第五章：正态概率分布
Chapter Ⅰ Common Probability Distributions
本章简介（Introduction）P226
本章的内容，是四种概率分布及它们的应用，即：Ⅰ the uniform；Ⅰ the binomial；
Ⅰ the normal；Ⅰ the lognormal。
本章的其他数量工具：Ⅰ Hypothesis testing；Ⅰ regression analysis；Ⅰtime-series
analysis。
不连续的随机变量（Discrete Random Variables）P227
§Ⅰ 定义和解释概率分布（Probability Distributions）
概率分布（Probability Distributions），即将随机变量可能结果的概率予以特定。
每个随机变量都有描述它的概率分布，概率分布的方式有两种：
Ⅰ 概率函数（probability functions）。
Ⅰ 累积分布函数（cumulative distribution functions／distribution functions／cdf
§Ⅰ 区别：连续的随机变量和不连续（discrete）的随机变量
随机变量，是一个未来结果不确定的数。随即变量有两种类型：不连续的随
机变量（discrete random variable）、连续的随机变量（continuous random variable）。
变量的结果能予以历数（个数有限）的随机变量，为不连续的随机变量。
§Ⅰ 描述某特定变量可能结果的集合
§Ⅰ 定义一个概率函数（Probability function）并说明它的关键特征
概率函数的表示方法是：P（X ＝ x），它表示随机变量的值为 x 的概率。
不连续随机变量的概率函数，可以缩写为 p（x）；连续随机变量的概率函数
用 f（x）表示，称之为概率密度函数（Probability density functions／density／pdf）。
概率函数有两个关键特征：Ⅰ 0≤p（x）≤1；Ⅰ 随机变量 X 所有值的概率的总
和等于 1。
§Ⅰ 定义概率密度函数（Probability density function）
§Ⅰ 定义累积分布函数（cumulative distribution function）并根据累积
分布函数计算随机变量的概率
累积分布函数（cumulative distribution functions／distribution functions／cdf），
表示随机变量的结果位于某一范围的概率。cdf 函数的功能相当于累积相对频率。
连续的或不连续的随机变量的结果的累积概率分布，可以记作 F（X）＝ P
（X≤x），或 F（X）＝ P（x1≤X≤x 2），或 F（X）＝P（X≥x）。
累积概率函数（cdf 函数）的特征：Ⅰ 0≤F（x）≤1；Ⅰ 随着 x 的增加，cdf 函
数或增加或保持不变。
不连续的单项分布（The Discrete Uniform Distribution）P228
§Ⅰ 给定不连续的单项分布（a discrete uniform distribution），定义不连
续的单一随机变量并计算概率
单项分布（Uniform Distribution），即随机变量所有可能结果的概率都相等。
单项分布的应用：Ⅰ 它是为其它概率分布产生随机数以作为随机观察对象
（random observation）的基础；Ⅰ 它可以用来描述结果概率相等的随机变量。
贝诺里分布（The binomial Distribution）P230
§Ⅰ 给定贝诺里概率分布（binomial Probability Distributions），定义贝
氏随机变量（Bernoulli Random variable）并计算概率
Ⅰ 贝诺里（Binomial）分布的功能
贝诺里（Binomial）分布的功能：描述有两项可能结果的随机变量的每一项结
果的概率分布。其模型是：两项选择的价格模型（ the binomial Option Pricing
Model，BOPM），即价格的上升或价格的下降。
Ⅰ 贝氏随机变量（Bernoulli Random variable）
贝诺里分布的建构元素是贝氏随机变量（Bernoulli Random variable）。假定某
个能重复进行的试验有两个可能的结果，每次试验产生的结果必为其一，这样的试
验称为贝诺里试验（Bernoulli trial）。
在结果为成功时，则 Y＝1；在结果为失败时，则 Y＝0，则贝氏随机变量 Y
的概率函数为：
p（1）＝ p（Y＝1）＝ p
p（0）＝ p（Y＝0）＝ 1－ p
Ⅰ 贝诺里随机变量（binomial Random variable）
对 n 个贝诺里试验，有 0—n 个“成功”。如果单个贝诺里试验的结果是随机的，
则 n 个贝诺里试验的结果为“成功”的总数也是随机的。
定义贝诺里随机变量 X 为 n 个贝诺里试验中结果为成功的总数。用“Yi”表示
第 i 个贝诺里试验的结果为“1”或“0”（i ＝1，2，…，n），则：
X ＝Y 1＋Y 2 ＋ … ＋ Y n 。
贝诺里随机变量由参数 p 和 n 定义。p 即每次试验结果为“成功”的概率；n 贝
诺里试验的次数。
对贝诺里分布，可作有如下假设：Ⅰ 对所有贝诺里试验，结果为“成功”的概
率是一个常数；Ⅰ 贝诺里试验相互独立。
因此，贝诺里随机变量 X 可以完全用两个参数描述，即 X ～ B（n，p）。贝
氏随机变量 Y 是 n ＝1 的贝诺里随机变量的值，即：Y ～ B（1，p）。
Ⅰ 贝诺里随机变量 X ～ B（n，p）的概率函数 P（X = x）的表示公式：
Ⅰ X 是贝诺里随机变量，表示 n 个贝诺里试验中的“成功”的总数；X＝x，是
这 n 个贝诺里试验中成功的总数等于 x。
Ⅰ p（x）和 P（X ＝x），表示 n 个贝诺里试验中，成功的总数等于 x 的概率。
Ⅰ 〔nC x〕是在 n 个贝诺里试验中有 x 个成功的排列方式的数目。
Ⅰ p，是单个贝诺里试验的结果为成功的概率；（1－p），是单个贝诺里试验
的结果为不成功的概率。
Ⅰ p x（1 － p）n － x，是每一个排列都具有的概率。
Ⅰ 贝诺里随机变量概率函数的形状
当单个贝诺里试验的结果为成功的概率 p＝50%时，贝诺里分布式对称的。
若 p≠50%，则贝诺里随机变量概率函数的图像就具有偏向性。Ⅰ 当 p ＜ 50%
时，概率函数的会向右偏（right-skewed），即图像的右部有较长的尾巴；Ⅰ 当 p ＞
50% 时，概率函数的会向左偏（left-skewed）。
对同一贝诺里随机变量有 p1、p2，如果 p1＋p2 ＝1，则它们的图像呈镜像对称。
§Ⅰ 贝诺里随机变量（bernoulli Random variable）的预期值和方差
p（x）＝ P（X＝x）＝〔nC x〕×p x（1 － p）n － x
〔nC x〕＝ n！／[x！（n－x）！]
贝诺里随机变量（bernoulli Random variable）的预期值和方差
连续的随机变量分布（Continuous Random Variables）P240
§Ⅰ 给定连续的单项分布（a continuous uniform distribution），定义连
续的单项随机变量并计算概率
连续的单一分布（Continuous Uniform Distribution）
Ⅰ 连续的单项随机变量的概率密度函数（pdf）：
Ⅰ 连续的单项随机变量的累积概率函数（cdf）：
计算概率密度函数 f（x）在定义域（a≤x≤b）上的面积（即累积概率值）的数
学方法是，对函数 f（x）从 a 到 b 积分（integral），即：
可以用上述等式对（－∞，＋∞）范围内的任意两个实数求积分。
因为连续随机变量的值是无限的，所以，连续随机变量的值等于任一定点的
概率为 0。这对计算连续随机变量的累积概率函数（cdf）有重要意义：对任何连续
的随机变量 X，有 P（a≤x≤b）＝ P（a < x≤b）＝ P（a≤x < b）＝ P（a < x<b）。
当 a≤x≤b 时，f（x）＝1/（b－a）表示的是连续随机变量在区间 a≤x≤b 的平均
概率。
Mean（weighted average） Variance
Binomial，B（1，p） p p（1－p）
Binomial，B（n，p） np np（1－p）
Binomial，B（5，） （即 5×p） 即 5×p（1－p）
Binomial，B（5，） （即 5×p） 即 5×p（1－p）
1／（b－a） （a≤x≤b）
f（x）＝
0 其他值
0 （x≤a）
F（x）= （x－a）／（b－a） （a ＜x ＜b）
1 （x≥b）
P（a≤x≤b）＝∫ab f（x）dx
正态分布（The Normal Distribution）P243
§Ⅰ 解释正态分布的关键特征
Ⅰ 描述正态分布的两个参数：平均值 μ（Mean）和方差（σ 2）或标准差 σ。
正态分布可以表示为：X ～ N（μ ，σ 2）。
