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基于市场冲击成本与机会成本的算法交易策略
燕汝贞 李 平 曾 勇
（电子科技大学经济与管理学院）
摘要：提出了一种估计交易策略机会成本的方法，分析了同时考虑市场冲击成本和机会
成本的投资者，在总交易成本最小的目标下制定最优交易策略的问题。研究结果表明，如果投
资者只考虑冲击成本，或者虽然同时考虑机会成本但若所有交易时期指令的成交概率都相等，
那么投资者最优的算法交易策略仍然是采用著名的交易量加权平均价格（ＶＷＡＰ）交易策略；
对于所有交易时期指令的成交概率不一致但交易者能预先预期总的可执行指令大小的特殊情
况，得到了此问题的解析解；对于各交易时期指令成交概率并非都相等的一般情形，通过数值
示例发现，对于不同交易时期指令的成交概率分别为递增、递减和Ｕ型３种不同情形，投资者
同时关注市场冲击成本和机会成本时指令提交策略（ＭＩＯＣ）的总交易成本均小于ＶＷＡＰ交
易策略。
关键词：市场冲击成本；机会成本；算法交易；高频交易
中图分类号：Ｃ９３；Ｆ８３０．９ 文献标识码：Ａ 文章编号：１６７２８８４Ｘ（２０１２）０７０９５２０８
ＡｌｇｏｒｉｔｈｍｉｃＴｒａｄｉｎｇＳｔｒａｔｅｇｙＢａｓｅｄｏｎＭａｒｋｅｔＩｍｐａｃｔａｎｄＯｐｐｏｒｔｕｎｉｔｙＣｏｓｔ
ＹＡＮＲｕｚｈｅｎ ＬＩＰｉｎｇ ＺＥＮＧＹｏｎｇ
（ＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＥｌｅｃｔｒｏｎｉｃＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙｏｆＣｈｉｎａ，Ｃｈｅｎｇｄｕ，Ｃｈｉｎａ）
Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｄｅｖｅｌｏｐｓａｍｅｔｈｏｄｔｏｅｓｔｉｍａｔｅｔｈｅｏｐｐｏｒｔｕｎｉｔｙｃｏｓｔｏｆａｔｒａｄｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙｉｆ
ｔｈｅｂｌｏｃｋｓａｒｅｎｏｔｃｏｍｐｌｅｔｅｌｙｅｘｅｃｕｔｅｄ，ａｎｄｓｔｕｄｉｅｓａｎｏｐｔｉｍａｌｔｒａｄｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙｔｈａｔａｈｉｇｈｆｒｅｑｕｅｎｃｙ
ｔｒａｄｅｒｃｏｎｓｉｄｅｒｓｂｏｔｈｍａｒｋｅｔｉｍｐａｃｔａｎｄｏｐｐｏｒｔｕｎｉｔｙｃｏｓｔ．Ｔｈｅｒｅｓｕｌｔｓｉｎｄｉｃａｔｅｔｈａｔｉｆｉｎｖｅｓｔｏｒｏｎｌｙ
ｔａｋｅｓｉｎｔｏａｃｃｏｕｎｔｍａｒｋｅｔｉｍｐａｃｔ，ｏｒｃｏｎｓｉｄｅｒｓｂｏｔｈｔｈｅｍａｒｋｅｔｉｍｐａｃｔａｎｄｏｐｐｏｒｔｕｎｉｔｙｃｏｓｔｗｈｅｎｔｈｅ
ｔｕｒｎｏｖｅｒｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｏｆｓｌｉｃｅｏｒｄｅｒｉｓｅｑｕａｌｉｎａｌｌｐｅｒｉｏｄｓ，ｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｔｒａｄｉｎｇｓｔｒａｔｅｇｙｉｓＶＷＡＰｓｔｒａｔｅ
ｇｙ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｏｂｔａｉｎｓａｎａｎａｌｙｔｉｃａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｆｏｒｔｈｅｓｐｅｃｉａｌｃａｓｅｔｈａｔｉｎｖｅｓｔｏｒｃａｎｅｘｐｅｃｔｔｈｅｔｏｔａｌ
ｔｒａｄｉｎｇｖｏｌｕｍｅ，ｍａｋｅｓｎｕｍｅｒｉｃａｌｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔｓｆｏｒｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｃａｓｅｔｈａｔｔｈｅｔｕｒｎｏｖｅｒｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｏｆ
ｓｌｉｃｅｏｒｄｅｒｉｓｎｏｔｅｑｕａｌｉｎａｌｌｔｒａｄｉｎｇｐｅｒｉｏｄｓ，ａｎｄｔｈｅｔｏｔａｌｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｃｏｓｔｏｆＭＩＯＣｓｔｒａｔｅｇｙｉｓｌｏｗｅｒ
