'自|嚼L理论新探IllI'J..I2∞6ij::第5期(总第213期〕回肖建武关于最优投资消费问辙，很多文献选择辑用函数:F(t，且，Y)=inf{V旧(IVY) ';3:ZV十日(，，t, v>。在不同的市场条件下进行了研究与探ZY)} 川=,L’’’ e收frJI讨。本文以解析的形式给出投资和消费其中，Z>O表示V的对偶变量。的最优决策，所用的工具是Legenrlre变所以最优问题就是在以上财富状态因为两函数存在关系:F(tZY)=-,, 换和对偶理论。事实上，借助Legendre下寻找控制代和C(t)追求悄费她用最大变换将原问题转化为对偶问题进行研究自(t化，即可以定义值函数:，ZY)，嚣，所以可以选取F(t，ZY)，作为分析的学术工作…般出现在热力学、统植函数H(t，V，Y)H(t的对偶函数。,V,Y)=max E{U(C)IV严V，Y严Y}计力学和量子论领域，而用此类方法来应用函数关系:二、模型求解研究探讨金融投资决策问题的为数不(卢)HJB方程V=F(tZY)H(IZY)=H(IVY)-ZV ,,,,,,,,多。可以得到:对以上最优问题求得关于值函数H一、金融模型AH <H 7L H H HHuu (t几Y)的Hamilton-Ja(咄←BeIlman偏微Z Z Z vWE Z 飞WV , <假设资产市场简单分成风险资产和HE 方程:无风险资产，其中总资产价值记作飞，1T，表示风险资产所占总资产的比例，剩余ax {e-ßtιd川剧+'~ 叫旦旦，1-)’ , 2 Hvv=Hyy自(5) =部分l且代投向无风险资产，都是当期时H7Z Hzz 1T酌的函数。Iτ2日VV+YO'州州(μI+h-r)节日v)+;σ;定义敬用前数的对偶函数:2无风险资产收益率设为常数哺见IyHyy+(而+Y)HV+，=O(1) YH汁U(IZ)=C)，，♂q!fW(t吧的如银行储蓄利率。其价格服从:最优控制(C*，节*)满足:ydSn 可e巾C-Hv=OG(tZ)=inf {CIU (C) ~ZC+U( IZ)} ,,瓦'-=rc:u口对)σ〈:甜τ川叭vv川叫+Yσ!