决策分析
Decision Analysis
课程要求：
1、听课不用记笔记。不点名。
2、作业全部做成电子文档，用Email递交，作业记成绩，占课程成绩的30％。
3、考试闭卷。卷面成绩占课程成绩的70％ 。
教师信息：
管理学院 蒋绍忠
电子邮件：jiangsz@
办公室：玉泉校区行政楼319
办公电话：87952181
第二部分
多目标决策
基本概念
层次分析法
目标规划
第一部分
不确定型和风险型决策
不确定型决策
风险型决策
目 录
不确定型和风险型决策
决策的定义：在一定的环境中，决策者在若干可以采取的方案中决定其中的一种并加以实施，使实施的结果对预定的目标最好。
决策的要素：
决策者：
单一决策者 多个决策者（群决策）
决策环境：
确定性环境 不确定性环境 风险环境
决策目标：
单目标 多目标
决策（Decision）和对策（Game）
“决策”是具有能动性的一方——决策者和变化的，但没有能动性的另一方——决策环境之间的“较量”。决策环境是变化的，但这些变化和决策者的决策无关。
“对策”是具有能动性的一方和同样具有能动性的另一方之间的“较量”。两方都会根据对方的决策，调整自己的行为，使结果对自己有利或使对方不利。研究对策的科学称为对策论或博弈论（Game Theory）。
我国古代的“田忌赛马”就是一个对策的例子。对策最简单的例子是所谓“二人零和对策”。
乙方
4
5
3
6
1
-4
6
A1
甲方
-1
-4
-3
3
4
-2
D1
-1
5
1
C1
2
3
-3
B1
C2
B2
A2
极大－极大/极小－极小准则：双方都以自己获利最大为准则。
甲：Max{max(6,-4,1),max(-3,3,2),max(1,5,-1),max(-2,4,3)}=Max{6,3,1,4}=6
乙：Min{min(6,-3,1,-2),min(-4,3,5,4),min(1,2,-1,3)}=Min{-3,-4,-1}=-4
A1→B2→C1 →C2 →D1 →A2 →A1
不存在稳态解。
乙方
-2
-1
-3
-4
1
-4
6
A1
甲方
3
5
6
3
4
-2
D1
-1
5
1
C1
2
3
-3
B1
C2
B2
A2
极小－极大准则：双方都以自己可能遭遇的各种最坏情况下争取最好结果为准则。
甲：Max{min(6,-4,1),min(-3,3,2),min(1,5,-1),min(-2,4,3)}=Max{-4,-3,-1,-2}=-1
乙：Min{max(6,-3,1,-2),max(-4,3,5,4),max(1,2,-1,3)}=Min{6,5,3}=3
稳态解为C1-C2。
确定环境下的决策
运筹学中线性规划、非线性规划和动态规划都是确定环境下的决策方法
不确定环境下的决策
决策者面临的决策环境由一些自然状态组成，决策者可以采取若干决策方案，每一种决策方案在不同的自然状态下出现的结果是已知的，但决策者不能预先估计各种自然状态出现的概率。
不确定决策的几种准则：
悲观准则
乐观准则
等可能性准则
乐观系数准则
后悔值准则
悲观准则：最坏的情况下争取最好的结果
例1. 某工厂决定投产一种新产品。投产以后销售情况有好、中等、差三种可能，但厂家目前无法估计这三种情况出现的概率。产品的生产批量有大中小三种选择。不同的生产批量在不同的市场销售情况下企业的收益如下表：
100*
100
150
200
小批量（S3）
80
80
200
300
中批量（S2）
100
-250
-250
300
500
大批量（S1）
Max(min)
Min
需求小
N3
需求中
N2
需求大
N1
收益（万元）
按照这个准则，最优决策是小批量生产
200
100
150
200
小批量（S3）
300
80
200
300
中批量（S2）
500
500*
－250
300
500
大批量（S1）
Max(max)
Max
需求小
N3
需求中
N2
需求大
N1
收益（万元）
乐观准则：最好的情况下争取最好的结果
按照这个准则，最优决策是大批量生产
讨论：你认为悲观和乐观的决策准则在实际决策问题可行吗？有那些不足？
悲观准则和乐观准则都假定，决策环境是不确定的，而不确定的决策环境中可能出现的各种状态的可能性是不可知的或不可度量的。如果这些状态出现的可能性是可以度量的，决策问题就转变成为风险型决策。
1/3
1/3
1/3
概 率（pi）
100
150
200
小批量（S3）
*
80
200
300
中批量（S2）
－250
300
500
大批量（S1）
最大
期望值
期望值
需求小N3
需求中N2
需求大N1
收益（万元）
等可能性准则：
假设等可能性条件下，期望值最大
按照这个准则，最优决策是中批量生产
乐观系数准则：乐观系数α（ 0≤α≤1 ）
170
100
150
200
小批量（S3）
234
80
200
300
中批量（S2）
275*
－250
300
500
大批量（S1）
CVi
需求小N3
需求中N2
需求大N1
收益（万元）
对于α＝ （1－ α ）＝
最优决策为大批量生产
CV1＝(500,300,-250)+(500,300,-250)=350-75=275
CV2=(300,200,80)+(300,200,80)=210+24=234
CV3=(200,150,100)+(200,150,100)=140+30=170
对于α＝ （1－ α ）＝
150
100
150
200
小批量（S3）
190*
80
200
300
中批量（S2）
125
－250
300
500
大批量（S1）
CVi
需求小
N3
需求中
N2
需求大
N1
收益（万元）
最优决策为中批量生产
CV1＝(500,300,-250)+(500,300,-250)=250-125=125
CV2=(300,200,80)+(300,200,80)=150+40=190
