…+wn (8-34)
Ⅰ企图使其最低期望利润尽可能大，或者换言之，他企图使1/V尽可能小。他的线性规划等
势是求出wi≧0（i=1,…,m）的值，这个值根据
ai1w1+ai2w2+…ainwm≦1 j=1,…,n (8-38)
最小化（8-37）。（8-38）的关系式是通过将（8-29）除以V再根据（8-36）代入而得到的。 由（8-37）和（8-38）给定的Ⅰ的线性规划系统，是由（8-34）和（8-35）给定的Ⅱ的
线性规划系统的对偶。由（8-34）的最大值给定的对策值的负数，等于（8-37）的最小值。
利用（8-33）和（8-36），根据zj 和wi的最优值，卖方双头垄断者的最合适概率是很容易确
定的。
线性规划的公式化表述，有利于证明两个人、零和对策的解总是存在的。证明的步骤是，首先确定对于等势规划系统，总存在有限个最优解，然后说明最优规划解提供所考虑对策的一个解。开始时假定所有ai j>0。由（8-34）和（8-35）构成的规划令a0=min ai j 。由（8-37）和（8-38）构成的规划系统的可行解，由wi=1/a0 (i=1,…,m )提供。根据第五章第七节表述的对偶性定理，就可知规划系统的有限个最优解存在：如果一个规划系统及其对偶的可行解存在，则两个规划系统都存在最优解。
令规划变量的最优解值由z,…, z和w,…,w给定。因为w=0（i=1,…,m）对（8-38）是不可行的，所以，至少有一个w必是正的。因为如果所有的z为零，则（8-35）的全部约束应满足严格不等式，所以，至少有一个z必是正的。但是，那样的话，正如（5-40）的对偶性定理所表明的，所有的w应等于零，而这已经证明表明是不可能的。由于至少有一个w和至少有一个 z必定为正的，因此，目标函数（8-34）和（8-37）的最优值的倒数就可能相等： V== EMBED 从而 V = V=1 据（8-33）和（8-36）代入得， =1 sj≧0 =1 ri≧0 这就对策概率。把（8-33）和（8-36）代入（8-35）和8-38），就可以很容易地证明，这此概率形成一个（8-29）和（8-30）定义的对策解。
方程（8-31）和（8-32）定义作为利润矩阵元素的加权数的值。为了满足规划变量非负数性的要求，V为正数是必要的。然而，一般来讲，除非所有的ai j是正数，人们不可能断定V是正的。通过定义一个修正了的有正数值的对策，这个困难是很容易解决的。如果一个或多个ai j≦0，选择一个数k，使其有对于一切i和j，存在ai j+k>0的性质，再将k加到利润矩阵的每一个元素上。由于加上了k，修正后的对策值便超过了原先对策的值： V′= EMBED = EMBED +k EMBED =V+k (8-39) 并且通过构造（construction）成为正数。原先的和修正后的对策的最优概率是相同的。因此，原先对策的解，可根据修正后对策的线性规划解来求得。
回到（8-28）给定的对策。令k=4。修正后对策的利润矩阵为
2 8
3
Ⅱ的线性规划系统是根据 2z1+8z2≦1 7z1+3z2≦1
找出最大化 =z1+z2
的z1,z2≧0的值。
读者可以证明，唯一的最优解是z1＝, z2=,1/ V′= 。利用（8-33）和（8-39）可知，Ⅱ的z1＝, z2=,1/ V′=最优概率是s1＝, s2=,1/ V=1 。读者还可以证明，对偶规划系统的最优解是w1＝, w2=，这给出Ⅰ的最优概率为r1＝和 r2= 。
六、合作博弈
合作博弈就是博弈的局中人可以协调他们的策略，并且不愿意违反协议。
第五节 双边垄断
