中央电视台的《开心辞典》栏目，有一次
的最后一题是：“给出一组数1，3，6，10，
15…，则第7个数是什么？”你认为第7个数
是 .那么，这组数之间的规律是——。 28
an=
n(n+1)
2
a2-a1=2
a3-a2=3
a4-a3=4
an-an-1= n
…
an=1+2+3+…+n
宣城中学 陈光明
学习目标:
等差、等比数列的前n项和公式和其它几种
常见方法:倒序相加法、错位相减法、裂项法、分组
法.
要深刻理解这些求和方法和含义,熟练掌握它
们适用的数列类型以及在求和中应注意的问题.
重点:
难点:
等差、等比数列求和公式
非等差、等比数列的求和
2：等比数列前n项和公式:
Sn=
n(a1+an)
2 = na1+ d
n(n-1)
2
a1 (1-qn)
1-q
n (n+1)(2n+1)
6
1：等差数列前n项和公式：
Sn= a1 -anq 1-q= (q ≠1)
(q = 1)na1
3: 12+22+32+…+n2=
13+23+33+…+n3=
n (n+1)
2
[ ]2
求数列的前n项和，通常要掌握以下解法：
1直接法
2公式法
3倒序相加法
4错位相减法
5分组转化法
6裂项相消法
求数列{nc100n }的前99项的和.
S99 = c1001 + 2c1002 + … + 98c10098 + 99 c10099
S99 = 99c10099 +98c10098 + …+ 2c1002 + c1001
2S99 = 100c1001 + 100c1002 + …+ 100c10099
=100(c1001 + c1002 + c1003 +…+ c10099)
=100(2100-2)
∴ S99 =50(2100-2)
即时小结：
如果一个数列满足：与首尾两项等距的两项之和
等于首尾两项之和，则可以把sn顺着写，再把sn到
着写，在把两个sn相加。
（联系：等差数列的前n项和推导过程以及
高斯小时候巧解算术题）。
二、错位相减法
解：记sn=a+2a2+3a3+…+(n-1)an-1+nan
则asn= a2+2a3+…+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1
两式相减，得两式相减，得
（1-a)sn=(a+a2+a3+…+an)-nan+1
若若 a=1, a=1, 则 sn=1+2+…+n=
若若a≠1,a≠1, 则sn=
注意：在求等比数列前n项和sn时，若公比q是字母，为避免
疏忽，宜先求q=1时的sn,然后再求q≠1时的sn
例2：求和 a+2a2+3a3+…+nan
即时小结;
如果一个数列的各项是由一个等比数列和一个等
差数列的各项的乘积得到的，则我们可用该方法。
, + n 1 例3.求数列 + 2 3 , +
的前n和 。
, 2 2 2 , 3 2
n 2 + 1 2 3 n
解：
=(1+2+3+
…+n)
Sn=(1+2)+(2+ )+(3+ )+…+(ｎ+ )
2 2 3 2 ｎ 2
+(2+2 +2 +…+2 ) n2 3
=
n(n+1)
2
2(2 -1)
2-1
n
+
=
n(n+1)
2
+ 2 -2
n+1
…
三、分解重组求和法
这里千万不能把每一项的
结果算出来，否则就找不
到规律了
把数列的每一项分成几项，或把数列的项“
集”在一块重新组合，或把整个数列分成几部
分，使其转化为等差或等比数列，这一求和方
法称为分组转化法.
即时小结：
求和： + + + …+ 1
1·2
1
n·(n+1)
1
3·4
1
2·3
1
n·(n+1)an = = -
1
n
1
n+1
Sn = + + + …+
1
1·2
1
n·(n+1)
1
3·4
1
2·3
+( - ) 1n
1
n+1
=(1- )+( - )+( - )+… 12
1
2
1
3
1
3
1
4
1
n+1
= 1- = n
n+1
四.拆项相消法（或裂项法）：
它的拆
项方法
你掌握
了吗？
即时小结：
裂项相消法的关键就是将数列的每一项
拆成二项或多项使数列中的项出现有规律
的抵消项，进而达到求和的目的。
【推广】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广到
一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有
；
【推广】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广到
一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有
；
【推广】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广到
一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有
；
【推广】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广到
一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有
【推广】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广到
一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有
【推广】对类似数列(3)的求和问题，我们可以推广到
一般情况：设{an}是公差为d的等差数列，则有
；
练习1:求数列{(2n +1)· 2n-1}的前n项和.
训练训练
即
时
Sn=3•20+5•21+7•22+9•23+…+(2n+1)•2n-1
2Sn=3•21+5•22+7•23+9•24+…+(2n+1)•2n
(1)
(2)
(1)-(2)得：
-Sn=3+ 22+23+24+…+2n -(2n+1)•2n( )
=3+22 (2n-1-1)-(2n+1)•2n = -1+(1-2n)•2n
Sn = 1+(2n-1)•2n
训练训练
即
时
2、求：1、1+2 、1+2+22、1+2+22+23…的
前n项和.
an=1+2+22 +…+2n -1 = 1-2
1-2n =2n-1
Sn= 1+(1+2)+(1+2+22)+(1+2+22+23) +…
+(1+2+22 +…+2n -1)
=(2-1)+(22 -1)+(23-1)+(24-1)+…+(2n-1)
=(2+22+23+…+2n)-n = 2n+1-n-2
3、求和 ： + + + …+
1
2·4
1
1·3
1
3·5
1
n·(n+2)
4、求和 : 1 + + + …+
1
1+2
1
1+2+3
1
1+2+..+n
2n
n+1
2
1 ( 1+ - - )2
1 1
n+2
1
n+1
一般数列求和方法总结:
1、直接由等差、等比数列的求和公式求
和，注意等比时q=1,q≠1的讨论.
2、倒序相加法
3、错位相减法
4、裂项相消法
5、分组转化法
走向高考P103,;P109,10