Ⅰ 正态分布的下述参数值：偏向性（skewness）＝0；峰度（kurtosis）＝3，
剩余峰度（excess kurtosis）＝ 0。
正态随机变量的平均值（mean）、中值（median）、众数（mode）都相等。
Ⅰ 两个正态随机变量的线性叠加（linear combination），还是正态分布。
§Ⅰ 区别：单变量（univariance）分布和多变量分布（multivariance）
单变量分布（univariate distribution），描述单个的随机变量；多变量分布
（multivariate distribution），描述的是一组随机变量的概率。
当我们有一组资产时，我们可以将每一项资产的收益分布分别模型化，也可
以将这些资产作为一组（as a group）来将它们的收益分布模型化。作为一组，即
考虑收益系列之间的统计关系，其中经常使用的模型就是多变量的正态分布
（multivariate normal distribution）。
n 种证券的收益的多变量正态分布，可以用三个参数予以定义：Ⅰ 单个证券
收益的平均值（mean）的清单；Ⅰ 证券收益方差的清单；Ⅰ 收益的所有互不相同
的相关系数（correlations）的清单，共 n（n-1）/2 个。
与单变量正态分布相比较，相关系数（correlations）是多变量的正态分布的区
别特征之一。
§Ⅰ 解释相关系数在多变量正态分布中的作用
§Ⅰ 定义标准正态分布（standards normal distribution）并解释如何使
随机变量标准化
Ⅰ 正态分布的概率密度函数（pdf）的表达式（－∞ ＜ x ＜＋∞）：
当 μ ＝ 0，σ＝1 时，该正态分布称之为标准（standard）正态分布或单位
（unit）正态分布。
f（x）＝ exp [－（x －μ）2／2σ 2 ]／（σ√ 2 π）
对于正态分布，标准差（σ）越大，其相对于平均值的分布就越分散。利用标
准差，我们能够对任何正态分布的结果的分散性作出概率报告：
Ⅰ 大约有 50%的观察对象，在区间 μ ±（2／3）σ 的范围内；
Ⅰ 大约有 68%的观察对象，在区间 μ ±σ 的范围内；
Ⅰ 大约有 95%的观察对象，在区间 μ ±2σ 的范围内；
Ⅰ 大约有 99%的观察对象，在区间 μ ±3σ 的范围内。
Ⅰ 随机变量的标准化
标准正态随机变量用 Z ～ N（0 ，1）表示。将随机变量 X ～ N（μ ，σ 2）
标准化的公式：
随机变量 X＝x 0 对应的标准正态随机变量 Z ＝ z0 ＝（x 0－ μ）/ σ。
其意义是：对 X ～ N（μ ，σ 2），随机变量的值小于或等于 x 0 的概率，正好
等于标准正态分布 Z ～ N（0 ，1）中随机变量的值小于或等于 z0 的概率〔z0＝
（x 0 － μ）／σ〕。
即：对 X ～ N（μ ，σ 2）有 P（X≤x 0）；对 Z ～ N（0 ，1）有 N（Z≤z0）。
当 z0＝（x 0 － μ）／σ 时，则 P（X≤x 0）＝N（Z≤z0）。
§Ⅰ 呈正态分布的随机变量的信置区间（confidence intervals）
Ⅰ 正态随机变量 X 的确切信置区间（confidence intervals）：
Ⅰ P（ xˉ－ ≤X≤ xˉ＋）＝ 90%；
xˉ（也记作 μˆ）为样本平均值；s（也记作 ỡ）为样本的标准差。 xˉ和 s 是店
测算（point estimates）。
Ⅰ P（ xˉ－ ≤X≤ xˉ＋）＝ 95%；
Ⅰ P（ xˉ－ s ≤X≤ xˉ＋）＝ 99%；
§Ⅰ 使用标准正态分布（standards normal distribution）计算概率
Ⅰ 标准正态随机变量累积分布函数表 N（x）的使用。比如查找 P（Z≤）
的值（即变量 Z 的值小于或等于 的概率），其步骤：在表的第一纵栏找到
，在表的第一横栏找到 ，两者对应的值即为要找的概率。
【例】 Ⅰ P（Z ≤ ）＝ 90% ，它表示有 10%的值在图像的右边尾部，
并且，P（ xˉ－ ≤X≤ xˉ＋1. 282s）＝ 80%。
Ⅰ P（Z≤）＝ 95%，它表示有 5 %的值在图像的右尾部，或有 10 %的值
在 90%的信心区间之外（即左右两边尾部各有 5 %的值在 90%的信心区间之外）。
Z ＝（X－ μ）／σ
Ⅰ 了解下列关系，有助于我们使用累积分布函数 N（x）表：
Ⅰ 当 x≥0 时，x 右边的分布概率 P（Z≥x）＝ － N（x）；
Ⅰ 对负数－x，有：N（－x）= － N（x）。
因为：x 右边的分布概率和面积，等于－x 左边的分布概率和面积，即：P（Z
≥x）＝ N（－x）或 P（Z≤－x）。
正态分布的应用（Application of the Normal Distribution）
§Ⅰ 平均值—方差分析法
Ⅰ 平均值—方差分析法（mean-variance analysis）
平均值—方差分析法，将整体的收益分布概括为平均值和方均差，进而对投
资决策进行评价。
Ⅰ 将新资产加入到投资组合中，为了实现获利须满足：
即：新资产的“夏普比”，要大于投资组合 p 的“夏普比”与新资产和投资组合 P
的相关系数的乘积。
Ⅰ 马克维茨决策规则（Markowitz decision rule）。
对于资产 A 和 B，投资者选择 A 而不选择 B，其决策依据是：Ⅰ A 的平均收
益等于或大于 B 的平均收益，而 A 的收益的标准差更小；Ⅰ A 的平均收益大于 B
的平均收益，而 A 与 B 收益的标准差相等。
§Ⅰ 定义亏空风险（shortfall risk）
亏空风险（shortfall risk），即在某段时间投资组合的价值会下降到能够接受的
最低水平以下。如：某个已经界定收益计划的资产的价值下降到计划的债务之下，
即为亏空风险（shortfall risk）。
§Ⅰ 计算安全首位比率（safety-first ratio）并利用罗伊的安全首位标准
选择最佳投资组合
安全首位规则（Safety-first Rules），作为评估价值下滑风险（downside risk）
的方法，关注的是亏空风险（shortfall risk）。
[ E（R new）－R f ]／σ new ＞ Corr（R new，R p）×[ E（R p）－R f ]／σ p
假定 R L 是投资者能接受的最低收益水平。按照 Roy 的安全首位标准：最优
化的投资组合，就是能够使该组合的收益 R p 下降到临界水平 R L 以下的概率最小
化的投资组合，即：P﹝R p < R L﹞为最小值。
当投资组合收益是正态分布的，我们使用标准方差能计算出 P﹝R p < R L﹞。
投资组合的期望收益为 E（R p），则单位标准差的〔E（R p）－R L〕最大时，投资
组合的 P﹝R p < R L﹞最小。
〔E（R p）－R L〕是平均收益（mean return）到亏空标准的距离。用 SFRatio
表示安全首位比率（safety-first ratio），则：
SFRatio = [E（R p）-R L]/ σ p
应用 Roy 标准，对投资组合进行选择的步骤：Ⅰ 计算投资组合的 SFRatio。Ⅰ
根据计算所得的 SFRatio 值评估标准正态累积分布函数（cdf）。收益值小于 R L 的
概率就是 N（－SFRatio），即：P（R p < R L）＝N（－SFRatio）=1－N（SFRatio）。Ⅰ
选择上一步中概率最小的投资组合。
SFRatio 与“夏普比率”的差别在于 R L 和 R f（无风险收益）。安全首位规则为“夏
普比率”提供了一个新的角度：在使用夏普比例评价投资组合时，假定投资组合收
益是正态分布的，则夏普比率高的投资组合，是使投资组合收益小于无风险收益的
概率最小的投资组合。
§Ⅰ 对数正态分布（lognormal distribution）和正态分布的关系
Ⅰ 对数正态分布的概述
对随机变量 Y，如果它的自然对数㏑Y 为正态分布，则 Y 为对数正态分布；
反之亦然。对对数正态分布，有两点值得注意：
Ⅰ 它的下界由 0 界定；
Ⅰ 它偏向右边（即它的右边由一个长的尾巴）。
假定 Y 是对数正态分布的，则对数正态分布的两个参数是：㏑Y 的平均值和
方差（或标准差）。这样就有两套平均值和标准差（或方差）：正态分布的平均值
和标准差（或方差）；对数正态分布自身的平均值和标准差（或方差）。
Ⅰ 求对数正态分布自身的平均值和标准差（或方差）
假定正态随机变量 X 有预期值 μ 和方均差 σ 2。定义：Y＝exp（X）＝e x，Y
是取对数的逆运算，即㏑Y＝X。X 是正态随机变量，而 Y 是对数正态变量。则：
Ⅰ Y 的预期值是 exp（μ ＋σ 2），即 E（Y）＝ exp（μ＋σ 2）。
其原因：对数正态分布扩展了，它能向上扩展但是不能向下扩展超过零，因
此，分布的中心向右边移动，即增加了平均值。
Ⅰ 对数正态分布自身的平均值（μL）和方均差（σL2）的计算公式：
μL＝ exp（μ ＋σ 2）
σL2＝ exp（2μ ＋σ 2）×[exp（σ 2）－1 ]
