第 3 章 电力市场环境下的电力系统稳态分析
概述
从 20 世纪 80 年代以来，在世界范围内开始了电力工业改革的浪潮，其主要
目的是打破垄断，开放电网，形成自由竞争的电力市场。
根据微观经济学中市场的理论，可以将电力市场定义为相互作用、使电能交
换成为可能的买方和卖方的集合。应该指出，电力市场中的商品除了电能以外还
包括各种辅助服务。辅助服务包括输送电能、提供备用、无功补偿及电压调节等，
主要用来保证电力系统运行的可靠性及电能质量。
现在世界上已提出了多种电力工业改革方案，并在不同的国家实践。电力市
场和其他市场相比的待殊之处在于电能的生产和消费是同时完成的，从而输电系
统的存在是电力市场的显著标志[1]。输电服务由于其规模效益，一般具有天然垄
断的性质。因此各国市场化的共同特点是“厂网分开”，由政府对输电部分进行适
当的管制，保证电网开放，以便为发电和配售电创造一个公平的竞争环境。对输
电部分处理的不同，形成了各国电力市场结构的特色。
图 3-1 表示了电力市场的主要组成部分[1]。发电厂商(G)、发电市场(PM)形
成了市场的供给主体；用户(D)及零售商(R)构成了市场的需求主体。而电力市场
的输电部分又包括 5 个部分：输电设备所有者(Transmission owner，TO)、独立
系统调度机构(1ndependent Sytem Operator，ISO)、辅助服务商家(Ancillary Service，
AS) 、 电 能 交 易 机 构 (Power Exchange ， PX) 、 交 易 协 调 商 家 (Scheduler
Coordinator，SC)，现分别简述如下。
图 3-1 电力市场的主要组成部分
1. 输电设备所有者（TO）
电网开放的前提是输电设备的所有者对输电系统的用户(包括发电厂商及电
能用户)在准入和运用输电设备方面应平等对待，避免歧视。如果输电设备所有
者在发电或供电上有任何切身利益，则难以实现上述要求，因此，一般应建立一
个独立控制机构 ISO 来调度输电系统并提供输电服务，而输电设备的维修责任
仍归输电设备所有者。
2．独立系统调度机构(ISO)
ISO 调度输电网络并对所有输电用户提供服务。对 ISO 的基本要求是不从电
力市场中赢利。因此，ISO 必须与电力市场的主体发电厂商及用户脱离。ISO 的
职责和权力在不同的市场模式中很不相同，主要有：
(1)制定运行规划／运行方式。
(2)实施调度。
(3)对电力系统进行控制与监测
(4)在线电网安全分析。
(5)市场行政管理。
3. 电能交易机构（PX）
PX 的基本功能是在未来市场对电能的供求双方提供一个交易的场所。市场
的周期可能是 1 小时到几个月。最常见的形式是一天前的市场，为每个运行日的
前一天进行电能交易。根据市场的设计，一天前的市场可辅以较长周期的市场或
小时前的市场。小时前的市场为运行前 1 到 2 个小时的电能交易提供可能。但是，
PX 的最基本的功能是作为电能供需双方竞争的 POOL，并形成市场出清价
(Markt C1ear Price，MCP)。然后 MCP 就成为实现未来市场结算的依据。
以上 3 部分：TO、ISO 及 PX 给电力市场的交易提供一个平台，不能从交易
中赢利。
4. 辅助服务商家（AS）
AS 为电力系统可靠运行提供所需的服务，主要是为输电系统安全可靠运行
提供有功备用及无功电源。
根据市场结构，辅助服务商家可以在 PX 或 ISO 进行交易。辅助服务可以是
以捆绑方式提供，也可分别按菜单提供。调节备用、旋转备用和补充运行备用(非
旋转备用)等辅助服务可以由用户自己提供。
5. 交易协调商家（SC）
SC 是一个把电能供需方的计划结合在一起的一个中间商，但不必遵守 PX
的规则。有些市场模式中要求把电能协调限制在中央 POOL 之中而不允许其他
SC 进行操作，例如英格兰电力市场就是这样。在有些电力市场模式中可能不存
在中央 POOL 或管制的交易机构，电能协调是用一种分散方式进行。在很多新
的电力市场结构中，SC 是一个重要组成部分。
以上 5 个电力市场的组成部分在某些电力市场中不一定出现。在某些情况下