仔ρA竹(伽μ1咄+b川}吁卅r叫)帆刊t)片风险资产价格服从:函数U(川和U(Z)可以通过Legen由此可得:dre变换相互转化:舍z叩μ协M附呐材IdC*=e Y Hv Y 由自(2) (Z)={U(C)ZClJ(C)=15{C其ι中扣斗平乙均收敲率μ仇l、i榄皮动率率.σl均设吧!r为常数，W是标准布朗运动。1T*=-YO'，咄呼，+b-r)Hv(Z)+zq (3) I 0’, Hvv 投资者在时间t还会收到某种投资按照Z=U'(C)，上式成立的最优值收入以外的收入Y，服从如下的微分方将(2)和(3)带入(1)得:。、如之间的相互关系为:程:c'立町U'(Z*)Z'且UC，飞丁dY, ddY7=μ2t+σ2W 效用函数定义为具有连续导数的严格通增凹函数，那么对偶函数是一个严Y(户~(~>O)Hv , 0’, "HvH (+归)2主"--(μ，+b-r)旦Y什烈+且且vvVI且飞，v格递减的凸函数。其中帕，町，已均为常数，Wj是标准则原问题可以转化为对偶问题:布朗运动。;σ;H阶(rV+Y)日忡2YHy+H，=0件)阳将性H盯'咄代rIm时ot叫飞rZ半i川-b-L7r}L~J打坦白川阴阳假设投资者在单位时间内每一货币b这是…个非线性的偏微方程，采取经典人哨述川咕n创，MhJ业Hd吁厂白，的"就'巳自……气航单位投资在此股票上所得的红利收入记阳的分离变量方法求解恨难得到比较直观得线(为札记C(t)为时刻t的消费率，还允许的解析解。下而我们应用Legenrlre变换投资茜以无风险利率r任意借款和贷"+Jr飞、γLH将其转化为对偶问题，通过对对偶问题/ωpuZfey川bWM……町'川zn款，则投资者的财富过程为:「2σ的求解从而取得原问题的解。叮dV，=[rV，+τ， (μI+b…r)-C (t)+Y,JrI,+ LYm咀112V(二)对偶问题lL们口←二仔川dW言，-尸E叫:在义值函数的对偶函数:Vo=v(v>O);是初始财富。叩日(tZY)ZV)，，Y)={H(tV，，YZ+μ2YHy+Ht=O (6) 气~i??췲랽쫽뻝10 ㈰垣ꇱ맘퓚쳖뗄뮻뇤럖볆퇐뛠튻볙컞뇭늿볤쯜㌰럧쓃潴웤캪춶쫕돌ㅴ奴늼떥뿮摖뚢嚡톡用쯹쿂뮯䠨䕻뛾⣒뛔⡴랽夲⠱ퟮ攭䨫평䌴䢡⠲?⠳?붫벪⡉綶⠴⢶뚨춳䘨媣틲ㄳ횵펦嘽?天뿉䡶妣䡺䡷⠵䢲䜨몯摲唨⡚내䍭䌫㜨킧룱퓲晬뗃쪿泒㉉祺奚ꆣ⠶헢믟ꎬ〶ퟨ㵥ꌱꎮ㵚哒瑔⭉䦶?