CV3=(200,150,100)+(200,150,100)=100+50=150
对于α＝ （1－ α ）＝
130
100
150
200
小批量（S3）
146*
80
200
300
中批量（S2）
－25
－250
300
500
大批量（S1）
CVi
需求小
N3
需求中
N2
需求大
N1
收益（万元）
最优决策为中批量生产
CV1＝(500,300,-250)+(500,300,-250)=150-175=-25
CV2=(300,200,80)+(300,200,80)=90+56=146
CV3=(200,150,100)+(200,150,100)=60+70=130
后悔值准则：
以最大后悔值中的最小的为最优决策
100
300
500
Max(Si,Nj)
100
150
200
小批量（S3）
80
200
300
中批量（S2）
－250
300
500
大批量（S1）
需求小N3
需求中N2
需求大N1
收益（万元）
300
0
150
300
小批量（S3）
200*
20
100
200
中批量（S2）
350
350
0
0
大批量（S1）
Max(Si,Nj)
需求小N3
需求中N2
需求大N1
收益（万元）
后悔值矩阵
风险型决策
最大可能决策
100
概 率（pi）
100*
150
200
小批量（S3）
80
200
300
中批量（S2）
－250
300
500
大批量（S1）
需求小N3
需求中N2
需求大N1
收益（万元）
最大可能为需求小，按最大可能考虑，应采用小批量生产。最大可能决策用于一种状态的可能性明显大于其它状态时，如果几种状态发生的概率相差不大，则不适用。
决策者能预先估计决策环境中各种自然状态出现的概率。
期望值决策
120
126*
－65
期望值
概 率（pi）
100
150
200
小批量（S3）
80
200
300
中批量（S2）
－250
300
500
大批量（S1）
需求小N3
需求中N2
需求大N1
收益（万元）
选择期望值最大的决策为最优决策
中批量的决策为最优决策。
决策树
确定
批量
S1
S3
S2
大批量
中批量
小批量
N1(需求量大) P(N1)=
N2(需求量中) P(N1)=
N3(需求量小) P(N1)=
N1(需求量大) P(N1)=
N2(需求量中) P(N1)=
N3(需求量小) P(N1)=
N1(需求量大) P(N1)=
N2(需求量中) P(N1)=
N3(需求量小) P(N1)=
500
300
-250
300
200
80
200
150
100
决策节点
概率节点
收益
-65
126
120
126
∥
∥
多层决策树
确定
批量
S1
S3
S2
大批量
中批量
小批量
N1 P(N1)=
N2 P(N1)=
N3 P(N1)=
N1 P(N1)=
N2 P(N1)=
N3 P(N1)=
N1 P(N1)=
N2 P(N1)=
N3 P(N1)=
500
300
300
200
80
200
150
100
126
120
∥
∥
技术
改造
S4
S5
局部改造
彻底改造
成功 P=
失败 P=
成功 P=
失败 P=
500
-600
1000
-900
280
240
∥
280
完备信息的价值
如果有一个市场预测专家，他不能改变这种产品的市场销售状况的概率分布，但他能完全精确地预测这种产品的市场销售状况。这样的信息称为完备信息。这样的信息的期望收益称为完备信息的期望收益。完备信息的期望收益显然要高于不具有完备信息的期望收益。两者之差称为完备信息的价值。
确定
批量
S1
S3
S2
大批量
中批量
小批量
N1(需求量大) P(N1)=
N2(需求量中) P(N1)=
N3(需求量小) P(N1)=
N1(需求量大) P(N1)=
N2(需求量中) P(N1)=
N3(需求量小) P(N1)=
N1(需求量大) P(N1)=
N2(需求量中) P(N1)=
N3(需求量小) P(N1)=
500
300
-250
300
200
80
200
150
100
-65
126
120
126
500
300
100
完备信息的期望值为：×500＋×300＋×100＝180万元
完备信息的价值为：180－126＝54万元
S1
确定
批量
确定
批量
确定
批量
需求量大（）
需求量中（）
需求量小（）
大批量
中批量
小批量
大批量
中批量
小批量
大批量
中批量
小批量
500
300
200
300
200
150
-250
80
100
∥
∥
∥
∥
∥
∥
100
300
500
180
风险决策的效用理论
以上的风险决策方法是建立在以方案的期望值大小作为决策准则的基础上的。但在实际生活中，经常发生实际的决策行为并不遵从期望值准则的情况。
例如，对于以下几种情况，要求决策这选择其中对自己最有利的一种：
抛一枚硬币，正面朝上得1000元，反面朝上反而要付出600元
A
抛一枚硬币，正面朝上得600元，反面朝上反而要付出200元
B
直接获取200元
C
这三个方案的收益期望值都是200，但决策者对它们的偏好显然是不同的。我们用“效用（Utility）”来表示带有风险的收益对决策者的价值。
效用函数的确定
由于不同的决策者对风险的态度不同，同样的决策方案，对不同的决策者效用值是不同的。
在各种方案中，收益的最大值的效用为1，收益的最小值（损失的最大值）的效用为0。
例如在上例中，u(1000)=1，u(-600)＝0。
如果决策者认为C方案必A方案好，说明
u(200)>(1000)+(-600)=
如果将C方案中的200元降为100元，仍有
u(100)>(1000)+(-600)=
…..
u(0)>(1000)+(-600)=
…..
u(-100)<(1000)+(-600)=
…..
u(-50)<(1000)+(-600)=
…..