可能会少一两个组成部分。在另一些情况下，两个或几个组成部分可能合为一个
复合的组成部分。但是，其相应的职能是不可缺少的。例如挪威将 ISO 和 TO 结
合，而英格兰将 ISO、TO 和 PX 结合成为 NGC(国家电网公司)。起初美国加利
福尼亚州的电力市场结构式是将以上 5 个部分全部分开，但是 FERC(联邦能源管
理委员会)在 2000 年的 Order No．2000 中要求各地区成立 PX、IS0 和 TO 结合
的 RTO(地区输电机构)。
电力市场的出现给电力系统研究提出了很多新的课题，包括经济方面的课题和
技术方面的课题。
在经济方面，电价理论和交易机制是电力市场研究的核心。国外电力市场的
理论研究起源于 20 世纪 80 年代末期学者对实时电价的研究[2,3]，从理论上证明
了实时电价对合理配置资源的有效性。电价理论的研究应分为两个部分，即电能
成本分析(电价预测)和电力市场中的电价形成机制。电能成本分析是电价预测的
基础，对于电力市场的宏观控制、优化电力资源配置有决定性的影响。但电价的
形成最终要通过市场机制。从理想市场运行来看，电力市场的出清电价应与电力
系统电能的边际成本相对应。
电力交易可采取双边合同和竞价上网的形式。一般电力市场都包含这两种形
式的交易。但是电力市场以何种形式为主，或这两种形式各占多大份额，应该根
据具体情况进行分析。
竞价上网的方式和竞价策略是电力市场理论中的一个难点，有很强的随机性
和实时性要求。该问题不仅与电力市场的经济效益有关，而且直接影响电力系统
的安全性和可靠性。对一个发电厂商来说，竞价决策和其运行优化有密切关系，
其竞争目标是要获取最大利润。发电厂商如何制定最优竞价策略，以及 PX 如何
模拟和选择发电厂商以使电力用户的电能费用最小化的问题将涉及到随机优化
的模型和算法。
在技术方面，主要围绕电力市场环境下保证电力系统安全运行的问题。
在垄断环境下，整个电力系统的发电、输电、配电是统一管理和统一调度的，
运行方式安排相对比较简单，系统运行的安全可靠容易得到保证。在电力市场环
境下，电力交易瞬息万变，电力调度既要保证公平竞争，又要保证安全运行，这
就给电力系统分析提出了新的挑战。例如，在电力市场条件下由于系统潮流可能
与预测的很不一样，从而可能导致输电阻塞、电压崩溃及不稳定等问题。
输电阻塞是电力市场条件下系统运行的一个重要现象。从市场经济学的观点
来看，双边交易员能体现市场自由竞争的效益，但这种交易模式会给电力系统的
统一调度带来困难。最突出的问题就是电力网络某些部分可能趋于功率极限，而
使电力系统运行承受很大的风险，这就是电力市场环境下的输电阻塞问题。缓解
电力网络的阻塞是保证电力市场环境下电力系统安全运行的关键，首先要求用强
有力的在线分析软件去发现隐患；其次在运行中如发现输电阻塞，则要用技术和
经济的手段去迅速消除它。为此，不但需要频繁应用最优潮流软件以维持系统的
安全、经济运行，还要发展快速评估系统各部分可用输电容量的算法。可用输电
容量是电力市场运营的一个很重要的概念，是指电力网络可进一步增加电力交换
的容量。
在电力市场情况下，潮流分析不但要给出各支路的功率，为了确定输电费用
和处理输电阻塞问题，往往还要求给出各发电厂或电力用户的功率在各支路的功
率中所占的份额。这样就引出了潮流追踪问题。
本章将讨论在电力市场环境下电力系统稳态分析方面的几个新进展，包括最
优潮流及其在节点电价和输电阻塞处理方面的应用，潮流追踪和可用传输能力问
题。这些模型和算法反映了电力市场环境下电力调度对决策支持系统的新要求。
由于这是一个快速发展的领域，本章的内容还很不成熟，希望今后能不断完善。
电力系统最优潮流
电力系统最优潮流，简称 OPF(Optimal Power Flow)，是法国学者 Carpentier[4]
在 20 世纪 60 年代提出的。OPF 问题是一个复杂的非线性规划问题，要求在满足
特定的电力系统运行和安全约束条件下，通过调整系统中可利用控制手段实现预
定目标最优的系统稳定运行状态。发展到今天，最优潮流应用领域已十分广泛，