ｔｈａｎＶＷＡＰｓｔｒａｔｅｇｙｕｎｄｅｒｔｈｒｅｅｄｉｆｆｅｒｅｎｔｓｉｔｕａｔｉｏｎｓｔｈａｔｔｈｅｔｕｒｎｏｖｅｒｐｒｏｂａｂｉｌｉｔｙｉｓｉｎｃｒｅａｓｅｄ，ｄｅ
ｃｒｅａｓｅｄａｎｄＵＳｈａｐｅｄｓｅｐａｒａｔｅｌｙ．
Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｍａｒｋｅｔｉｍｐａｃｔ；ｏｐｐｏｒｔｕｎｉｔｙｃｏｓｔ；ａｌｇｏｒｉｔｈｍｉｃｔｒａｄｉｎｇ；ｈｉｇｈｆｒｅｑｕｅｎｃｙｔｒａｄｉｎｇ
收稿日期：２０１２０５２０
基金项目：国家自然科学基金资助项目（７１１７１０３４）；中央高校基本科研业务费专项资金资助项目（ＺＹＧＸ２０１１ＹＢ０３６）
１ 研究背景
随着证券市场和计算机网络通信技术的快
速发展以及交易所之间竞争的日益激烈，高频
交易正以势不可挡的趋势席卷欧美金融市场。
与传统的低频交易不同，采用高频交易的投资
者会密切关注不断变化的市场情况，捕捉一切
可盈利的交易机会。虽然每笔高频交易的收益
非常微薄，但通过大量频繁的交易却可能获得
较高的投资收益。据纽约时报报道，在金融危
机最为严重的２００８年，华尔街采用低频交易的
机构投资者中大约有７０％都出现了严重亏损，
但绝大部分采用高频交易的机构投资者的盈利
情况却较为可观［１］。
采用高频交易就一定能盈利吗？显然，答
案是否定的。事实上，由于受每次交易较低收
益的影响，只有那些高度关注交易成本并且努
力减少交易成本的高频交易者才可能盈利。由
·２５９·
第９卷第７期
２０１２年７月
管 理 学 报
ＣｈｉｎｅｓｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＭａｎａｇｅｍｅｎｔ
Ｖｏｌ．９Ｎｏ．７
Ｊｕｌ．２０１２
此，对于掌握大量资金的机构投资者而言，在整
个高频交易过程中，他们不但要考虑如何捕捉
最优的交易机会，还必须尽可能地减少在交易
过程中产生的交易成本。在证券交易过程中，
交易成本一般可分为显性交易成本和隐性交易
成本［２］。其中，显性交易成本是由各种手续费
和税费构成，而隐性交易成本主要包括市场冲
击成本、机会成本、择时风险等［３，４］。考虑到隐
性成本在高频交易中的重要性和不易事前估计
的特性，机构投资者要想获得较高投资收益必
须重视对隐性成本的有效管理。
但是，受到市场流动性有限影响，当交易者
提交大额指令时，会对证券市场上的价格造成
冲击，从而增加市场冲击成本①。为了减少市
场冲击成本，高频交易者通常会考虑将大额指
令拆分成若干小额指令择机逐次提交，这种交
易行为又称为算法交易。算法交易的关键在于
根据市场环境的变化设计相应的最优交易策
略，以便确定提交指令的时间、指令的价格和数
量，从而最大限度地降低高频交易的成本。随
着计算机和通信技术的不断发展，越来越多的
经纪商和机构投资者在证券交易过程中开始采
用算法交易。２００７年美国已有超过９０％的对
冲基金采用了算法交易［１１］，而２００９年美国证券
市场上大约７３％的交易量都是采用算法交易
完成②。
采用算法交易的目的是尽量降低交易成
本，而关键在于如何在交易前正确测度和估计
各种隐性成本。为了最大限度地降低市场冲击
成本，ＢＥＲＫＯＷＩＴＺ等［１２］提出利用交易量加权
平均价格与买价（或卖价）的差额来衡量市场冲
击成本的大小，并在此基础上提出了交易量加
权平均价格（ｖｏｌｕｍｅｗｅｉｇｈｅｄａｖｅｒａｇｅｐｒｉｃｅ，
ＶＷＡＰ）交易策略，但是，如果价格冲击成本函
数是线性的，且股票价格服从随机游走过程，
ＢＥＲＴＳＩＭＡＳ等［１３］指出，在最小化预期交易成
本的目标下，采取平均交易策略（在每一个交易
时期交易相同数量的证券）才是最优交易策略。
进一步，ＡＬＭＧＲＥＮ等［１４］将市场冲击分为临时
性市场冲击和永久性市场冲击。在此基础上，
ＫＩＳＳＥＬＬ等［４］着重分析了市场冲击成本和择
时风险２个因素对交易策略的影响，提出了一
种基于市场不平衡量③的成本分配模型，并分
别在开盘价基准和收盘价基准下构建了最小化
交易成本的优化模型和最小化交易成本与风险
的优化模型。ＫＩＳＳＥＬＬ等［１５］分析了投资者同
时考虑市场冲击成本和择时风险时的最优交易
策略问题，引入一个常数交易速率，并对所有时
期的预期市场成交量都相等的特殊情形给出了
解析解。
最近，方兆本等［１６］提出了一种新的交易算