u(-10)=(1000)+(-600)=
x
1000
400
200
0
-400
1
600
800
-200
-600
U(x)
厌恶风险的决策者的效用函数
喜好风险的决策者的效用函数
决策者1：u(1000)=1，u(600)=，u(200)=，u(-200)=，u(-600)=0
决策者2： u(1000)=1，u(600)=，u(200)=，u(-200)=，u(-600)=0
直接获取200元
抛一枚硬币，正面朝上得600元，反面朝上反而要付出200元
抛一枚硬币，正面朝上得1000元，反面朝上反而要付出600元
A
B
C
决策者1：u(A)=×u(1000)+×u(-600)=
u(B)=×u(600)+×u(-200)= u(C)>u(B)>u(A)
u(C)=u(200)=
决策者2：u(A)=×u(1000)+×u(-600)=
u(B)=×u(600)+×u(-200)= u(A)>u(B)>u(C)
u(C)=u(200)=
决策者1：u(1000)=1，u(600)=，u(200)=，u(-200)=，u(-600)=0
决策者2： u(1000)=1，u(600)=，u(200)=，u(-200)=，u(-600)=0
应用期望效用准则的决策树方法
确定
批量
S1
S3
S2
大批量
中批量
小批量
N1(需求量大) P(N1)=
N2(需求量中) P(N1)=
N3(需求量小) P(N1)=
N1(需求量大) P(N1)=
N2(需求量中) P(N1)=
N3(需求量小) P(N1)=
N1(需求量大) P(N1)=
N2(需求量中) P(N1)=
N3(需求量小) P(N1)=
500
300
-250
300
200
80
200
150
100
-65
126
120
126
∥
∥
500
400
300
200
100
0
-100
-200
-250
1
决策者1
决策者2
效用2
效用1
－250
80
100
150
200
300
500
收益
确定
批量
S1
S3
S2
大批量
中批量
小批量
N1(需求量大) P(N1)=
N2(需求量中) P(N1)=
N3(需求量小) P(N1)=
N1(需求量大) P(N1)=
N2(需求量中) P(N1)=
N3(需求量小) P(N1)=
N1(需求量大) P(N1)=
N2(需求量中) P(N1)=
N3(需求量小) P(N1)=
500
300
-250
300
200
80
200
150
100
-65
126
120
126
0
0
期望值 决策者1的效用期望 决策者2的效用期望
收益
效用1
效用2
如果洪水强度在水坝设计标准以内，不会造成任何损失，而且只要在设计标准以内，洪水越大，蓄水、发电等效益越显著。如果洪水强度超过设计标准，不仅将危及大坝安全，还会对下游人民生命财产造成巨大损失，高程越高，损失越大。不同高程的水坝，遇到不同强度的洪水，效益和损失（千万元）如下表所示：
在一条河流上计划建造一座水电站，水坝的高程有50米，80米和100米三种方案。三种高程的水坝分别可以抵御20年一遇（即发生概率为）、50年一遇（即发生概率为）和100年一遇（发生概率为）的洪水。
损益期望值
－200
－100
－20
大于100年一遇
500
－30
－15
100年一遇
180
200
－6
50年一遇
10
15
20
20年一遇
6
7
8
小于20年一遇
100米
80米
50米
发生概率
水坝高程
洪水强度
以损益期望值为评价指标，100米高层为最优决策
7
效用
500
200
180
20
15
10
8
益损值
效用
6
-6
-15
-20
-30
-100
-200
益损值
-200 -100 0 100 200 300 400 500
7
效用
500
200
180
20
15
10
8
益损值
效用
6
-6
-15
-20
-30
-100
-200
益损值
损益期望值
大于100年一遇
100年一遇
50年一遇
20年一遇
小于20年一遇
100米
80米
50米
发生概率
水坝高程
洪水强度
以效用期望值为评价指标，50米高层为最优决策
有一个风险投资的机会，成功和失败的概率都是。投资1元，如果成功可以得到元的利润，即资本成为元。如果失败，则损失1元，即资本成为0。
开始的资本为100万元。投资的次数和每次投资额不限。为了不至于把钱输光，投资者采取如下的策略：每次总是将资本的一半去投资。
问题：这项投资的结局如何，是一本万利，还是一贫如洗？
问题1：风险决策的一个讨论题
答案1：设初始资本为a元，资本增值率K=
第一次投资a/2元
如果成功，资本为 a1=a+K（a/2）=(1+K/2)a
如果失败，资本为 a1=
第一次投资后的期望资本为：
E1=×(1+K/2)a+×=(+)a
第二次投资(+)a/2
如果成功，资本为
a2= (+)a +K (+)a/2
= (+)a(1+K/2)
如果失败，资本为
a2= (+)a/2
第二次投资后的期望资本为
E2= ×(+)a(1+K/2)＋× (+)a/2
＝ (+)(+)a= (+)2 a
依次类推，第n次投资以后的期望资本为
En= (+)n a
用K=,代入
En= ()n a
即随着投资次数的增加，期望资本会无限增大。是一项一本万利的生意。
答案2：
设投资2n次，其中成功和失败各占n次
第一次投资成功资本成为 a1=a+×a/2=
第二次投资又成功，资本 a2=+×
……..
第n次成功，资本成为 an=()na
第1次失败，资本成为 an＋1=()na
……
第n次失败，资本成为 a2n=()n()na=()na
随着投资次数的增加，资本将减少到0。投资的结果将血本无归。
讨论题：当投资次数无限增大时，投资者的资本究竟是“一本万利”还是“血本无归”？错的答案错在哪里？
例一 风险投资的计算机模拟实验
1、建立一张Excel表，模拟投资次数设定为100次。当前资本为100万元。第二次投资前的资本（B5）等于第一次投资后的资本（E4），……，依次定义每次投资前的资本为上一次投资后的资本。
2、对每一次模拟投资，设置一个在[0，1]区间均匀分布的随机变量。按功能键F9，所有随机变量会重新产生一次。
3、定义投资成功与否。如果相应的随机变量小于，投资失败（D4=0），否则投资成功（D4=1）。由于随机变量在区间[0,1]中是均匀分布的，因此投资成功河失败的次数各占一半。
4、计算投资后的资本。按F9键，刷新随机数，进行新的100次模拟投资实验。
5、用图形表示100次模拟投资实验中资本变化。按F9键，刷新随机数，可以得到新的资本变化图形。
例二 回收带有随机性的风险投资模拟实验
一项长期风险投资，初期投资100万元，分四年回收。利率r=5％。每年投资回报是随机的，服从正态分布期望值和方差如下表：
5
4
3
2
标准差（万元）
20
25
30
40
期望值（万元）
4
3
2
1
年份
求这个项目的平均净现值和内部回收率
1
2
3
4
I
R1
R2
R3
R4
投资净现值
内部回收率 IRR：使NPV=0的利率
NPV
r
IRR