双边垄断（bilateral monopoly）是指只有一个买主和一个卖主的市场情形。在这种市场上，卖主和买主不可能同时分别既是卖方垄断者又是买方垄断者。卖方垄断者可能在其买主的需求函数上选择最大化他利润的一点。买方垄断者可能在其卖主的供给曲线上选择一个最大化其利润的一点。
有三种可能的结果：（1）参与者之一可能指使并强迫另一方接受他的价格和（或）数量决策；（2）买主和卖主也可能合作，并且达成像纳什解这样的一种解；（3）始终不能达成交易，因而可以说是市场机制被破坏。卖方垄断与买方垄断理论和对策论，有助于人们理解各种结果。
一、卖方垄断解、买方垄断解、准竞争解
考虑一种双边垄断的已生产出的商品Q2的市场。买主使用Q2并根据其生产函数q1=h(q2)
生产Q1。他以固定价格p1在竞争市场上销售Q1。卖主为了生产Q2运用了唯一的投入X。他以固定价格r在竞争市场上购买X。假定他的生产函数可以表示成反函数形式x=H(q2)。应该有解，而准竞争则为这种市场的分析提供有用的参考点。
如果卖主指使并强迫买主接受他所制定的价格，则就会有卖方垄断解。买主的利润
= p1h(q2)-p2q2
为了最大化利润，他令d/d q2等于零：
= p1h′(q2)-p2=0
p2= p1h′(q2) (8-42)
这就是买主关于Q2的反需求函数。买主购买Q2，直至他的边际要素的收益等于卖主所制定
的价格为止。垄断的卖主根据（8-42）最大化其利润：
=p2q2-rH(q2)= p1h′(q2)q2-rH（q2）
= p1[h′(q2)+ h″(q2)q2]－ rH′(q2) = 0
p1[h′(q2)+ h″(q2)q2] = rH′(q2) (8-43)
均衡条件（8-43）表明，卖主使其MR等于MC。解（8-43）求出卖方垄断产出，并将这个值代入（8-42）取得卖方垄断。图8-4中的点S给定了卖方垄断解的一个例子。 p2
p*2S S
mc1 买主的边际要素成本曲线
P2= rH′(q2) 卖主的边际成本曲线或供给曲线
p*2 C C
p*2B B
p2= p1h′(q2) 卖主产品的需求曲线
MR 买主的边际要素收益曲线
q2
q*2S q*2B q*2C
图 8-4
如果买主指使并强迫卖主接受他制定的价格，就会有买方垄断解。卖主的利润是
= p2q2-rH(q2)
为了最大化利润，他令d/d q2等于零：
= p2－rH′(q2) =0， p2= rH′(q2) (8-44)
这就是关于Q2的反供给函数。卖主生产并销售Q2，直至他的边际要素成本等于买主制定的
价格时为止。垄断的买主根据（8-44）代入p2，并最大化他的利润
= p1h(q2)－ rH′（q2）q2
EMBED = p1h′(q2)－r[H′(q2) ＋H″(q2)q2]= 0
p1h′(q2)= r[H′(q2) ＋H″(q2)q2] (8-45)
均衡条件（8-45）表明，买主使他的边际要素的收益等于投入的边际成本(MCⅠ)。解（8-45）求出买方垄断购买量，将这个值代入（8-44），得买方垄断价格，图8-4中的点B。
最后，考虑如果买卖双方都是价格制定者时，价格和数量应该达到的水平。反需求函数（8-42）和反供给函数（8-44）都将是有效的。准竞争数量，由使需求价格等于供给价格而决定： = p1h′（）=rH′() (8-46) 准竞争价格即等于买主边际产品的价值，也等于卖主的边际成本。这种准竞争结果也许并不象以双边垄断为特征的市场的结果，但是，它提供了另一种有用的参考点，图8-4中的C点。
在图8-4中，卖方垄断（S）、买方垄断（B）和准竞争（C）的解的比较可以一般化，以包括需求曲线[p1h′(q2)]有负数斜率而供给曲线[rH′(q2)]有正数斜率的所有情形，也就是h″(q2)<0和H″(q2)>0的所有情形。卖方垄断和买方垄断的均衡点，将总是处于需求曲线和供给曲线交点的左边。