法，除了利用 ＶＷＡＰ算法来决定指令大小之
外，还基于自回归条件持续期模型来选择具体
的交易时间。仲黎明等［１７］假设市场冲击成本为
线性情形，考虑了机构投资者在既定风险承受
能力下期望损失最小的最优变现策略。林辉
等［１８］构建了基于流动性调整的算法交易模型，
认为在行情看涨时，若初始持仓过量则应采取
Ｕ型的卖出交易策略；若初始持仓适量，则应采
取递增型的卖出交易策略；若初始持仓较少，则
应先采取递增型的买入交易策略，后采取递增
型卖出交易策略。此 外，ＨＥＮＤＥＲＳＨＯＴＴ
等［１９］利用纽约证券交易所２００１年２月～２００５
年１２月的数据，以２００３年纽约证券交易所启
动自动化报价为背景，研究了算法交易对流动
性的影响，发现算法交易确实可以改善证券市
场的流动性。
从现有关于算法交易的研究来看，大部分
文献主要关注市场冲击成本，部分文献涉及了
择时风险，在构造交易策略时也只是考虑了这
２种隐性交易成本。如果投资者总是采用市价
指令的方式提交委托单，那么只考虑市场冲击
成本是可行的，但是，在证券市场上，为了获得
有利的成交价格，绝大部分投资者会采用限价
指令的方式提交委托单。在这种情况下，由于
市场的高度不确定性，投资者在事前制定的指
令提交策略并不能保证不同阶段的指令都能全
部成交。ＴＨＡＴＣＨ等［２０］通过分析特拉维夫证
券交易所的数据发现，在所有分拆的限价指令
中，只有大约４８％的指令能够成交。换言之，
在高频交易中，指令执行的机会成本是一项不
可忽视的重要因素。然而，就作者所知，目前尚
缺乏同时考虑市场冲击成本与机会成本的算法
交易模型。
２ 高频交易中的隐性成本
２．１ 市场冲击成本
市场冲击是指由某一特定指令引起证券价
格的变化，其大小等于该指令发生时的证券价
·３５９·
基于市场冲击成本与机会成本的算法交易策略———燕汝贞 李 平 曾 勇
①
②
③
关于市场冲击成本产生原因的文献可参见文献［５～
１０］。
“ＳＥＣｒｕｎｓｅｙｅｏｖｅｒｈｉｇｈｓｐｅｅｄｔｒａｄｉｎｇ”，Ｆｉｎａｎｃｉａｌ
Ｔｉｍｅｓ，Ｊｕｌｙ２９，２００９．
市场不平衡量是指在一段时期内某一市场上买（卖）方
发起的股票交易量和卖（买）方发起的股票交易量之间的差额。
格和该指令不发生时证券价格的差额。市场冲
击成本一般会受到指令的大小、证券的流动性、
证券价格的波动性以及在一段时期内证券市场
的交易量等因素的影响。然而，在现实市场上，
无法同时观察到这２组数据，因此这种现象被
称为海森堡不确定原理［３］。
虽然在技术上不可能直接精确测度市场冲
击成本，但是市场冲击成本仍然受到学术界和
实业界的广泛关注。对于研究市场微观结构理
论的学者而言，必须要关注市场冲击成本，因为
市场冲击反映了交易、价格和信息三者之间复
杂的联系，具有非常重要的理论意义。对于从
事大额交易和采用高频交易的机构投资者来
说，由于市场冲击成本是交易成本的最重要组
成部分之一，而且它总是会使得价格向反方向
变化，因此，投资者要降低交易成本、增加投资
利润就必须要研究和控制市场冲击成本。
下面将简要介绍 ＫＩＳＳＥＬＬ等［４］提出的一
种间接估计市场冲击成本的方法。假设某投资
者在某段时间内需要交易总量为Ｓ的证券，并
且采用分阶段的交易策略ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｍ）′，
其中，ｘｔ（ｔ∈［１，ｍ］）表示此投资者在交易时期ｔ
提交指令的大小，且指令大小恰好等于市场的
不平衡量，则此交易策略的市场冲击成本可以
表示为
ＭＩｔｏｔａｌ＄ （ｘ）＝∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔ α
Ｉｘｔ
Ｓ（ｔｔ＋０．５ｖｔ）＋
（１－α）Ｉ［ ］Ｓ ，（１）
式中，ｍ表示交易时期个数；Ｉ表示瞬时冲击成
本①；α表示临时性市场冲击成本占总市场冲击
成本的比例②，α∈［０，１］；ｖｔ 表示在ｔ时期预期
的市场交易量；Ｓ表示总的指令大小，即Ｓ＝
∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔ。
下面将考虑一种极端情况。如果投资者仅
仅关注市场冲击成本对交易策略的影响，那么，
优化模型可表示为［３］
ｍｉｎＴＣ（ｘ）＝∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔ α
Ｉｘｔ
