变质量物体的运动微分方程及火箭运动
专业：物理学
学号: 084001091001
姓名: 秦瑞锋
变质量物体的运动微分方程及火箭运动
秦瑞锋
(物理与电气工程系 09 级物理学专业,084001091001)
摘要:我们已经了解了一定质量的系统的运动学方程和动力学方程,但在实际问题中,系统的
质量往往是变化（按一定规律减少或增加）的,我们所学的一定质量的物体的运动学或动力
学方程却不适用于变质量系统,下面我们将研究变质量系统的运动学和动力学的若干方程,以
及变质量物体的运动规律.
关键字: 变质量系统 运动微分方程 火箭 动能定理 动量定理
一、变质量物体的基本运动微分方程
在以前的学习中，我们接触到的质点或者质点组系统运动过程中，本身的质量不会发
生变化。但在实际生活和自然现象中，在某时刻有一部分质量进入或者离开我么们所要研究
的对象，经常有变质量系统的运动情况，例如，地球的质量由于陨石的降落而增加，飞行中
的喷气飞机和火箭随着燃料的减少质量减少，浮冰由于溶化而减少质量，运动着的传送带在
某时可添加或取走货物，下降的陨石由于空气的作用发生破碎或者燃烧使质量减少……这些
质点系在运动过程中，不断发生系统外的质点并入，或系统内的质点分离，以致系统的总质
量随时间不断改变，我们称这些系统为变质量系统。那么该用怎样的方法研究变质量系统的
运动情况呢？
我们可以假设在任何时刻，系统的分离或并入的质量是小量，两次发生分离或并入的时
间间隔是小量，在这些理想的假设下，离开质点系的质量 和进入质点系的质量
是时间的连续可微函数，如果系统的质量 在 t=0 时刻为 ，则它随着时间的变化规律
为 ，那对应的关于质量的一些物理量也是对时间的可微函数，
得到微分方程后，进行积分，问题可解决。
设变质量质点的质量 m 是时间 t 的函数，即 m＝m(t)。在瞬时 t，质点的质量为 m(t)，
质点对于定坐标系 Oxyz 的速度为 v(图 1)，即将与之合并的微粒的质量为 dm(t)，其对 Oxyz
的速度为 u。在瞬时 t+dt，微粒与质点合并。于是质点的质量变为(m+dm)，其对 Oxyz 的速
度成为 v+dv。对于质量分出的情况 则 dm＜0，即 为负。
m 和 dm 所组成的质点系在瞬时 t 的动量为 mv+udm;在瞬时 t+dt 的动量为(m+dm)(v+dv)。
在 dt 时间内，动量的增加 为：
＝(m＋dm) －(m ＋ dm)。
)(m2 t )(1 tm
mt m0
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tttm mmm
dt
dm
tFpd
pd
)( vdv
v
u
将上式展开并略去二阶微量，再根据牛顿第二定律，就得到变质量质点的基本运动微分方程：
，(1)
式中 是微粒相对于变质量质点的速度。若把上式右端第二项记为 ，就得：
(2)
这是变质量质点的基本运动微分方程的另一种形式，式中 为外力。 具有力的量纲，
称为反作用力。
三、下面将根据变质量系统的微分方程来研究火箭的运动
火箭的速度就是靠发动机向外喷气的方式来增加，火箭的运动也就是变质量物体的运动。
就是放出物质对火箭的推力 ，即 ，式中 是放出物质相
对于火箭的速度，由于 ，推力 T 与相对速度为反向，故火箭在直线运动中的运动
微分方程可写作：
， （3）
式中 包括诸如重力和空气阻力等外力。这方程表明，火箭由于发动机喷出微粒而受到推
力 。
（1）火箭在真空中的运动
设变质量质点 P 在重力场外的真空中运动，如果将火箭看做质点并忽略皆知的阻力、引力
等，这样的变质量质点可以作为在宇宙空间中运动的火箭的模型，那么外力为 0，由方程
（3）可得火箭运动的方程：
， （4）
dt
dm
F
dt
vd
m
rv
vuv r
F r
F rF
vd
dt
m
F
F r
F
r
T
dt
dm
T vF r
r
vuv r
0
dt
dm
TF
dt
vd
m
F
T
v rdt
dm
dt
vd
m
其中 是燃料相对于火箭的速度。 的大小是常数并且与火箭的速度 相反。火箭沿着
的方向作直线运动将方程（4）向 Ox 轴投影可得，
，(5)
其中 是相对速度 的大小。假设 t=0 时刻火箭的质量为 ，速度为 ，对（5）式积
分可得
V(t)= + 。 (6)
从（6）式可以看出，火箭在某时刻的速度由两个因素决定：初速度 ；相对速度；火箭初始
质量与当前质量之比。假设燃料的初始质量为 ，火箭在燃料燃烧完成时质量为 ，
自然有 ，所以燃料燃烧完成时火箭的速度为
， （7）
由（7）可知，火箭最终的速度不依赖于质量变化规律与燃料消耗的快慢无关，而是依赖于
燃料的初始质量，火箭自身的质量，以及燃料产生气体的相对速度。
（2）火箭在均匀重力场的竖直运动
假设火箭在均匀重力场中运动，不考虑阻力。将火箭看做质点，初始速度为 0，初始质量为
。燃料分离时的相对速度为 ，大小为常数，方向竖直向下。假设火箭质量随时间的
变化规律为 。
火箭受到的外力为重力，方向竖直向下，根据（3）式有，
， （8）
将（8）式积分，可得火箭的速度，
v
r v
r
v
v
r
vrdt
dm
dt
dv
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m0 v0
v0 ])(1ln[
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vrdt
dm
dt
dv
mgm
， （9）
设 t=0 时 h=0,对（9）式进行积分可得，上升高度 h 随时间的变化公式为
， （10）
因为， ，再对 （9）（10）进行计算可得，
（11）
(12)
从（11）、(12)可以看出，反作用力产生的加速度大于重力加速度，火箭才会上升。
下面分析一下燃料燃烧完事火箭的高度，设燃质量为 ，火箭质量在燃烧结束时为 ，
， 可解得 ，带入（11）、(12)可以得到在
燃料燃烧完成时，火箭的速度和高度。
， （13）
，（14）
在燃料燃烧完后，火箭还会上升一段距离，它的质量不再变化，上升的距离 。上
升的总距离
gt
tm
m
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lnv 0
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t
o
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2
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2h
tv wr
w a
g
g
vw
2
2
1h
， （15）
从（15）可知，随着 的增加，火箭上升的总高度也会增加，当 时总距离取得最大
值 （16）
火箭在主动加速段取得上升高度最大值， 需满足怎样的条件？
从（14）可得
， （17）
由（16）可知当 时，主动加速段上升的距离取得最大值
（18）
此时火箭上升的高度为
，
为 的一半。
参考文献：1、《理论力学》，刘延柱，杨海兴著，1991 年 6 月第一版，高等教育出版社；
2、《理论力学》，马尔契夫著，李俊峰译，2006 年一月第一版，高等教育出版
社；
3、《理论力学》，周衍柏著，1979 年四月第一版，高等教育出版社。
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