戴蒙德模型
1、假定
与拉姆赛模型不同，戴蒙德模型假定人口是不断新老交替的，没有数量不变的长生不老的家庭。
为简化分析，假定时间为离散而非连续的，这意味着模型中的t不是大于等于0的所有值，而是t=0,1,2…….。进一步的，一个人仅存在两期。
假定Lt个人在t期出生，人口增长率为n，则
Lt =(1+n) Lt-1
在t期，有Lt个人处于其寿命的第一期， Lt-1= Lt /(1+n)个人处于寿命的第二期，每个人在第一期将劳动收入用于第一期的消费和储蓄，在第二期，个人仅消费上期的储蓄和从储蓄中得到的利息。
2、家庭行为
考虑一个t期出生的人，其第二期的消费为
上式表明，一个人的消费随着时间是递增还是递减，取决于真实报酬率是大于还是小于贴现率。θ仍然决定着个人的消费对r与ρ之差的反应程度有多大。
直观地讲，r的上升同时具有收入效应和替代效应，这时
两期消费之间的替代更有利于第二期消费，这一情况会
增加储蓄（替代效应）。但是一定量储蓄能够带来更多
第二期消费，这一情况会降低储蓄（收入效应）。如果个
人很愿意在两期消费之间进行替代以利用报酬率的刺激
（θ较低时），则替代效应占优。如果个人强烈偏好两期
有相同的效应水平（ θ较高时），则收入效应占优。在θ等于1时（对数效用），收入和替代效用相同，年起人的储蓄率与r无关。
3、经济的动态学
k的变动方程
k的变化
对数效用与科布-道格拉斯生产函数
k0
k1
kt
k1
k*
k*
Kt+1
k的动态学
上图把kt+1表示为kt的函数，45度线表示二者相等，除了kt等于0外，k有唯一的均衡水平，用k*表示。
k*是稳定的，不管k从何地开始，他都收敛于k* 。
一旦经济收敛于平衡增长路径，其特性就与处于平衡增长路径上的索罗模型和拉姆赛模型相同：储蓄率不变，每工人平均产量以速率g增长，资本产量比不变等。
如果贴现率下降，使得年轻人将其劳动收入的更大比例用于储蓄，由此kt+1函数向上移动，这使得平衡增长路径上的k值增大。
因此在我们考虑的情形下，戴蒙德模型中贴现率下降的影响与拉姆赛模型中贴现率的下降的影响是一致的。也与索罗模型中储蓄率上升的影响相同。贴现率的下降时的每工人平均资本和平均产量随时间路径永久性上升，但是对这些变量的增长率却只造成暂时性增加。
k0
k1
kt
k1
k*旧
k*
Kt+1
贴现率下降的影响
k*新
一般情形下k的变动
将k的变动方程改为下面的形式：
上述方程把t+1期每单位有效劳动的平均资本表述为四项之积：从右向左分别是每单位有效劳动的平均产量、产量中劳动报酬所占比例、劳动收入中储蓄所占比例以及t期有效劳动的数量与t+1期有效劳动的数量之比。
下图给出了kt+1和kt之间关系的几种可能形式，这些形式与C-D函数形式的情形不同。
a
b
c
d
k1
k2
k3
k1
k2
k1
k2
上图中的a图中，有多个均衡k值，但是只有k1和k3是稳定的，k2不稳定，在k2的左边，k收敛于k1 ，在k2右边，k收敛于k3。
图b中， kt+1永远小于kt ，因而无论k的初始值如何，k都将收敛于0。要使这种情况出现，要么产量中的劳动收入所占比例趋于0，要么劳动收入中的储蓄比例趋于0，或者二者同时出现。
图c中，如果k的初始值足够低，则k收敛于0，如果k的初始值足够高，则k收敛于一个严格正值。
图d中， kt+1并非唯一地由kt决定，当k介于k1 k2之间时，有三个可能：如果储蓄使利率的减函数，则会出现这种情况。如果个人预期kt+1值较高并因此预期r较低，则储蓄会较高，如果个人预期kt+1较低，则储蓄会较低。如果储蓄对利率反应敏感，且r对k反应敏感，那么可能有一个以上的kt+1与一个给定的kt对应，因此该经济的路径是未定的。
因此假定世代交叠而非长生不老的家庭存在着，就可能有重要的意义：比如持续的经济增长可能无法实现，或者它可能取决于初始条件的状态。
同时戴蒙德模型没有比索罗模型和拉姆塞模型更好的回答增长的基本问题。
4、动态无效率的可能性