针对不同的应用，OPF 模型可以选择不同的控制变量、状态变量集合，不同的目
标函数，以及不同的约束条件。
最优潮流模型
最优潮流模型是在以下前提条件下提出的：
(1)各火电(核电)投入运行的机组已知(不解决机组开停问题)。
(2)各水电机组的出力已定(由水库经济调度确定)。
(3)电力网络结构确定(不受接线方式影响，不考虑网络重构问题)。
最优潮流问题在数学上是一个带约束的优化问题，其中主要构成包括变量集
合、约束条件和目标函数，现在分别介绍如下。
OPF 模型中，变量主要分为两大类。一类是控制变量，是可以控制的自变量，
通常包括各火电(核电)机组有功出力、各发电机／同步补偿机无功出力(或机端电
压)；移相器抽头位置、可调变压器抽头位置、并联电抗器／电容器容量；在某
些紧急情况下，水电机组快速启动，某些负荷的卸载也可以作为控制的手段。另
—类是状态变量，是控制变量的因变量，通常包括各节点电压和各支路功率等。
最优潮流考虑的系统约束条件有：
(1)各节点有功功率和无功功率平衡约束。
(2)各发电机有功出力上下界约束。
(3)各发电机／同步补偿机无功出力上下界约束
(4)并联电抗器／电容器容量约束。
(5)移相器抽头位置约束。
(6)可调变压器抽头位置约束。
(7)各节点电压幅值上下界约束。
(8)各支路传输功率约束。
从数学观点来看，以上约束中(1)为等式约束，其余为不等式约束；(1)、(8)
为变量函数约束，若在数学模型中节点电压采用直角坐标形式，(7)也属于变量
函数约束，其余都属于简单变量约束；从约束的物理持性而言，(2)一(6)称为控
制变量约束(硬约束)，(7)、(8)称为状态变量约束(软约束)。
最优潮流有各式各样的目标函数，最常用的形式有以下两种：
(1)系统运行成本最小。该目标函数一般表示为火电机组燃料费用最小，不
考虑机组启动、停机等费用。其中机组成本耗费曲线是模型的关键问题，它不仅
影响解的最优性，还制约求解方法的选取。通常机组燃料费用函数常用其有功出
力的多项式表示，最高阶一般不大于 3。若阶数大于 3，目标函数将呈现非凸性，
造成 OPF 收敛困难。
(2)有功传输损耗最小。无功优化潮流通常以有功传输损耗最小为目标函数，
它在减少系统有功损耗的同时，还能改善电压质量。
电力系统调度运行研究中常用的最优潮流一般以系统运行成本最小为目标，
其数学模型如下：
目标函数：
式中： 为第 i 台发电机的有功出力； 、 、 为其耗量特性曲线参数。
约束条件：
以上模型中式(3-2)为等式约束(节电功率平衡方程)；式(3-3)-(3-6)为不等式
约束，依次为电源有功出力上下界约束，无功源无功出力上下界约束，节点电压
上下界约束，线路潮流约束。式中： 为系统所有节点集合， 为所有发电机
集合， 为所有无功源集合， 为所有支路集合；式中： 、 为发电机 i
GiP 0ta 1ta 2ta
BS GS
RS lS GiP GiQ
的有功、无功出力； 、 为节点 i 的有功、无功负荷； 、 为节点 i 电压
幅值与相角， ； 、 为节点导纳矩阵第 i 行第 j 列元素的实部与
虚部； 为线路 的有功潮流，设线路 两端节点为 i、j。该模型采用的是节点电
压极坐标的表示形式，当然也可以采用节点电压直角坐标的表示形式。
最优潮流的算法
至今已提出的求解最优潮流的模型和方法很多，归纳起来有非线性规划法、
二次规划法、线性规划法、混合规划法以及近年出现的内点算法和人工智能方法
等，现在分别叙述如下。
1．非线性规划法(Non—Linear Programming，NLP)
非线性规划问题的目标或约束函数呈现非线性特性，其约束条件可由等式或
不等式约束组成。非线性规划分为无约束非线性规划和有约束非线性规划。有约
束非线性规划方法的基本思想是利用拉格朗日乘子法或罚函数法建立增广目标
函数，使有约束非线性规划问题先转化为无约束非线性规划问题，然后利用不同
的数学优化方法求解。
非线性模型是最早的 OPF 数学表达形式。第一个成功的最优潮流算法是
Dommel 和 Tinney[5]于 1968 年提出的简化梯度算法。这种算法建立在牛顿法潮
