主 成 分 分 析
Principal Component Analysis
问题的提出
医学科学研究涉及的变量,互相之间可能会有一定联系(多重共线性);已有变量的少数几种线性组合(主成分),已经能够很好的反映原始数据蕴涵的信息。
主成分分析就是主成分的提取过程。
基本原理
基本原理（续1）
设R为X1~X4的相关系数矩阵，则有：
其中，A是所谓组合系数矩阵（负荷矩阵）。
基本原理（续2）
则有：
设R的特征向量矩阵为：
设R的特征值为：
令
基本原理（特征根）
对于矩阵RP×P,则由下列行列式确定的P阶方程之根，
称为R的特征根。
基本原理（特征向量）
对于矩阵RP×P,已知其特征根为λi，则满足下式的向量为该特征根对应的特征向量：
主成分的性质
1. 主成分间互不相关
2. 组合系数构成的向量为单位向量
3. 各主成分的方差是递减的
4. 总方差和原始变量的方差相同
（各主成分独立地反映某一方面的信息）
（最重要的主成分解释最多的变异）
（主成分分析并未改变原始数据的总的信息量）
实例分析1(方435_25_1)
1985年中国28省市汉族城市男生19~22岁组若干形态指标的平均值。
数据集中， 28行表示28个省份，6列表示6项指标。
试提取全部的主成分。
实现步骤
创建数据集或打开现成的数据集。
2. Analyze
Data reduction
Factor ...
具体操作步骤
Analyze→ Data Reduction → Factor → 所有变量选入“Variables” →Descriptive 中选√ KMO and Bartlett’s test of Sphericity; Correlation Matrix 中选 √ Coefficients→ Extraction →Extract, 选中⊙Number of factors 3 → Rotation → Display 中选√ loading plots →Scores 中选 √ save as variables和 √ Display factor score……;其余均按默认值 → ok
计算实现与结果讨论（1）
相关系数阵
计算实现与结果讨论（2）
KMO检验与球形检验
用于检验变量间的偏相关性，越接近1，表示偏相关越小。
用于检验变量间的独立性，P<时，提示各变量间不独立。
KMO的计算：
计算实现与结果讨论（3）
特征根,贡献率,累积贡献率
计算实现与结果讨论（4）
因子图（主成分与各变量的关系）
计算实现与结果讨论（5）
特征向量矩阵
计算实现与结果讨论（6）
第一主成分的表达式（p. 439,表）
其中，xi为标准化的数值。
