Cq重庆大学电子课件
课件制作: 吴新生 樊桂洁
课程: 高等数学
2005年6月
第一章 函数与极限
分析基础
函数
极限
连续
— 研究对象
— 研究方法
— 研究桥梁
本章主要内容： 映射 函数
函数极限数列极限
无穷大与
无穷小
函数的连续性与间断点
第一节 映射与函数
一、集合
二、映射
三、函数
一、集合
（一）定义及表示法
定义1：称为集
元素 a 属于集合 M , 记作
元素 a 不属于集合 M , 记作 ( 或 )
.
不含任何元素的集合称为空集 ,记作 .
含有有限个元素的集合成为有限集.
不是有限集的集合称为无限集.
N：全体自然数集合 N+：全体正整数集合
Z：全体整数集合 Q：全体有理数集合
R:全体实数集合 R*:全体正实数集合
合。组成集合的事物称为元素.
(1) 列举法：按某种方式将集合中的元素一一列举出来
.
例: 有限集合
(2) 描述法： x 所具有的特征
例: 整数集合 或
有理数集 p 与 q 互质
实数集合 x 为有理数或无理数
表示法：
1、基本运算：
• 并集：由所有属于A或者属于B的元素
组成的集合，记作A∪B。
• 交集：由即属于A又属于B的元素组
成的集合，记作A∩B。
• 差集：所有属于A而不属于B的元素组
成的集合，记作A\B
• 补集：称集合I为全集，称I\A为A的余
集或补集。
• 直积
特例: 记 为平面上的全体点集
（二）集合的运算
交换律：A∪B＝B∪A，A∩B＝B∩A；
结合律：（A∪B）∪C＝A∪（B∪C），
分配律：（A∪B）∩C＝（A∩C）∪（B∩C），
对偶律：（A∪B）C＝AC∩BC，
（A∩B）∩C＝A∩（B∩C）；
（A∩B）∪C＝（A∪C）∩（B∪C）；
（A∩B）C＝AC∪BC；
2、集合的并、交、补运算满足下列法则：
点的 邻域
其中, a 称为邻域中心 , 称为邻域半径 .
去心 邻域
左 邻域 :
右 邻域 :
f
二、映射（一）映射的概念
设X,Y是两个非空集合，如果存在一个法
则 f ,使得对X中的每个元素x，按法则 f ,在Y
中有唯一确定的元素y与之对应，则称 f 为
从X到Y的映射。记作
定义：
元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 , 记作
元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .
集合 X 称为映射 f 的定义域 ;
Y 的子集 称为 f 的 值域 .
X
x
Y
y
1、构成映射必备的三要素：
2、 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不
一定唯一 .
③ 对应法则f是对每个x∈X，有唯一确定的
y=f(x)与之对应。
② 值域范围Df Y;
① 定义域 Df=X；
注意：
对映射 若 , 则称 f 为满射;
若 有
则称 f 为单射;
若 f 既是满射又是单射,
则称 f 为双射 或一一映射.
满射：
单射：
双射：
X (数集 或点集 )
在不同数学分支中有不同的惯用
X (≠ ) Y (数集) f 称为X 上的泛函
X (≠ ) X f 称为X 上的变换
R
f 称为定义在 X 上的为函数
映射又称为算子.
名称. 例如,
说明:
1、逆映射的定义
定义: 若映射 为单射, 则存在一新映射
使
习惯上 ,
的逆映射记成
例如, 映
射
其逆映射为
其中
称此映射 为 f 的逆映射 .
（二） 逆映射与复合映射
定义：
设有两个映射
其中
，
则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则，
它将每个 映成
显然，这个对应法则确定了一个从X到Z的映射，
这个映射称为映射g和 f构成的复合映射，记作
即
2、复合映射
三、函数
（一）函数的概念
定义域Df
定义4. 设数集 则称映射 为定义在
D 上的函数 , 记为
自变量因变量 f ( D ) 称为值域Rf
(对应规则) (值域
)
(定义域)
• 定义域
• 对应规律——对应规律的表示方法: 解析法、
图象法、列表法。
使表达式及实际问题都有意义的
函数构成要素
如果两个函数的定义域相同，对应法则也相同，
自变量集合.
那么这两个函数就是相同的，否则就是不同。
设函数 且有区间
1、有界性
使 称
使 称
为有界函数.
在 I 上有界.
使若对任意正数 M , 均存在
则称 f ( x ) 无界.
，称 在I上有上界
称 在I上有下界
当
（二） 函数的几种特性
使
使
2、 单调性
时,
称 为 I 上的
称 为 I 上的
单调增函数 ;
单调减函数 .
且有
若 则称 f (x) 为偶函
数;
若 则称 f (x) 为奇函数.
3、 奇偶性
由定义知偶函数关于y轴对称
x
y
且有
由定义知奇函数关于原点对称
有
则称 为周期函数 ,
且
称 l 为周期
( 一般指最小正周期 ).
周期为
注: 周期函数不一定存在最小正周期 .
4、 周期性
设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个正数l，使
得对于任一
例如：常数函数
狄里克雷函数
x 为有理数
x 为无理数或
1、 反函数的概念及性质
若函数 为单射, 则存在逆映射
习惯上, 的反函数记成
称此映射 为 f 的反函数 .
（三） 反函数与复合函数
其反函数(减)
(减)
.
1) y＝f (x) 单调递增
且也单调递增
2) 函数 与其反函数
的图形关于直线
对称
.
如图：
对数函数
互为反函数 ,
它们都单调递增, 其图形关于直线 对称 .
指数函数
性质:
2、 复合函数
则
设有函数链
称为由①, ②确定的复合函数 ,
①
②
u 称为中间变量.
注意: 构成复合函数的条件 不可少.
例如, 函数链 :
函数
但函数链 不能构成复合函数 .
可定义复合
例如,
可定义复合函数:
其中u、v都是中间变量
两个以上函数也可构成复合函数.
3、函数的运算
的定义域依次为
则可以定义两个函数的下列运算
和（差）
商
积
1、 基本初等函数
幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数
2、 初等函数
由常数及基本初等函数
否则称为非初等函数 .
并可用一个式子表示的函数 ,
经过有限次四则运算和复合步
骤所构成 , 称为初等函数 .
例如 , 双曲函数与反双曲函数也是初等函数 .
定义
（四） 初等函数
内容小结
1. 集合及映射的概念
定义域
对应规律
3. 函数的特性 有界性, 单调性,
奇偶性, 周期性
4. 初等函数的结构
2. 函数的定义及函数的二要素