뎢볆⤫폚늻ꆣퟮ뫍뮻컶솦뺿ꆢ짨럧쪾럖璵죧쿕훐뎣죫ꎺ氭샊캻抣ꎬꎿ퓱틔톰璣唨묩돌㉈䡷폅ꎮ梡듋⠲뷢웤쟳︩틥걙캪䤨몯폃㵈걈쫽斱娩헕稫뗝풭⡴⠵쿟⡉겡키ꎻ튻?ꆷ쓪䌭䡶ꎬ?砲쫇ꊣ䘨㵉ꍔ瓒폫婃⮵ꎺퟮ춬놾폅뛔붫뗄톧첽뷰쿕럧㇒쒺틸욽쫽헟틔ꇊ뚷퓋춶겼퓲㵛꽦킧헒벴걖䌩쒣䡊짏嚣癶⬨뿘≲ꩲ뿉⦺샫컶뷢횵걚⤩ꎬ솽璣몯⡴뗃眭㷒唨㵳娽婴⦣퓶복컊⦴탔砬뗚奟?䡉奈ꈷ붨斡䌩튻㵉汤믉뻶?뛊㗆䢡旕㵈礫폅뗄컄뻶얼풭톧뫍쳖죚닺쿕믘꿊탐뻹ꎬ퓚췢⢡ꎺ뚯읃틔춶牖甾폃뿘뿉䥖탍䊷ퟮ걙⮰훆版⥈뗃촨硬뇤뷢뮯듓몯娾걚䠨쫽떽⤽䌩믏異喡횮낼쳢媣靖욫⮡뭈璣ꆣ커塬?닟벶룶?ꌽ䡴牤砲춶쫐틔닟샭컊쫵솿뷰쒣닺ꏍﶡ뒢볛쫕矊쪱뗄ꎬꆣ헟퓚⡴컞〩몯훆天䤭쟳붳폅⦵?⭙⡣眫瘽ꎺ㌩캪뛸쫽ケ璣맘嚣튻뮼獵楮뫍筕꼨볤⬽뚨춹뿉걙쯉캢ꍢퟜ?ꎬ攭㴰럇쳜칈眫걚㶲뗚뎡뷢ꎬ싛쳢릤ퟓ죚탍닺뛏?쫕탮룱틦잱볤ꆮ퓚듋⧎럧헟⮶쫇쫽?뚨㵭嚣컊쑈奉⥈⮣奩듸랽쿂뛔좡뗄㵳㵩듦天걖쾵걙䡙灻晻唨ꗗ⡃挩喣틥몯틔⤽쿊摴ꊣ튤쿟㈱榡賂㵈쿻쳵컶쯹ꆣퟷ싛춶볲웤틦샻럾싊璻죫뚡떥막쿕뗄ꊡ돵ꎺ뻍뫍틥慸걙쳢慭呬瘫겶呉죋⭢램쏦얼뗃뛔異湦빖퓚窣ꎬ⤭用捩稩ꪻ쿠갨캪쫽楮돌⥩⡲㏆⭩탔?⭩ꆣ뭹럑볾뗄폃쫂뮯튻쇬떥훐햼?싊듓돜벲릻ꎺ캻욱놿샻닆ꌨ쪼쫇挨횵挭쟳楬뚢䥸ꍲ⠱컒컊풭얼筈策맘곋天婖뛔璣用뿉꾣婃짏뮥䎡뻟쓇晅敬吲?랽뗄吲嘫天컊쿂탎뗄쪵캪냣폲뻶럖ퟜ짨ꆣꎺ변럾ꎬ쪱짏챴싊뢻뚷닆퓚琩몯好뗃瑯㉈穙⬩⦵뷢쏇쳢⡴孈뛔쾵戮걈얼걣挩틔?⦣쪽맘폐쎴筕汭ⵤ욫呬몵㉉쳢뷸쪽릤짏뛔돶ꎬ닟돉헗캪웤ꆢ쫔햵듓摷ꇊ볤쯹뗄狈맽氫뢻틔ힷ쫽맘溡眫䡙싺쎣뷐뫜펦⡴얼ꎺ풿몯⤭ꇝ춨걕쾵솬⡚慮䳕天캢ꎬ탐룸뻟얼쿖뛸컊럧닺쪲뎣볛늨쮶뷄죧뻹쓚뗃㿐컒돌抡ꆣ짏쟳ꎺ폚ꩊ⢶⭈ퟣ⡉?쓑폃춨뗄嚣ⱖ뇤䘨짒祹쫽穣婃맽⡃솢캪탸⥉랽摗랽⮣琭뫜쇋돶쫇뷨컊퓚폃쳢쿕볛뗄画쫽룱뚯꾡돖쿂캪쎿꒷ꩲ닆쿻횵慣뜱닺ꎺ?䡶뗃䱥맽뷢걙ꎬ솿璣퓑몯䠨⭕⤽떼婴돌헹梨돌뛠퇐춶䱥훺쳢죈듋뗄횵뇈겶犣럾싊?훍뎣튻뫬퇂ꎺ⧒뢻럑몯潢⭢㋏떽来뛔ꆣ⤭天걚ꇈ쫽㵁⡴楮ퟮ㵚⠴ㅷꥤꎬ⭉ꆭⶡ컄뺿来䱥뷸솦샠캪닺볇샽볊겳듓뚢뛗캢쫽믵샻쪣뭃ힴ킧榡뇈湤뛔婖ꇝꎬꅆꆣ溡晻폅뗄쫇ꎺ?⦾닉䍈ﺣ⭲쿗폫뫍湤来탐톧랽쫽ퟷꎬ잵ꎼꎺ?럖뇒쫕겻춴⡴첬폃ꩂ⤱뷏牥얼ꆿ婖天뿵稩횵퇏硺튻좡첽쿻牥湤퇐ꆢ램늻嚡쪣뇆?뻹랽矊죫맔⤫ퟮ敬硈戮횱뇤컊⭈㷒ꎬ룶噚뺭奈럑뇤牥뺿춳살ꎣ폠?짨잱볇쫐妡듳汭癊몰맛뮻쳢⡴?媣쫻퇏白뗤걮?ꍝ慮⯁ꎬ걙뿛깺礫?撡욫쬱묨⧗?䢡ꌫ캢⭭㊣?븭쯒䥸뫒얣뒨?먲믈氫뎤?뺲⯒戭䡖爩떵秈뭟统计?ꕚ与决姗策㉁켫奉窡?呉䥔㉈癹⬨䥸䤫戭爩䡶