§21．区别：收益的连续复利和不连续复利
Ⅰ 股票收益分布和股票价格的关系
如果股票的连续复利收益率（continuously compounded return）是正态分布的，
则将来的股票价格必定是对数正态分布的。同样重要地，即使股票的连续复利收益
不是正态分布的，因为中心限制理论（central limit theorem）的作用，股票的价格
也可用对数正态分布来描述。
Ⅰ 连续复利收益率与持有期回报率（holding period return）的关系
假定股票价格的一系列观察对象 S0，S1，S2，…，ST ，是等间距的。现在的
股票价格 S0 是一个确定的数（不是随机变量），而股票的未来价格却是一个随机变
量。价格比（St+1 ／S t），等于 1 加上持有期回报率，即：S t+1／S t ＝ 1＋R t+1，t 。
连续复利收益率，是与持有期回报率（R t+1，t）相伴随的一个重要概念。连续
复利收益用 r t+1，t 表示，则根据 EAR ＝ e rs －1 可得（EAR ／effective annual rate
即 R t+1，t），在期间 t 到 t+1 内，两者的关系是：
在期间 0 到 T 内（T-horizon），连续复利收益率与持有期回报率 HPR 的关系
是：
因此，S T ＝ S 0 exp（r 0, T）。
Ⅰ 独立的同一分布（IID，independently and identically）
独立的同一分布含义。Ⅰ 独立，指投资者不能根据过去的收益预测未来的收
益；Ⅰ 同一就是假定静止。
假定单个期间的连续复利收益率 rT，T –1，是平均值为 μ、方差为 σ 2 的 IID 随
机变量，则在 0 到 T 期间内连续复利收益率 r0, T 的期望值为：
r0, T ＝㏑（S T ／S 0）＝ rT，T－1 ＋ rT－1， T－2 ＋…＋ r0,1
E（r0, T）＝ E（rT，T –1）＋ E（rT –1， T-2）＋…＋E（r0,1）＝ μT
r t+1，t ＝ ㏑（St+1 ／S t）＝㏑（1＋R t+1，t）
比较 S T ＝S 0 exp（r0, T）和 Y ＝ exp（X），我们可以将未来股票价格 S T 的
模型作为对数正态随机变量。因为，r0, T 至少应该是近似的正态随机变量。
§22．给定持有期回报率 HPR，计算收益的连续复利
§23．解释蒙特卡洛模拟和历史模拟，并说明它们的应用和局限性
Ⅰ 蒙特卡洛模拟的简介
蒙特卡洛模拟的要旨，在爬梯之前要做的最后一件事，就是摇动梯子。就像
摇动梯子让我们接近爬梯的风险一样，蒙特卡洛模拟让我们在实施一项政策前，对
其进行试验。其目的，就是发现对复杂的金融问题的近似解决方法。
作为蒙特卡洛模拟整体的一部分，就是通过各种各样的假定，从概率分布中
产生大量的随机样本，以模拟各种可能的风险。
蒙特卡洛模拟的应用：Ⅰ 在实施一项政策或投资决策前，对其进行试验；Ⅰ
评估处于风险中的价值（Value at Risk）；Ⅰ 对复杂的证券估价；Ⅰ 研究院用以测
试他们的模型和投资工具。
Ⅰ 蒙特卡洛模拟的步骤。Ⅰ 根据基础变量，明确规定感兴趣的问题的数量
（Specify the quantities of interest in terms of underlying variable）。Ⅰ 明确规定时间
坐标（Specify a time grid）。Ⅰ 对产生前在变量的风险因素，明确规定其分布假说
（ Specify distributional assumptions for the risk factors that drive the underlying
variables）。Ⅰ 使用计算机程序或空白表格（spreadsheet）函数，产生每一个风险因
素的随机值。Ⅰ 使用上一步产生的随机观察对象，计算基础变量。Ⅰ 计算感兴趣
的问题的数量。Ⅰ 返回到第 4 步重新操作，直到试验的详尽数据完成。
Ⅰ 蒙特卡洛模拟，是分析方法的补充。它只提供统计数据，而不能提供精确
的结果，而分析方法提供了更深刻的因果关系。
Ⅰ 历史模拟（historic simulation，or back simulation），从历史纪录中取样来模
拟一个过程。
σ 2（r0, T）＝ σ 2T
第六章：取样和评估
Chapter Ⅰ Sampling and Estimation
本章简介（Introduction）
本章的主题：是如何取样？以及如何利用样本信息估算群体参数？取样的核
心是中心限制理论和估算（central limit theorem and estimation）。
取样（Sampling）
§Ⅰ 定义样本随机取样（simple random sampling）
样本（simple）随机取样，即群体中的所有元素入选的概率都相等。
两种随机取样的方法：简单的随机取样（simple random sampling）和分层次的
随机取样（stratified random sampling）。
两类数据：横截数据（cross-sectional date）和时间系列数据（ time-series
date）。
§Ⅰ 定义并解释取样误差（sampling error）
取样误差，即统计观察到的值和统计要估算的量之间的差。
§Ⅰ 定义取样分布（sampling distribution）
一个统计的取样分布（sampling distribution），是我们从同一群体中随机抽取
规模相同的样本、并对样本进行统计计算，而得出的所有相互区别的可能值的分布。
§Ⅰ 区别：简单的随机取样和分层的随机取样（ stratified random
sampling）
简单的随机取样（simple random sampling），即样本的获得是任意的，群体中
的每一个元素，都有同等的机会被选中。
分层次的随机取样（stratified random sampling），即根据一个或多个分类标准，
将群体进一步分为亚群体（sub population／strata）。然后按每一层（亚群体）的相
对规模，按比例地抽取简单的随机样本，并将这些样本集中起来。
§Ⅰ 时间系列（time-series）数据和横向（cross-sectional）数据
时间系列数据，是时间间隔相等地、不连续地收集到的一系列数据。横截数据，
是在某一时间点上的个体、团体、地区或公司的特征的数据。
样本平均值的分布（Distribution of the sample mean）
§Ⅰ 说明中心极限定律（central limit theorem）并说明它的重要性
假定任一概率分布描述的群体有平均值 µ 和限定的方差σ2，当我们从群体中
抽取规模为 n 的样本以计算样本平均值 xˉ时，如果 n 足够大（n ≥ 30），则可得：
Ⅰ 样本平均值 xˉ的取样分布是近似的正态分布；
Ⅰ 该取样分布的样本平均值 xˉ＝ µ ，方差σ2xˉ＝ σ2／n 。
中心极限理论：Ⅰ 能估计群体的平均值；Ⅰ 样本统计的标准差，就是统计的
标准误差（Standard Error of Statistic）；Ⅰ 能够建构信心区间和测试假定。
§Ⅰ 计算和解释样本平均值的标准差（standards error）
样本平均值的标准差 s xˉ（Standard Error of Statistic）的定义。样本统计的标准
差（Standard deviation），就是统计的标准差（Standard Error）。因此，样本平均值
xˉ的标准差（Standard Error）的计算公式有二：
σxˉ ＝σ／√n ；或 s xˉ ＝s ／√n 。
群体平均值的点估算和区间估算
Point and Interval Estimates of the Population Mean
§Ⅰ 鉴别和描述估算公式的必要特性（the desirable properties）
估算公式（Estimators／estimation formulas）和估算值（estimate）。估算值是
我们使用估算公式对样本观察对象进行计算所得出的特定值。
估算值和估算公式的区别：从群体中抽取不同的样本进行重复的抽样统计时，
估算公式会产生不同的结果（即估算值）。
Ⅰ 公正性（unbiasedness）。一个公正的估算公式，就是它的预期值（即取样
分布的平均值）正好等于它要评估的参数。
n
s2 ＝[ ∑（x i － xˉ）2 ]／（n－1）
i＝1
Ⅰ 有效性（efficiency）。如果某个公正的估算公式是有效的，则除了该公式外，
再没有另外一个公正的估算公式，就同样的参数得出具有更小方差的取样分布。
Ⅰ 一致性（consistency）。如果估算公式具有一致性，则随着取样规模的增大，
准确的估算值（接近群体参数值的估算值）的概率也会增加。即随着取样规模无限
扩大，估算值的取样分布越来越集中于我们要估算的参数的值。
这三个特征，也是选择估算公式的三个标准。
§Ⅰ 区别群体参数的点估算（a point estimate）和信置区间估算（a
confidence interval estimate）
