D CB
A
E
D
F
CB
A
全等三角形问题中常见的辅助线的作法 20
常见辅助线的作法有以下几种：
1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变
换中的“对折”．
2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的
思维模式是全等变换中的“旋转”．
3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角
形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4) 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的
“平移”或“翻转折叠”
5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条
线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，
适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连
接起来，利用三角形面积的知识解答．
一、倍长中线（线段）造全等
例 1、（“希望杯”试题）已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线 AD的取值范围是_________.
例 2、如图，△ABC 中，E、F 分别在 AB、AC 上，DE⊥DF，D 是中点，试比较 BE+CF 与 EF 的
大小.
例 3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是 DC的中点，求证：AD平分∠BAE.
应用：
1、（09崇文二模）以 的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt 和等腰Rt
， 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE
的位置关系及数量关系．
（1）如图① 当 为直角三角形时，AM与DE的位置关系是 ，
线段AM与DE的数量关系是 ；
（2）将图①中的等腰Rt 绕点A沿逆时针方向旋转 (0< <90)后，如图①所示，
（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．
ED CB
A
ABC ABD
ACE 90 ,BAD CAE
ABC
ABD
E
D
CB
A
D
CB
A
P
Q
C
B
A
二、截长补短
1、如图， 中，AB=2AC，AD平分 ，且 AD=BD，求证：CD⊥AC
2、如图，AC∥BD，EA,EB分别平分∠CAB,∠DBA，CD过点 E，求证;AB＝AC+BD
3、如图，已知在 内， ， ，P，Q分别在 BC，CA上，并且 AP，
BQ分别是 ， 的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP
4、如图，在四边形 ABCD中，BC＞BA,AD＝CD，BD平分 ，
求证：
ABC BAC
ABCV
0
60BAC 040C
BAC ABC
ABC
0180 CA
C
D
B
A
P
21
D
CB
A
5、如图在△ABC 中，AB＞AC，∠1＝∠2，P 为 AD 上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC
应用：
三、平移变换
例 1 AD为△ABC的角平分线，直线 MN⊥AD于 为 MN上一点，△ABC周长记为 ，△
EBC周长记为 .求证 ＞ .
AP
BP BP AP
O
E
D
CB
A
例 2 如图，在△ABC的边上取两点 D、E，且 BD=CE，求证：AB+AC>AD+AE.
四、借助角平分线造全等
1、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线 AD,CE相交于点 O，求证：OE=OD
2、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分 BC，DE⊥AB于 E，DF⊥AC于 F.
（1）说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB= ，AC= ，求 AE、BE的长.
ED CB
A
a b
E
D
G
F
CB
A
N
M
E
F
A
C
B
A
F
E
D
CB
A
应用：
1、如图①，OP 是∠MON 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为对称轴的全
等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：
（1）如图①，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA
的平分线，AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系；
（2）如图①，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而(1)中的其它条件不变，请问，你
在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
五、旋转
例 1 正方形 ABCD中，E为 BC上的一点，F为 CD上的一点，BE+DF=EF，求∠EAF的度数.
例 2 D为等腰 斜边 AB的中点，DM⊥DN,DM,DN分别交 BC,CA于点 E,F。
（1） 当 绕点 D转动时，求证 DE=DF。
（2） 若 AB=2，求四边形 DECF的面积。
Rt ABC
MDN
(第 23 题图)
O P
A
M
N
E
B
C
DF
A C
E
F
B
D
图① 图① 图①
例 3 如图， 是边长为 3的等边三角形， 是等腰三角形，且 ，
以 D为顶点做一个 角，使其两边分别交 AB于点 M，交 AC于点 N，连接 MN，则
的周长为 ；
应用：
1 、已知四边形 中， ， ， ， ，
， 绕 点旋转，它的两边分别交 （或它们的延长线）
于 ．
当 绕 点旋转到 时（如图 1），易证 ．
当 绕 点旋转到 时，在图 2 和图 3 这两种情况下，上述结论是否成
立？若成立，请给予证明；若不成立，线段 ， 又有怎样的数量关系？请写出
你的猜想，不需证明．
B C
D
N
M
A
ABC BDC 0120BDC
060 AMN
ABCD AB AD BC CD AB BC 120ABC o∠
60MBN o∠ MBN∠ B AD DC，
E F，
MBN∠ B AE CF AE CF EF
MBN∠ B AE CF
AE CF， EF
（图 1）
A
B
C D
E
F
M
N
（图 2）
A
B
C D
E
F
M
N
（图 3）
A
B
C D
E
F
M
N
2、（西城 09 年一模）已知:PA= ,PB=4,以 AB 为一边作正方形 ABCD,使 P、D 两点落在
直线 AB的两侧.
(1)如图,当∠APB=45°时,求 AB及 PD的长;
(2)当∠APB变化,且其它条件不变时,求 PD的最大值,及相应∠APB的大小.
3、在等边 的两边 AB、AC 所在直线上分别有两点 M、N，D 为 外一点，且
, ,BD=DC. 探究：当 M、N 分别在直线 AB、AC 上移动时，
BM、NC、MN 之间的数量关系及 的周长 Q 与等边 的周长 L 的关系．
图 1 图 2 图 3
（I）如图 1，当点 M、N 边 AB、AC 上，且 DM=DN 时，BM、NC、MN 之间的数量
关系是 ； 此时 ；
（II）如图 2，点 M、N 边 AB、AC 上，且当 DM DN 时，猜想（I）问的两个结论还
成立吗？写出你的猜想并加以证明；
（III） 如图 3，当 M、N 分别在边 AB、CA 的延长线上时，
若 AN= ，则 Q= （用 、L 表示）．
2
ABC ABCV
60MDN 120BDC
AMN ABC
L
Q
x x