随着利率r的增加，NPV随之下降，NPV降到0时的利率就是内部回收率IRR
演示
第一次作业
有一项长期投资，分三年投入，投资额是确定的，回收额是随机的，服从正态分布。投资贴现率为5％。每年需要投入的资金以及预计前五年的投资回报额的期望值和标准差如下表所示：
10
－
5
2
－
回收标准差（万元）
35
30
20
15
－
回收期望值（万元）
－
－
20
50
30
投资当年值（万元）
4
3
2
1
0
年 份
用随机模拟的方法求这个项目的平均净现值和内部回收率
存储问题
存储是一种常见的现象。无论社会经济系统、环境生态系统、生物生命系统，普遍存在存储现象。
流水生产线工位上的在制品堆栈—在制品存储
火力发电厂的燃煤堆场—原料存储
海洋、湖泊在调节大气环流中的作用—能量存储
人体内部的脂肪—能量存储
存储的作用
系统和环境中间形成缓冲，防止和减少环境变化对系统运行的影响
系统内部各部分之间形成缓冲，起到各部分之间的解耦，提高系统的可靠性和稳定性
提高存储量和存储成本，降低系统中各部件的可靠性成本和系统的运行成本
存储模型
设有一个仓库，存放某种物品。每件物品在仓库中存放一天的费用为c（元/件天），这种物品每天的需求量为dt，需求量dt可以是一个常数，也可以是随机变量。根据需求，每天从该仓库提取相应数量的物品。
期初仓库中物品的数量为Q，随着每天提货，库存量不断减少。为了不断满足需求，需要经常补充物品。每次补充物品的数量为R，补充数量R可以是一个常数，也可以是一个变数。每补充一次物品的费用为cs是一个常数，与补充物品的数量无关。每两次补充之间的时间间隔为T，补充时间间隔可以是常数，也可以是变数。假定一次补充需要的时间很短，可以忽略不计。
当库存量减少到0，如果还不补充，需求就不能满足，这样就形成缺货。缺货可以用负的库存表示。下一次补充时，已形成的缺货可以补给，也可以不给。缺货会造成缺货损失，一件缺货每天的损失为s，一般情况下，缺货损失要比正常库存费用大。
该存储系统的总费用由库存费用、补充费用和缺货损失三部分组成。
存储模型的分类
按需求类型分
确定性需求
随机性需求
按补充周期分
定期补充：补充周期为t
不定期补充：设立最低库存L(Low)，实际库存等于或低于最低库存，立即补充
按补充数量分
定值补充：无论补充时库存量还有多少，每次补充到一个库存的最高值H(High)
等值补充：无论补充时库存量还有多少，每次补充一个设定值R(Refreshment)
t
定期等值补充（不允许缺货）
T
T
T
R
R
t
定期等值补充（允许缺货）
T
T
T
R
R
t
定期定值补充（允许缺货）
T
T
T
H
H
t
T
T
T
定期定值补充（不允许缺货）
H
t
不定期定值补充（不允许缺货）
L
t
不定期定值补充（允许缺货）
H
L
不定期等值补充（不允许缺货）
t
R
L
R
t
不定期等值补充（允许缺货）
R
L
R
确定性库存模型
确定性库存模型的基本假设：
每天的需求量是一个常数d，每件物品每天的存储费用为c
不允许缺货，存储量降到0，立即补充。补充瞬时完成。
每次补充数量相等为Q。每次补充费用为Cs，两次补充的时间间隔相等设为T。
Q
T
Q
T
Q=Td
[0，T]内平均存储量＝
[0，T]内存储费用=
[0，T]内总费用：
[0，T]内平均费用：
补充周期T变化，使平均费用最小，即
最优补充周期：
最优补充批量（经济批量）：
存储问题经济批量的模拟模型
（见“库存补充策略”）
第二次作业：用Excel建立库存随机模拟模型
1、建立确定性存储模型，其中补充批量Q=200，库存费用c=5元/件天，补充费用Cs＝20元/次，需求量d=10件/天，不允许缺货，存储量为0时立即将存储量补充到Q。用模拟方法求使总费用最小的经济批量。
2、建立随机性存储模型，库存费用c=5元/件天，补充费用Cs＝20元/次，需求量d服从正态分布，期望值为10元/天，标准差为2件/天，不允许缺货，存储量为0时立即补充到Q＝200件。用模拟方法求使总费用最小的经济批量Q。模拟时间为50天。
3、建立随机性存储模型，库存费用c=5元/件天，补充费用Cs＝20元/次，需求量d服从正态分布，期望值为10元/天，标准差为2件/天，不允许缺货，存储量小于或等于10件时立即补充Q＝100件。用模拟方法求使总费用最小的经济批量Q。模拟时间为50天。
多目标决策
多目标决策的基本概念
设决策方案X的集合为，每一个决策X∈ 都有K个目标值全为极小化目标，记为
min{f1(X)，f2(X)，……，fk(X)}
如果有两个决策X1、X2，第一个决策的K个目标都小于第二个决策相应的K个目标，即
f1(X1) < f1(X2)，f2(X1) < f2(X2)，…，fk(X1) < fk(X2)
则称决策X1（绝对）优于决策X2， X2称为劣解。
如果以上不等式中至少有一个是等号，则称决策X1不劣于决策X2。
Pareto最优
决策X*∈ ，它的K个目标值为
f1(X*) ，f2(X*)， ……，fk(X*)
如果对于任意X ∈ 都至少有一个目标i，满足
fi(X)>fi(X*)
则称X*为一个Pareto解（也称为非劣解、有效解）
如果有一个以上的Pareto解，这些Pareto解组成的集合称为Pareto集。
f1(X)
f2(X)
f(x)
x
Pareto 集
x1
x2
x4
x5
x3
图中x1、x5为劣解，x2、x3、x4为Pareto解
劣解
劣解
Pareto解集的图解
max z1=3x1+2x2
max z2=-x1+2x2
. x1+ x2 ≤6
2x1+ x2 ≤10
x1+2x2 ≤10
x1，x2≥0
目标函数线性加权：
z=1z1+ 2z2
0≤1 ,2≤1
1+ 2＝1
由图解可以看出，最优解必定是一个Pareto解。
6
5
4
3
2
1
0123456
z2
z1
1z1+ 2z2
多目标线性规划
f1(x)
f2(x)
非劣解集
Pareto 集
多目标线性规划的Pareto解集
劣解
多目标决策的方法
一、多目标转化为单目标
1、评价函数法
F(X)=U{f1(X)，f2(X)，…，fK(X)}
将多目标转化为单目标
线性加权法
F(X)=1f1(X)+ 2f2(X)+ ……+ KfK(X)
其中0≤1， 2，… ，K≤1，称为目标权重。
例1：住房选择（决策空间是离散的）
三层
乙
东
4000
150
住房C
七层
甲
西
5500
180
住房B
四层
丙
南
4800
200
住房A
楼层
地段
朝向
单价（元/m2）
面积（m2）
确定各目标最理想和最不理想的值，将各目标进行归一化处理最理想的值为1，最不理想的值为0，将各决策方案的实际目标值转化为0～1之间的值。
C
B
A
C
B
A
归一化
一层 ()
丁 ()
北 ()
6000 ()
75 ()
最差
三层 ()
甲 ()
南 ()
3000 ()
200 ()
最好
三层
乙
东
4000
150
七层
甲
西
5500
180
四层
丙
南
4800
200
实际指标
楼层
地段
朝向
单价（元/m2）
面积（m2）
确定各目标的权重
四层
丙
南
4800
200
住房A
七层
甲
西
5500