流计算基础之上，独立变量取系统的控制变量，用罚函数处理违约的函数不等式
约束，用拉格朗日乘子方法判别是否已到边界。但是用罚函数处理不等式约束会
产生病态条件，导致收敛性变坏。为了提高算法的收敛性，文献 [6]使用
F1etcher-Powell 算法修正步长，在优化过程的每一步均要检查收敛性，使收敛性
得到了一定的改善，但由于梯度法本身的局限，优化过程仍存在振荡现象，影响
效率。1970 年，Sasson[7]在 Tinney 等人工作的基础上研究牛顿法对于 OPF 收敛
性能的改进，虽然克服了过去方法中的收敛振荡现象，但计算过程中海森伯矩阵
的求解使算法对大型系统望而却步。转移罚函数法在求解约束非线性规划问题时
能克服传统罚函数法海森伯矩阵病态的缺陷，1982 年，Divi 和 Kesavan[8]在该方
法中采用简化梯度概念和拟牛顿算法优化转移罚函数，改进了算法的收敛性和精
确度，实验表明，与标准罚函数法相比，可节约 30％的计算时间。紧接着，
Talukdar[9]等人发现运用拟牛顿变矩阵方法求解 OPF 问题有以下优点：①可直接
DiP DiQ iV i
ij i j ijG ijB
lP l l
处理 OPF 模型中的各种约束；①鲁棒性强，可起始了一个不可行解；①与同期其
他算法比较，计算速度快了几倍。
与利用一阶信息的梯度法不同，牛顿法作为一种解决非线性问题的经典算法，
直接足 KKT 条件，不但利用了目标函数在搜索点的梯度，而且还利用了目标函
数的二阶导数，考虑了梯度变化的趋势，具有二阶收敛性，速度更快。
2．二次规划法(Quadratic Programming，QP)
二次规划是非线性规划的特殊形式，它仅适于求解目标函数为二次形式，约
束条件为线性表达式的问题。1973 年，Reid 和 Hasdorf[10]首次提出用二次规划法
求解经济调度问题，通过引入人工变量把费用函数(目标函数)近似为二次函数，
利用泰勒级数展开把约束线性化，并采用线性规划中的 woIfe 算法求得最优解，
其中算法收敛并不受梯度步长和惩罚因子选择的影响，但是计算时间将随系统规
模的增大而明显延长。1982 年 OPF 二次规划法的研究取得了突破性进展，
Burrchett 等人[11]将原非线性规划模型分解为一系列二次规划子问题，运用增广
拉格朗日法能从不可行点找到原问题的最优解，甚至在潮流方程发散的情况下也
能得到可行点。以 2000 节点系统测试证明算法的速度和鲁棒性有了极大改善。
二次规划法的优点是比较精确可靠，但其计算时间随变量和约束条件数目的增加
而急剧延长，而且在求临界可行问题时会导致不收敛。
3．线性规划法(Linear Programming，LP)
线性规划法是电力系统最优潮流问题的另一大类求解方法。在这类方法中，
通常把整个问题分解为有功功率和无功功率两个子优化问题，它们或者进行交替
迭代求解，或者分别求解。在求解方法上，大都采用分段线性或逐次线性化逼近
非线性规划问题，然后利用线性规划方法求解。1968 年 wells[12]首次提出用线性
规划法求解安全约束的经济调度问题，算法思想是将成本目标函数和约束条件线
性化后用单纯形法求解。其算法有两大缺陷：①在不可行条件下，最终结果不是
最优解；①由于计算机舍入误差影响，约束可能出现过负荷现象。1970 年，Shen
和 Laughton[13]提出对偶线性规划技术，采用修正单纯形法求解 OPF 问题，与非
线性规划法相比显示出非常有前途的计算性能。
4.混合规划法
混合规划法是指针对 OPF 问题中有功优化子问题与无功优化子问题呈现不
同的特性而选择两种或几种方法联合求解，例如，混合整数规划法、线性规划与
二次规划混合法等。文献[14]首次提出一种线性和二次规划混合优化方法求解经
济调度问题。文献[15]说明线性规划法对于可分离性凸目标函数的问题特别有效，
而对不可分目标函数问题(如网损最小目标函数)的求解效果不尽如人意。具有二
次收敛特性的二次规划和牛顿法能克服线性规划法存在的缺陷．但是在计算中需
求拉格朗日函数的二次偏微分，如果有功优化子问题中发电费用目标函数是分段
