贮 存 论
存储问题的提出
为了解决供应(生产)与需求(消费)之间的不协调，这种不协调性一般表现为供应量与需求量和供应时期与需求时期的不一致性上，出现供不应求或供过于求。人们在供应与需求这两环节之间加入储存这一环节，就能起到缓解供应与需求之间的不协调，以此为研究对象，利用运筹学的方法去解决最合理、最经济地储存问题。
专门研究这类有关存储问题的科学，构成运筹学的一个分支，叫作存储论。
存储论的基本概念
(1) 存储费: 包括货物占用资金应付的利息以及使用仓库、保管货物、货物损坏变质等支出的费用。
(2) 订货费: 包括两项费用，一项是订购费用。订购费与订货次数有关，而与订货数量无关。另一项是可变费用，它与订货数量及货物本身价格，运费等有关。
(3)生产费: 补充存储时所需费用，一项是固定费用，另一项是与生产产品的数量有关的费用
(4) 缺货费: 当存储供不应求时所引起的损失。如失去销售机会的损失、停工待料的损失以及不能履行合同而缴纳罚款等。
存储策略
决定何时补充，补充多少数量的办法称之为存储策略，常见的策略有三种类型。
(1) t0-循环策略，每隔t0时间补充存储量Q。
(2) (s, S)策略，每当存储量x＞s时不补充。当x≤s时补充存储。补充量Q=S-x(即将存储量补充到S)。
(3) (t, s, S)混合策略，每经过t时间检查存储量x，当x＞s时不补充。当x≤s时，补充存储量使之达到S。
一个好的存储策略，既可以使总费用最小，又可避免因缺货影响生产(或对顾客失去信用)
存贮模型
问 题
配件厂为装配线生产若干种产品，轮换产品时因更换设
备要付生产准备费，产量大于需求时要付贮存费。该厂
生产能力非常大，即所需数量可在很短时间内产出。
已知某产品日需求量100件，生产准备费5000元，贮存费
每日每件1元。试安排该产品的生产计划，即多少天生产
一次（生产周期），每次产量多少，使总费用最小。
要
求
不只是回答问题，而且要建立生产周期、产量与
需求量、准备费、贮存费之间的关系。
问题分析
每天生产一次，每次100件，无贮存费，准备费5000元。
日需求100件，准备费5000元，贮存费每日每件1元。
10天生产一次，每次1000件，贮存费900+800+…+100 =4500元，准备费5000元，总计9500元。
50天生产一次，每次5000件，贮存费4900+4800+…+100 =122500元，准备费5000元，总计127500元。
平均每天费用950元
平均每天费用2550元
问题：10天生产一次平均每天费用最小吗?
每天费用5000元
这是一个优化问题，关键在建立目标函数。
显然不能用一个周期的总费用作为目标函数
目标函数——每天总费用的平均值
周期短，产量小
周期长，产量大
贮存费少，准备费多
准备费少，贮存费多
存在最佳的周期和产量，使总费用最小
如何总结模型，使得该问题具有一般性呢？
不允许缺货模型
允许缺货模型
随机存贮策略
不允许缺货模型
自然的假设
(1) 缺货费用无穷大；
(2) 当存储降至零时，可以立即得到补充(即备货时间或拖后时间很短，可以近似地看作零)；
(3) 需求是连续的、均匀的，设需求速度为常数，则t时间长度的需求量是需求速度与时间的乘积；
(4) 每次订货量不变，订购费不变 ；
(5) 单位存储费不变。
模 型 假 设
1. 产品每天的需求量为常数 r；
2. 每次生产准备费为 c1, 每天每件产品贮存费为 c2；
3. T天生产一次（周期）, 每次生产Q件，当贮存量
为零时，Q件产品立即到来（生产时间不计）；
目 的
设 r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天总费用的平均值最小。
4. 为方便起见，时间和产量都作为连续量处理。
模 型 建 立
0
t
q
贮存量表示为时间的函数 q(t)
T
Q
r
t=0生产Q件，q(0)=Q, q(t)以
需求速率r递减，q(T)=0.