对平均值或其他参数的关注，集中于两个问题：Ⅰ 假定测试。它针对的问题
是“参数值是等于某个特定值吗？”Ⅰ 估算（estimation）。它针对的问题是“参数的
值是什么？”估算包括：点估算（a Point Estimates）和信置区间估算。
Ⅰ 点估算（a Point Estimates）
按照样本平均值计算而得的群体参数的单个估算值，称之为平均值的点估算。
Ⅰ 群体平均值的信心区间（Confidence Intervals for the Population Mean）
Ⅰ 信置区间的定义
信置区间，即我们能够以给定的概率 1－α（信置度）肯定该区间包括了它要
测算的参数。这个区间称为该参数的（1－α）﹪ 信置区间。
信置区间对参数给出概率解释或实践解释。Ⅰ 按照概率解释，例如群体平均
值 95%的信置区间表示，在重复取样中，在长远上，有 95%的这样信置区间将包
括群体平均值。Ⅰ 按实践解释，我们有 95%的信心肯定单个该区间（95%的信置
区间）即能够包括群体平均值。
Ⅰ 信置区间的建构（Construction of Confidence Intervals）
参数的（1－α）% 信置区间的结构：点估算值 ± 信赖因素 × 标准误差（Point
estimate ± Reliability factor × Standard error）。
点估算值（Point estimate），即一个样本统计的值；信赖因素（Reliability
factor），是以点估算值的假定分布和信置度（1－α）为根据的一个数据；标准误差
（Standard error），是提供点估算值的样本统计的标准误差。
§Ⅰ 描述 t- 分布的特征（Student’s t- distribution）
Ⅰ t 分布（t -Distribution），是由单一参数即自由度 df（degrees of freedom）定
义的一个对称的概率分布。
Ⅰ t 分布与正态分布的比较。
假定我们从一个正态分布中取样，则比率 z＝（xˉ－ µ）／σ／√n，是一个标
准的正态分布（平均值为 0，标准差为 1）；比率 t ＝（xˉ－µ）／s／√n，则是 t 分
布（平均值为 0，自由度为 n－1）。
这个用 t 表示的比率，不是正态分布，因为它是两个随机变量（样本的平均值
和标准差）的比，而标准正态分布的定义只有一个随机变量 xˉ。然而，随着自由
度的增加，t－分布接近于标准正态分布（分布越尖锐、尾巴越瘦）。
§Ⅰ 计算和解释自由度（degrees of freedom）
自由度的概念。对 P40 计算样本标准差 s 的公式，分母上的项（n－1）就是使
用该等式估算群体标准差的自由度数字。
使用“自由度”术语其原因为：在随机样本中，我们假定观察对象的选取是互不
依赖的。假定计算有 n 个互不依赖的观察对象的样本的平均值，则只有（n－1）个
观察对象是可以独立地选择的。
（n－1）也常常被作为根据 t 分布（t－Distribution）确定信赖因素的自由度。
§Ⅰ 对群体方差已知或未知的正态分布，计算和解释群体平均值的信置
区间
Ⅰ 方差已知的呈正态分布的群体的平均值的信置区间
从方差为σ2 的正态群体分布中取样，则群体平均值μ的（1－α）% 信置区间为：
标准正态分布 Z（0，1）信置区间的信赖因素（Reliability Factors）
α 信置区间 z α/ 2
α= 90%的信置区间 Z 0. 05 =
α= 95%的信置区间 Z 0. 025=
α= 99%的信置区间 Z 0. 005 =
随着信置度的增加，信置区间越来越宽，对我们要估算的数据能给出的信息就
越不精确。
xˉ± z α/ 2 ×σ／√n
Ⅰ 方差未知的群体的平均值的信置区间的求解
Ⅰ 方法一：z 替换法（the z－Alternative）
从方差未知的任何分布的群体中取样，当取样规模较大时，则群体平均值μ的
（1－α）% 信心区间为：
Ⅰ 方法二：t 分布法（t－Distribution）
如果从一个方差未知的群体中取样，并且满足下列两个条件中的任一条件的，
即：Ⅰ 样本较大；Ⅰ 样本较小但是群体呈正态分布或近似的正态分布。则群体平
均值的信心区间可以表示为：
计算信赖因素（Reliability Factors）的根据
取样的群体 样本规模较小的统计 样本规模较大的统计
方差已知的正态分布 z z
方差未知的正态分布 t t（或 z）
方差已知的非正态分布 Not available z
方差未知的非正态分布 Not available t（或 z）
§Ⅰ 从任何类型的分布中抽取大量的样本，在群体方差未知时，计算和
解释群体平均值的信置区间
§Ⅰ 对选择适当样本规模的问题进行讨论
§Ⅰ 讨论数据挖掘偏见（date-mining bias）
数据窥探偏见（Date-snooping），即以刺探他人经验性结果来引导自己的分析
而得出推论所产生的偏见。
防止办法：检验新数据，以防止过分依靠过去的研究，来解释发现和得出结论。
数据挖掘偏见（Date-mining bias），指重复的钻研同一数据，直至有所发现。
数据挖掘偏见的四点迹象：对数据挖掘太多而又缺乏信心（Too much digging／Too
little confidence）；没有过去也没有将来（No story／ No future）。
xˉ ± z α/ 2 ×S ／√n
xˉ ± tα/ 2 ×S ／√n
防止的办法是在样本数据之外测试交易规则。
§Ⅰ 讨论样本选取偏见、现存关系偏见、超前偏见、时间期间偏见。
Ⅰ 样本选择偏见（Sample selection bias），即因为数据可获得性的原因，而将
某项资产排除在分析之外，由此产生的问题为样本选择偏见。
Ⅰ 现存关系偏见（survivorship bias）。如果测试设计没有考虑到已经关闭、被
兼并或因其他原因离开了数据库的公司的账户，则属于现存关系偏见。
Ⅰ 超前偏见（look-ahead bias）。如果一项测试设计在测试数据上使用了不能
获得的信息，则会产生超前偏见。
Ⅰ 时间期间偏见（time-period bias）。如果作为测试设计根据的时间期间，使
结果在时间—期间上特定化，属于时间期间偏见。要注意对取样期间长度的选择。
第七章：假定测试
Chapter Ⅰ Hypothesis Testing
假定测试（Hypothesis Testing）
§Ⅰ 定义假定并描述假定测试的步骤
假定，即对群体的说明。假定测试的步骤（Steps in the Hypothesis Testing）：
Ⅰ 提出假定（stating the hypothesis）；
Ⅰ 确定测试统计和它的概率分布（Identifying the test statistic and its probability
distribution）；
Ⅰ 有效度的特定化（Specifying the significance level）；
Ⅰ 声明决定规则（Stating the decision rule）；
Ⅰ 收集数据和进行计算（Collecting the date and calculating the test statistic）；
Ⅰ 做出统计结论（make statistical decision）；
Ⅰ 做出经济或投资结论（make the economic investment decision）。
上述第Ⅰ、Ⅰ步是假定测试的传统方法，可以用 p－值（p－value）方法来替代
这些步骤。
§Ⅰ 定义和解释零假定（null hypothesis）和替代假定（alternative
hypothesis）
假定的类型有两种：Ⅰ 零假定（the null hypotheses），用 H 0 表示；Ⅰ 替代假
定（the alternative hypotheses），用 H a 表示。
零假定：除非用以进行假定测试的样本有证据表明零假定是错误的，否则该
假定就被认为是正确。如果有证据表明零假定是错误的，则将导致替代假定。
替代假定，即零假定不成立时的假定。
§Ⅰ 单边（one-tailed）假定测试和双边（two-tailed）假定测试
Ⅰ 假定公式。假定某一群体有参数为θ，θ0 为该参数的一个值，对于两者的
关系可以通过下列三种方式形成零假定和替代假定：
Ⅰ H 0 ：θ＝θ0 对 H a ：θ≠θ0 （不等于替代假定）
Ⅰ H 0 ：θ≤θ0 对 H a ：θ＞θ0 （大于替代假定）
Ⅰ H 0 ：θ≥θ0 对 H a ：θ＜θ0 （小于替代假定）
Ⅰ 公式Ⅰ是双边（two-side／two-tailed）假定测试；公式Ⅰ与Ⅰ，是单边（one-side
／one-tailed）假定测试。
§Ⅰ 讨论零假定和替代假定的选择
最常用的是“不等于（not equal to）”替代假定，即公式Ⅰ。如果有证据表明参数
可能大于 0 或小于 0，则我们可以否定零假定。
然而，我们有时要为我们“怀疑的（suspected）”或“希望的（hoped for）”情形寻
找支持证据。在此情形，我们可以将替代假定定义为“该情形是真的”，而将零假定