模型，或在考虑机组阀点负荷时，就显得无能为力了。实验证明采用不同规划方
法分立求解有功、无功问题使优化过程更灵活，非常适合于 EMS 中在线应用。
5.内点算法
线性规划算法可能是到目前为止应用最为广泛的算法，其中单纯形法(包括对
偶单纯形法)是最主要、也是最常用的线性规划方法。单纯形法是根据线性规划
的基本原理，把迭代限于可行域的各顶点上，由一个顶点开始．检查其最优性，
否则转至能位目标值改善的另一个顶点，因此单纯形法的迭代次数随约束条件和
变量数目的增加而迅速增加，在最坏情况下，单纯形法的迭代次数会按指数上升。
实际上早在 Dantzig 提出单纯形法之时，许多学者已在研究一种能在可行域
内部寻优的方法，以克服顶点搜索法的组合计算复杂性。l 954 年，Frish 提出了
最早的内点法[18]，它是一种仅限于求解无约束优化问题的障碍参数法。随后，
1967 年 Huard[17]和 Dikin[18]又分别提出基于多面体中心和变量仿射的内点法。但
是在当时它们的应用效果无法与单纯形法相比，因此在 20 世纪 70 年代内点法的
发展一度陷于低潮。随着线性代数技术的发展以及计算机计算能力和速度的提高，
1984 年，Karmarkar[19]提出了线性规划的一种新的内点算法，证明该算法具有多
项式计算复杂性，该算法在求解大规模线性规划问题时，计算速度比单纯形法
快 50 倍以上。随后，Gill 将内点法的应用进一步推广到非线性规划领域[20]。
近年来，许多学者对 Karmarkar 算法进行了广泛深入的研究，一些新的变型
算法相继出现，最有发展潜力的是路径跟踪法(Path Following)，又称为跟踪中心
轨迹法。该方法将对数壁垒函数与牛顿法结合起来应用到非线性规划问题，已从
理论上证明具有多项式复杂性。该方法收敛迅速，鲁棒性强，对初值的选择不敏
感，在求解电力系统优化问题中已得到广泛的应用。第 3．2．3 节将介绍内点法
应用于求解最优潮流问题。
6.人工智能方法
虽然非线性规划、线性规划等方法己逐渐克服了在不等式约束处理、计算速
度、收敛性和初始点等方面的困难，但在对离散变量的处理上还没有完善的解决
方案。近几年随着计算机和人工智能等技术的发展，不断有新的方法出现，模拟
进化规划方法、模糊集理论、模拟退火算法等人工智能方法先后用于电力系统最
优潮流问题。
模拟进化规划方法是模仿生物进化过程所得到的一类优化方法，进化规划和
遗传算法是其中最主要的方法，它们主要用于无功优化，擅长处理离散变量。模
拟进化优化方法属于随机优化方法，原理上可以以较大的概率找到优化问题的全
局最优解。它具有全局收敛性、并行处理特性、通用性及鲁棒性等优点[21]。
模糊集理论也是近几年成功应用于电力系统问题的新思想。它适合于描
述不确定性以及处理不同量纲、相互冲突的多目标优化问题，为解决具有可伸缩
约束的多目标优化问题提供了新途径，因此在电力系统最优潮流中得到日益广泛
的应用。文献[22]把约束条件分为硬约束和软约束两种，然后利用模糊集把软约
束和目标函数模糊化，得到模糊 OPF 问题，然后再对 OPF 问题的目标函数进行
修正，使其当最优解处于非模糊区域时能等效于常规的 OPF 问题，而且这种修
正使得在目标函数中所有的控制变量都能显性地表示出来，有利于用逐次线性规
划法求解。
模拟退火算法也可以视为一种进化优化方法，是一种有效的通用启发式随机
搜索方法。算法思想来源于冶炼工业中熔融金属的退火过程，算法原理比较简单，
只是对常规的迭代寻优算法进行一点修正，允许以一定的概率接受比前次解稍差
的解作为当前解。文献[23]用模拟退火方法进行无功优化，理论上可以不同时地
收敛到全局最优解，但运算时间比较长。
人工智能方法解决了寻找全局最优解的问题，能精确处理问题中离散变量，
但由于这一类方法通常属于随机搜索方法，具有计算速度慢的先天缺陷，难以适
应在线计算及电力市场的要求。
3．2．3 最优潮流问题的内点法
内点法最初的基本思路是希望寻优迭代过程始终在可行城内进行，因此，初始点应取
