第三讲 二项式定理
课标要求 考情分析
1.能用多项式运算法则
和计数原理证明二项式
定理.
2.会用二项式定理解决
与二项展开式有关的简
单问题
1.本节是高考的重点，主要考查
二项展开式的通项、二项式系数、
特定项的系数、系数和问题、最
值问题、参数问题等.
2.一般以选择题和填空题的形式
出现，难度中等
1.二项式定理
2.二项式系数的性质
【名师点睛】二项展开式形式上的特点
(1)项数为 n＋1.
(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的
指数的和为 n.
(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项
减 1 直到 0；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由 0
逐项加 1 直到 n.
(4)(a＋b)n的展开式与(b＋a)n的展开式的项完全相同，
但对应的项不相同，而且两个展开式的通项不同.
题组一 走出误区
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两
项.( )
(3)(a＋b)n 的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无
关.( )
(4)(a＋b)n 某项的系数是该项中非字母因数部分，包括
符号.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√
题组二 走进教材
2.(教材改编题)(x－y)n 的二项展开式中，第 m 项的系
)数是(
答案：D
( )
022×2 023
023
答案：B
题组三 真题展现
答案：160
5.(2021年浙江)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3
＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝________；a2＋a3＋a4＝________.
答案：5 10
考点一 二项展开式中的特定项或系数
)的系数为(
A.－60
B.－240
答案：C
－160，则 a＝( )
A.－1 C.±1
答案：B
个数为( )
答案：C
答案：240
【题后反思】与二项展开式有关问题的解题策略
(1)求展开式中的特定项，可依据条件写出第 r＋1 项，
再由特定项的特点求出 r 值即可.
(2)已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得
出参数项，再由通项写出第 r＋1 项，由特定项得出 r 值，
最后求出其参数.
(3)对于三项式问题，一般是通过合并、拆分或进行因
式分解，转化成二项式定理的形式去求解.或看成几个因式
的乘积，再利用组合数公式求解.
考点二 二项式系数的和与各项的系数和问题
答案：C
[例 2]若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋
|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝( )
解析：令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得|a1|＋|a2|＋
|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511.
答案：D
【题后反思】赋值法的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于 x，y 的一切值
都成立.因此，可将 x，y 设定为一些特殊的值.在使用赋值
法时，令 x，y 等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，
－1 或 0”，有时也取其他值.如：
(1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求
其展开式的各项系数之和，只需令 x＝1 即可.
(2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系
数之和，只需令 x＝y＝1 即可.
【变式训练】
答案：A
解析：(1＋x) (1－2x)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，令
x＝0，得a0＝1；令x＝2，得a0＋a1·2＋a2·22＋…＋a9·29
＝39，所以a1·2＋a2·22＋…＋a9·29＝39－1.故选D.
2.若(1＋x)(1－2x)8＝a0＋a1x＋…＋a9x9，x∈R，则a1·
2＋a2·22＋…＋a9·29的值为( )
－1 －1
答案：D
考点三 二项式系数的性质
考向 1 二项式系数的最值问题
答案：5
考向 2 项的系数的最值问题
答案：－8 064 －15 360x4
【考法全练】
1.(考向1)在(a＋b)n的展开式中，只有第4项的二项式
系数最大，则 n＝( )
解析：在(a＋b)n 的展开式中，只有第 4 项的二项式系
数最大，则展开式共有 7 项，∴n＝6.故选 C.
答案：C
2.(考向 1)已知 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式的二项式
系数的最大值为 a，(x＋y)2m＋1 展开式的二项式系数的最大
)值为 b.若 13a＝7b，则 m＝(
答案：B
各项的系数之和为 A，各项的二项式系数之和为 B，且
A＝32B.
(1)求展开式中含有 x6 的项的系数；
(2)求展开式中系数最大的项.
⊙几个多项式的展开式问题
答案：C
【反思感悟】求解形如(a＋b)m(c＋d)n的展开式问题的
思路
(1)若m，n中有一个比较小，可考虑把它展开，如
(a＋b)2·(c＋d)n＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)n，然后分别求
解.
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5·(1－x)7
＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2.
(3)分别得到(a＋b)m，(c＋d)n的通项，综合考虑.
【高分训练】
答案：D
2.(x－y＋2)6的展开式中y4的系数为( )
C.－40
D.－60
答案：B