一周期
总费用
每天总费用平均
值（目标函数）
一周期贮存费为
A=QT/2
模型求解
求 T 使
模型分析
模型应用
c1=5000, c2=1，r=100
T=10(天), Q=1000(件), C=1000(元)
回答问题
经济批量订货公式（EOQ公式）
每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 ，
用于订货、供应、存贮情形
不允许缺货的存贮模型
问：为什么不考虑生产费用？在什么条件下才不考虑？
T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当贮存量降到
零时，Q件立即到货。
某轧钢厂每月按计划需产角钢3000吨，每吨每月需存储费元，每次生产需调整机器设备等共需准备费25000元。
按公式计算每次生产批量是多少？
两次生产相隔的时间 多长？
17天的单位存储费 多少？
共需费用 多少？
按全年生产多少次？
全年共需费用 多少？
允许缺货模型
允许缺货，并把缺货损失定量化来加以研究。
由于允许缺货，所以企业可以在存储降至零后，还可以再等一段时间然后订货。这就意味着企业可以少付几次订货的固定费用，少支付一些存储费用。一般地说当顾客遇到缺货时不受损失，或损失很小，而企业除支付少量的缺货费外也无其他损失，这时发生缺货现象可能对企业是有利的。
假设条件除允许缺货外，其余条件皆与不允许缺货模型一相同。
允许缺货的存贮模型
A
B
0
q
Q
r
T1
t
当贮存量降到零时仍有需求r, 出现缺货，造成损失
原模型假设：贮存量降到零时Q件立即生产出来(或立即到货)
现假设：允许缺货, 每天每件缺货损失费 c3 , 缺货需补足
T
一周期贮存费
一周期缺货费
周期T, t=T1贮存量降到零
一周期总费用
每天总费用
平均值
（目标函数）
一周期总费用
求 T ,Q 使
为与不允许缺货的存贮模型相比，T记作T ’, Q记作Q’
不允许缺货模型
记
允许缺货模型
不允许缺货
允许缺货模型
0
q
Q
r
T1
t
T
注意：缺货需补足
Q~每周期初的存贮量
R
每周期的生产量R （或订货量）
Q~不允许缺货时的产量(或订货量)
允许缺货模型
例 已知需求速度 r=100件，C1=4元，C2=元，C3=50元，求 T’ 及Q’
习题1 ：
某公司经理一贯采用不允许缺货的经济批量公式确定订货批量，因为他认为缺货虽然随后补上总不是好事。但由于激烈竞争迫使他不得不考虑采用允许缺货的策略。已知对该公司所销产品的需求为R=800件/年，每次的订货费用为C3=150元，存储费为C1=3元/件•年，发生短缺时的损失为C2=20元/件•年，试分析：
(a)计算采用允许缺货的策略较之原先不允许缺货策略带来的费用上的节约 ；
(b)如果该公司为保持一定信誉，自己规定缺货随后补上的数量不超过总量的15%，任何一名顾客因供应不及时需等下批货到达补上的时间不得超过3周，问这种情况下，允许缺货的策略能否被采用？
随机存贮策略
问题
以周为时间单位；一周的商品销售量为随机；周末根据库存决定是否订货，供下周销售。
单周期的（s, S) 存贮策略
制订下界s, 上界S，当周末库存小于s 时订货，使下周初的库存达到S; 否则，不订货。
考虑订货费、存贮费、缺货费、购进费，制订（s, S) 存贮策略,使(平均意义下)总费用最小
模型假设
每次订货费c0, 每件商品购进价c1,每件商品一周贮存费c2,每件商品缺货损失费c3 (c1<c3)
每周销售量 r 随机、连续，概率密度 p(r)
周末库存量x, 订货量 u, 周初库存量 x+u
每周贮存量按 x+u-r 计
建模与求解
（s, S) 存贮策略
确定(s, S), 使目标函数——每周总费用的平均值最小
平均费用
订货费c0, 购进价c1, 贮存费c2, 缺货费c3, 销售量 r
s ~ 订货点， S ~ 订货值
建模与求解
1）设 x<s, 求 u 使 J(u) 最小，确定S
建模与求解
S
P1
P2
0
r
p
2）对库存 x，确定订货点s
若不订货, u=0, 总费用为
建模与求解
不订货
最小正根的图解法
J(u)在u+x=S处达到最小
x
I(x)
0
S
I(S)
s
I(S)+c0
I(x)在x=S处达到最小值I(S)
I(x)图形
建模与求解
J(u)与I(x)相似
I(S)
的最小正根 s
随机性存储模型应用---需求是离散的
某商店拟在新年期间出售一批日历画片，每售出一千张可赢利700元。如果在新年期间不能售出，必须削价处理，作为画片出售。由于削价，一定可以售完，此时每千张赔损400元。根据以往的经验，市场需求的概率见下表。
每年只能订货一次，问应订购日历画片几千张才能使获利的期望值最大?