在可行城内，并在可行域的边界设置“障碍”使迭代点接近边界时其目标函数值迅速增大，从
而保证迭代点均为可行域的内点[24]。但是对于大规模实际问题而言，寻找可行初始点往往
十分困难。为此许多学者长期以来致力于对内点算法初始“内点”条件的改进。以下介绍的跟
踪中心轨迹内点法只要求在寻优过程中松弛变量和拉格朗日乘子满足简单的大于零或小于
零的条件，即可代替原来必须在可行域内求解的要求，使计算过程大为简化。
为了便于讨论，把最优潮流模型[式(3-1)~(3-6)]简化为以下一般非线性优化模型：
其中：式(3-7)为目标函数，对应于最优潮流模型中式(3-1)，是一个非线性函数；式(3-8)
为非线性等式约束条件，对应于最优潮流模型中式(3-2)；式(3-9)
中 为非线性不等式约束，其上限为 ，下限为
。在以上模型中共有 n 个变量，m 个等式约束，r 个不等式约束。跟踪中心
轨迹内点法的基本思路如下。
首先，将不等式约束式(3-9)转化为等式约束：
其中松弛变量 ， ，应满足：
这样，原问题变为优化问题 A：
然后，把目标函数改造为障碍函数，该函数在可行域内应近似于原目标函数
，而在边界时变得很大。因此可得到优化问题 B：
1 ,
T
mh x h x h x L
1 ,
T
rg x g x g x L 1,
T
rg g g L
1
T
r
g g g L
1,
T
rl l l L 1,
T
ru u u L
( )f x
其中扰动因子(或称障碍常数) 。当 或 靠近边界时，以上函数
趋于无穷大，因此满足以上障碍目标函数的极小解不可能在边界上找到，只能在
满足式(3-12)时才可能得到最优解。这样，就通过目标函数的变换把含有不等式
限制的优化问题 A 变成了只含等式限制的优化问题 B，因此可以直接用拉格朗
日乘子法来求解。
优化问题 B 的拉格朗日函数为
式中： 均为拉格朗日乘子。该问
题极小值存在的必要条件是拉格朗日函数对所有变量及乘子的偏导数为 0：
式中：
由式(3-18)和式(3-19)可以解得
0 il 1, ,iu i r L
1 2 1 1, , , , , , , ,r ry y y z z y w w w L L L
1 1 1 1( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ),r r r rL diag l l U diag u u Z diag z z W diag w w L L L L
定义：
可得
式中：GAP 称为对偶间隙。Fiacco 和 McCormic[25]证明在一定的条件下，如
果 是优化问题 A 的最优解，当 固定时， 是优化问题 B 的解，那么当
, 时，产生的序列 收敛至 。由文献[26]发现，当目标函数
中参数 按式(3-21)取值时，算法的收敛性较差，建议采用
式中： 称为中心参数，一般取 ，在大多数场合可获得较好的收敛效
果。由于 ，由式(3-18)和式(3-19)可知道 。
极值的必要条件[式(3-14)一(3-19)]是非线性方程组，可用牛顿—拉弗森法求
解。为此将式(3-14)一(3-19)线性化得到修正方程组
写成矩阵形式
*x ( )x
0GAP 0 ( )x *x
0,1
0, , 0l u 0, 0z w
式中：
由于修正方程(3-29)的系数矩阵是一个 的方阵，因此
求解该方程的计算量十分庞大，为简化计算，我们首先对方程组矩阵进行列交换
得到
然后对上式进行简单的交换得
式中：
现在，我们只需对一个相对较小的 对称矩阵[式(3-30)右下角块矩
阵]进行 分解，剩余的计算量只是回代。这样，不仅减少计算量，同时简化
了算法。
求解方程(3-30)得到第 次选代的修正量，于是最优解的一个新的近似为
4 4r m n r m n
m n m n
TLDL
k
式中： 和 为步长：
上式的取值保证迭代点严格满足式(3-12)。
最优潮流内点算法的流程图如图 3-2 所示。其中初始化部分包括：
(1)设置松弛变量 ，保证 。
(2)设置拉格朗日乘于 ，满足 。
(3)设优化问题各变量的切值。
(4)取中心参数 ，给定计算精度 ，迭代次数初值 ，最大