这样，始终大于和。在图8-4中，>。这个结果并不总是成立的。卖方垄断和买方垄断的产出，取决于需求曲线和供给曲线的斜率。读者可以构造一种<的情形。
竞争价格将始终位于卖方垄断价格和买方垄断价格之间。因为卖方垄断均衡位于准竞争解左边的需求曲线上，>，又因为买方垄断均衡位于准竞争解左边的供给曲线上，>，所以，令、、和、、分别代表在这三种情形下卖主和买主的利润水平，则：>>；<<。
二、合谋
通常假定市场参与者将认识到他们的相互依赖性，并达成大家都满意的价格和数量之类
的协议。协议过程可分成两步。第一步，参与者决定最大化他们的联合利润，第二步决定在他们之间分配联合利润的价格。他们的联合利润是： =+=[ p1h(q2)-p2q2]+[ p2q2-rH(q2)]= p1h(q2)- rH(q2)
令/dq2等于零，
= p1h′(q2)－rH′(q2) =0，则p1h′(q2) = rH′(q2)
当Q2产出处于使买主的边际产品价值等于卖主的边际成本时，联合利润被最大化。这与
（8-46）给定的准竞争解是一样的。最优的合谋产出水平与准竞争产出水平也是相同的。
合谋的双边垄断就会像竞争行业一样地行动。
准竞争价格不一定随合谋解而定。对于预先规定了的数量，卖主总想尽可能抬高价格，而买主则想尽可能地压低价格。令上限为迫使买主的利润等于零的价格，下限是迫使卖主的利润为零的价格： ≧p2≧ （8-47）
左端是买主每单位要素所平均分摊到的销售额，右端是卖主产品的平均成本。由于负利润将迫使厂商之一中断经营，所以，制定的价格不可能超越这个界限。
进一步假定，买主不做比卖方垄断解更坏的交易，即买主的利润要不小于卖方垄断时的利润；而卖主也不会做比买方垄断解更坏的交易，即卖主的利润不小于买方垄断时的利润： p1h（）－p2≧； p2－rH()≧ 解每个不等式，求出p2，则 ≧p2≧ (8-48)
这些限制可据参考解而决定。如果和为正数，则（8-48）提供比（8-47）更窄的协议范围。而且，无论在哪一种情形下，协议范围内具体价格的确定，都将取决于买主和卖主的相对协议力量。
第六节 本章总结
卖方双头垄断者或卖方寡头垄断者的利润，取决于所采取的行动和其对手的反应。不同的理论是建立在不同的市场行为假定基础上的。一种方法是建立厂商对其对手行动做出特定的反应的假定。准竞争解是建立在厂商使其价格与边际成相等的假定之基础上的。如果市场参与者联合在一起，最大化行业总利润，则合谋解就是现实的。假使每个参与者根据对手的产出水平不受他的行动影响这个假定来最大化其利润，则就会实现库诺解。斯塔克伯格解是凭借于卖方双头垄断者明确认识到他们的行动的相互影响这个假定的。双方中的每一方都希望假定为充当领导者的角色或追随者的角色，如果他们的愿望是协调的，市场就能达到均衡。这些解对差别产品和相同产品都适用。差别产品的生产者也许会发现广告是有利可图的。
如果市场参与者总是保持其行业总销量的历史份额，并且随其竞争对手的变动而变动绝对销量，则市场份额解能实现。如果卖主假定其竞争对手将随着他降低价格，但当他提高价格时，对手却保持价格不变，则能实现奇异需求解。
与卖方双头垄断和卖方寡头垄断一样，买方双垄断和买方寡头垄断也不存在普遍接受的行为假定。大多数关于无差别产品的卖方双头垄断和卖方寡头垄断的理论，可以修正，以适用于买方双头垄断和买方寡头垄断。根据库诺行为假定，每个买主根据其它买主不受其行动影响的假定选择购买水平。
非合作博弈论、合作博弈论一样运用于参与者不多的市场。在运用前者时，卖方双头垄断的市场有时被当作两人的零和对策来处理。每个双头垄断者为有限数目的策略选定概率，以根据其竞争对手的策略最大化其利润的期望价值，给出最有利的策略选择。一个卖方双头垄断者的期望利润（它等于另一个的期望亏损）等于对策值，如果双方都给其策略配置最优概率的话，线性规划方法能用于求取两个人的零和对策的有限数目个解。
