Monte Carlo模拟
第三章 从概率分布函数的抽样
(Sampling from Probability Distribution Functions)
直接抽样法（反函数法）
（Sampling via Inversion of the cdf）
. 基本原理基本原理
. 连续型的随机变量的抽样连续型的随机变量的抽样
. 离散型的随机变量的抽样离散型的随机变量的抽样
. 几个典型的例子几个典型的例子
1. 1. 基本原理基本原理
注意：pdf f(x)必须是归一化的
•设y=F(x)为随机变量x的累积分布函数 x和y是一一对应的
•先随机抽取y，然后通过求
F(x)的反函数F-1(y)得到随
机变量x的值
•随机变量y在区间[0,1]上均匀
分布 利用[0,1]区间上均匀
分布随机数产生器抽取
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第三章 从概率分布函数的抽样
(Sampling from Probability Distribution Functions)
直接抽样法（反函数法）
（Sampling via Inversion of the cdf）
. 基本原理基本原理
. 连续型的随机变量的抽样连续型的随机变量的抽样
. 离散型的随机变量的抽样离散型的随机变量的抽样
. 几个典型的例子几个典型的例子
2. 2. 连续型的随机变量的抽样连续型的随机变量的抽样
方法：
1. 产生在[0,1]区间上均匀分布的随机数 = P(0,1) ；
注：需要知道累积分布函数的解析表达式，且累积分
布函数的反函数存在
P(0,1): [0,1]区间上均匀分布的随机
数
2. 令F(x) = , 解方程得x：
2. 2. 连续型的随机变量的抽样连续型的随机变量的抽样
Since F-1 (ξ)=x, or ξ = F(x)
Proof the Inverse Method
The Mapping from x to is one-to-one.
The probability for between value and d is
1·d, which is the same as the probability for x
between value x and dx. Thus
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第三章 从概率分布函数的抽样
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直接抽样法（反函数法）
（Sampling via Inversion of the cdf）
. 基本原理基本原理
. 连续型的随机变量的抽样连续型的随机变量的抽样
. 离散型的随机变量的抽样离散型的随机变量的抽样
. 几个典型的例子几个典型的例子
3. 3. 离散型的随机变量的抽样离散型的随机变量的抽样
直接抽样法适应于离散型的随机变量
设离散型随机变量X的可能取值为x1, x2, …, xN, 其概率
为
累积分布函数：
0
x1 xN-1xN
p1
p2
pN
x2
pk
xk-1 xk
0
x1 xN-1xNx2 xk-1 xk
1
F(x)
3. 3. 离散型的随机变量的抽样离散型的随机变量的抽样
方法：
1. 计算yk = yk-1 + pk，k = 2,3,…,N, y1 = p1
2. 产生在[0,1]区间上均匀分布的随机数 = P(0,1) ；
3. 求满足yk-1 < < yk 的k值;
4. 随机变量的第k个取值即为欲抽取的值。
0
x1 xN-1xNx2 xk-1 xk
1
F(x)
pk
0
x1 xN-1xN
p1
p2
pN
x2
pk
xk-1 xk
3. 3. 离散型的随机变量的抽样离散型的随机变量的抽样
证明：
0
x1 xN-1xNx2 xk-1 xk
1
F(x)
pk
0
x1 xN-1xN
p1
p2
pN
x2
pk
xk-1 xk
即:所产生的随机数的pdf为pk
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第三章 从概率分布函数的抽样
(Sampling from Probability Distribution Functions)
直接抽样法（反函数法）
（Sampling via Inversion of the cdf）
. 基本原理基本原理
. 连续型的随机变量的抽样连续型的随机变量的抽样
. 分离型的随机变量的抽样分离型的随机变量的抽样
. 几个典型的例子几个典型的例子
4. 4. 几个典型的例子几个典型的例子
p3=+c3
p2=+c2
p1=+c1a
例1、粒子衰变末态的随机抽样
设粒子a有三种衰变方式，其分支比如下
随机选取每次衰变的衰变方式（衰变道）直接抽样法
= P(0,1)
4. 4. 几个典型的例子几个典型的例子
例2、二项式分布的抽样
方法1：利用上面介绍的直接抽样法，需计算累积分布函数，
当n很大时，求和计算困难;
方法2：利用二项式分布的定义
1. 产生n个 iU[0,1];
2. 统计满足条件 i <p（表示成功）的 i的数目r，则r
表示在n次实验中成功的次数r即为二项式分布的
抽样值
4. 4. 几个典型的例子几个典型的例子
例3、泊松分布的抽样
方法1：利用直接抽样法，但计算累积分布函数时非常复杂
方法2：利用泊松分布的定义：二项式分布的极限形式
1. 选取足够大的n，使p=/n相当小，例如，p=
2. 产生n个 iU[0,1];
3. 统计满足条件 i <p（表示成功）的 i的数目r，则r
表示在n次实验中成功的次数r即为泊松分布的抽
样值的近似值， n越大，近似程度越好
4. 4. 几个典型的例子几个典型的例子
例4、连续型随机变量的直接抽样
1. 求区间[a,b]上均匀分布的随机数x:
•产生 U[0,1];
•
•
2. 指数分布
•产生 U[0,1];
•
• 和（1-）都是 U[0,1]
4. 4. 几个典型的例子几个典型的例子
Particle decay in flight
p: momentum of the particle
m: mass of the particle
0: Life time of the particle in its rest frame
The proper decay length of the particle in LAB system:
p(x,d): the probability density function for a particle
to decay after flying distance x in space
4. 4. 几个典型的例子几个典型的例子
Direct sampling method:
: random number uniformly distributed in (0,1)
