线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
考虑如下线性定常自治系统
()
式中，。假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态，其平衡状态的稳定性很容易通Lyapunov第二法进行研究。
对于式()的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即
式中P为正定Hermite矩阵（如果是实向量，且A是实矩阵，则P可取为正定的实对称矩阵）。
沿任一轨迹的时间导数为
由于取为正定，对于渐近稳定性，要求为负定的，因此必须有
式中
为正定矩阵。因此，对于式(）的系统，其渐近稳定的充分条件是Q正定。为了判断n(n维矩阵的正定性，可采用赛尔维斯特准则，即矩阵为正定的充要条件是矩阵的所有主子行列式均为正值。
在判别时，方便的方法，不是先指定一个正定矩阵P，然后检查Q是否也是正定的，而是先指定一个正定的矩阵Q，然后检查由
确定的P是否也是正定的。这可归纳为如下定理。
定理 线性定常系统在平衡点处渐近稳定的充要条件是：对于，，满足如下Lyapunov方程
这里P、Q均为Hermite矩阵或实对称矩阵。此时，Lyapunov函数为
，
特别地，当时，可取(正半定)。
现对该定理作以下几点说明：
(1) 如果系统只包含实状态向量和实系统矩阵A，则Lyapunov函数为，且Lyapunov方程为
(2) 如果沿任一条轨迹不恒等于零，则Q可取正半定矩阵。
(3) 如果取任意的正定矩阵Q，或者如果沿任一轨迹不恒等于零时取任意的正半定矩阵Q，并求解矩阵方程
以确定P，则对于在平衡点处的渐近稳定性，P为正定是充要条件。
注意，如果正半定矩阵Q满足下列秩的条件
则沿任意轨迹不恒等于零（见例）。
(4) 只要选择的矩阵Q为正定的（或根据情况选为正半定的），则最终的判定结果将与矩阵Q的不同选择无关。
(5) 为了确定矩阵P的各元素，可使矩阵和矩阵-Q的各元素对应相等。为了确定矩阵P的各元素，将导致n(n+1)/2个线性方程。如果用表示矩阵A的特征值，则每个特征值的重数与特征方程根的重数是一致的，并且如果每两个根的和
则P的元素将唯一地被确定。注意，如果矩阵A表示一个稳定系统，那么的和总不等于零。
(6) 在确定是否存在一个正定的Hermite或实对称矩阵P时，为方便起见，通常取，这里I为单位矩阵。从而，P的各元素可按下式确定
然后再检验P是否正定。
-------------------------------------------
[例] 设二阶线性定常系统的状态方程为
显然，平衡状态是原点。试确定该系统的稳定性。
[解] 不妨取Lyapunov函数为
此时实对称矩阵P可由下式确定
上式可写为
将矩阵方程展开，可得联立方程组为
从方程组中解出、、，可得
为了检验P的正定性，我们来校核各主子行列式
显然，P是正定的。因此，在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的，且Lyapunov函数为
此时
------------------------------------
[例] 试确定如图所示系统的增益K的稳定范围。
图 控制系统
[解] 容易推得系统的状态方程为
在确定K的稳定范围时，假设输入u为零。于是上式可写为
()
()
()
由式(）到（）可发现，原点是平衡状态。假设取正半定的实对称矩阵Q为
()
由于除原点外不恒等于零，因此可选上式的Q。为了证实这一点，注意
取恒等于零，意味着也恒等于零。如果恒等于零，也必恒等于零，因为由式(）可得
如果恒等于零，也恒等于零。因为由式(）可得
于是只在原点处才恒等于零。因此，为了分析稳定性，可采用由式(）定义的矩阵Q。
也可检验下列矩阵的秩
显然，对于，其秩为3。因此可选择这样的Q用于Lyapunov方程。
现在求解如下Lyapunov方程为
它可重写为
对P的各元素求解，可得
为使P成为正定矩阵，其充要条件为
和
或
因此，当时，系统在Lyapunov意义下是稳定的，也就是说，原点是大范围渐近稳定的。
