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基于随机微分博弈的保险公司最优决策模型*
摘要：本文研究了基于保险公司与自然之间二人-零和随机微分博弈的最优投资及再保险问
题。假设保险公司具有指数效用，自然是博弈的“虚拟”对手，通过求解最优控制问题对应
的 HJBI 方程，得到了保险公司的最优投资和再保险策略以及最优值函数的闭式解。结果显
示，在完全分保时（即自留比例为零），保险公司应该将全部财富购买无风险资产，即风险
资产投资额为零；在不完全分保时保险公司将卖空风险资产，且卖空数量及保险自留比例都
随保险公司盈余过程与风险资产间的相关性的提高而增大，随终止时刻T 的临近而增加，但
随市场中无风险资产回报率的增加而减少。
关键词：保险公司；随机微分博弈；HJBI方程；指数效用；
中图分类号：F830 文献标识码：A
1. 引 言
近十几年来，越来越多的学者及业界都开始关注保险投资问题，而运用随机控制理论来
研究保险风险问题近年来更是引起了学者的极大兴趣 . Hipp and Plum[1](2000)利用
Cramer-Lundberg模型描述保险公司盈余过程，同时假设保险公司的盈余可以投资到价格过
程满足几何Brown运动的风险资产当中，他们的研究目标是最小化终极破产概率的最优投资
策略，但他们没有考虑无风险资产。Liu and Yang[2](2004)则研究了同时可以投资到风险资产
及无风险资产情形时的保险公司最优投资问题。事实上，利用随机控制理论研究保险公司的
最优投资问题可以追溯到1995年。Browne[3](1995) 第一次用近似扩散过程（带漂移的Brown
运动）刻画保险公司的盈余过程，也可以说用带漂移的Brown运动来刻画任意具有随机收益
流过程的投资者而不仅仅限于保险公司的盈余过程，他利用随机控制理论研究了投资者基于
最大化生存概率准则以及基于最大化指数效用准则时的最优投资问题。然而上述文献都没有
考虑再保险问题。最近，Schmidli[4](2007)在其出版的书中全面介绍了保险中的随机控制，
当然也包含了再保险决策问题。罗琰和杨招军[5](2009)也利用随机控制理论研究保险公司基
于最大化生存概率准则及最大化终止时刻财富效用准则下的最优投资及再保险问题。然而，
包括上述文献在内的许多文献都忽视了模型不确定性对保险公司决策的影响。不确定性与风
险是两个不同的概念。不确定性从数学的角度说是指随机过程（如股票价格过程）所服从的
概率分布是未知的或者是模糊的，而风险是指一个随机过程将会出现哪种结果是未知的，但
其所服从的概率分布是唯一确定的。
本文借鉴文献[6]中微分博弈思想，将模型的不确定性因素引入到保险公司最优投资及
再保险问题研究中。将最优化问题刻画为自然与保险公司之间的二人-零和随机微分博弈，
*本课题得到国家自然科学基金（项目编号：70971037）的资助。.
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这里自然是博弈中“虚拟”的对手。具体来说，一方面保险公司选择一种投资组合策略最大
化其终止时刻财富期望效用，期望在概率测度 { }Q 下取得，{ }Q 代表了自然选择的经
济“环境”，显然，保险公司盈余过程及风险资产价格过程的概率分布依赖自然的选择。另
一方面，自然通过选择概率测度所代表的经济“环境”，最小化保险公司的最大化终止时刻
期望财富效用。Zhang and Siu[7] (2009)考虑了模型的不确定性对保险公司最优策略的影响，
然而他们的模型中没有考虑无风险资产，显然是不合理的，本文最后得到的结论说明引入无
风险资产时保险公司最优策略与没有无风险资产时的策略截然不同的，而且他们也没有研究
具有扩散盈余过程时保险公司最大化终止时刻财富期望效用的最优策略。罗琰和杨招军
[5]
(2009)考虑了无风险资产，但没有考虑模型的不确定性对保险公司最优策略的影响。本文
则考虑了模型不确定性对保险公司最优策略的影响，同时在模型中引入了无风险资产，因此
更具有一般性。在保险公司具有指数效用偏好的假设下，得到了保险公司最大化终止时刻财
富期望效用的最优投资及再保险策略，也得到了最优值函数的闭式解。
余下内容安排如下：第2节给出市场模型，第3节给出给出保险公司基于随机微分博弈的
最优策略，最后一节是全文总结。
2. 市场模型
考虑在时间段 [0, ]T 内的最优决策。保险公司所面临的经济环境是不确定的。为刻画经
济环境的随机性，引入概率空间 ( , , )P ，这里P表示一个参考概率测度，每个w 代表
直到时刻T 才最终确定的一个经济状态。设 ( )B t ， ( )W t 分别为定义在概率空间( , , )P 上 t
适应的标准 Wiener 过程，这里
t
是自然域 ,{ }BW
t
关于P的完备化， ( )B t ， ( )W t 是相关的，
其相关系数为 ( 1) ，即 [ ( ) ( )]E B tW t t 。参考文献[8]的框架，设索赔过程C 服从如下
动态方程：
( ) ( )dC t dt dB t (1)
其中 ， 0 为常量，分别表示为单位时间平均索赔及索赔波动率。单位时间常量保费率
为： (1 )c ， 0 为保险安全负荷。这意味着公司实际收取的保费（毛保费）应该能