180
住房B
三层
乙
东
4000
150
住房C
*
评价值
目标权重
住房C
住房B
住房A
楼层
地段
朝向
单价（元/m2）
面积（m2）
根据评价值，选择住房C是最优决策。线性加权法的缺点是各目标的权重完全由主观确定，而权重的选取对决策结果起着十分关键的作用。
设目标重要性由大到小依次为：单价—面积—朝向—地段—楼层确定目标权重1 +2 + 3 + 4 + 5=1，1 > 1 >2> 3> 4> 5>0计算各方案的评价指标F(X)= 4fi(X)，评价指标最高的为最优决策
线性加权法的优点
方便直观，简单易行
可以利用丰富的单目标决策方法和软件
缺点
权重的确定完全靠决策者主观判断
对不同量纲的目标，合成以后的目标实际意义不明
层次分析法 AHP，Analysis of Hierarchy Process
层次分析法是由T. L. Saaty提出的一种确定多目标决策中各目标的权重的方法，不仅在多目标决策中有重要作用，在管理以外的其它学科也有许多应用。
在多目标决策中，各目标的权重对分析结果具有重要影响，但权重的确定比较困难。层次分析法的基础是目标的分层和对同一层次的各目标的重要性进行两两比较，使确定各目标的权重的任务具有可操作性。
矩阵的特征向量和特征根
层次分析法的原理
单层次模型
多层次模型
矩阵的特征向量和特征根
设A是n×n非奇异的矩阵，如果存在一个实数0和一个n×1的非零向量V，满足
AV= V
则称V为矩阵A的特征向量， 为矩阵A的一个特征根。
例如 有两个特征向量和相应的特征根
矩阵特征根的计算
由线性代数可知，方程组 AV= V 即 (A- I)V=0有非零解的条件是系数行列式 | A- I |=0。其中 I 为单位矩阵。
例如
展开行列式
(-4- )(3- )+10=0，2＋ －2＝0
求解二次方程，得到矩阵的特征根
1＝1， 2＝－2
对于高阶矩阵，用行列式计算特征根需要求解高次方程，计算比较复杂，可以采用叠代法。
判断矩阵特征向量和特征根的叠代算法
任取一个初始n×1向量
计算
已经收敛。因此判断矩阵的特征向量
并且max=1
特征向量为
问题2：是否可以编制一个用叠代法计算矩阵特征向量和特征根的小程序？
求判断矩阵特征向量和特征根（近似值）的“和法”
将每一列相加，得到：
特征向量为
归一化
问题3：求矩阵特征根还有一个近似的方法称为“幂法”，自己查阅文献学会这种方法。
层次分析法原理
设n个物体，重量分别为w1，w2，…，wn，总总量
将w1，w2，…，wn 归一化，即令
归一化以后的重量满足
如果已知这n个物体总量两两比较的值，能否求出它们（归一化）的重量？
设n个物体重量的两两比较判断矩阵如下
例如，四个物体的重量为 w1=2，w2=1，w3=3，w4=4（公斤）
它们的总重量W=10公斤，归一化的重量为
四个物体两两比较的判断矩阵为
这个矩阵具有以下特点：
1、对角线上的元素aii=1 （i=1,2,…,n）
2、以对角线对称的元素互为倒数 aij=1/aji （i,j=1,2,…,n）
3、各物体之间的相对重量比值是一致的 aij=aik/ajk （ i,j=1,2,…,n）
4、n个物体归一化的重量组成的向量是判断矩阵的一个特征向量，对应的最大特征根max=n。
因此，只要给出判断矩阵，就可以求出n个物体的归一化重量。
同样，在多目标决策中，如果能给出各目标重要性两两比较的判断矩阵，就可以求出这些目标（归一化）的相对重要性。
设目标C由n个元素A1，A2，…，An组成，对这n个元素相对于目标C的重要性作两两比较，构成以下判断矩阵：
其中aij=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9以及1/2，1/3，1/4，1/5，1/6，1/7，1/8，1/9。这些数字的含义为：
ann
…
an2
an1
An
…
…
…
…
…
a2n
…
a22
a21
A2
a1n
…
a12
a11
A1
An
…
A2
A1
C
元素 i 比元素 j 绝对重要
9
元素 i 比元素 j 强烈重要
7
元素 i 比元素 j 明显重要
5
元素 i 比元素 j 稍微重要
3
元素 i 和元素 j 同等重要
1
含义
aij
与物体的重量之比不同，目标的重要性判断矩阵可能是不一致的。即可能出现A1比A2重要，A2比A3重要，A3又比A1重要这样的判断。如果不一致性在一定的范围以内，判断矩阵还是有效的，不一致性超出一定的范围，判断矩阵的有效性就有问题。
线性代数可以证明，判断矩阵的不一致性可以由矩阵的最大特征根max表示，当判断矩阵完全一致时， max＝n，不完全一致时， max>n， max越大说明不一致性越严重。
单层次分析法的步骤：
构造组成目标各元素的重要性两两比较判断矩阵；
求解判断矩阵的最大特征根max和相应的特征向量 ；
判断矩阵的一致性检验。如果通过一致性检验，得到的特征向量就是各元素的权重。
一致性检验的步骤如下：
计算一致性指标.
计算平均随机一致性指标. 这个指标是随机产生的不同维数的判断矩阵的特征根的平均值
计算一致性比例
当.<时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的。
10
9
.
15
14
13
12
11
n
0
0
.
8
7
6
5
4
3
2
1
n
理想的住房
A
单价
C1
面积
C2
楼层
C3
地段
C4
朝向
C5
舒适
B2
经济
B1
便利
B3
建立目标的层次结构
1
1/3
1/7
便利
B3
3
1
1/3
舒适
B2
7
3
1
经济
B1
便利
B3
舒适
B2
经济
B1
对目标A
单层分析：层次B对目标A的两两判断矩阵
理想的住房
A
舒适
B2
经济
B1
便利
B3
计算B-A判断矩阵的特征向量和特征根
一致性检验
层次C对目标B1的两两判断矩阵
经济
B1
单价
C1
面积
C2
楼层
C3
地段
C4
朝向
C5
1
1/9
1/3
1/7
1/7
朝向
9
1
5
1
1
地段
3
1/5
1
1/5
1/5
楼层
7
1
5
1
1
面积
7
1
5
1
1
单价
朝向
地段
楼层
面积
单价
经济
max=
.=
.=
.=<
层次C对目标B2的两两判断矩阵
舒适
B2
单价
C1
面积
C2
楼层
C3
地段
C4
朝向
C5
1
1/5
1/5
1/5
3
朝向
5
1
3
1
5
地段
5
1/3
1
1/5
3
楼层
5
1
5
1
7
面积
1/3
1/5
1/3
1/7
1
单价
朝向
地段
楼层
面积
单价
舒适
max=
.=
.=
.=>
层次C对目标B3的两两判断矩阵
便利
B3
单价
C1
面积
C2
楼层
C3
地段
C4
朝向
C5
1
1/7
1/3
1
1
朝向
7
1
5
7
7
地段
3
1/5
1
3
3
楼层
1
1/7
1/3
1
1
面积
1
1/7
1/3
1
1
单价
朝向
地段
楼层
面积
单价
便利
max=
.=
.=
.=<
理想的住房
A
舒适
B2
经济
B1
便利
B3
单价
C1
面积
C2
楼层
C3
地段
C4
朝向
C5
….