线性定常系统的稳定自由运动的衰减率性能估计
对于线性定常系统，利用李亚普诺夫判据不但可以判断其原点平衡状态是否为渐近稳定，而且还可以对其自由运动趋向原点平衡状态的收敛快慢作出估计。
衰减系数
考察线性定常自治系统
，， (）
系统的李雅普诺夫函数是系统状态的正定函数，是系统某种“能量”的度量，而则为“能量”随时间的变化速率。当系统为渐近稳定时，正定，而为负定，因此引入如下定义的一个正实数
()
来表征系统自由运动的衰减性能，称为衰减系数。显然，越小，相应地自由运动衰减的越慢。
对()式两边积分得到
()
由此得出
()
一般来说，直接由()难以直接进行估计，一般取
()
将()代入()，得到
()
一旦定出，则可定出随时间衰减上界。对线性定常系统，可以定出随时间的衰减上界。
计算的关系式
对系统()式，当系统为渐近稳定时，对任意给定正定对称阵，李雅普诺夫方程
()
的解阵存在唯一且为正定。
()
几何含义为，为状态空间的超平面上极小点处的标量值。
结论：对线性定常系统(),设正定对称矩阵，成立： ()
其中表示的最小特征值。
证明（略）。
离散时间系统的状态运动稳定性及其判据
考虑定常离散时间系统
（）
且设即为平衡状态。类似于连续时间系统，给出如下主要结论：
结论1[离散系统的大范围淅近稳定判据] 对于离散系统（）， 如果存在一个相对的标量函数，且对任意满足:
为正定;
表为负定;
当时， 有;
则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。
在实际运用结论1时发现，由于条件(ii)偏于保守，以致对相当一些问题导致判断失败。因此，可相应对其放宽，而得到较少保守性的李亚普诺夫稳定性定理。
结论2[离散系统的大范围渐近稳定判据] 对于离散时间系统（），如果存在一个相对于的标量函数，且对任意满足:
为正定；
为负半定；
对由任意初态x(0)所确定的()的解的轨线，不恒为零；
当时， 有;
则原点平衡状态即x=0为大范围渐近稳定。
结论3：对离散时间系统()，且设，则当收敛，即对所有有
()
时，系统的原点平衡状态即为大范围渐近稳定。
证明：设
这样负定。且当时，。
由结论1，结论3得证。
习题
试确定下列二次型是否为正定的。
试确定下列二次型是否为负定的。
试确定下列非线性系统的原点稳定性。
考虑下列二次型函数是否可以作为一个可能的Lyapunov函数：
试写出下列系统的几个Lyapunov函数
并确定该系统原点的稳定性。
试确定下列线性系统平衡状态的稳定性
III、综合部分
第五章 线性多变量系统的综合与设计
引言
前面我们介绍的内容都属于系统的描述与分析。系统的描述主要解决系统的建模、各种数学模型(时域、频域、内部、外部描述)之间的相互转换等；系统的分析，则主要研究系统的定量变化规律(如状态方程的解，即系统的运动分析等)和定性行为(如能控性、能观测性、稳定性等)。而综合与设计问题则与此相反，即在已知系统结构和参数(被控系统数学模型)的基础上，寻求控制规律，以使系统具有某种期望的性能。一般说来，这种控制规律常取反馈形式，因为无论是在抗干扰性或鲁棒性能方面，反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开环系统。在本章中，我们将以状态空间描述和状态空间方法为基础，仍然在时域中讨论线性反馈控制规律的综合与设计方法。
问题的提法
给定系统的状态空间表达式
若再给定系统的某个期望的性能指标，它既可以是时域或频域的某种特征量(如超调量、过渡过程时间、极、零点)，也可以是使某个性能函数取极小或极大。此时，综合问题就是寻求一个控制作用，使得在该控制作用下系统满足所给定的期望性能指标。
对于线性状态反馈控制律
对于线性输出反馈控制律
其中为参考输入向量。
由此构成的闭环反馈系统分别为
或
闭环反馈系统的系统矩阵分别为
即或 。
闭环传递函数矩阵
我们在这里将着重指出，作为综合问题，将必须考虑三个方面的因素，即1)抗外部干扰问题；2)抗内部结构与参数的摄动问题，即鲁棒性(Robustness)问题；3)控制规律的工程实现问题。