够补偿向投保人支付的索赔额（纯保费）以及各项附加费用，即有 c 。所以保险公司盈
余过程：
( ) ( ) ( )dR t cdt dC t dt dB t (2)
设市场中仅存在一种风险资产及一种无风险资产，风险资产在 t时刻的价格 ( )S t 服从几
何布朗运动：
( ) ( ) ( ) ( ), (0) .dS t S t dt S t dW t S s (3)
无风险资产在 t时刻的价格
0
( )S t 服从如下方程：
0 0 0
( ) ( ) , (0) t rS t dt S (4)
其中 , , 0r 为常量，表示风险资产的回报率，表示风险资产价格波动率，r 表示无风
险资产收益率且有 0 r ；
设 ( )t 为投资在风险资产中的财富， ( )q t 为成比例再保险分保率，则1 ( )q t 为自留比例。
若{ ( ), ( ), 0}t q t t 是可测的 t 适应的，并在任意时刻 [0, ]t T 满足
2
0
( )
T
t dt ，( ) 1q t ，
则称之为可行策略。记 所有可行策略集为 : { ( ) | [0, ]}t t T ，这里 ( ) : ( ( ), ( ))t t q t 。当
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( ) [0,1]q t 时意味着公司分出保险，特别的， ( ) 1q t 表示完全分保而自留额为零，而 ( ) 0q t
表示分保比例为零。当 ( ) 0q t 意味着公司接受新的分保，此时保险公司充当再保险人的角
色。设 再保险安全负荷为 ( ) ，则保险公司支付的再保险费率为 (1 ) ( )q t 。所以，存
在分保时保险公司盈余过程为：
( ) [(1 ) (1 ) ] (1 ) ( ) ( ) (1 ) ( )dR t q dt q dC t q dt q dB t (5)
设保险公司初始财富为 x，在任意时刻 t的财富总量为 ( )(0 )X t t T ，在整个时间段
[0, ]T 并不追加投资，也不抽出财富挪用，即采用自融资（self-financing）策略，于是对可行
策略 { ( ), ( ), 0}t q t t 导出保险公司财富过程 { ( ),0 }X t t T 满足如下随机微分方程：
( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ( )) ) (1 ( )) ( ) ( ) ( )dX t rX t r t q t dt q t dB t t dW t (6)
3. 基于随机微分博弈的最优策略
本文假设保险公司经营目标是最大化终止时刻财富期望效用。从数学的角度来说，“期
望”是在具体的概率测度下取得的，即使同一随机变量，不同的概率测度可能对应不同的期
望值，而保险公司并不知道实际的概率测度,实际的概率测度由虚拟的对手“自然”所控制，
自然通过选择概率测度最小化投资者期望效用。为引入自然控制的概率测度集，假设
t
可
测的随机过程 { ( ) | 0}t t ，对任意T ，满足 Novikov 条件 2
0
1
[exp( ( ) )]
2
T
E t dt ，
记为所有具有这些性质的随机过程 的所组成的集合。对每个 ，在概率空间
( , , )P 上定义 t 适应过程 { ( ), 0}Z t t ：
2
0 0 0
( ) exp[ ( ) ( ) ( ) ( ) (1 ) ( ) ]
t t t
Z t s dW s s dB s s ds
(7)
由 ˆIto公式立即可得 ( )Z t 满足如下动态方程：
( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( )]dZ t Z t t dW t t dB t (8)
易知 ( )Z t 是鞅过程，满足 [ ( )] 1E Z T 。所以对任意 ，可以定义 t 上关于概率测度P
绝对连续的新概率测度Q ：
( ) ( ) ( )dQ w Z T dP w (9)
现在，就可以用数学的语言把最优化问题刻画为自然与保险公司之间的二人-零和随机微分
博弈。为方便叙述，参考文献[6],定义：
,
0 1 2
( ) ( ( ), ( ), ( )) ( , ( ), ( ))dV t dV t dV t dV t dt dX t dZ t
,
1 2
(0) ( , , )V v s v v (10)
最优化问题即可表述为寻找价值函数
1 2
( , , )s v v 及 ， 使得：
1 2
( ) ( , , ) inf(sup [ ( ( ))]) [ ( ( ))]
Q Q
v s v v E U X T E U X T
(11)
不难验证 , ( )V t 是 Markov 过程，对任意三元连续函数 1,2,2 3( )h C R ，都具有无穷小算子
, ( )v ：
1
1 1 1 2 2 2
, 2 2 2 2
1
2 2
2 2
1
[ ( )] [ ( ) ( ) ] [ (1 )
2
2 (1 ) ] (1 ) ( (1 )) (1 )
s v
v v v v v v
h v h rv r q h q
q h v q h v h
(12)