….
…..
得到分层次的权重
朝向 (C5)
地段 (C4)
楼层 (C3)
面积 (C2)
单价 (C1)
五
一
四
二
三
权重
排序
C
对
B
的权重
C对A的
总权重
便利 (B3)
舒适 (B2)
经济 (B1)
B对A
的权重
计算各基层因素对总目标的权重
总评分
楼房C
楼房B
楼房A
朝向C5
地段C4
楼层C3
面积C2
单价C1
总权重
项目
计算各决策方案的评分
案例1：自行车的功能价值分析
1个
后架
P
1副
后轴及飞轮
H
价格
1个
1副
1副
1个
1条
1套
1个
数量
座凳
挡泥板
车闸
链罩
链条
踏脚及牙盘
中轴
名称
O
N
M
L
K
J
I
编号
1副
后轮内外胎
D
1副
前轮圈及辐条
A
1个
1副
1个
1副
1副
数量
前轴
G
车把及前叉
F
车身
E
前轮内外胎
C
后轮圈及辐条
B
价格
名称
编号
自行车的部件名称、成本如下表所示：
自行车的功能
行进
其他（舒适、方便等）
载重
前轮圈及辐条
后轮圈及辐条
…
…
座凳
后架
自行车部件的功能层次结构
用层次分析方法确定各部件的功能权重，与各部件的价格权重比较，部件的功能权重和价格权重是否匹配。根据两个权重匹配的情况，提出改进的意见。
第三次作业：自行确定一个产品，建立它的功能层次结构模型，列出它的零部件结构和零部件成本比重，运用层次分析方法确定各零部件的功能权重，进行功能成本分析。
目标规划（Goal Programming）
线性规划是一种应用非常广泛的优化模型，但它也有以下明显的缺点：
1、只能求解单目标问题；
2、把约束条件和目标函数作为完全不同的概念来处理，而在实际问题中，目标函数和约束条件往往是可以互换的，并没有严格的区别。
3、约束条件是刚性的，即可行解必须在可行域中。在一些实际问题中，约束条件是可以突破的，约束条件的右边常数并不是变量上限或下限，而是一个希望能够最接近的目标。
4、如果约束条件互不相容，则线性规划无可行解。
针对线性规划的以上缺陷， A. Charnes和W. Cooper提出了目标规划（Goal Programming），这是一种求解多目标线性规划的方法。
目标规划分为无优先级的目标规划和有优先级的目标规划。
目标规划的图解
设线性规划问题为
max z=2x1+3x2
. x1- x2 ≤1
x1+x2 ≥2
x2 ≤3
x1，x2 ≥0
由图解可知，线性规划的最优解为：
x1=4，x2=3 max z=17
01234
3
2
1
-1
min z=n1+p1+n2+p2+n3+p3+n4+p4
. 2x1+3x2+n1-p1 =12 (1)
x1- x2 +n2-p2 = 1 (2)
x1+ x2 +n3-p3 = 2 (3)
x2 +n4-p4 = 3 (4)
x1, x2, n1, p1，n2, p2, n3, p3, n4, p4 ≥0
相应的目标规划问题为
其中p1、p2、p3、p4称为正偏差变量，n1、n2、n3、n4称为负偏差变量。
一般形式表示为：
01234
4
3
2
1
-1
p3=3
n4=1
2x1+3x2=12 (1)
x2=3 (4)
x1-x2=1 (2)
x1+x2=2 (3)
n1=4
n2=2
p3=1
n4=1
用LINDO求解以上问题，得到目标规划的最优解为：
min z=4，x1=3，x2=2
p1=0, p2=0, p3=3, p4=0
n1=0, n2=0, n3=0, n4=1
min z=n1+p1+n2+p2+n3+p3+n4+p4
. 2x1+3x2+n1-p1 =12 (1)
x1- x2 +n2-p2 = 1 (2)
x1+ x2 +n3-p3= 2 (3)
x2+n4 -p4 = 3 (4)
x1, x2, ni, pi ≥0
总产量不低于18吨
销售总额不低于100万元
排放污染总量不超过26m3
耗用原料总量不超过38吨
总利润最大化
条件
1
1
1
总产量（吨）
20
10
30
销售价格（万元/吨）
3
1
2
排放污染（m3/吨）
5
2
4
耗用原料（吨/吨）
1
4
9
利润（万元/吨）
产品C
产品B
产品A
如果以利润为目标函数，线性规划模型为：
max z=9x1+4x2+x3
. 4x1+ 2x2+ 5x3≤ 38 （1）原料总量约束
2x1+ x2+ 3x3≤ 26 （2）排放污染约束
30x1+10x2+20x3≥100 （3）销售总额约束
x1+ x2+ x3≥ 18 （4）总产量约束
x1, x2, x3 ≥0
n5
n4
n3
n2
n1
负偏差
变量
p5
p4
p3
p2
p1
正偏差
变量
18
100
26
38
77
目标的理想值
1
1
1
总产量（吨）
20
10
30
销售价格（万元/吨）
3
1
2
排放污染（m3/吨）
5
2
4
耗用原料（吨/吨）
1
4
9
利润（万元/吨）
产品C
产品B
产品A
目 标
如果将利润、耗用原料等五个因素作为目标，确定各目标的理想值以及偏差变量如下：
如果目标大于理想值，正偏差变量大于0，小于理想值，负偏差变量大于0。因此，对第i个目标，有
如果各目标无优先级，要使所有的目标总偏差最小，即
目标规划的模型为：
对于每一个目标，正偏差变量和负偏差变量在系数矩阵中的列向量是两个相同的单位向量，是线性相关的，不可能同时出现在基矩阵中，因此，以上问题的任何一个基础可行解，同一个目标的正负偏差变量，不可能两个同时大于0。这一结果的实际意义也是很清楚的：任何一个目标，不可能既大于理想值，又小于理想值。
总产量（吨）
销售价格（万元）
排放污染（m3）
耗用原料（吨）
利润（万元）
ni
pi
RHS
0
10
0
产量（吨）
8
0
16
18
37
负偏差
变量
0
0
0
0
0
正偏差
变量
18
100
26
38
77
目标的
理想值
10
100
10
30
40
达 到 的 目 标 值
产品C
产品B
产品A
用单纯形法，得到目标规划的最优解、各目标的值以及偏差变量的值
最优解
目标值
偏差变量
目标规划的特点
可以求解多目标问题。克服了线性规划只能求解单目标的缺点。