一般说来，综合和设计是两个有区别的概念。综合将在考虑工程可实现或可行的前提下，来确定控制规律u；而对设计，则还必须考虑许多实际问题，如控制器物理实现中线路的选择、元件的选用、参数的确定等。
性能指标的类型
总的说来，综合问题中的性能指标可分为非优化型和优化型性能指标两种类型。两者的差别为：非优化型指标是一类不等式型的指标，即只要性能值达到或好于期望指标就算是实现了综合目标，而优化型指标则是一类极值型指标，综合目标是使性能指标在所有可能的控制中使其取极小或极大值。
对于非优化型性能指标，可以有多种提法，常用的提法有：
1、以渐近稳定作为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题；
2、以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问题称为极点配置问题。从线性定常系统的运动分析中可知，如时域中的超调量、过渡过程时间及频域中的增益稳定裕度、相位稳定裕度，都可以被认为等价于系统极点的位置，因此相应的综合问题都可视为极点配置问题；
3、以使一个多输入多输出(MIMO)系统实现为“一个输入只控制一个输出”作为性能指标，相应的综合问题称为解耦问题。在工业过程控制中，解耦控制有着重要的应用；
4、以使系统的输出无静差地跟踪一个外部信号作为性能指标，相应的综合问题称为跟踪问题。
对于优化型性能指标，则通常取为相对于状态和控制的二次型积分性能指标，即
其中加权阵或，且能观测。综合的任务就是确定，使相应的性能指标极小。通常，将这样的控制称为最优控制，确切地说是线性二次型最优控制问题，即LQ调节器问题。
研究综合问题的主要内容
主要有两个方面：
1、可综合条件 可综合条件也就是控制规律的存在性问题。可综合条件的建立，可避免综合过程的盲目性。
2、控制规律的算法问题 这是问题的关键。作为一个算法，评价其优劣的主要标准是数值稳定性，即是否出现截断或舍入误差在计算积累过程中放大的问题。一般地说，如果问题不是病态的，而所采用的算法又是数值稳定的，则所得结果通常是好的。
工程实现中的一些理论问题
在综合问题中，不仅要研究可综合条件和算法问题，而且要研究工程实现中提出的一系列理论问题。主要有：
1、状态重构问题 由于许多综合问题都具有状态反馈形式，而状态变量为系统的内部变量，通常并不能完全直接量测或采用经济手段进行量测，解决这一矛盾的途径是：利用可量测输出和输入来构造出不能量测的状态，相应的理论问题称为状态重构问题，即观测器问题和Kalman滤波问题。
2、鲁棒性(Robustness)问题
3、抗外部干扰问题
本章的组织结构如下。本章将首先讨论极点配置问题。将讨论利用极点配置方法来设计控制系统。这里将设计一个受制于初始条件的倒立摆系统，使其在规定的时间内，返回到垂直位置；其次还将讨论状态观测器的设计；最后研究含积分器的伺服系统和不含积分器的伺服系统。我们将设计一个倒立摆系统，当我们施加于小车一个阶跃输入时，仍可使该系统稳定（也就是说，摆不会倒下来）。
本章节为引言。节将讨论控制系统设计的极点配置方法，给出问题提法、可配置条件及极点配置的算法。节将介绍利用MATLAB求解极点配置问题，并给出用于极点配置设计的MATLAB程序。 节以倒立摆为例，给出用极点配置方法设计调节器型系统的一个例子，并分别介绍解析法和MATLAB解法。
节将介绍状态观测器。对于全维和最小阶观测器均将进行讨论，将介绍3种确定观测器增益矩阵的方法，并引入控制器-观测器概念。节讨论利用MATLAB设计状态观测器。节研究伺服系统的设计，将讨论当含有积分器和不含积分器时I型伺服系统的设计。节介绍用MATLAB设计控制系统的一个例子，将用MATLAB设计倒立摆控制系统。通过使用MATLAB，可得到所设计系统的单位阶跃响应曲线。
极点配置问题
本节介绍极点配置方法。首先假定期望闭环极点为，,…，。我们将证明，如果被控系统是状态能控的，则可通过选取一个合适的状态反馈增益矩阵，利用状态反馈方法，使闭环系统的极点配置到任意的期望位置。
这里我们仅研究控制输入为标量的情况。将证明在平面上将一个系统的闭环极点配置到任意位置的充要条件是该系统状态完全能控。我们还将讨论3种确定状态反馈增益矩阵的方法。