Ｓ（ｔｔ＋０．５ｖｔ）＋
（１－α）Ｉ［ ］Ｓ ， （２）
ｓ．ｔ． Ｓ＝∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔ； （２ａ）
ｘｔ≥０。 （２ｂ）
此问题的解为
ｘｔ ＝ＳｖｔＶ
， ｔ∈ ［１，ｍ］， （３）
式中，Ｖ 表示所有时期总的预期市场成交量，即
Ｖ ＝∑
ｍ
ｉ＝１
ｖｉ。
显然，对于采用高频交易的投资者而言，如
果在交易过程中只关注市场冲击成本，那么其
最优交易策略为ＶＷＡＰ交易策略，即根据历史
成交量制定未来某段时间所提交指令的大小，
使得交易平均执行价格尽可能等于交易量加权
平均价格。
２．２ 机会成本
当投资者提交限价指令时，证券市场上的
流动性不足和证券价格的快速剧烈变化可能会
导致投资者在不同阶段提交的指令不能被全部
执行，因此，除了市场冲击成本，投资者在交易
过程中还可能面临一种新的成本———机会成
本。机会成本是指未能执行完全部指令而损失
的那部分收益［３］。当指令趋向于全部执行的时
候，机会成本将相应减少至零。在通常情况下，
采用高频交易的投资者为了减少在交易过程中
产生的机会成本会尽可能地促使指令全部执
行。但是，当面对不利的市场环境时，如果仍然
选择全部执行指令，无疑会大幅增加市场冲击
成本。正如ＣＨＲＩＳＳ所说，交易会冲击市场，不
进行交易则会被市场所冲击，因此，采用高频交
易的投资者在制定交易策略时，机会成本同样
是一种不可忽视的重要因素。
下面将介绍如何估计某一具体交易策略的
机会成本。假设某投资者在某段时间内需要交
易总量为Ｓ的证券，同样采用分阶段的交易策
略ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｍ）′，即Ｓ＝∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔ，且在任意
交易时期ｔ投资者所面临的机会成本与将来可
能无法执行交易的证券数量和证券价格变化量
有关，因此，机会成本的期望值可以表示为
Ｅ［ＯＣ（Ｘ）］＝∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔ（１－ρｔ）［Ｅ（Ｐｍ）－Ｐ０］， （４）
式中，ρｔ 为在任意时期ｔ指令成交的概率，且
ρ∈［０，１］；Ｐｍ 和Ｐ０ 分别是证券在最后一个交
易时期和期初的价格。由于临时性市场冲击不
会改变证券的内在价值，且假设临时性市场冲
击仅影响当前交易时期，因此，在最后一个交易
时期证券价格的期望值可以表示为
Ｅ（Ｐｍ）＝Ｐ０＋
（１－α）Ｉ
Ｘ
， （５）
式中，Ｘ 表示所有时期指令成交的数量，即
·４５９·
管理学报第９卷第７期２０１２年７月
①
②
如果投资者在某段时间内需要交易总量为Ｓ的证券，且
采用不拆单交易策略，即将所有指令以市价指令的形式一次性提
交至证券市场进行交易，此时投资者所受到的总市场冲击成本称
为瞬时冲击成本。对于瞬时冲击成本的估计，ＫＩＳＳＥＬＬ等［３］提
出了如下方法进行估计：Ｉ＄ ＝ａ１（Ｑ／ＡＤＶ）ａ２σＰ０Ｑ，其中，Ｑ表示
市场的不平衡量；ＡＤＶ 表示市场的日均交易量；σ表示证券收益
的年波动率；Ｐ０表示证券交易的初始价格。
ＫＩＳＳＥＬＬ等［３］通过实证研究表明，临时性市场冲击成
本占总市场冲击成本的比例一般为９５％，即α＝０．９５。
Ｘ＝∑
ｍ
ｉ＝１
ｘｉρｉ。
３ 受市场冲击成本和机会成本共同影响
的交易模型
如果仅考虑市场冲击成本，那么采取
ＶＷＡＰ交易策略可以实现交易成本（市场冲击
成本）最小；如果只考虑机会成本对交易策略的
影响时，那么采取不拆单的交易策略可以最小
化交易成本（机会成本）。但是，在现实的高频
交易中，投资者很少仅仅关心这２种因素的某
一种，而是需要同时考虑市场冲击成本和机会
成本对交易策略的影响。
假设某投资者计划在未来ｍ 个交易时期
内交易总数量为Ｓ 的指令，并且采用分阶段的
交易策略ｘ＝（ｘ１，ｘ２，…，ｘｍ）′，其中，ｘｔ 表示投
资者在时期ｔ准备提交的指令数量，对应的成
交概率为ρｔ。若投资者同时考虑市场冲击成本
和机会成本，那么他面临的决策模型可以表示
为：
ｍｉｎＥ［ＴＣ（ｘ）］＝∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔρ［ｔ αＩｘｔρｔＸ（ｘｔρｔ＋０．５ｖｔ）＋
