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正态分布，也称常态分布，是统计学中一种应
用广泛的连续分布，用来描述随机现象。首先由
德国数学家高斯（Carl Friedrich Gauss 1777-
1855）发现，所以亦称高斯分布。 正态分布现大
量应用于误差分析，及质量管理上 ,可以这样说，
没有正态分布，就没有数理统计，没有正态分布，
就没有现代化企业。
Carl Friedrich Gauss
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正态分布的定义是什么呢？
对于连续型随机变量，一般是
给出它的概率密度函数.
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一、正态分布的定义
如果连续随机变量的概率密度为 ：
记作
f (x)所确定的曲线叫作正态曲线.
其中 和 都是常数， 任意， >0，
则称X服从参数为 和 的正态分布.
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正态分布有些什么性质呢？
由于连续型随机变量唯一地由它
的密度函数所描述，我们来看看正态
分布的密度函数有什么特点.
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正态分布 的图形特点
正态分布的密度曲线是一条关于 对
称的钟形曲线.
特点是“两头小，中间大，左右对称”.
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决定了图形的中心位置， 决定了图形
中峰的陡峭程度.
正态分布 的图形特点
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能不能根据密度函数的表达式，
得出正态分布的图形特点呢？
容易看到，f(x)≥0
即整个概率密度曲线都在x轴的上方;
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故f(x)以μ为对称轴，并在x=μ处达到最大
值:
令x=μ+c, x=μ-c (c>0), 分别代入f (x), 可
得
f (μ+c)=f (μ-c)
且 f (μ+c) ≤f (μ), f (μ-c)≤f (μ)
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这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越
贴近x轴. 即f (x)以x轴为渐近线.
当x→ ∞时，f(x) → 0,
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为f (x)的两个拐点的横坐标.
x = μ σ
拐点坐标为
,在 内是凸的,其它范围内是凹的。
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根据对密度函数的分析，也可初步画
出正态分布的概率密度曲线图.
拐点
极大值点
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二、正态曲线（ normal curve ）
图形特点：
1. 钟型
2. 中间高
3. 两头低
4. 左右对称
5. 最高处对应
于X轴的值
就是均数
6. 曲线下面积
为1
7. 标准差决定
曲线的形状
XX
ff((XX))
mm
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μ决定曲线的位置，σ决定曲线的“胖瘦”
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（4）服从正态分布的总体特征
产品尺寸这一典型总体，它服从正态分布。
它的特征：生产条件正常稳定，即工艺、设备、
技术、操作、原料、环境等可以控制的条件都
相对稳定，而且不存在产生系统误差的明显因
素。
一般地，当一随机变量是大量微小的独立随机
因素共同作用的结果，而每一种因素都不能起
到压倒其他因素的作用时，这个随机变量就被
认为服从正态分布。
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用上海99年年降雨量的数据画出了
频率直方图.
从直方图，我们可以初步看出，年降
雨量近似服从正态分布.
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下面是我们用某大学男大学生的身高
的数据画出的频率直方图.
红线是
拟合的
正态密
度曲线
可见，某大学男大学生的身高应服从正
态分布.
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人的身高高低不等，但中等身材的
占大多数，特高和特矮的只是少数，而
且较高和较矮的人数大致相近，这从一
个方面反映了服从正态分布的随机变量
的特点.
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请大家想一想，实际生活中以及
工作种具有这种特点的随机变量还有
哪些呢？
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除了我们在前面遇到过的年降雨量外,
在正常条件下各种产品的质量指标，如零
件的尺寸；纤维的强度和张力；某地区成
年男子的身高、体重；农作物的产量，小
麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的
水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从
或近似服从正态分布.
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设X~ , X的分布函数是
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正态分布由它的两个参数μ和σ唯
一确定， 当μ和σ不同时，是不同的正
态分布.
标准正态分布
下面我们介绍一种最重要的正态分布
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二、标准正态分布
的正态分布称为标准正态分布.
其密度函数和分布函数常用 和 表示：
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标准正态分布的重要性在于，任何一个
一般的正态分布都可以通过线性变换转化为
标准正态分布.它的依据是下面的定理：
根据定理1,只要将标准正态分布的分布
函数制成表，就可以解决一般正态分布的概
率计算问题.
,则 ~N(0,1) 设
定理1
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书末附有标准正态分布函数数值表，有了
它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.
三、正态分布表
表中给的是x>0时, Φ(x)的值.
当-x<0时
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若 ~N(0,1)
若 X～N(0,1),
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利用下表，可求出标准正态总体在任一区间
内 取值的概率。
即，可用如图的蓝色阴影部分表示。
公式：
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由标准正态分布的查表计算可以求得，
这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]
区间内，超出这个范围的可能性仅占不
到%.
当X～N(0,1)时，
P(|X| 1)=2 (1)-1=
P(|X| 2)=2 (2)-1=
P(|X| 3)=2 (3)-1=
四、3 准则