用目标（Goal）的概念取代了线性规划中的“约束条件”，用偏离各目标的总偏差最小取代了线性规划中的目标函数，消除了线性规划中目标函数和约束条件的对立。
各目标值既可以正偏差，也可以负偏差，克服了线性规划约束条件的刚性。
目标规划总是有可行解的。克服了线性规划无解的问题。
目标有优先级的目标规划
在上面的例子中，利润、耗用原料、排放污染、销售额、总产量等五个目标是一视同仁的，最优解是使偏离五个目标的总偏差之和最小。在实际问题中，这些目标往往是有轻重缓急的。
总产量（吨）
销售价格（万元）
排放污染（m3）
耗用原料（吨）
利润（万元）
ni
pi
RHS
0
10
0
产量（吨）
8
0
16
18
37
负偏差
变量
0
0
0
0
0
正偏差
变量
18
100
26
38
77
目标的
理想值
10
100
10
30
40
达 到 的 目 标 值
产品C
产品B
产品A
确定五个目标的优先级Pi（Pi=1，2，3，4，5），数字越小优先级越高
4
2
3
5
1
优先级
Pi
n5
n4
n3
n2
n1
负偏差
变量
p5
p4
p3
p2
p1
正偏差
变量
18
100
26
38
77
目标的
理想值
1
1
1
总产量（吨）
20
10
30
销售价格（万元/吨）
3
1
2
排放污染（m3/吨）
5
2
4
耗用原料（吨/吨）
1
4
9
利润（万元/吨）
产品
C
产品
B
产品
A
目 标
目标有优先级的目标规划解法有：
加权法
字典序法
10
1000
100
1
10000
权重
4
2
3
5
1
优先级
n5
n4
n3
n2
n1
负偏差
p5
p4
p3
p2
p1
正偏差
18
100
26
38
77
理想值
1
1
1
总产量（吨）
20
10
30
销售价格（万元/吨）
3
1
2
排放污染（m3/吨）
5
2
4
耗用原料（吨/吨）
1
4
9
利润（万元/吨）
产品C
产品B
产品A
目 标
目标具有优先级的目标规划解法——加权法
总产量（吨）
销售价格（万元）
排放污染（m3）
耗用原料（吨）
利润（万元）
ni
pi
RHS
0
10
0
产量（吨）
8
0
16
18
37
负偏差
0
0
0
0
0
正偏差
18
100
26
38
77
理想值
10
100
10
30
40
无 优 先 级
产品C
产品B
产品A
4
5
3
2
1
总产量（吨）
销售价格（万元）
排放污染（m3）
耗用原料（吨）
利润（万元）
ni
pi
RHS
0
1
产量（吨）
0
0
0
0
负偏差
0
0
0
正偏差
18
100
26
38
77
理想值
38
77
有 优 先 级
产品C
产品B
产品A
目标具有优先级的目标规划解法—字典序优化（Lexico-optimization）
字典序法的原则是：
首先不顾其它目标，对优先级最高的目标进行优化，得到使第一级目标最优的决策变量的值以及第一级目标函数的值；
然后在不使第一级目标变差的前提下，优化第二级目标；
用同样的原则，按优先级从高到低，依次优化各级目标，直至所有目标都优化完毕。
min{(n1+p1)，(n2+p2)，(n3+p3)，(n4+p4)}
. 2x1+2x2+n1-p1 =20 优先级1
x1+ x2 +n2-p2 =20 优先级2
x1 +n3-p3 = 5 优先级3
x2 +n4-p4= 3 优先级4
x1，x2，n1，n2，n3，n4，p1，p2，p3，p4≥0
字典序优化的图解法
min{(n1+p1),(n2+p2),(n3+p3),(n4+p4)}
. 2x1+2x2+n1-p1 =16 (1)
x1+ x2 +n2-p2 =4 (2)
x1 +n3-p3 = 2 (3)
x2 +n4-p4= 3 (4)
x1，x2，ni，pi≥0
02468
8
6
4
2
x1
x2
2x1+2x2=16
x1+x2=4
x1=2
x2=3
p1
n1
p2
n2
p3
n3
p4
n4
第一优先级最优解
第二优先级最优解
第三优先级最优解
第四优先级最优解
min{(n1+p1),(n2+p2),(n3+p3),(n4+p4)}
. 2x1+2x2+n1-p1 =16 优先级P1
x1+ x2 +n2-p2 =4 优先级P2
x1 +n3-p3 = 2 优先级P3
x2 +n4-p4= 3 优先级P4
x1，x2，ni，pi≥0
具有目标优先级的目标规划单纯形表
3
2
4
16
0
0
0
0
RHS
-1
1
1
0
n4
-1
1
0
1
n3
-1
1
1
1
n2
-1
1
2
2
n1
-1
-1
P4
-1
-1
P3
-1
-1
P2
-1
-1
P1
p4
n4
p3
n3
p2
n2
p1
n1
x2
x1
3
2
4
16
3
2
4
16
RHS
-1
1
1
0
n4
-1
1
0
[1]
n3
-1
1
1
1
n2
-1
1
2
2
n1
-2
0
1
0
P4
-2
0
0
1
P3
-2
0
1
1
P2
-2
0
2
2
P1
p4
n4
p3
n3
p2
n2
p1
n1
x2
x1
消去基变量n1，n2，n3，n4在目标函数中的系数
对第一优先级目标P1优化。x1进基，n3离基，1为主元。消去主元所在列的其它元素
3
2
2
12
3
0
2
12
RHS
-1
1
1
0
n4
-1
1
0
1
x1
1
-1
-1
1
[1]
0
n2
2
-2
-1
1
2
0
n1
-2
0
1
0
P4
-1
-1
0
0
P3
1
-1
-2
0
1
0
P2
2
-2
-2
0
2
0
P1
p4
n4
p3
n3
p2
n2
p1
n1
x2
x1
第一优先级目标P1未达到最优解。x2进基，n2离基，1为主元。消去主元所在列的其它元素
1
2
2
8
1
0
0
8
RHS
-1
1
-1
1
[1]
-1
0
0
n4
-1
1
0
1
x1
1
-1
-1
1
1
0
x2
0
0
2
-2
-1
1
0
0
n1
-2
0
-1
1
1
-1
0
0
P4
-1
-1
0
0
P3
0
0
-1
-1
0
0
P2
0
0
2
-2
-2