戴蒙德模型与拉姆塞模型的重要区别在于社会福利状态是否实现了帕雷托最优。
在戴蒙德模型中，出生于不同时期的个人达到的效用水平不同，因此评价社会福利的合适方式在模型中是不明确的，若把福利设定为各个时代效用的某种加权和，那么就没有理由期待分散化均衡最大化福利，因为我们赋予各个时代的权数是任意的。
戴蒙德模型甚至不必实现帕雷托最优，处于平衡增长路径上的资本存量甚至可以大于黄金分割率水平下的资本存量，因而消费的永久性增长是可能的。
假定效用函数为对数型，生产函数为C-D函数，g=0，则
为弄清楚在平衡增长路径上的资本存量大于黄金分割率下的资本存量水平会导致无效率，设想在戴蒙德模型中引入计划者，该经济处于k*大于kGR的平衡增长路径上。
如果计划者没有做出改变k的行动，则每个工人平均产量中可用于消费的部分为产量f(k*)减去将k维持在所需的新的投资 n k* ，如下图中的X虚线表示的状态。
X
（k保持在k*>kGR）
t
t0
每工人总消费
Y
在t将k降至kGR
将k降至黄金分割率水平如何影
响每工人平均消费的路径
假定在t0期，计划者将资源更多用于消费，储蓄减少，使得下一期的每工人资本存量为kGR，此后该计划者一直将资本存量保持在kGR，在t0 期，每工人用于消费的资源为f(k*)+(k* -kGR)-n kGR ，在随后的每一期，每工人平均产量中用于消费的部分为f(kGR)-n kGR。由于kGR最大化 f(k)-nk，所以f(kGR)-n kGR > f(k*)-n k* 。且由于k*>kGR，所以，f(k*)+(k* - kGR )-n kGR 甚至比f(k* )-n k* 要更大一些。在此政策下的总消费路径在上图中由Y线表示。与维持k= k*的政策相比，这一政策使得在每一期有更多的资源可用于消费。既是如此，计划者每一期均在年轻人和老年人之间配置消费品以使每个世代的境况都比上个世代要好就必然是可能的。
因此戴蒙德模型的均衡可以是帕雷托无效率的。原因在于，世代的无限性使计划者拥有一条满足老年人消费的路径，而这条路经通过市场是得不到的。在市场经济中，一个人要想在年老时消费，唯一的选择是持有资本，即使资本报酬率较低。然而计划者无须使老年人的消费取决于其资本存量及资本报酬率。相反，计划者可以任何方式将消费的资源在年轻人和老年人之间分配。比如计划者可以从年轻人那里拿走一单位的劳动收入并将其转移给老年人。若不希望有人因为这一变化而境况变坏，计划者可以要求下一代年轻人在下一期做同样的事情，并每期进行同一过程。
由于这种无效率与传统的无效率来源不同，且来源于经济的跨期结构，所以他被称为动态无效率。
5、戴蒙德模型中的政府
政府购买的影响
为了简单，考虑对数效用函数和C-D生产函数形式的情形。
令Gt表示t期每单位有效劳动的平均政府购买，政府是通过向年轻人征收一次性税收来为这些购买融资。工人的税后收入为（1-α）ktα- Gt，k的运动方程变为：
Kt+1
kt
k*新
k*旧
政府购买永久性增加的影响
政府购买的永久性增加使得kt+1函数下移，从而减少了k*，因此与拉姆塞模型不同的是政府购买的增加，导致了低资本存量和高均衡真实利率。由于要生存两期，所以个人第一期的消费的减少量小于G的增加量，但是由于仅在生命的第一期征税这意味着个人的储蓄会下降，经济从初始的平衡增长路径平滑到新的增长路径。
税收融资与债券融资
在拉姆塞模型中，政府支出通过税收融资还是通过债券融资没有经济意义，但是在戴蒙德模型中，税收与债券融资对资本积累的影响不同。
考虑存在政府购买情况下的k的运动方程，假定政府可以通过债务和税收为其购买融资，年轻人的储蓄可以采取债券的形式而非资本形式，用b表示每单位有效劳动的平均债券存量。税收和政府购买无需相等，其中一部分由债券融资补足，则k的运动方程变为：
如果政府减税并发行债券，则用于偿还那些
债券的税收是对未来世代征收的，因此生活
于现期的人境况变好了。并且他们会由此增
加消费，减少储蓄，从而降低资本存量。