应当注意，当控制输入为向量时，极点配置方法的数学表达式十分复杂，本书将不讨论这种情况。还应注意，当控制输入是向量时，状态反馈增益矩阵并非唯一。可以比较自由地选择多于个参数，也就是说，除了适当地配置n个闭环极点外，即使闭环系统还有其他需求，也可满足其部分或全部要求。
问题的提法
前面我们已经指出，在经典控制理论的系统综合中，不管是频率法还是根轨迹法，本质上都可视为极点配置问题。
给定单输入单输出线性定常被控系统
()
式中。
选取线性反馈控制律为
()
这意味着控制输入由系统的状态反馈确定，因此将该方法称为状态反馈方法。其中1×n维矩阵称为状态反馈增益矩阵或线性状态反馈矩阵。在下面的分析中，假设不受约束。
图（a）给出了由式（）所定义的系统。因为没有将状态反馈到控制输入中，所以这是一个开环控制系统。图（b）给出了具有状态反馈的系统。因为将状态反馈到了控制输入中，所以这是一个闭环反馈控制系统。
图 (a) 开环控制系统
(b) 具有的闭环反馈控制系统
将式（）代入式（），得到
该闭环系统状态方程的解为
()
式中是外部干扰引起的初始状态。系统的稳态响应特性将由闭环系统矩阵的特征值决定。如果矩阵选取适当，则可使矩阵构成一个渐近稳定矩阵，此时对所有的，当时，都可使。一般称矩阵的特征值为调节器极点。如果这些调节器极点均位于的左半平面内，则当时，有。因此我们将这种使闭环系统的极点任意配置到所期望位置的问题，称之为极点配置问题。
下面讨论其可配置条件。我们将证明，当且仅当给定的系统是状态完全能控时，该系统的任意极点配置才是可能的。
可配置条件
考虑由式（）定义的线性定常系统。假设控制输入的幅值是无约束的。如果选取控制规律为
式中为线性状态反馈矩阵，由此构成的系统称为闭环反馈控制系统，如图（b）所示。
现在考虑极点的可配置条件，即如下的极点配置定理。
定理 (极点配置定理) 线性定常系统可通过线性状态反馈任意地配置其全部极点的充要条件是，此被控系统状态完全能控。
证明：由于对多变量系统证明时，需要使用循环矩阵及其属性等，因此这里只给出单输入单输出系统时的证明。但我们要着重指出的是，这一定理对多变量系统也是完全成立的。
必要性。即已知闭环系统可任意配置极点，则被控系统状态完全能控。
现利用反证法证明。先证明如下命题：如果系统不是状态完全能控的，则矩阵A-BK的特征值不可能由线性状态反馈来控制。
假设式（）的系统状态不能控，则其能控性矩阵的秩小于，即
这意味着，在能控性矩阵中存在q个线性无关的列向量。现定义q个线性无关列向量为，选择n-q个附加的n维向量，使得
的秩为n 。因此，可证明
这些方程的推导可见例。现定义
则有
式中，是一个q维的单位矩阵，是一个n-q维的单位矩阵。
注意到的特征值不依赖于。因此，如果一个系统不是状态完全能控的，则矩阵的特征值就不能任意配置。所以，为了任意配置矩阵的特征值，此时系统必须是状态完全能控的。
充分性。即已知被控系统状态完全能控（这意味着由式（）给出的矩阵Q可逆），则矩阵A的所有特征值可任意配置。
在证明充分条件时，一种简便的方法是将由式（）给出的状态方程变换为能控标准形。
定义非奇异线性变换矩阵P为
（）
其中Q为能控性矩阵，即
()
()
式中为如下特征多项式的系数。
定义一个新的状态向量，
如果能控性矩阵Q的秩为n（即系统是状态完全能控的），则矩阵Q的逆存在(注意此时Q为n(n方阵)，并且可将式（）改写为
()
其中
()
()
式（）和（）的推导见例和例。式（）为能控标准形。这样，如果系统是状态完全能控的，且利用由式（）给出的变换矩阵，使状态向量变换为状态向量，则可将式()变换为能控标准形。
选取任意一组期望的特征值为，，…，，则期望的特征方程为
()
设
()
由于，从而由式()，此时该系统的状态方程为
相应的特征方程为
事实上，当利用作为控制输入时，相应的特征方程与上述特征方程相同，即非奇异线性变换不改变系统的特征值。这可简单说明如下。由于
该系统的特征方程为
对于上述能控标准形的系统特征方程，由式（）、()和（），可得
()