需求量(千张)
0
1
2
3
4
5
概率P(r)
市场需求(千张)
获利 (元)
0
(-400)×4=-1600
1
(-400)×3+700=-500
2
(-400)×2+700×2=600
3
(-400)×1+700×3=1700
4
(-400)×0+700×4=2800
5
(-400)×0+700×4=2800
解:如果该店订货4千张，我们计算获利的可能数值
订购量为4千张时获利的期望值
E[C(4)]=(-1600)×+(-500)×+600×
+1700×+2800× +2800×
=1315(元)
上述计算法及结果列于下表。获利期望值最大者标有(*)记号，为1440元。可知该店订购3000张日历画片可使获利期望值最大。
订货量
0
1
2
3
4
5
获利的
期望值
0
0
0
0
0
0
0
0
1
-400
700
700
700
700
700
645
2
-800
300
1400
1400
1400
1400
1180
3
-1200
-100
1000
2100
2100
2100
1440*
4
-1600
-500
600
1700
2800
2800
1315
5
-2000
-900
200
1300
2400
3500
1025
需
求
量
利
获
需求离散随机多周期（s,S）策略储存模型
某企业对A器件的月需求量为r，r是随机变量，需求为ri的概率 Pi 如下：
ri
300
400
500
600
pi
已知每个器件的单价为5元，单位器件缺货费和库存费分别为
10元和元，订货费每次150元，原有存货200个。月初进货
一次交货，求该厂的最佳订货量。
模型的共同特点
（1）原有库存量为I；
（2）补充延迟时间为T（常数）；
（3）需求量r为随机离散变量，需求ri的概率p(ri)已知，
（4）库存费按周期末的存货量计算。
数学模型
（1）每个周期的订货量为Q，起初库存量S=I+Q；
（2）库存期望费用：
（3）缺货期望费用：
（4）订货费与货物费：
策略的优化
{
有：
所以，
同理
结论：
ri
300
400
500
600
P(r≤ri)
需求是随机离散
报童问题：报童每日售报数量是一个随机变量。报童每售出一份报纸赚 k 元。如报纸未能售出，每份赔 h 元。每日售出报纸份数 r 的概率 P(r) 根据以往的经验是已知的，问报童每日最好准备多少份报纸?
这个问题是报童每日报纸的订货量Q为何值时，赚钱的期望值最大?反言之，如何适当地选择Q值，使因不能售出报纸的损失及因缺货失去销售机会的损失，两者期望值之和最小。现在用计算损失期望值最小的办法求解。
解:设售出报纸数量为 r，其概率 P(r) 为已知
设报童订购报纸数量为 Q 。
供过于求时 (r ≤ Q)，这时报纸因不能售出而承担的损失，其期望值为：
供不应求时 (r＞Q)，这时因缺货而少赚钱的损失，其期望值为：
综合上述两种情况，当订货量为Q，损失的期望值为：
由于报童订购报纸的份数只能取整数，r 是离散变量，所以不能用求导数的方法求极值。为此设报童每日订购报纸份数最佳量为 Q，其损失期望值应有：
① C(Q)≤C(Q+1)
② C(Q)≤C(Q-1)
从①出发进行推导有
由②出发进行推导有
报童应准备的报纸最佳数量Q应按下列不等式确定：
从赢利最大来考虑报童应准备的报纸数量。
习题2： 某企业每月（以30天计）需一种零件2400个，若自行生产，须生产准备费150元，成本每个3元，生产能力为100个/天；若外出采购，每次订货费为100元，零件单价元。一个零件的月库存费为元。企业应作出什么决策才能使总费用最少？
该企业应选择自行生产
习题3： 某商店准备在新年前订购一批挂历批发出售，已知每售出一批（100本）可获利70元。如果挂历在新年前售不出去，则每100本损失40元，根据以往销售经验，该商店的销售数据如下表所示,若该商店只提出一次订货，问应订几百本？
销售额（百本）
0
1
2
3
4
5
概率
k=70, h=40
F(2)=, F(3)=
应订300。
*
*
30