迭代次数
下面我们仅以图 2-6 的简单系统为例说明实现最优潮流内点算法的有关问
题。
【例 3-11】 试求解图 2-6 的简单系统的最优潮流。
【解】 除由图 2-6 提供的系统母线负荷功率数据、线路参数和变压器支路
参数数据、变压器变比数据(非标准变比在首端)之外，以下顺序给出线路传输功
率边界(表 3-1)，发电机有功、无功出力上下界和燃料耗费曲线参数(表 3-2)(燃料
耗费曲线所用有功功率变量为标么值)。若不作说明，所有数据都是以标么值形
式给出，功率基准值为 100MVA，母线电压上下界分别为 和 。
p d
,l u , 0Tl u
, ,z w y 0, 0, 0 Tz w y
(0,1) 610 0k
max 50K
图 3-2 内点最优潮流算法流程框图
首先，我们先列出该算例的数学模型和有关计算公式。在该算例中，共有 5
个节点，相应的状态变量为
系统中有 2 台发电机，没有其他无功源，因此控制变量为
应该指出，此处发电机和无功源的编号与节点编号无关，是独立编号的。这
是因为系统中一个节点可能接有多台发电机的缘故。因此系统中总变量共 14 个：
最优潮流的数学模型为：
目标函数：
对发电机节点：
式中： 表示第 台发电机接在节点 上， 。
不等式约束条件共有 14 个，分别为：
式中：
根据以上模型可以形成式(3-30)的修正方程。该方程式包括形成等式左边的系数
k i k i 1 4, 2 5k k
矩阵和等式右边的常数项两部分。
1)形成系数矩阵。
式(3-30)中修正方程的系数矩阵主要由四大部分组成：等式约束雅可比矩阵
，不等式约束雅可比矩阵 ，对角矩阵 和海森伯矩阵 。
以下分别进行讨论。
①等式约束的雅可比矩阵
式中右端矩阵包含 3 个子矩阵：
其中：
其中：
( )xh x ( )x g x
1 1,L Z U W H
式中；i 为发电机的序号；j 为节点号； 表示第 1 台发电机是接在节点 j 上的，
反之用 表示。
①不等式约束的雅可比矩阵
式中： 和 依次表示电源有功出力的上下界约束，无功电源无功出力的
上下界约束，节点电压幅值的上下界约束和线路潮流约束。
i j
i j
1 2 3, ,g g g 4g
式中：第 行 列元素为 1，其余元素均为 0。
矩阵中的元素为
①对角矩阵
2 ig i
①海森伯矩阵
这是最复杂的部分，共包含 4 项。由以上推导已经可以得到其中第 4 项：
而其余 3 项是：目标函数的海森伯矩阵 、等式约束海森伯矩阵与拉格朗
日乘子的乘积 和不等式约束海森伯矩阵与拉格朗日乘子 的乘积
，现分别讨论如下。
a．目标函数的海森伯矩阵：
式中： 是以机组燃料费用的二次系数 为对角线的矩阵。
b．等式约束海森伯矩阵 与拉格朗日乘子 的乘积 可表示为
因此只需求其中 ，为此首先应求出 和 ：
2 ( )x f x
2 ( )xh x y z w
2 ( )x g x z w
2A 2i Ga i S
2 ( )xh x y
2 ( )xh x y
5
2 2
1
i Pi i Qi
i
A y A y A
PiA QiA
根据 的表达式(见模型)不难得到矩阵中的元素，如
等等。
同理，对于
也可根据 的表达式〔见模型)得到矩阵中的元素，如
iP
iQ
等等。
综合以上公式，即可得到 A 中个元素为
c．不等式约束海森伯矩阵与拉格朗日乘子 （设 ）的乘积：z w z w c
很明显，前 3 项矩阵中各元素均为 0，最后一项矩阵的元素按上式求解，在此不
再详述
2)形成常数项。
和 根据式(3-15)一(3-19)都很容易求出。剩下的 可表示为
当知道目标函数梯度矢量
之后，再根据以上等式和不等式约束雅可比矩阵的公式就可以求出 。至此，
, , ,y z w lL L L L
uL
xL
xL
与例题有关的公式已全部推导完毕。
以下我们对该算例的寻优过程用数字加以说明。设 4、5 节点发电机均能由
算法调节其出力。在初始化过程中各变量初值是根据实际问题自行设置的，我们
给出所用各变量的初值如下：节点电压 ；平衡节点
；发电机有功、无功出力和无功源无功出力均取其上下界的平均