定义为“情形的非真”。如果证据支持对零假定的否定并接受替代假定，则我们在统
计上可以肯定地认为我们的想法是正确的。
注意：“大于”和“小于”替代测试，比“不等于”替代测试更强烈地反映了研究者
的确信。为了强调态度的中立性，在有些时候即使单边的替代测试试合理的，研究
者也会选择“不等于”替代测试。
§Ⅰ 定义和解释测试统计（a test statistic）
测试统计（Test Statistic）的定义，是根据样本计算得出的数据，它的值是决
定支持或反对零假定的根据。一般地，测试假定有如下公式：
θ为样本统计；θ0 为 H 0 下群体参数的值（θ0）；s xˉ为样本统计的标准误差
（standard error）。对公式的说明：其他条件不变时，s xˉ 越小，则测试统计越大，
否定零假定的概率就越大。而且，取样规模 n 越大，则 s xˉ 越小。
测试统计 ＝（θ—θ0）／s xˉ
测试零假定的测试统计，遵循的概率分布有四种类型：
Ⅰ t—分布（对 t—测试）；
Ⅰ z—分布，即标准正态分布（对 z—测试）；
Ⅰ 卡方分布，即 the chi-square（x2）distribution（对卡方的测试）；
Ⅰ F—分布（对 F—测试）。
§Ⅰ 定义和解释误差类别Ⅰ及误差类别Ⅰ（type Ⅰ error）
§Ⅰ 解释有效度（a significance level）并说明有效度在假定测试中的应
用
测试统计计算出来后，有两种可能的行为，即：否定或不否定零假定。我们
行为的根据是将计算出来的测试统计和特定的可能值进行比较。我们选择的比较值，
是以选取的有效度（the level of significance）为根据的。有效度相当于证明标准，
它反映了为反对零假定所必要的样本证据。
测试零假定时，存在四种可能的结果：Ⅰ 否定错误的零假定，这是正确行为；Ⅰ
否定正确的零假定，这属于类型Ⅰ错误；Ⅰ 不否定错误的零假定，这属于类型Ⅰ错
误；Ⅰ 不否定正确的零假定，这是正确行为。
否定 H 0，只能犯类型Ⅰ的错误；不否定 H 0，只能犯类型Ⅰ的错误。
我们用α表示犯类型 I 的错误的概率，这个概率就是有效度（ the level of
significance）；用β犯类型 II 的错误的概率。
控制两种类型错误的概率涉及到此消彼长（trade-off）。假定其他量不变，α减
小则β会增加；β减小则α会增加。同时减小两种类型错误的概率的唯一方法，就是
增加样本的规模。
在实践中，通常不能对两种类型的错误的此消彼长进行定量的分析，因为，
类型 II 错误的概率β很难定量化。通常，我们只能将α特定化。
§Ⅰ 定义测试能力（the power of a test）
如果测试的有效度是不正确地否定零假定的概率，那么测试能力（the power of
a test），就是正确地否定零假定的概率，即正确地否定错误的零假定的概率。
某些情况，不止一个测试统计能够适用于假定测试。如果我们知道这些测试
统计的相对测试能力，则在决定使用的测试统计时应选择测试能力最强的统计。
为了保证测试的公正性，我们应该在计算测试统计之前确定有效度。在进行
假定测试时，通常有三个有效度，即：α＝ 、α＝ 、α＝ 。α越小，证
明零假定是错误的证据就越强。
§Ⅰ 定义和解释结论规则（a decision rule）
通常的原则可以简述为：在测试零假定时，对于由特定的有效度α所决定的给
定值，我们将计算所得的测试统计的值与之进行比较，如果我们发现两者同样极端，
或者后者比前者更极端，则我们应该否定零假定。
如果结果是否定零假定，则可以说该结果在统计上有效；否则，我们只能说
该结果在统计上无效。
否定点或临界值（rejection points／critical values）的定义。测试统计的否定点，
就是为了决定否定或不否定零假定，而与计算所得的测试统计值相比照的值。
对于单边测试，反对点的表示方法是，测试统计的符号（如 z、t、F 等）和说
明错误类型 I 的特定概率α的下标（如反对点 Zα）；对于双边测试，反对点的表示
方法是 Zα/2。
【例】 否定点的应用（以 z—测试为例，选取 为有效度）
Ⅰ 对于测试 H 0 ：θ＝θ0 versus H a ：θ≠θ0
该测试为有效度是 的双边测试，每一个尾巴的零假定测试统计分布，应
为 的概率。
该测试存在正负两个反对点，即：z 0。0 2 5 ＝ 和-z 0。0 2 5 ＝ －。若 z
表示计算所得的测试统计值，则当 z＜ 或 z＞ 时，则应该否定零假定。
Ⅰ 对于测试 H 0 ：θ≤θ0 versus H a ：θ＞θ0，反对点是 z 0。0 5 ＝ 。如果 z
＞，则应该否定零假定。
Ⅰ 对于测试 H 0 ：θ≥θ0 versus H a ：θ＜θ0，反对点是 z 0。0 5 = －。如果 z
＜－，则应该反对零假定。
§Ⅰ 解释信心区间和假定测试的关系
两者的关系：对于测试 H 0 ：θ＝θ0 versus H a ：θ≠θ0，零假定条件下，当群体
参数的假定值在相应的信心区间之外时，则零假定就应该被否定。如：
对α＝ 的 z－测试（两边测试），当θ0＜θ－ xˉ或θ0＞θ＋ xˉ时（Zα／
2 ＝±），则零假定就应该被否定。
平均值为μ的群体的 95%的信心区间是 xˉ±×s xˉ 。
§ Ⅰ 辨别：统计结论（ statistical decision ）和经济结论（ economic
decision）
我们应该注意假定值的统计上有效与经济上有效区别：在统计上有效，不一
定在经济上有效。因为要考虑到交易成本、税收和风险。经济结论不仅要考虑统计
结论，还要考虑到所有有关的经济问题。
P—值（p-value）的定义，就是指否定零假定的最低有效度。
如果 P—值小于特定的有效度，零假定就应该受到否定；否则，零假定就不应
该受到否定。P—值越小，否定零假定和有利于替代假定的证据就越强烈。
与反对点方法相比，P—值提供了更精确的有关证据强度的信息。
有关平均值的测试（Hypothesis Tests Concerning the Mean）
内容：第一部分，是有关单个群体的平均值是否与假定值相等的测试；第二、
三部分针对的问题是：两个样本平均值之间的差（分别针对相互独立的样本和不相
互独立的样本）。
§Ⅰ 对于方差已知或未知的正态分布群体，进行群体平均值的假定测试
时，能确定适当的测试统计并能解释其结果（单个平均值的测试）
Ⅰ t—测试
有关潜在（underlying）或群体平均值的假定测试，一般使用 t—测试。
t—测试，即假定测试使用的统计分布遵守 t—分布。t—分布是由一个参数（即
自由度 df）定义的分布。
t—分布与标准正态分布的关系。Ⅰ 相同点：对称分布；平均值为 0。Ⅰ 不同
点：标准差大于 1；远离平均值的结果的概率更大。
Ⅰ 方差未知的群体平均值假定测试的测试统计
方差未知的取样群体，如果满足两个条件之一的，则测试单个群体平均值μ的
假定测试的测试统计为：
这两个条件是：Ⅰ 样本的规模较大；Ⅰ 样本的规模较小，但是取样群体是正
态分布或近似正态分布的。
t n－1 为有 n－1 个自由度的 t—统计（n 为取样规模）；xˉ为样本平均值；μ0 为
群体平均值的假定值；s 为样本的标准差。
Ⅰ 方差未知的正态分布群体平均值假定测试的测试统计
方差未知的正态分布群体，若样本规模为 n，则群体平均值 100（1－α）%的
t n－1 ＝（xˉ－μ0）／ s ／√n
信心区间为：[xˉ－tα/2×sxˉ, xˉ＋tα/2×sxˉ]。tα/2 是自由度为 n－1 时α／2 的概率保持在
右边尾部之内的 t 的值；－tα/2 是自由度为 n－1 时α／2 的概率保持在左边尾部之
内的 t 的值。
如果样本规模较大，我们也可以使用 z—测试。
Ⅰ z—测试（the z-Test Alternative）
Ⅰ 果取样群体的方差为σ2，并且是正态分布，则对单个群体平均值μ的假定测
试的测试统计为：
Ⅰ 果取样群体的方差未知，并且取样的规模较大，则根据中心限制定律，有
一个替代的测试统计：
Ⅰ z—测试的否定点（Rejection Point of a z-Test）
Ⅰ 有关群体平均值的测试（群体方差未知）
LEVEL
(α)
HYPOTHESIS
REJECTION
POINT
REJECTION
INTERVAL
H 0 ：θ=θ0 vs. H a ：θ≠θ0 ± z＜ 或 z＞
H 0 ：θ≤θ0 vs. H a ：θ＞θ0 z＞
α=
H 0 ：θ≥θ0 vs. H a ：θ＜θ0 z＜
H 0 ：θ=θ0 vs. H a ：θ≠θ0 ± z＜ 或 z＞
H 0 ：θ≤θ0 vs. H a ：θ＞θ0 z＞
α=
H 0 ：θ≥θ0 vs. H a ：θ＜θ0 z＜
H 0 ：θ=θ0 vs. H a ：θ≠θ0 ± z＜ 或 z＞
H 0 ：θ≤θ0 vs. H a ：θ＞θ0 z＞
α=
H 0 ：θ≥θ0 vs. H a ：θ＜θ0 z＜
取样的群体 样本规模较小 样本规模较大
正态分布的群体 t—测试 t—测试（或 z—测试）