合作对策论的运用，要求一个市场参与者能与另一个达成有保证的协议。纳什解为两个参与者瓜分联合行动的总利润提供了一种“合理”而“公正”的方法。
在双边垄断市场上，唯一的一个卖主面对唯一的一个买主。价格和数量或者通过一个参与者的优势来决定，或者通过协议和合作来决定。在卖方垄断、买方垄断和准竞争情况下应该实现的价格、数量和利润，为双边垄断的分析提供了参考点。准竞争产出水平最大化买主和卖主的联合利润，而协议则限定于这种数量的价格。价格协议的范围是根据最低可接受利润水平的假定而建立的。
练 习 题
考虑一种有产品差别的卖方双头垄断，厂商Ⅰ和Ⅱ的需求和成本函数分别为 q1=88-4p1+2p2, C1=10q1和q2=56+2p1-4p2, C2=8q2。根据每个厂商针对自己的价格最大化 其利润的假定，求出价格反作用函数。决定每个厂商的价格、产量和利润的均衡值。
设卖方双头垄断Ⅰ生产差别产品，面对由p1=100-2q1-q2给定的反需求函数，且有成本函数C1=。假定卖方双头垄断者Ⅱ希望保持的市场份额。求卖方双头垄断者Ⅰ的最优价格、产出和利润，以及卖方双头垄断者Ⅱ的产出。
令n个卖方垄断者面对反需求函数p=a-b(q1+…+qn)，并令每个卖方垄断者有确定的成本函数Ci=cqi。(a) 确定库诺解。(b)确定准竞争解。(c) 当n→时，库诺解收敛于准竞争解吗？
令两个卖方垄断者有生产函数q1=和q2=；其中，x1，x2为他们所使用的投入水平。假定投入供给函数是r=2+(x1+x2)，其中，r是投入的供给价格，而q1和q2则在竞争市场上以价格p1=2和p2=3销售掉。(a)求投入反作用函数。(b)决定x1，x2，q1，q2，，的库诺均衡值。
令两个人的零和对策的利润矩阵有元素ai j(i=1,…,m; j=1,…,n ) ，再令ri(i=1,…,m)和sj(j=1,…,n分别为参与者Ⅰ和Ⅱ的最优概率。证明这些概率对利润元素为ai j+k，其中k是常数的对策也是最优的。
沿着一条笔直的道路不规则地分布的消费者，是两个卖方垄断者的潜在市场，他们的决定问题就是在哪儿设立销售商店。需求是完全无弹性的，而消费者将从任意一个最近的商店里购买。假定路长4英里，为了简明起见，假定每个厂商正好有五种策略：可以把商店设在路的两头或者在1英里、2英里、3英里处。令卖方双头垄断者的收益是他们代表性的市场份额。(a) 这是零和（或常和）对策吗？(b) 收益矩阵是什么？(c) 卖方双头垄断者的最优策略是什么？
如果卖方双头垄断者每方都有在图8-3的讨论里所表明的两个单一策略，请说明组合组合策略的可行效用区域在图8-3中是ABCD。
令在第八章第五节讨论的双边垄断的买主和卖主分别有生产函数q1=270q2-2和x=。假定q1的价格是3，x的价格是6。(a) 确定q2，p2的值和卖方垄断、买方垄断与准竞争的解的买主和卖主的利润。(b) 假定买主不会从事比卖方垄断解更差的交易，卖主不会从事比买方垄断解更差的交易。(c) 据此决定的协议范围。将您的结果与图8-4作比较.
假定两个库诺卖方垄断者据其竞争对手的产出水平作出调整需要一定时间。具体地说，令产出水平从t-1期到t期的变动，是t-1期期望的和实际的产出水平之差的固定比例k。如果需求函数是p=100-(q1+q2)，成本函数为C1=3q1, C2=2q2，在什么环境下这种动态调整过程收敛于库诺均衡？
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