⒈ 课程
名称： 经济数学模型
学分： 2
教师： 毛瑞华
电话： (028) 85413996
E-mail: maoruihua@
ruihuamao@(123456)
QQ： 459519390
mailto:maoruihua@
mailto:ruihuamao@
2. 参考书
1. 宏观经济数量分析方法与模型, 刘起运 主编,
高教
2. 经济数学模型, 洪毅 等 编著 华南理工大学
3. 经济学中的分析方法, 高山晟(美) 著, 刘振亚
译,中国人大
4. 经济数学方法与模型，安吉尔.德.拉.弗恩特
著, 朱保华 钱晓明 译 上海财大
5. 经济学的结构---数量分析方法, Eugene
Silberberg, Wing Suen 著, 高峰 等译, 清华
第一部分
经济数学模型的
概念及建模方法
§数学模型和模型的建立
一、模型和数学模型
1. 模型：人们为了深刻地认识和理解原型问题
而对其所作的一种抽象和升华，其目的是通过
对模型的分析、研究加深对原型问题的理解和
认识。
2. 数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言
对实际现象进行的一个近似的描述，以便于人
们更加深入地认识所研究的对象。
(1) 对实际问题的分析、归纳，做出一些必要
且合理的假设条件，将实际问题中的一些指标
进行量化；
(2) 给出描述问题的数学提法；
(3) 利用数学理论和方法或计算机进行分析,
得出结论；
(4) 利用现实问题验证结论的合理性，并作修
正.
3. 需要解决几个问题：
4.数学模型建模的步骤
模型准备 模型假设 模型建立
模型求解模型分析模型检验
模型应用
模型
改进
二、建立数学模型的一个实例
1、问题的提出：
设市场上有n 种资产Si( i=1,2,…,n) 可供
投资者选择，某公司有数额为 M 的一笔相当
大的资金可用作一个时期的投资。公司财务
人员对这 n 种资产进行了评估，估计出在这
一时期内购买资产 Si 的平均收益率为 ri, 且
预测出购买资产Si 的风险损失为qi。
考虑到投资越分散，总的风险越小。公
司决定在运用这批资金购买若干资产时，总
体风险用在资产Si中所投资产的最大风险来
度量。
购买资产Si 的需要支付交易费，其费率
为pi, 并且当购买额不超过u i时, 交易费按购
买额 ui 计算。设同期银行存款利率是r0=5%,
且存取款时既无交易费也无风险。
2. 对问题的定位：最优化问题
需要确定购买资产Si 的具体投资额 xi ,
即建立投资组合，实现两个目标：
(1) 净收益最大化；
(2) 整体风险最小化；
3. 建模准备：
(1)决策变量：
资产Si ( i =0,1,…,n)的投入量xi , i =0,1,…,
n, 其中S0 表示将资产存入银行。
(2)投资收益：
购买资产Si (i=0,1,2, …n)的收益率为 ri,
因此投资 xi 的收益率为 rixi , 除去交易费用ci
(xi)，则投资 xi 的净收益为 Ri=rixi - ci(xi)。从
而，总投资的总收益为 R(x)=Ri(xi)。
用数学符号和公式表述决策变量、构造
目标函数和确定约束条件
(3)投资风险：
购买资产Si ( i=0,1,2, …n ) 的风险损失为
qi , 因此投资xi 的收益率为qi xi, 其总体风险用
Si的风险，即
Qi(xi)= qi xi
最大的一个来度量。
从而总投资的风险损失为
Q (x)= max{Qi(xi)}。
(4) 约束条件：
b. 记
x=(x0, x1, x2, …, xn)T, 1=(1, 1, 1, …,1)T,
c=(c0, c1, c2, …, cn)T, r=(r0, r1, r2, …,rn )T,
总净收益R(x), 整体风险Q(x)和总资金F(x)各为
4. 两目标优化模型
5. 单目标优化模型
求解模型令
模型1 求最大化收益。给定风险水平给定风险水平
求解模型
模型2 求最小化风险。给定盈利水平
令
模型3 给定投资者对风险-收益的相对偏好