（１－α）Ｉ］Ｘ ＋∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔ（１－ρｔ）
（１－α）Ｉ
Ｘ
， （６）
ｓ．ｔ．Ｘ＝∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔρｔ； （６ａ）
Ｓ＝∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔ； （６ｂ）
ｘｔ≥０。 （６ｃ）
３．１ 每一交易时期的指令执行概率都相等
首先考虑一种特殊情形。对于采用分阶段
交易策略的投资者而言，假设在交易过程中所
有阶段指令执行的概率都相等，即ρｔ＝ρ，其中，
ρｔ为在任意时期ｔ指令成交的概率，ρ∈［０，１］，
ｔ＝１，２，…，ｍ。在这种情况下，投资者同时考虑
市场冲击成本和机会成本的模型可以表示为：
ｍｉｎＥ［ＴＣ（ｘ）］＝∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔ ［ρ αＩｘｔρＳρ（ｘｔρ＋０．５ｖｔ）＋
（１－α）Ｉ
ρ ］Ｓ ＋∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔ（１－ρ）
（１－α）Ｉ
ρＳ
， （７）
ｓ．ｔ．Ｓ＝∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔ； （７ａ）
ｘｔ≥０。 （７ｂ）
对于以上模型，利用ＫｕｈｎＴｕｃｋｅｒ条件求
解可得
αＩ
ρＳ
ｘ２１＋ｘ１ｖ１
（ｘ１＋０．５ｖ１）２
αＩ
ρＳ
ｘ２２＋ｘ２ｖ２
（ｘ２＋０．５ｖ２）２
…
αＩ
ρＳ
ｘ２ｍ ＋ｘｍｖｍ
（ｘｍ ＋０．５ｖｍ）
熿
燀
燄
燅２
－λ
１
１
…
熿
燀
燄
燅１
＝０， （８）
式中，λ是拉格朗日乘子。由式（７ａ）和式（８）可
得
ｘｔ ＝ＳｖｔＶ
， ｔ∈ ［１，ｍ］， （９）
式中，Ｖ ＝∑
ｍ
ｉ＝１
ｖｔ。由于ＫｕｈｎＴｕｃｋｅｒ条件只是
最优解的必要条件，所以下面将分析此最优解
的充分性。此模型目标函数的 Ｈｅｓｓｉａｎ阵为
２ＴＣ（ｘ）＝
αＩ
ρＳ
２（０．５ｖ１）２
（ｘ１＋０．５ｖ１）３
０ … ０
…
０ ０ … ２
（０．５ｖｍ）２
（ｘｍ ＋０．５ｖｍ）
熿
燀
燄
燅３
。（１０）
显然，Ｈｅｓｓｉａｎ阵２ＴＣ（ｘ）的特征值都大于零，
所以此 Ｈｅｓｓｉａｎ阵为正定矩阵；而此模型的约
束条件式（７ａ）为线性函数，且可行域为凸集，所
以此问题为凸规划。对于凸规划问题而言，
ＫｕｈｎＴｕｃｋｅｒ条件既是最优解的必要条件，也
是充分条件，因此，式（９）是此模型的全局最优
解。
事实上，由于受不同阶段指令成交概率的
影响，在任意时期ｔ，投资者考虑指令未全部执
行情形下应提交的最优指令大小为
ｘｔ ＝ｘｔρｔ ＝ρＳ
ｖｔ
Ｖ
， ｔ∈ ［１，ｍ］。 （１１）
显然，此最优交易策略是一个 ＶＷＡＰ交易策
略，但由于受不同阶段指令成交概率的影响，与
普通的ＶＷＡＰ交易策略或投资者在仅考虑市
场冲击成本情形下的最优交易策略相比，此最
优交易策略每一时期的指令大小都根据指令成
交概率同比例减少。
３．２ 每一交易时期的指令执行概率并非都相等
现在考虑一般情形，即并非每一交易时期
指令成交的概率都相等。在此情形下，通常无
法获得算法交易的解析解，但是，在投资者可以
预期总的可执行指令大小的特殊情况下，可以
得到此模型解的解析解。
假设投资者预期总可成交的指令大小为：
Ｘ＝Ｓρ，其中ρ＝
１
ｍ∑
ｍ
ｔ＝１
ρｔ。在此情形下，投资者
同时考虑市场冲击成本和机会成本时的数学模
型可以表示为：
ｍｉｎＥ［ＴＣ（ｘ）］＝∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔρ［ｔ αＩｘｔρｔＳρ（ｘｔρｔ＋０．５ｖｔ）＋
（１－α）Ｉ
Ｓ ］ρ ＋∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔ（１－ρｔ）
（１－α）Ｉ
Ｓρ
， （１２）
ｓ．ｔ． Ｓ＝∑
ｍ
ｔ＝１
ｘｔ； （１２ｂ）
ｘｔ≥０。 （１２ｃ）
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基于市场冲击成本与机会成本的算法交易策略———燕汝贞 李 平 曾 勇
对于以上模型，利用ＫｕｈｎＴｕｃｋｅｒ条件求