非正态分布的群体 Not available t—测试（或 z—测试）
z ＝（xˉ－μ0）／σ／√n
z ＝（xˉ－μ0）／s ／√n
有关平均值的差的测试（Test Concerning Differences between Means）
§Ⅰ 据相互独立的随机样本，对两个正态分布的群体的平均值是否相等
进行假定测试时，在两个样本的方差相等或不相等的情况下，能确定适
当的测试统计并能解释其结果
内容简介。前提：取样群体起码是近似的正态分布，并且样本相互独立。内
容：讨论测试两个群体平均值的差的两个 t—测试。两种情形：群体的方差未知但
是相等；方均差不相等但可以近似地看作 t—测试。
Ⅰ 假定的形成。用μ1，μ2 表示两个群体的平均值。则假定可写成如下方式：
Ⅰ H 0 ：μ1－μ2 ＝ 0 对 H a ：μ1－μ2≠ 0 ；
Ⅰ H 0 ：μ1－μ2 ≤ 0 对 H a ：μ1－μ2＞0；
Ⅰ H 0 ：μ1－μ2 ≥ 0 对 H a ：μ1－μ2＜0 。
也可写成其他形式的假定，如：H 0 ：μ1－μ2＝2 对 H a ：μ1－μ2≠ 2，等。
Ⅰ 测试两个群体的平均值之差的测试统计
正态分布的两个群体，其方差未知但相等，测试样本为相互独立的随机样本，
则 t—测试为：
计算共同方差 s p2（common variance）的联合估算公式（Pooled estimator）是：
s p2 ＝ [（n 1 －1）s1 2 +（n 2 －1）s2 2 ] ／（n 1＋n 2－2）。自由度的数字
为 n 1＋n 2－2。
Ⅰ 测试两个群体的平均值之差的测试统计
正态分布的两个群体，其方差不等且未知，测试样本为相互独立的随机样本，
则近似的 t—测试为：
在使用 t－分布表时，“修正（modified）的自由度”用下述公式计算：
t＝[（x1ˉ－ x 2ˉ）－（μ1－μ2）]／[（s p2 ／n1）＋（s p2 ／n 2）]1／2
t＝ [（x1ˉ－ x 2ˉ）－（μ1－μ2）]／[（s12 ／ n1）＋（s22／n 2）]1／2
df ＝
[（s12／n1）＋（s22／n 2）] 2／[（s12 ／n1）2 ／ n1＋（s22／n 2）2／n 2 ]
关于差的平均值的测试（Test Concerning Mean Differences）
§Ⅰ 两个正态分布的群体的差的平均值进行假定测试时（即成对比较测
试／paired comparisons），能确定适当的测试统计并能解释其结果
本部分的 t—测试的基础是，成对的观察对象（paired observations）组成的数
据。测试本身也可以称为成对比较的测试（paired comparisons test）。
假定有观察对象 A、B，且样本相互关联。观察对象是成对的，用 d i＝x Ai －
xBi 表示两个成对的观察对象的差，x Ai 和 xBi 是第 i 个成对观察对象。用μd 表示
群体差的平均值。μd0 是群体差的平均值的假定值。则三种方式的假定为：
Ⅰ H 0 ：μd ＝μd0 对 H a ：μd ≠μd0 ；（实践中，常令μd0 ＝ 0）
Ⅰ H 0 ：μd ≤μd0 对 H a ：μd ＞μd0 ；
Ⅰ H 0 ：μd ≥μd0 对 H a ：μd ＜μd0 ；
样本差的平均值（dˉ）、样本差的方差（s d 2）、差的平均值的标准误差（s dˉ）
dˉ＝（∑d i）／n ；（i ＝1，2，…，n）
s d 2 ＝（∑d i －dˉ）／（n－1）；（i ＝1，2，…，n）
s dˉ ＝ s d ／√n ；
测试差的平均值的测试统计（群体是正态分布的，方均差未知）
有关方差的假定测试（Hypothesis Tests Concerning Variance）
§Ⅰ 正态分布的方差进行假定测试时，能确定适当的测试统计并能解释
其结果
Ⅰ 测试单个方差的假定的形成。假定单个群体的方差为σ2，用σ02 表示方差的
假定值，则三种形式的假定为：
Ⅰ H 0 ：σ2 ＝σ02 对 H a ：σ2≠σ02；
Ⅰ H 0 ：σ2 ≤σ02 对 H a ：σ2 ＞σ02；
Ⅰ H 0 ：σ2 ≥σ02 对 H a ：σ2＜σ02；
t ＝（dˉ－μd0）／s dˉ
Ⅰ 卡方分布（chi－square distribution）
卡方测试统计，用 X2 表示。其特点：Ⅰ 非对称分布；Ⅰ 与 t—分布一样，它
是一个分布的族系。自由度的可能值 n－1 不同（n 为样本规模），分布也不同。自
由度是表示它的参数。Ⅰ 最低边界为 0，即 X 2 不能有负值。
Ⅰ 有关测试群体方差的测试统计（群体为正态分布）
从正态分布的群体中取出 n 个相互独立的样品，则测试统计为：
s 2 ＝ [∑（x i －xˉ）2 ]／（n－1），（i = 1，2，…，n）。卡方测试对违背前提条
件的行为很敏感，如：取样的不随机和群体的非正态分布。
与其他假定测试一样，卡方测试能够给出信置区间的解释。不同点在于基于卡
方测试给出的信置区间是不对称的。如果样本的规模为 n，则群体方差的双边信置
区间有上限 L 和下限 U：
L＝（n －1）s 2 X 2α／2
U＝（n －1）s 2 X 21－α／2
Ⅰ 否定点（自由度为 n－1 的卡方分布）
Ⅰ 对于 H 0 ：σ2＝σ02 vs. H a ：σ2≠σ02
反对点：X 2α／2（上端的α/2 点）和 X 21－α／2（下端的α/2 点）；反对区间：X 2
≥ X 2α／2 或 X 2 ≤ X 21－α／2 。
Ⅰ 对于 H 0 ：σ2≤σ02 vs. H a ：σ2 ＞σ02
反对点：X2α（上端的α点）；反对区间：X 2 ≥ X2α。
Ⅰ 对于 H 0 ：σ2≥σ02 vs. H a ：σ2＜σ02
反对点：X 21－α（下端的α点）；反对区间：X 2 ≤ X2 1－α。
有关方差的差的测试（T est Concerning Differences between Variances）
§Ⅰ 据相互独立的随机样本，对两个正态分布的群体的方差是否相等进
行假定测试时，能确定适当的测试统计并能解释其结果
Ⅰ 假定的形成。假定两个正态分布群体的方差分别为σ12 和σ22，平均值分别为μ
1 和μ2 。则三种形式的假定为：
Ⅰ H 0 ：σ12 ＝σ22 对 H a ：σ12≠σ22
X 2 ＝（n －1）s 2 ／σ02
Ⅰ H 0 ：σ12 ≤σ22 对 H a ：σ12 ＞σ22
Ⅰ H 0 ：σ12 ≥σ22 对 H a ：σ12 ＜σ22
Ⅰ F－分布（F－distribution）
F－分布的特征：Ⅰ 非对称分布；Ⅰ F－分布由两个自由度的值定义，即分子
自由度（df1 ＝ n1－1）和分母自由度(df2 ＝ n 2－1)；Ⅰ 最低边界为 0。
假定σ12 ＝σ22 就表示σ12／σ22 ＝ 1。考虑到取样是随机的并且相互独立，有关
的这类测试的根据是 F—测试，F—测试表示的是样本方差的比例。
Ⅰ 测试两个群体方差的差的测试统计（群体是正态分布的）
假定有两个样本：样本 1 有 n 1 个观察对象，方差为 s12；样本 2 有 n 2 个观察
对象，方均差为 s22。样本是随机的、并且互不相关，产生样本的群体是正态分布。
则测试两个群体方差的差的测试统计：
反对点（自由度为 df1 ＝ n1－1 和 df2 ＝ n 2－1 的 F－分布）
因为群体 1、2 可以任意安排，所以传统上使用 s12／s22 和 s22／s12 两者中较大
的比例，则测试统计 F 的值只有大于或等于 1 两种情况：
Ⅰ “不等于”替代测试，反对点：Fα／2（上端α/2）；反对区间：F＞Fα／2 。
Ⅰ “大于”或“小于”测试，反对点：Fα（上端α）；反对区间：F＞Fα。
没有使用常规方法，得到的测试统计 F 小于 1，用公式 Fn 1，n 2 ＝1／F n 2，n 1
可将其转换为大于 1 的数。
§Ⅰ 区别：参数测试和非参数测试，并且能够说明适合使用非参数测试
（nonparametric test）的情形
参数测试（parametric test）有两个特征：关注的是参数（平均值或方差）；测
试的有效性依赖于一系列的假设。
非参数测试（nonparametric test）的特征：不关注参数；是对样本来自的群体
所作的最起码猜想而进行的测试。
F＝ s12／s22
第八章：相关性和回归
Chapter Ⅰ Correlation and Regression
相关性分析（Correlation Analysis）
检验两个系列的数据是如何相互联系的，方法有二：Ⅰ 零星布局（scatter
plots）；Ⅰ 相关性分析（Correlation Analysis）。
零星布局（scatter plots），就是在二维坐标中，表明两个数据系列中观察对象
相互关系的图表。横轴和纵轴分别代表一个数据系列。两个数据系列中的每一个观
察对象是相互成对的，图表中的一个点代表一组对应的观察对象。
共同关联分析（Correlation Analysis）
§Ⅰ 计算和解释样本协方差（covariance）