参数>0，求解模型
6. 简化交易费用下的模型
ui
piui
xi
ci
0
(1) 交易费用函数
为
(2) 由于固定费用pi ui 的存在在，使得前面
(3)的模型是非线性模型，很难求解模型。
表示投资于Si 的资金比例。
在实际计算中，常假设M=1，则
当M 很大而 ui 相对较小时，可略去 pi ui
的作用，即ci(xi)=pixi, 则资金约束条件变为：
(3) 简化交易费用下的模型：
LP1：
LP2：
LP3：
§ 优化模型的求解方法
(1) 多元函数的无(有)条件极值；
(2)* 线性(或非线性)规划方法；
§ 多元函数的极值
(一) 多元函数的极值
设 n 元函数 f (x1, x2,…, xn) 具有3 阶连
续偏导数，记
将函数 f (x1, x2,…, xn)在点 =(a1, a2,…, an)T
处展开，有
其中R 是余项, 包含 (xi -ai) 的 3 次以上的项。
当xi 在 ai 附近变化时，R是高阶无穷小。
若=(a1, a2,…, an)T 是极大值点时，有
因此，有
由于 f (a1, a2,…, an) 是极大值,当X 在 a
附近变化时，省略高阶无穷小R ，则有
记
则()变为
由于yi = xi –ai 在 0 附近变化时()式均
成立，所以YTHY <0 对所有Y 均成立，即H
是负定矩阵，或者说 –H 是正定矩阵。
注：矩阵H 的正定性的判断方法
(1)矩阵对应的二次型大于0；
(2) 矩阵H 的顺序主子式全大于0；
(3) 矩阵H 的特征值全大于0。
(二) 多元函数极值的判断
定理 设n元函数 f (x1, x2,…, xn) 具有3阶连
续偏导数，且在点X=(a1, a2,…, an)T处邻域内
有定义，|H|0，则函数 f (x1, x2,…, xn) 在点
X=(a1, a2,…, an)T处达到极大值的充分必要条
件是
且
是负定矩阵(海森矩阵)。
定理 设n元函数 f (x1, x2,…, xn) 具有3阶连
续偏导数，且在点X = (a1, a2,…, an)T处邻域内
有定义，|H|0，则函数 f (x1, x2,…, xn) 在点X=
(a1, a2,…, an)T处达到极小值的充分必要条件
是
且 是正定矩阵(海森矩阵)。
§ 二次多项式函数的极值
函数 f (x1, x2,…, xn)是二次多项式时，设
矩阵 AT=A，记
注：
当B = 0，且C = 0 时，f (X)即是线性代
数中的二次型。
推论 设函数 f (X)=XTAX+BX+C 是一个
二
次多项式，且 AT=A 。则函数 f (X) 在点
X=(a1, a2,…, an)T 处达到极大值的充分必要条
件是
且矩阵A是负定矩阵。
推论 设函数 f (X)=XTAX+BX+C是一个
二次多项式，且 AT=A 。则函数 f (X) 在点
X=(a1, a2,…, an)T处达到极小值的充分必要
条件是
且矩阵A是正定矩阵。
§ 多元函数条件极值
Lagrange multiplier
在一定的约束条件下求解问题的最优化解。
设n 元函数 u = f (x1, x2, …, xn ) 具有3 阶
连续偏导数，且有m 个约束条件：
(一)约束条件问题
(1) 函数 u = f (x1, x2,…, xn) 的自变量的变化
范围受到限制，必须满足m个约束条件。
(2) 要求在这 m 个约束条件下求解函数
u = f (x1, x2,…, xn)
的极大值或极小值函数 u 的条件极值。
说明：
(二) Lagrange multiplier 函数
引入 m 个拉格朗日乘数 1, 2, …,m ,
构造新的函数 — 拉格朗日乘子函数：
(三) 条件极值存在的必要条件
(四)应用实例(一)
一束光线由空气中A点经过水面折射后到达
水中B点(如图示)。已知光在空气和水中传播
的速度分别是v1 和v2 , 光线在介质中总是沿着
耗时最少的路径传播, 试确定光线的路径。
O
Q
h2
h1
P
A
B
1
2
x
空气
水