解可得
αＩ
ρＳ
ｘ２１ρ
３
１＋ｘ１ρ
２
１ｖ１
（ｘ１ρ１＋０．５ｖ１）
２
αＩ
ρＳ
ｘ２２ρ
３
２＋ｘ２ρ
２
２ｖ２
（ｘ２ρ２＋０．５ｖ２）
２
…
αＩ
ρＳ
ｘ２ｍρ
３
ｍ ＋ｘｍρ
２
ｍｖｍ
（ｘｍρｍ ＋０．５ｖｍ）
熿
燀
燄
燅２
－λ
１
１
…
熿
燀
燄
燅１
＝０， （１３）
式中，λ是拉格朗日乘子。将上式化简可得
ｘｔ ＝０．５ｖｔ
ρ ［（ｔ １－
Ｓρ
αＩρｔ
λ ）
－１２ － ］１ ，
ｔ∈ ［１，ｍ］。 （１４）
为了简化计算，不妨令 ｆ（λ） （＝ １－
Ｓρ
αＩρｔ
λ ） －
１
２，并将ｆ（λ）在λ＝０处进行泰勒展
开可得
ｆ（λ）＝１＋ Ｓρ２αＩρｔ
λ ＋Ｏ（λ）。 （１５）
由此，式（１４）可以表示为
ｘｔ ＝０．５ｖｔＳρ２αＩρ
２
１
λ， ｔ∈ ［１，ｍ］。 （１６）
将式（１６）与式（１２ａ）联立求解，可得
λ ＝ １
∑
ｍ
ｉ＝１
０．５ｖｉ
ρ
２
ｉ
ρ
２αＩ
。 （１７）
将式（１７）代入式（１６），可得
ｘｔ ＝Ｓ ｖｔ
ρ
２
ｔ∑
ｍ
ｉ＝１
ｖｉ
ρ
２
ｉ
， ｔ∈ ［１，ｍ］。 （１８）
与所有时期指令执行概率都相等情形相
同，此模型也是一个凸规划问题，所以式（１８）是
此模型的全局最优解。因此，在任意时期ｔ，投
资者考虑指令未全部执行情形下应提交的最优
指令大小
ｘｔ ＝ｘｔρｔ ＝Ｓ
ｖｔ
ρｔ∑
ｍ
ｉ＝１
ｖｉ
ρ
２
ｉ
， ｔ∈ ［１，ｍ］。 （１９）
式（１９）可以看出，此情形下的最优交易策
略不是ＶＷＡＰ交易策略，但是如果在交易过程
中的所有时期指令成交概率都相等，即ρｔ＝ρ，
ｔ∈［１，ｍ］，那么式（１９）可以简化为
ｘｔ ＝ρＳ
ｖｔ
Ｖ
， ｔ∈ ［１，ｍ］。 （２０）
显然，在这种情况下得到的结果与前文所考虑
的所有时期指令成交概率都相等情形下的结果
相同。
３．３ 数值示例
假如在每一交易时期指令成交的概率并非
都相等，那么对于采用高频交易的投资者而言，
由于同时考虑市场冲击成本和机会成本的模型
过于复杂无法得到解析解，下面将通过数值示
例来分析。
３．３．１ 成交概率ρ为递减情形
当不同阶段的指令成交概率ρ为递减情形
时，在保持总指令大小、瞬时冲击成本、交易时
期个数以及临时性市场冲击成本的比例等参
数①不变的情形下，图１给出了当投资者采用
ＭＩＯＣ交易策略与 ＶＷＡＰ交易策略的关系。
若投资者只考虑市场冲击成本因素，则投资者
所采用的最优交易策略为 ＶＷＡＰ交易策略。
由图１可知，当投资者同时考虑市场冲击成本
和机会成本，并且各个时期的指令成交概率不
相等时，ＭＩＯＣ交易策略与ＶＷＡＰ交易策略存
在明显不同。在前８个交易时期内，受市场冲
击成本的影响，ＭＩＯＣ交易策略所提交的指令
明显小于ＶＷＡＰ交易策略；在后８个交易时期
内，ＭＩＯＣ交易策略中每一时期所提交的指令
都大于ＶＷＡＰ交易策略的指令大小。
注：ｘ 和ｘｖｗａｐ分别表示投资者采用 ＭＩＯＣ交易策略和
ＶＷＡＰ交易策略时在每一交易时期所提交的指令大小，下
同。
图１ ＭＩＯＣ和ＶＷＡＰ交易策略的对比（ρ为递减）
从林辉等［１８］的研究结论不难看出，在行情
看跌时，不论是买入还是卖出所采用的最优交
易策略都是递减型的，而本文所考虑的成交概
率ρ为递减情形可在一定程度上理解为林辉等
考虑的行情看跌情形，显然，本文在ρ为递减情
形下的结论和林辉等的结论一致，都是采用递
减型的交易策略。
当不同阶段的指令成交概率ρ为递减情形
时，图２给出了投资者采用 ＭＩＯＣ交易策略下
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管理学报第９卷第７期２０１２年７月
① 本例及以下各情形中的总指令大小、瞬时冲击成本、以
及临时性市场冲击成本比例均取自文献［３］：Ｉ＝＄１０００００；Ｓ＝
３００００；α＝０．９５；同时，根据本文的需要假设交易时期的数目为：
ｍ＝１６；假设在ρ为递减情形时，不同时期的指令成交概率和预期
市场成交量分别为：ρ＝［０．９０ ０．８５ ０．８０ ０．７５ ０．７０ ０．６５
０．６０ ０．５５ ０．５０ ０．４５ ０．３５ ０．３０ ０．２５ ０．２０
０．１５］；ｖ＝［１０００００ ９５０００ ９００００ ８５０００ ８００００ ７５０００
７００００ ６５０００ ６００００ ５５０００ ５００００ ４５０００ ４００００