为得到最优控制策略以及最优值函数的显示解，假设投资者效用函数为双曲绝对风险厌恶
(HARA)指数效用函数 ( ) / , 0xU x e ，把最优化问题刻画为如下 HJBI 方程的紧凑
形式：
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1
,
1 2
1 2 2
inf(sup [ ( , , )]) 0,
( , , ) / .v
f s v v
f T v v v e
(13)
下面求解由式(13)所刻画的最优投资问题。由文献[3]中定理 5 猜测值函数具有如下形式:
( )
1 2 2 1
( , , ) exp{ ( )}/r T sf s v v v v e g s ，其中 ( )g s 为确定性函数且 ( ) 0g T .代入式(12)
可得：
, ( )
1 2
2 2 2 2 ( )
[ ( , , )] { [ ( ) ( ) (1 ) ( (1 ) )
( (1 ) 2 (1 )) / 2]}
r T s
s
r T s
f s v v f g e r q q
q q e
(14)
先固定自然选择的参数 ，由一阶条件可得保险公司最优策略：
*
2 ( )
( ) (1 ) (1 ( ))
( )
r T s
r q
e
(15)
*
2 ( )
(1 ) ( )
1 ( )
r T s
q
e
(16)
联立式(15)、(16)可得：
2 2 ( ) ( )
( )
( )
(1 ) r T s r T s
r
e e
(17)
2
2 2 2 ( ) ( )
( )
1 ( )
(1 ) r T s r T s
r
q
e e
(18)
将式(17)、(18)代入式(14)，由一阶条件可得自然最优策略：
1
( )
2(1 )
r
(19)
再将式(19)代入式(14)，从而得到保险公司最优策略：
( )
1
( ) [ ]
2(1 ) r T s
r
e
(20)
( )
1
1 ( ) [ ]
2(1 ) r T s
r
q
e
(21)
因再保险分保率 ( ) 1q t ，所以，式 (21)的结论必须分两种情形进行考虑。首先，若
1 ( ) 0q 即
r
，则 式(21)所确定的 ( )q 就是保险公司的最优再保险策略。将
式(19)、(20)、(21)代入式(14)，注意 ( ), ( )[ ( )] 0v v f v
，立即得：
( )
2 2 2 ( )
{ ( ) ( ) (1 ) [ (1 ) ]
[( ) (1 ) 2 (1 )] / 2}
r T s
s
r T s
g e r q q
q q e
(22)
由边界条件 ( ) 0g T ，对 式(22)两边分别积分即可得 ( )g s 的表达式。
其次，若1 ( ) 0q 即
r
，则选择 ( ) 1q 为保险公司的最优再保险策略，
即保险公司选择完全分保。将 ( ) 1q 代入式(14)可得：
, ( ) 2 2 ( )
1 2
[ ( , , )] { [ ( ) ( ) (1 ) / 2]}r T s r T s
s
f s v v f g e r e (23)
在式(23)中先固定自然选择的参数 ，由一阶条件可得保险公司最优投资优策略：
( )
1
( ) [ (1 ) ]
r T s
r
e
(24)
将式(24)代入式(23)，由一阶条件可得自然的最优策略：
(1 )
r
(25)
-5-
将式(24)、(25)代入式(23)，注意 , [ ( )] 0f v
，立即得：
( )( ) r T s
s
g e (26)
又由边界条件 ( ) 0g T 得：
( )( ) ( ) ( 1)/r T sg s e r (27)
所以，由上述分析立即可得如下定理：
定理 当
r
时，最优策略( , , )q 分别由式(19)~(21)确定；最优值函数为：
( )
1 2 2 1
( , , ) exp{ ( )}/r T sf s v v v v e g s ， ( )g s 由式(22)确定。当
r
时，最优策略
( , , ) : ( ,0,1)
(1 )
r
q
；最优值函数为： ( )
1 2 2 1
( , , ) exp{ ( )}/r T sf s v v v v e g s ， ( )g s
由式(27)确定。
最后，类似文献[6]，我们不难给出最优策略及最优值函数所满足的确认(verification)
定理，这里不再叙述。
注 1：由式(17)、(18)可知，若 0 ，即自然选择的是初始参考概率测度P，与保险公
司主观概率测度一致，则保险公司最优投资策略为不考虑模型不确定性时的最优策略：
2 2 ( )
( )
( )
(1 ) r T s
r
e
，
2
2 2 2 ( )
( )
1 ( )
(1 ) r T s
r
q
e
，令 0 即得文献[5]中定理 2
的最优策略。
注 2：由定理可知，由定理可知，若自留比例1 ( ) 0q ，则保险公司在风险资产上
的最优投资额为零。事实上，此时公司没有额外的承保风险，而在市场选择最优Q 概率测
度下，风险资产只能获得与无风险资产相同的回报率 r ，当然风险厌恶的投资者不会在只能
获得回报率 r 情形下还把财富投入到风险资产中去，高风险的资产只有对应高回报才能吸引