这是具有线性状态反馈的闭环系统的特征方程，它一定与式（）的期望特征方程相等。通过使的同次幂系数相等，可得
对求解上述方程组，并将其代入式（），可得
()
因此，如果系统是状态完全能控的，则通过对应于式（）所选取的矩阵，可任意配置所有的特征值。
证毕
极点配置的算法
现在考虑单输入单输出系统极点配置的算法。
给定线性定常系统
若线性反馈控制律为
则可由下列步骤确定使的特征值为，，…,（即闭环系统的期望极点值）的线性反馈矩阵（如果是一个复数特征值，则其共轭必定也是的特征值）。
第1步：考察系统的能控性条件。如果系统是状态完全能控的，则可按下列步骤继续。
第2步：利用系统矩阵的征多项式
确定出的值。
第3步：确定将系统状态方程变换为能控标准形的变换矩阵P。若给定的状态方程已是能控标准形，那么P = I。此时无需再写出系统的能控标准形状态方程。非奇异线性变换矩阵P可由式（）给出，即
式中由式（）定义，由式（）定义。
第4步：利用给定的期望闭环极点，可写出期望的特征多项式为
EMBED
并确定出的值。
第5步：此时的状态反馈增益矩阵为
注释
注意，如果是低阶系统（），则将线性反馈增益矩阵K直接代入闭环系统的特征多项式，可能更为简便。例如，若n = 3，则可将状态反馈增益矩阵K写为
进而将此代入闭环系统的特征多项式，使其等于，即
由于该特征方程的两端均为的多项式，故可通过使其两端的同次幂系数相等，来确定，，的值。如果n = 2或者n = 3，这种方法非常简便（对于n =4,5,6,…，这种方法可能非常繁琐）。
还有其他方法可确定状态反馈增益矩阵K。下面介绍著名的爱克曼公式，可用来确定状态反馈增益矩阵K。
爱克曼公式(Ackermann’s Formula)
考虑由式（）给出的系统，重写为
假设该被控系统是状态完全能控的，又设期望闭环极点为。
利用线性状态反馈控制律
将系统状态方程改写为
()
定义
则所期望的特征方程为
由于凯莱-哈密尔顿定理指出应满足其自身的特征方程，所以
()
我们用式（）来推导爱克曼公式。为简化推导，考虑n = 3的情况。需要指出的是，对任意正整数，下面的推导可方便地加以推广。
考虑下列恒等式
将上述方程分别乘以，并相加，则可得
EMBED （）
参照式（）可得
也可得到
将上述两式代入式（），可得
由于，故
EMBED （）
由于系统是状态完全能控的，所以能控性矩阵
的逆存在。在式（）的两端均左乘能控性矩阵Q的逆，可得
上式两端左乘[0 0 1]，可得
重写为
从而给出了所需的状态反馈增益矩阵。
对任一正整数n，有
()
式（）称为用于确定状态反馈增益矩阵K的爱克曼方程。
-------------------------------------------------
[例] 考虑如下线性定常系统
式中
利用状态反馈控制，希望该系统的闭环极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状态反馈增益矩阵K。
首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为：
所以得出detQ = -1，因此，rankQ = 3。因而该系统是状态完全能控的，可任意配置极点。
下面，我们来求解这个问题，并用本章介绍的3种方法中的每一种求解。
方法1：第一种方法是利用式（）。该系统的特征方程为：
因此
期望的特征方程为
因此
参照式（），可得
方法2：设期望的状态反馈增益矩阵为
并使和期望的特征多项式相等，可得
EMBED
因此
从中可得
或
方法3：第三种方法是利用爱克曼公式。参见式（），可得
由于
且
可得
显然，这3种方法所得到的反馈增益矩阵K是相同的。使用状态反馈方法，正如所期望的那样，可将闭环极点配置在s = -2±j4和s = -10处。
------------------------------------------------------------------------------
应当注意，如果系统的阶次n等于或大于4，则推荐使用方法1和3，因为所有的矩阵计算都可由计算机实现。如果使用方法2，由于计算机不能处理含有未知参数的特征方程，因此必须进行手工计算。