３５０００ ３００００ ２５０００］。
各交易成本间的关系。由图２可知，在整个交
易时期（１≤ｍ≤１６）内，随着交易的进行，市场
冲击成本逐渐减小，而受指令成交概率逐渐减
小的影响，机会成本逐渐增大，市场冲击成本和
机会成本呈反方向变化。
图２ ＭＩＯＣ交易策略的交易成本（ρ为递减）
当不同阶段的指令成交概率ρ为递减情形
时，图３给出了投资者采用 ＭＩＯＣ交易策略和
ＶＷＡＰ交易策略总的交易成本的关系。由图３
可知，在整个交易时期中，投资者采用ＭＩＯＣ交
易策略的总交易成本始终明显小于 ＶＷＡＰ交
易策略。
图３ ＭＩＯＣ交易策略和ＶＷＡＰ交易策略
总交易成本的对比（ρ为递减）
３．３．２ 成交概率ρ为递增情形
当不同阶段的指令成交概率ρ为递增情形
时，在保持总指令大小、瞬时冲击成本、交易时
期个数以及临时性市场冲击成本的比例等参
数①不变的情形下，图４给出了当投资者采用
ＭＩＯＣ交易策略与 ＶＷＡＰ交易策略的关系。
若投资者只考虑市场冲击成本因素，则投资者
所采用的最优交易策略为 ＶＷＡＰ交易策略。
由图４可知，当投资者同时考虑市场冲击成本
和机会成本，并且各个时期的指令成交概率不
相等时，ＭＩＯＣ交易策略与ＶＷＡＰ交易策略存
在明显不同。在前８个交易时期（１≤ｍ≤８）
内，ＭＩＯＣ交易策略所提交的指令明显大于
ＶＷＡＰ交易策略；在后８个交易时期（９≤ｍ≤
１６）内，ＭＩＯＣ交易策略中每一时期所提交的指
令大小都小于ＶＷＡＰ交易策略。
图４ ＭＩＯＣ和ＶＷＡＰ交易策略的对比（ρ为递增）
本文在ρ为递增情形下的结论和林辉等的
研究结论一致，都是采用递增型的交易策略。
在不同阶段的指令成交概率ρ为递增时，
图５给出了投资者采用 ＭＩＯＣ交易策略下各交
易成本间的关系。由图５可知，在整个交易时
期（１≤ｍ≤１６）内，随着交易的进行，市场冲击
成本逐渐增大，而受指令成交概率逐渐减小的
影响，机会成本逐渐减小，市场冲击成本和机会
成本呈反方向变化。
图５ ＭＩＯＣ交易策略的交易成本（ρ为递增）
当不同阶段指令成交概率ρ为递增情形
时，图６给出了投资者采用 ＭＩＯＣ交易策略和
ＶＷＡＰ交易策略总的交易成本的关系。由图６
可知，从在整个交易时期来看，投资者采用 ＭＩ
ＯＣ交易策略的总交易成本小于 ＶＷＡＰ交易
策略。
３．３．３ 成交概率ρ为Ｕ型
当不同阶段的成交概率ρ为 Ｕ型时，在保
持总指令大小、瞬时冲击成本、交易时期个数以
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基于市场冲击成本与机会成本的算法交易策略———燕汝贞 李 平 曾 勇
① 假设在ρ为递增情形时，不同时期的指令成交概率和预
期市场成交量分别为：ρ＝［０．１５ ０．２０ ０．２５ ０．３５ ０．４０
０．４５ ０．５０ ０．５５ ０．６０ ０．６５ ０．７０ ０．７５ ０．８０ ０．８５
０．９０］；ｖ＝［２５０００ ３００００ ３５０００ ４００００ ４５０００ ５００００
５５０００ ６００００ ６５０００ ７００００ ７５０００ ８００００ ８５０００
９００００ ９５０００ １０００００］。
图６ ＭＩＯＣ交易策略和ＶＷＡＰ交易策略
总交易成本的对比（ρ为递增）
及临时性市场冲击成本的比例等参数①不变的
情形下，图７给出了投资者采用 ＭＩＯＣ交易策
略与ＶＷＡＰ交易策略的关系。若投资者只考
虑市场冲击成本因素，则投资者所采用的最优
交易策略为ＶＷＡＰ交易策略。由图７可知，当
投资者同时考虑市场冲击成本和机会成本，并
且各个时期的指令成交概率不相等时，ＭＩＯＣ
交易策略与 ＶＷＡＰ交易策略存在明显不同。
在开始的４个交易时期和最后的３个交易时期
内，受市场冲击成本的影响，ＭＩＯＣ交易策略所
提交的指令小于ＶＷＡＰ交易策略；在其他交易
时期（５≤ｍ≤１３）内，ＭＩＯＣ交易策略中每一
时期所提交的指令大小都大于 ＶＷＡＰ交易策
略。
图７ ＭＩＯＣ和ＶＷＡＰ交易策略的对比（ρ为Ｕ型）
当不同阶段的成交概率ρ为 Ｕ型时，图８
给出了投资者采用 ＭＩＯＣ交易策略下各交易
成本间的关系。由图８可知，在前６个交易时
期（１≤ｍ≤６）内，随着交易的进行，市场冲击成
本逐渐减小，而受指令成交概率逐渐减小的影
响，机会成本逐渐增大；在最后４个交易时期
（１３≤ｍ≤１６）内，市场冲击成本逐渐增大，而受
市场指令成交概率逐渐增大的影响，机会成本
逐渐减小。从整个交易时期来看，市场冲击成
本和机会成本大体上是呈反方向变化。