投资者。若自留额 1 ( ) 0q ，则保险公司将卖空风险资产即 0 ，换句话说，在非完
全分保时，保险公司将卖空风险资产来对冲承保风险，而且最优卖空数量及自留额都随着相
关系数 增大而增加，随无风险资产回报率 r 增加而减少，随终止时刻T 的临近而增加。因
为我们得到了最优决策的显示解，具体的最优投资额及再保险比例根据定理结论手算即可得
到。
4. 结 语
本文研究了基于随机微分博弈的保险公司最优投资及再保险问题。假设自然是“虚拟”
的博弈对手，在保险公司与自然之间构建了一个二人-零和随机微分博弈模型。保险公司选
择一个投资组合策略最大化其终止时刻财富期望效用，而自然选择一个概率测度所代表的经
济“环境”最小化投资者的最大效用。通过求解最优控制问题对应的 HJBI 方程，本文获得
了保险公司的最优策略及最优值函数的闭式解。本文的结果显示，在自留额为零时，即完全
分保，保险公司的最优投资策略为将全部财富购买无风险资产，风险资产投资额为零。在自
留额大于零时保险公司将会卖空风险资产，且最优投资额及自留额都随风险资产与保险公司
盈余过程间的相关系数 增大而增加，随无风险资产回报率 r 增加而减少，随终止时刻T 的
-6-
临近而增加。本文得到的结论对保险公司面临最不利经济环境时的风险投资及再保险策略提
供了一个有益的参考。
参考文献
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[3] Browne, S. Optimal investment policies for a firm with a random risk process: Exponential utility and
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Optimal Strategy of Insurer Based on Stochastic
Differential
Luo, Yan 1,2 Yang, Zhaojun 1
1. School of Economics and Trade, Hunan University, Changsha 410079
2. School of Mathematics and Statistics, Nanjing University of Audit, Nanjing 210075
Abstract: In this paper, we study the problem of optimal portfolio selection and reinsurance based
on two-player zero-sum stochastic differential game between the nature and an insurance company.
Suppose that the insurance company has an exponential utility, and that the nature is a “fictitious”
player of game, we derive closed-form expressions for optimal portfolio selection and reinsurance
strategy of the insurance company and the optimal value function by solving the HJBI equation of the
model. The results indicate that, if the retention level is zero, the insurance company should not buy the
risky asset, but if the retention level is greater than zero, the company should sell short the risky asset.
The amount of selling short and the retention level will increase with the correlation efficient between
the risky asset and the surplus process of insurer. The amount and the level also increase with the
decrease of the remaining time to the maturity but decrease as the risk-free interest rate rises.
Keywords: Insurer；Stochastic Differential Game; HJBI Equation; Exponential Utility
作者简介：罗琰（1979-），男，湖南郴州人，湖南大学经济与贸易学院博士研究生，南京
审计学院数学与统计学院讲师，研究方向为金融数学、金融工程。杨招军（1964-），男，
湖南邵阳人，博士、教授，湖南大学经济与贸易学院数量经济学专业博士生导师，研究方向
为金融数学、金融工程。