解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO= h1, 点
B 到水面的垂直距离为BQ= h2, x 轴沿水面
过点O、Q, OQ = l。
根据条件可知光线在同一种介质中传播
时是按直线方式传播的，因而光线从 A 点到
B 点应该经过折射点P, 其路径为折线 APB，
所需时间为：
下面确定在 x何值时，T(x)在[0, l]上取得
最小值。当 x[0, l] 时，由于
又T (x)在[0, l]上连续，T (x)在 x(0, l ) 上
有
唯一的零点 x0 ，且x0是T (x)在 (0,l )内唯一的极小值点。
设 x0满足 T (x)=0,
即
与 1 联系 与 2 联系
因此，
即当点 P 满足上述条件时，APB即是
光线的传播途径。
记
(四)应用实例(二)
设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每
台电视机的销售价格为 p, 销售量为 x。假设
该厂的生产处于平衡状态 ，即电视机的生产
量等于销售量。根据市场预测，销售量 x与
销售价格 p 之间有如下关系：
其中M 为市场最大需求量，a 是价格系数。
同时，生产部门根据对生产环节的分析，对
每台电视机的生产成本 c 有如下测算：
其中c0 是只生产一台电视机的成本，k 是规
模系数。根据上述条件，应该如何确定电视
机的销售价格 p, 才能使该厂获得最大利润？
分析：在生产和销售商品过程中，商品销售
量、生产成本与销售价格 是相互影响的。
厂商只有选择合理的销售价格最优价格，
才能获得最大利润。
解：设厂家获得的利润为u, 每台电视机的生
产成本为c,销售价格为p,销售量为x, 则利润
函数为
u = (p - c) x (3)
问题变化为在条件(1)(2)下求解利润函数的最
大值。
构造拉格朗日函数
令
由(8)(9)，可得
由(8)(6)，可得
由(7)，可得
由(10)(11)(12)及(5)，可得
最优销售价格为
说明：
在最优销售价格p*的表达式中含有待定
的规模参数k、价格系数a。为了确定电
视机的最优销售价格，必须预先给出这
些参数。
复习：微积分的相关内容
1. 多元函数的偏导数的求法；
2. 多元函数的无条件极值的求法；
3. 多元函数的条件极值的求法；
§ 优化模型的求解方法
(1) 一元函数的无(有)条件极值；
(2) 多元函数的无(有)条件极值；
(3)* 线性(或非线性)规划方法；
定理 1 (极值第一判别法)
且在空心邻域
内有导数,
(1) “左正右负
” ,(2) “左负右正
” ,
(1) 一元函数的极值与最大(小)值
定理2 (极值第二判别法)
二阶导数 , 且
则 在点 取极大值 ;
则 在点 取极小值 .
证: (1)
存在
由第一判别法知
(2) 类似可证 .
二、最大值与最小值问题
则其最值只能
在极值点或端点处达到 .
求函数最值的方法:
(1) 求 在 内的极值可疑点
(2) 最大值
最小值
特别:
• 当 在 内只有一个极值可疑点时,
• 当 在 上单调时, 最值必在端点处达到.
若在此点取极大 值 , 则也是最大 值 . (小)
• 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的
可疑点是否为最大 值点或最小值点 .
(小)
例1. 铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20
AC⊥ AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一
已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 , 为
问D 点应如何选取? 使货物从B 运到工厂C 的运费最省,
20
km ,
条公路,
( k 为某一常数 )
解: 设 则
令 得 又
所以 为唯一的极小点 ,
故 AD =15 km 时运费最省 .