穰理〈哈新探忖一一…2006ij'第5期(总第213期〕简记f的系数为:应用关系:F=-Hz，F=V对(6)式关于中)业兰迦边才二且Z求导，则得到对偶问题所对应的Bell-A=+r+2(γσ)2γ ，=-\-{且+主工(V(ert~_ Y)]---J-一)-,):-,-0 man方程:." σ;γB+r B+r 简记Yly的系数为:旦儿旦ι1γ 了2B=(γ二1丛生!)σ2_-7叫1-l2ρ-U 一一μL 飞γσ! 可以解得:F-l Z2Fa+坠，+h-r)0"2YF+坠业主)0"2YZ›yσ!σl 肝，1)=丛±!?旦L__([v-=一一生了一一叫-Y)]Fyr;y2hrvιμ2YFy-F，=0(7) (A十l)e"-l'B+r 卜l仔，t)=-Y)兰(吨n+r 从控制结果可以看出，当期总财富(二)方程求解即有:和额外收入流都影响着投资比例和消费按照上述Legendre变换定义的对占1..水平，且影响的方式一样，不同的是影响偶函数为:. Z’ F (t,Z’Y)=˜-e [(A+l)e^’ 权重比例。丰斗十，后G(td)=fz(tZ)=)'--e，Z三、结论1-γ (eY)吃一B! +r 通过以上分析发现，加入一定市场对上述线性偏微方程(7)求可分离(四)最优决策条件后，如本文的红利和随机收入，金融变量形式的解:由上述分析，风险资产投资比例和模型更加符合实际市场操作，刽l增加了号LZ九F(t缴费水平可以重新表示为:，Z，Y)=e'(Yt)+l(Y，t)，模型求解难度。如果借助最早出现在物而且:l+h'=Y升且1TO"'虫学甚理学应用中的Legendre变换，将原问题0)二σ时，IJ(，己，0)=0，H" 转化为相应的对偶问题，对于金融工程将其代人(7)式，则有:中机构最优投资领域的某些问题的求.y-’ 解，可以避免比较复杂的非线性偏微方坠!liJ:LJ士e (l +1H咐+2(γσ-，)2 程求解或者应用测度缺论分析解的性VEUFJσ附仙+z川忖ZF司 Y、 广h== ιHi-lT L、叮叮f旦.2fJ!