当不同阶段成交概率ρ为 Ｕ型时，图９给
出了投资者采用 ＭＩＯＣ交易策略和 ＶＷＡＰ交
易策略总的交易成本的关系。由图９可知，在
注：ＭａｒｋｅｔＩｍｐａｃｔ、ＯｐｐｏｒｔｕｎｉｔｙＣｏｓｔ和ＴｏｔａｌＣｏｓｔ分别表示
投资者采用 ＭＩＯＣ交易策略时在每一交易时期的市场冲击成
本、机会成本和总交易成本。不同阶段的指令成交概率ρ为
Ｕ型。
图８ ＭＩＯＣ交易策略的交易成本（ρ为Ｕ型）
整个交易时期，投资者采用 ＭＩＯＣ交易策略的
总交易成本始终小于ＶＷＡＰ交易策略。
图９ ＭＩＯＣ交易策略和ＶＷＡＰ交易策略
总交易成本的对比（ρ为Ｕ型）
４ 结语
本文首先介绍了市场冲击成本的定义及度
量方法以及基于拆分指令的 ＶＷＡＰ策略；然
后，针对各阶段指令可能未全部成交的情况，给
出了机会成本的定义和估计方法；最后，考虑在
不同交易阶段指令可能未全部成交的情况下，
分析了投资者同时考虑市场冲击成本和机会成
本时应如何制定算法交易策略的问题。研究结
论表明，如果所有交易阶段指令的成交概率都
相等，那么投资者最优的算法交易策略仍然是
采用ＶＷＡＰ交易策略。对于所有交易阶段指
令的成交概率并非都相等但交易者能预先预期
总的可执行指令大小的特殊情况，本文得到了
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管理学报第９卷第７期２０１２年７月
① 假设ρ为Ｕ型时，不同阶段的指令成交概率和预期市场
成交量分别为：ρ＝［０．９５８ ０．７７８ ０．６２２ ０．４９０ ０．３８２
０．２９８ ０．２３８ ０．２０２ ０．１９０ ０．２０２ ０．２３８ ０．２９８ ０．３８２
０．４９０ ０．６２２ ０．７７８］；ｖ＝［１３６８７５ １１０６２５ ８７８７５ ６８
６２５ ５２８７５ ４０６２５ ３１８７５ ２６６２５ ２４８７５ ２６６２５ ３１
８７５ ４０６２５ ５２８７５ ６８６２５ ８７８７５ １１０６２５］。
此问题解的解析解。对于各阶段指令成交概率
并非都相等的一般情形，通过数值示例发现：在
不同阶段的指令成交概率ρ为递减时，投资者
在同时考虑市场冲击和机会成本情形下的最优
交易策略（ＭＩＯＣ）与 ＶＷＡＰ交易策略具有明
显的不同，在前８个交易时期内 ＭＩＯＣ交易策
略每一个时期的指令大小都小于采用 ＶＷＡＰ
交易策略，而在后８个交易时期，ＭＩＯＣ交易策
略每一个时期的指令大小都大于 ＶＷＡＰ交易
策略；在不同阶段的指令成交概率ρ为递增时，
在前８个交易时期内 ＭＩＯＣ交易策略每一个时
期的指令大小都大于采用ＶＷＡＰ交易策略，而
在后８个交易时期，ＭＩＯＣ交易策略每一个时
期的指令大小都小于ＶＷＡＰ交易策略；在不同
阶段的指令成交概率ρ为 Ｕ型时，在最初的４
个交易时期和最后３个交易时期内 ＭＩＯＣ交易
策略每一交易时期的指令大小都小于 ＶＷＡＰ
交易策略，而在其他交易时期内，ＭＩＯＣ交易策
略每一个时期的指令大小都大于 ＶＷＡＰ交易
策略。在不同阶段的指令成交概率ρ为递减、
递增和 Ｕ 型３种情形下，投资者采用 ＭＩＯＣ
交易策略的总交易成本都小于 ＶＷＡＰ交易策
略。
参 考 文 献
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ＡＪ．ＤｏｅｓＡｌｇｏｒｉｔｈｍｉｃＴｒａｄｉｎｇＩｍｐｒｏｖｅＬｉｑｕｉｄｉｔｙ？
［Ｊ］．ＴｈｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＦｉｎａｎｃｅ，２０１１，６６（１）：１～３３．
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ＳｔｒａｔｅｇｙｔｏＨｉｄｅ？［Ｚ］．Ａｔｌａｎｔａ：ＧｅｏｒｇｉａＳｔａｔｅＵ
ｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，２００７．
（编辑 刘继宁）
通讯作者：曾勇（１９６３～），男，四川成都人。电子科技大
学（成都市 ６１００５４）管理学院院长，教授、博士研究生导
师。研究方向为公司财务与资本市场。Ｅｍａｉｌ：ｚｅｎｇｙ＠
ｕｅｓｔｃ．ｅｄｕ．ｃｎ
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基于市场冲击成本与机会成本的算法交易策略———燕汝贞 李 平 曾 勇