总运费
从而为最小点 ,
例2. 一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水
中B点(如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分
别是v1 和v2 , 光线在介质中总是沿着耗时最少的路径
传播, 试确定光线的路径。
O
Q
h2
h1
P
A
B
1
2
x
空气
水
解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO= h1, 点
B 到水面的垂直距离为BQ= h2, x 轴沿水面
过点O、Q, OQ = l。
根据条件可知光线在同一种介质中传播
时是按直线方式传播的，因而光线从 A 点到
B 点应该经过折射点P, 其路径为折线 APB，
所需时间为：
下面确定在 x何值时，T(x)在[0, l]上取得最小值。
当 x[0, l] 时，由于
又T (x)在[0, l]上连续，T (x)在 x(0, l ) 上有唯一
的零点 x0 ，且x0是T (x)在 (0,l )内唯一的极小值点。
设 x0满足 T (x)=0, 即
与 1 联系 与 2 联系
因此，
即当点 P 满足上述条件时，APB即是光线的
传播途径。
记
多元函数极值的判断
定理 设n元函数 f (x1, x2,…, xn) 具有3阶连续偏导
数，且在点X=(a1, a2,…, an)T处邻域内有定义，
|H|0,则函数 f (x1, x2,…, xn) 在点X=(a1, a2,…, an)T处
达到极大值的充分必要条件是
且
是负定矩阵(海森矩阵)。
矩阵H 的正定性的判断方法
(1)矩阵对应的二次型大于0；
(2) 矩阵H 的顺序主子式全大于0；
(3) 矩阵H 的特征值全大于0。
定理 设n元函数 f (x1, x2,…, xn) 具有3阶连续偏导
数, 且在点X = (a1, a2,…, an)T处邻域内有定义, |H|0,
则函数 f (x1, x2,…, xn) 在点X=(a1, a2,…, an)T处达到极
小值的充分必要条件是
且 是正定矩阵(海森矩阵)。
§ 二次多项式函数的极值
函数 f (x1, x2,…, xn)是二次多项式时，设矩阵
AT=A，记
注：
当B = 0，且C = 0 时，f (X)即是线性代数中的
二次型。
推论 设函数 f (X)=XTAX+BX+C 是一个二次多
项式，且 AT=A 。则函数 f (X) 在点X=(a1, a2,…, an)T
处达到极大值的充分必要条件是
且矩阵A是负定矩阵。
推论 设函数 f (X)=XTAX+BX+C是一个二次多
项式, 且AT=A。则函数 f (X) 在点X=(a1, a2,…, an)T
处达到极小值的充分必要条件是
且矩阵A是正定矩阵。
多元函数条件极值
Lagrange multiplier
在一定的约束条件下求解问题的最优化解。
设n 元函数 u = f (x1, x2, …, xn ) 具有3 阶连续偏
导数，且有m 个约束条件：
(一)约束条件问题
(1) 函数 u = f (x1, x2,…, xn) 的自变量的变化
范围受到限制，必须满足m个约束条件。
(2) 要求在这 m 个约束条件下求解函数
u = f (x1, x2,…, xn)
的极大值或极小值函数 u 的条件极值。
说明：
(二) Lagrange multiplier 函数
引入 m 个拉格朗日乘数 1, 2, …,m ,
构造新的函数 — 拉格朗日乘子函数：
(三) 条件极值存在的必要条件
(四)应用实例
设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电视
机的销售价格为 p, 销售量为 x。假设该厂的生产处
于平衡状态 ，即电视机的生产量等于销售量。根据
市场预测, 销售量 x与销售价格 p 之间有如下关系：
其中M 为市场最大需求量，a 是价格系数。同时，
生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机
的生产成本 c 有如下测算：
其中c0 是只生产一台电视机的成本, k 是规模系数。
根据上述条件，应该如何确定电视机的销售价格 p,
才能使该厂获得最大利润？
分析：在生产和销售商品过程中，商品销售量、
生产成本与销售价格 是相互影响的。厂商只有选
择合理的销售价格最优价格,才能获得最大利润。
解：设厂家获得的利润为u, 每台电视机的生产成本
为c,销售价格为p,销售量为x, 则利润函数为
u = (p - c) x (3)
问题变化为在条件(1)(2)下求解利润函数的最大值。
构造拉格朗日函数
令
由(8)(9)，可得
由(8)(6)，可得
由(7)，可得
由(10)(11)(12)及(5)，可得
最优销售价格为
说明：
在最优销售价格p*的表达式中含有待定的规模
参数k、价格系数a。为了确定电视机的最优销售价
格，必须预先给出这些参数。
复习：微积分的相关内容
1. 多元函数的偏导数的求法；
2. 多元函数的无条件极值的求法；
3. 多元函数的条件极值的求法；