当样本规模为 n 时，随机变量的样本协方差为：
样本的协方差，即两个随机变量中观察对象与它们的样本平均值相偏离的值
的乘积的平均值。群体协方差的定义，即两个随机变量与它们各自的平均值相偏离
的值的乘积的期望值。
§Ⅰ 计算和解释样本的相关系数（correlation coefficient）
相关系数（correlation coefficient），是两个数据系列关联紧密程度的标度。它
能够表明两个变量之间的线性关联（liner association）程度和方向。
相关系数的取值范围是－1 到 1。Ⅰ 相关系数大于 0，则两个变量是正线性关
联关系，即一个变量增加另一个变量也随之增加；Ⅰ 相关系数小于 0，则两个变量
是负的线性关联，即一个变量增加另一个变量将减少；Ⅰ 相关系数等于 0，则两个
变量之间无线性关系。Ⅰ 只有两个变量上的所有点都位于同一直线时，向关系数
才为 1 或－1。
样本的相关系数 r（sample correlation coefficient）的计算公式：
n
Cov（X，Y）＝ ∑（X i －Xˉ）（Y i －Yˉ）／（n－1）
i = 1
X 的样本方差 s2 x ＝∑（X i －Xˉ）2 ／（n－1）；样本标准差 s x＝√s2 x 。
计算相关系数的前提条件是：随机变量 Xi 与 Yi 的平均值和方差、及 X i 与 Yi
的协方差均为常数，并且是有限的。
如果不具备这些前提条件，则两个变量间的相关性主要取决于所使用的样本。
共同关联分析的应用和局限性。在下列情形下相关性分析并非总是可靠的：Ⅰ
两个变量具有很强的非线性关系，而相关性却非常弱，如变量 B＝（变量 A－4）
2；Ⅰ 在一个或两个数据系列中出现外层观察对象（outliers），即数量较少的观察
对象位于样本的极端。
外层观察对象是否应该排除的判断：Ⅰ 一般规则是判断在排除一些外层观察
对象后样本的相关性是否发生较大的变化；Ⅰ 这些外层观察对象是否包含有关两
个变量的关系的信息。
相关性并不等同于因果关系。刺激关联（spurious correlation），能使两个变量
紧密关联而两者之间却没有任何因果关联。刺激关联，即因两个变量都与第三个变
量有关而产生的关系。
§Ⅰ 设计一个假定测试以检验群体的相关系数是否为 0，并能根据给定的
有效度判断该假定是否不成立（rejection）
测试相关系数的有效性 Testing the Significance of the Correlation Coefficient
有效性测试，可以让我们评估随机变量表面上的关系是真实的还是随机的。
假定随机变量都是正态分布的，则可以提出两个假定（ρ为群体的相关性）：
H0：ρ＝0；Vs．H a：ρ≠0 。
只有当两个变量都是正态分布的，我们才能通过样本的相关性 r（sample
correlation），来决定零假定是否应该被否定。计算 t—测试的公式是：
如果零假定是正确的，则测试统计是自由度为 n－2 的 t—分布。
样本的规模 n 在相关系数有效性测试中充当重要角色：Ⅰ 当 r＞0 时，n 越大，
t 的值就越大，t 就更有可能大于 t c（t c 为测试统计的临界值或否定点）；Ⅰ n 越大，
自由度就越大，因而 t c 就可能更小。其他值不变，n 越大，零假定越容易被否定。
线性回归（liner regression）
r ＝ Cov（X i，Y i）／s x s y
T ＝ r×[（n－2）／（1－r2）]1／2
§Ⅰ 线性回归（liner regression）中自变量和因变量的区别
独立变量线性回归：根据两个变量之间的线性关系，通过一个变量的信息得
出有关另一个变量的结论。线性回归，可以使我们预测另一个变量、测试有关两个
变量关系的假定、量化两个变量间关系的强度。
Ⅰ 这两个变量分别用 X、Y 表示。X 为自变量（independent variable），Y 为
因变量（dependent variable）。
Ⅰ 线性回归的定义。假定在自变量（X）和因变量（Y）之间存在线性关系，
则这种关系可以用下面的回归等式解释（i ＝ 1, 2,…，n）：
b0 为截距（intercept）；b1 为斜率（slope coefficient）；Ⅰ为误差项(error term)，
即因变量中不能用自变量解释的部分。
在衰退分析中，两类基本的数据经常用到：跨部门数据（cross-sectional data）
和时间系列数据（time-series data）。
§Ⅰ 识别回归等式中的斜率（slope）和截距（intercept）
Ⅰ 线性回归中，对 b0 和 b1 的估算。
线性回归，也称为线性最小平方数（linear least squares），就是要计算一条最
适合观察对象的直线。
因此，对 b0 和 b1 的选取，必须符合该要求，即：使所有观察对象与回归直
线之间竖直距离（vertical distance）的平方和最小。满足这个要求的 b0 和 b1，称
之为估值参数或适宜参数 bˆ0 和 bˆ1（estimated or fitted parameters）。
计算所有观察对象与衰退直线之间竖直距离的平方之和的公式是：
Yi－bˆ0－bˆ1Xi ＝（dependent variable－predicted value of dependent variable）2 ，
即：Yi－bˆ0－bˆ1Xi ＝（因变量－因变量的预测值）2 。这个差即回归残余（regression
residual）。
注意：在回归模型中，我们不能观察到 b0 和 b1 的真实参数值，而只能观察
到估值 bˆ0 和 bˆ1 。所有的预测和测试都是以参数的估计值为依据的。
Yi ＝ b 0 ＋ b1X i ＋ Ⅰi
n
∑（Yi －bˆ0－ bˆ1Xi）2
i = 1
Ⅰ 单自变量的线性回归。
斜率因素（slope coefficient）的计算：b1 ＝ Cov（Yi ，X i）／Var（X i）
截距（intercept）的计算：b0 ＝ Yˉ－b1 Xˉ。
自变量（Xi）和因变量（Yi）的平均值 Xˉ和 Yˉ必定在回归直线上，将它们代
入回归公式就可以得到截距 b 0 。
§Ⅰ 解释线性回归的前提假定（The Assumptions of the Linear Regression）
假设自变量（Xi）和因变量（Yi）均有 n 个观察对象，我们希望能够估算等式：
Yi ＝ b 0 ＋ b1X i ＋Ⅰi ，（i ＝ 1, 2,…，n）。
为了从单自变量的线性回归模型中得出有效的结论，需要做出下述假定，即
典型常态线性回归模型假定（classical normal linear regression model assumption）:
Ⅰ 自变量（Xi）和因变量（Yi）是线性关系，该线性关系可用 b0 和 b1 表示。
如果变量 Xi 和 Yi 之间是非线性关系，则用线性回归模型估算两者的关系就无
效。然而，有时非线性关系可以通过运算（如两边取对数）转化为线性关系。只要
变量能够转化为线性等式〔如 Yi = b0 + b1（Xi）2+ Ⅰi〕，线性回归也可以适用。
Ⅰ 独立变量（Xi）不是随机的。
Ⅰ 误差项的预期值为 0，即 E（Ⅰi）＝0。假定Ⅰ和Ⅰ能够保证线性回归能得出
正确的 b0 和 b1 估计值。
Ⅰ 对所有观察对象，误差项的方差均相同：E（Ⅰi 2 ）＝σⅠ2，（i = 1,…,n）。
这个假定也称为 homoskedasticity assumption。
Ⅰ 观察对象间的误差项Ⅰi 是不相关的（uncorrelated），即对所有的 i≠j，有 E
（Ⅰi Ⅰj ）＝ 0。这个假定对正确估算估值参数 bˆ0 和 bˆ1 的方差是必要的。
Ⅰ 误差项Ⅰi 是正态分布的。可以使我们容易对有关回归模型的特定假定进行
假定测试。
假定Ⅰ、Ⅰ和Ⅰ让我们可以使用线性回归模型来决定估值参数 bˆ0 和 bˆ1 的分
布，从而检验这些因素是否有一个特定的值。
§Ⅰ 计算估计值标准误差 SEE（The Standard Error of Estimate）
§Ⅰ和§Ⅰ讨论衡量回归分析对模型因变量的解释程度的统计。
估值标准误差（也称为回归标准误差，即 The Standard Error of Regression）是
衡量解释的不确定性程度的参数。它就是计算Ⅰˆi（回归残余项即因变量的实际值
和预测值之间的差）的标准差（standard deviation）。
计算单自变量的线性回归模型的估算标准误差（SEE）的公式是：
n n
[∑（Yi－b0－b1Xi）2／（n－2）] 1／2 ＝[∑（Ⅰˆi）2／（n－2）] 1／2
i＝1 i＝1
与计算标准差的公式相比，这个公式的分母是 n－2 而不是 n－1，其原因是回
归模型估算的是两个参数（bˆ0 和 bˆ1），观察对象的数量与参数的数量的差即为自
由度。
§Ⅰ 计算和解释确定性因素（the coefficient of determination）
估算标准误差能在一定程度上说明使用回归等式对变量 Y 进行预测的确定性