，þ:-r)σ:r质，而可以将其化简后直接求得解析解，))f+( -I-lJYfy斗σ;~ \1日11且从而更加直观地表达最优控制策略，便l-›YIU-æL_et -一川-2一川+([坠夺了2]Y1-lσ:、-γ叶川，叶于实际操作。厅川A(作者单位/中南林业科技大学)Y2Jyy+rl-l+Y}=0 (8) ,且生二!-=17{[F (tZY)-l (Y(责任编辑/亦民)t)]›,,,σ;γ ??췲랽쫽뻝펦嫇浡ꆣ婆11 ?㈰娲奆奚䚡⣈내얼쟒튻䜨뛔뇤爨뛸쯽붫旒竒幹妡?ꆪ夲⠸䄽볲䊣뿉ꋨ䤨벴䘨횱⣋평뷉ㅲ뚢ꎺ㶣昱춳檡箺즱㊡ힹ爪㷃듓뫍쮮좨죽춨쳵쒣샭훐뷢돌훊폚⣗⣔昱璡ꆪꆯ볲?ꆤ꺣ⵉꆪ컀㵥튻쟒ꎺ?볆폃汬䙴姊ﴩ헕몯짏솿璣ꎬ웤汙?볇틔폐쐩럑橪뿘뛮욽훘ꆢ맽볾탍톧뮯믺쟳뛸쪵겡뮴楈ꎬꆣ볇꺡ꉭ먨짏璣ꎺ벽캱妣ꎣ맘벣랽稫긨짏쫽쫶탎걺〩듺夫奉뷢紨ퟮ쮮孙彽떩훆췢ꎬ뇈뷡틔뫳룼쟳펦캪릹뿉뛸볊?竒㷐檺媡튻긱倩璢ꆱꍦ?갱暵뻶ꎬ삼ㅻ?쾵곔돌⡴ꆧ쫶캪쿟쪽ꎬ㴱죋牬ꆣ뗃폅럖욽漭뷡쫕쟒샽싛짏볓뷢폃쿠ퟮ틔믲뿉닙ꗎ튻뮡⊣?걺닟궣쓏짏건곅ꎺ彌氫쟳䱥탔뗄天ꎬ⠷튻斿뻶컶뿉汯놶맻죫펰ꆣ럖죧럻쓑훐펦폅뇜헟틔횱ퟷ뮣뮳췦琽䤧꿒뗊뒮楦樿젡쿂꼭瘽쎵氫戭뷢来욫㵥氨⧊ㆡ쾵닟ꎬ틔ⴲ뿉쇷쿬컶놾뫏뛈뗄춶쏢펦붫맛ꆣ꿖⤽뭽⤲䱬ⷒ붶戭爩湤캢ꎺꆣꇊ붣ꌫ쫽럧훘䚡ꊿ틔뚼뗄랢컄쪵䱥뛔뇈폃웤뗘탄ㆡ⭻ㄩ?꧕ꪣꆣ斡⮡몶뿵퓅爩牥랽媡ꎬ곔天캪쿕탂ꏒ뾴펰쿖뗄볊죧来얼쇬뷏닢뮯뇭쿁⬱샶ꍥ?ꌲ嬨ꆪꎺ볎捲✲뇤돌ꍴ〩㵏뇭묨돶쿬쪽ꎬ뫬쫐맻湤컊폲뢴뛈볲듯훒鬒ꍺ햡⤭ꎬ쫌?뮻⠷⡙㴰킣닺쪾룘ퟅ튻볓샻뎡뷨牥쳢뗄퓓뫳ퟮ떿竒뻷ꪡꎻ믷ㄨ㊣뚷⡰䘽뚨⧇ꎬ?솢춶캪ꎮ떱퇹죫뫍닙훺뇤쒳뗄싛횱폅욼ꆣ⠱?쁦嚶禮긲틥琩汩ⶣꎺ⭢웚ꎬ튻쯦ퟷퟮ뮻뛔킩럇럖뷓뿘벴斡뮡꾣ꎣ孆웷䚢퐨퓓뗄ꆯ즷⭬뇈ꆪ旅ퟜ늻뚨믺ꎬ퓧폚컊쿟컶쟳훆䙙⭢갬奯킩⡴㘩ꚵ뛔훀⡙낡샽爩닆춬쫐쫕좴돶붫뷰쳢탔뷢뗃닟ꜩꨨ〨ꕰꕽ냪쪽쑂?ꎬ뫍穆ꍙ뢻뗄뎡죫퓶쿖풭죚욫뷢싔夫ꆪ쫒媿맘敬琩⭲ꆣ?쿻쫇ꎬ볓퓚컊릤쟳캢탔컶璣⮡牖⥯⭢窣폚没炣뛊嬨듀뮻ㆡ럑펰뷰쇋컯쳢돌랽뷢뇣뭙?쿬죚ꎬ걺汣ꇀ걙⭙✲꺣璿䄫?즢ꆪ⧒튻⥣놤⯕뭬扌뚷牺긱묱뺡꽙沴첽?爲뛾⡙㉙㉝튻ꇝ⮡晙ꢡꎬ橼䙙失ꆧ℡斡琩?ꩢꆪ튻ꆣꎺ뼫ꆺ칺뭙䡷쪥泒뭟䙆튻?ꆣ뚡뫁폣漨뚡⤲榡ㅂꆢ㜩ㆶꆪ?냯?ꉩꌲ统⭲计?⬨与决㈫策ꆪꆾ룘ㄫ樫戭튻犣꺣꺣긩䡶