0
0
0
P1
p4
n4
p3
n3
p2
n2
p1
n1
x2
x1
第一优先级目标P1未达到最优解。p2进基，n4离基，1为主元。消去主元所在列的其它元素
1
2
3
6
0
0
1
6
RHS
-1
1
-1
1
1
-1
0
0
p2
-1
1
0
1
x1
-1
1
0
0
0
2
1
0
x2
2
-2
[2]
-2
0
0
-1
1
0
0
n1
-1
-1
0
0
0
0
0
0
P4
-1
-1
0
0
P3
-1
1
-1
1
0
-2
0
0
P2
2
-2
2
-2
0
0
-2
0
0
0
P1
p4
n4
p3
n3
p2
n2
p1
n1
x2
x1
第一优先级目标P1未达到最优解。p3进基，n1离基，2为主元。消去主元所在列的其它元素
4
5
3
3
0
3
4
0
RHS
0
0
0
0
1
-1
-1/2
1/2
0
0
p2
1
-1
0
0
-1/2
1/2
0
1
x1
-1
1
0
0
0
2
1
0
x2
1
-1
1
-1
0
0
-1/2
1/2
0
0
p3
-1
-1
0
0
0
0
0
0
P4
1
-1
0
-2
1/2
-1/2
0
0
P3
0
0
0
0
0
-2
-1/2
1/2
0
0
P2
0
0
0
0
0
0
-1
-1
0
0
P1
p4
n4
p3
n3
p2
n2
p1
n1
x2
x1
第一级目标P1已达到最优解。
对第二级目标优化。n1进基可以减小P2的值，但由于n1在P1中的检验数为负数，n1进基将使P1增加，n1不进基。第二级优化终止。
4
5
3
3
0
3
4
0
RHS
0
0
0
0
1
-1
-1/2
1/2
0
0
p2
1
-1
0
0
-1/2
1/2
0
1
x1
-1
1
0
0
0
2
1
0
x2
[1]
-1
1
-1
0
0
-1/2
1/2
0
0
p3
-1
-1
0
0
0
0
0
0
P4
1
-1
0
-2
1/2
-1/2
0
0
P3
0
0
0
0
0
-2
-1/2
1/2
0
0
P2
0
0
0
0
0
0
-1
-1
0
0
P1
p4
n4
p3
n3
p2
n2
p1
n1
x2
x1
对第三级目标优化，p4进基可以减小P3的值，同时不影响P1和P2的值。p4进基，p3离基。
4
2
6
3
3
0
4
0
RHS
0
0
0
0
1
-1
-1/2
1/2
0
0
p2
0
0
-1/2
1/2
0
0
0
1
x1
0
0
1
-1
0
2
-1/2
1/2
1
0
x2
[1]
-1
1
-1
0
0
-1/2
1/2
0
0
p3
0
0
1/2
-1/2
0
0
-1/2
1/2
0
0
P4
0
0
-2
-1
0
0
0
0
P3
0
0
0
0
0
-2
-1/2
1/2
0
0
P2
0
0
0
0
0
0
-1
-1
0
0
P1
p4
n4
p3
n3
p2
n2
p1
n1
x2
x1
第三级目标P1已达到最优解。
对第四级目标优化，n1进基可以减小P4的值，但会使P1增加。p3进基可以减小P4的值，但会使P3增加。因此已达到全局最优解。
最优解为（x1，x2，p2，p3）=（2，6，4，3），其余偏差变量为0。
目标P1、P3达到理想值，P2正偏离理想值4，P4正偏离理想值3。
02468
8
6
4
2
x1
x2
p1
n1
p2
n2
p3
n3
p4
n4
叠代过程如下：
P1优化过程： x1进基，n3离基
x2进基，n2离基
p3进基，n1离基
P2无法进一步优化
P3优化过程： p4进基，p3离基
P4无法进一步优化
p2进基，n4离基
得到最优解
（x1, x2, p2, p3）=（2, 6, 4, 3）
P1已获得最优解
LINDO中的目标规划命令——GLEX 和 Preemptive Goal
打开命令窗口（Command Windows）
在LINDO命令符“：”下输入“HELP GLEX”
或打开命令窗口（Command Windows）
利用LINDO的帮助/索引
使用LINDO的帮助
目标规划的帮助文本
The GLEX command for Lexico-optimization allows the user to specify an ordered list of objectives. GLEX begins by optimizing the first objective. Given the optimal value for the first objective, it then optimizes the second objective subject to the first objective being equal to its optimal value. Given the optimal values for the first and second objectives, it then optimizes the third objective, etc.
4
2
3
5
1
优先级
Pi
n5
n4
n3
n2
n1
负偏差
变量
p5
p4
p3
p2
p1
正偏差
变量
18
100
26
38
77
目标的
理想值
1
1
1
总产量（吨）
20
10
30
销售价格（万元/吨）
3
1
2
排放污染（m3/吨）
5
2
4
耗用原料（吨/吨）
1
4
9
利润（万元/吨）
产品
C
产品
B
产品
A
目 标
用LINDO求解具有优先级的目标规划
输入目标规划模型，注意：优先级高的目标要放在前面
利用Solve菜单求解目标规划模型
得到各目标的最优值
用Report菜单显示目标规划的最优解（必须先求解）
选择变量值的显示方式
显示已获得的目标规划最优解
第四优先级
第二优先级
第三优先级
第五优先级
第一优先级
产量
总产量（吨）
销售价格（万元）
排放污染（m3）
耗用原料（吨）
利润（万元）
ni
pi
RHS
0
0
负偏差
变量
正偏差
变量
18
100
26
38
77
目标的
理想值
产品C
产品B
产品A
最优解为