程度，但是它不能说明自变量对因变量方差（variance）的解释如何。确定性因素
（The Coefficient of Determination）可以衡量因变量总方差中能够由自变量予以解
释的方差部分。确定性因素可以记作为“R2”。
Ⅰ 计算确定性因素的方法（方法一）
如果是单自变量的线性回归，则可以将自变量和因变量之间的相关系数平方
而得到确定性因素，即：
确定性因素 ＝ r 2＝ [Cov（X i，Y i）／s x s y ]2 。
Ⅰ 计算确定性因素的方法（方法二）。该方法适用于多个自变量的情形，下面
是对其背后的逻辑关系的说明：
因变量的总方差（Total variation），等于自变量不能解释的方差（Unexplained
variation）与能够解释的方差（Explained variation）的和。确定性因素，等于自变
量能够解释的差异与因变量的总方差之比，即：
R2 ＝ 1－（Unexplained variation / Total variation）。
在不知道回归关系时，对因变量的任何观察对象的特定值的最佳猜测 Yˉ（Yi
的样本平均值），而能够衡量这种预测正确性的参数是 Yi 的样本方差。因此，因变
量的总方差的计算公式是：
用 Yˉ预测特定观察对象 Yi 的一个替代方法，就是利用回归关系进行预测。如
果 Yi 的预测值为 Yˆi，实际值 Yi，则：Yˆi ＝ bˆ0 ＋bˆ1Xi 。如果回归关系是正确
的，使用 Yˆi 预测 Y i 的误差，要远远小于使用 Yˉ预测 Y i 的误差。
因此，自变量不能以回归关系解释的因变量的方差的计算公式是：
n
Total variation ＝∑（Y i － Yˉ）2／（n－1）
i = 1
n
Unexplained variation ＝ ∑ （Y i －Yˆi）2
i＝1
信置区间和假定测试（Confidence Intervals and Testing Hypotheses）
§Ⅰ 计算回归因素（regression coefficient）的信置区间
Ⅰ 假定测试的提出。
如果知道下述三个事件，我们可以使用信心区间方法执行一个假定测试（这
种测试通常是有关截距 bˆ0 和斜率因素 bˆ1 的值的 t—测试）：
Ⅰ 估计参数的值（estimated parameters）bˆ0 和 bˆ1；
Ⅰ 参数 b 0 和 b1 的假定值；
Ⅰ 估值参数的信置区间（给定信心度，我们确信包括真实参数值的区间）。
Ⅰ 信心区间的计算
Ⅰ 有效度（significance level）为α时，bˆ1 的信心区间是：bˆ1±t c S bˆ1 。
“t c”是 t 的临界值，它的大小取决于零假定下 t—分布的自由度的数量（即观
察对象的数量与估测参数的数量之差，在一个自变量的线性回归情形，自由度为
（n－2）。“S bˆ1”是 bˆ1 的标准误差（standard error）。
Ⅰ 同理，有效度为α时，bˆ0 的信心区间是：bˆ0±t c S bˆ0 。
如果参数 b1 的假定值为 b，则零假定为 H 0 ：b1 ＝ b，并且 bˆ1 是 b1 的估计值。
如果 b 在区间 bˆ1±t c S bˆ1 之外，则应该否定零假定，即 b1 ≠ b（或 bˆ1≠ b）。
Ⅰ t—测试（适用于回归模型的假定的测试）
有关回归因素的假定测试的测试统计，是自由度为 n－2 的 t—分布。其测试
统计的计算公式为：
对斜率因素 bˆ1 假定的测试统计：t ＝（bˆ1－b1）／ S bˆ1
对截距 bˆ0 假定的测试统计： t ＝ （bˆ0 －b0）／ S bˆ0
如果 t 的绝对值大于 t c（即ⅠtⅠ＞t c），则应该否定零假定，即α的信置区间不
包括假定的值。
§Ⅰ 识别对回归因素的群体值（population value）进行假定测试的的适
当测试统计，并解释其结果
§Ⅰ 解释回归因素（regression coefficient）
§Ⅰ 给定估计的回归模型和自变量的值，计算因变量的预测值
在使用回归模型（Yi ＝ b0 ＋b1Xi ＋Ⅰi）和估计参数 bˆ0 和 bˆ1 进行预测
时，存在两个不确定性原因：Ⅰ 误差项Ⅰi 本身包括了不确定性。误差项Ⅰi 的标准
差可以通过回归公式的估值标准误差（the standard error of estimate）来估算。Ⅰ
对 Y 进行预测的第二个不确定性，来源于估值参数 bˆ0 和 bˆ1 存在不确定性。
如果回归参数 bˆ0 和 bˆ1 的真实值已知，那么，在给定 X ˆ的任一特定预测值
时，对 Y 的预测的方差就可以简化为 s2 （s 即 the standard error of estimate）即预
测的不确定性只来源于误差项。可以简化的原因在于：预测值 Yˆ＝b0 ＋b1X 并且 Y
－Yˆ＝Ⅰ。
但是，我们必须估计回归参数（regression parameters）bˆ0 和 bˆ1，所以，在给
定 X ˆ的任一特定预测值时，Y 的预测值 Yˆ实际上是 Yˆ＝ bˆ0 ＋bˆ1X。
因此，给定 X，Y 的预测误差的方差估值（the estimated variance of the prediction
error of Y）的计算公式为（s 2 f 表示 Y 的预测误差的方差估值）：
这个方差估值（s f 2）取决于下列条件：Ⅰ s2 ，即估值标准误差（the standard
error of estimate）的平方；Ⅰ 观察对象的数量 n ；Ⅰ X 即自变量；Ⅰ s x2 即自变
量的方差。
§Ⅰ 计算和解释某个因变量预测值的信置区间（Prediction Intervals）
得到预测误差的方差估值 s2 f 后，建立以预测值（Prediction）为中心的预测区
间（Prediction Intervals）就类似于以估值参数为中心估算信心区间。其步骤：
Ⅰ 给出预测值 Yˆ；
Ⅰ 计算 s 2 f ；
Ⅰ 对某一预测，选择一个有效度α（在回归的自由度给定时，α决定预测区间
的临界值 tc）；
Ⅰ 计算预测的（1－α）百分比预测区间，用 Yˆ±tc×s f 的形式表示。
§Ⅰ 线性回归中方差分析（ANOVA／analysis of variance）的使用
单自变量的线性回归（a Regression with One Independent Variable）的方差分析
Ⅰ F—测试（方差分析的一个重要测试）
F—统计测试的是，线性回归的斜率因素（slope coefficients）是否等于 0。在
单自变量的线性回归中，这个测试可以写作：
s2 f ＝ s2 ×｛1＋(1／n )＋（X－Xˉ）2／[（n－1）s 2 x ]｝
H0 ：b1 ＝ 0 对 H a ：b1 ≠ 0 。
为了正确地确定测试统计，需要具备四个已知条件：Ⅰ 观察对象的总数 n；Ⅰ
估值参数的总数量（2 个即截距和斜率因素）；Ⅰ 误差项的平方和（或残项的和）
即 SEE（the sum of squared errors），公式为：∑（Y i －Yˆi）2；Ⅰ 回归的平方和
即 RSS（the regression sum of squares），公式为：∑（Yˆ i－Yˉ）2。RSS 为因变量 Y
中能够由回归等式解释的总方差。
Ⅰ F—统计的计算公式
F—统计的计算公式：F＝RSS 的平均／SEE 的平均。
RSS 的平均（the average RSS）＝RSS／斜率估值参数的数量；
SEE 的平均（the average SEE）＝SEE／（n—估值参数总个数）。
F—测试的自由度有两个：Ⅰ 斜率估值参数的个数（ the number of slope
parameters estimated）；Ⅰ 观察对象数量与估值参数总个数的差（the total number of
parameters estimated）。观察对象为 n，零假定 H0（b1＝0）的 F—测试可表示为：
F # slope parameters，n - # parameters ＝ F 1，n－2 。
对于单自变量回归的 F—统计，斜率估值参数的个数为 1，观察对象数量与估
值参数总个数的差为 n－2，则 F—统计的计算公式为：
如果回归模型很好地解释了因变量的方差，F 的值就会较大，即：对每一个自
由度，每个估值参数作出了解释的 RSS 相对于没有解释的方差更高。
如果自变量不能解释因变量，F—统计的值会很小以至等于 0。
§Ⅰ 定义和解释 F-统计
§Ⅰ 讨论回归分析的局限性
回归分析局限性表现：Ⅰ 与相关性一样，回归关系会随时间而改变。较好适
合某一期间的回归关系，不一定在另一期间也适合。Ⅰ 回归关系作用的局限还与
回归关系的传播有关，即多人利用同一回归关系，会导致它的逐渐消失。这就是自
我弥补现象（the self-fulfilling phenomenon），它会导致回归关系在将来消失。Ⅰ 如
果回归关系的前提假定被违背，则基于线性关系的假定测试和预测就会无效。
F ＝ RSS ／[ SEE ／（n－2）] ＝ Mean RSS／Mean squared errors