值；松弛变量 ，拉格朗日乘子
。按图 3-2 所
示的流程计算，当收敛条件取 时，需要进行 l 7 次迭代。表 3-3 到表 3-6
是第一次迭代 和 的值。
1, 0( 1,2,3,4)i iV i
5 , 0V
1, 1i il u
2 1 21, 1, ,14 , 1 10, 1 10 1,2,3,4,5i i i iz i y E y E i L
610
, ,x y zL L L wL
各次迭代过程各节点电压增量，有功源有功、无功源无功出力增量的变化情况如
表 3-7 和表 3-8 所示。
将各次迭代过程中 Gap 变化情况绘制成曲线．可以显示出跟踪中心轨迹内点法
最优潮流的收敛持性，见图 3-3。
图 3-3 5 节点系统最优潮流内点法收敛特性
计算结果与原潮流计算结果比较见表 3-9 到表 3-11。从表中看出，由于 4 机组
比 5 机组的燃料耗费曲线系数小，因此 4 机组有功出力增加，5 机组有功出力减
少。同时系统的网损、无功出力都有所增加。这是由于要将 1 节点电压始高至其
下界以满足不等式约束的要求而产生的副作用。但是网损的增加并不影响目标函
数的优化，整个系统的燃料费用与不优化的潮流计算相比仍然减少了 ＄。
如果固定发电机组 4 的有功出力为 5，最优潮流计算只能起到减小网损、优化系
统无功的作用。从表 3-12 到表 3-14 的结果可以看出，系统的网损减少了
0．0178，即 1．78MW，从而整个系统的燃料费用减少了 ＄。节点 1 的电
压抬高至 0．9129，整个系统无功出力减少 0．2339，即 23．39MVA。
最优潮流在电力市场中的应用
综述
最优潮流问题指的是在满足特定的系统运行和安全约束条件下，通过调整系
统中可利用控制手段实现预定目标最优的系统稳定运行状态。它把电力系统经济
调度和潮流计算有机地融合在一起，以潮流方程为基础，进行经济与安全(包括
有功和无功)的全面优化，是一个大型的多约束非线性规划问题。利用 OPF 能将
可靠性与电能质量量化成相应的经济指标，最终达到优化资源配置，降低发电、
输电成本，提高对用户的服务质量的日标。很明显，最优潮流所具有的技术经济
意义是传统潮流计算所无法实现的。20 世纪 90 年代世界范围内的电力工业改革，
将经济性提高到一个新的高度，给最优潮流的研究注入了强劲的动力。无论是节
点实时电价与辅助服务定价、输电费用计算、网络阻塞管理、可用传输容量估计
等电力市场理论和实践中的重要课题，最优潮流都可以作为其理想的研究工具。
实时电价的概念是 1988 年由 Schweppe 等人[27]引入电力系统的，它将经济
学中达到全社会效益最优的边际成本定价理论应用到电能这一特殊商品，并强调
了电能价格随时间、空间的不同而不同。它有严密的数学推导，但是由于历史局
限，它还不能直接应用于当前的工程实际中[28，29]。
随着最优潮流技术的飞速发展和日趋实用化，基于最优潮流的实时电价理论
和表达式被提了出来。文献[30]使用了改进 OPF 模型中有功价格响应来分析实时
电价政策的作用，这是 OPF 应用于实时电价的首次尝试。文献[31]通过引入无功
价格丰富了文献[30]的模型，并指示出 OPF 模型中潮流方程对应的拉格朗日乘子
与节点功率注入边际成本之间的关系，进一步证明了 OPF 是一种极具潜力的实
时电价计算方法。
电力市场中辅助服务主要包括 AGC、热备用、冷备用、电压／无功支持和
黑启动等。文献[32]讨论了旋转备用定价问题，这一模型通过将用户因断电而获
得的赔偿费用加入到目标函数中以体现这样一个思想：由于发电容量或传输容量
不足而造成的供电事故将导致社会总效益的减少。文献[33]研究了系统中各发电
机组对系统功率平衡所起的作用，进而分析了能量平衡辅助服务的定价。文献[34，
35]提出了基于修正最优潮流模型的一体化实时电价算法，给出了各拉格朗日乘
子所包含的辅助服务的经济学信息。文献[36]通过考虑更多辅助服务以及电压质
量，提出了一种更先进的最优潮流价格模型，并利用内点算法求解，最终将实时
电价分解为 4 部分：①发电边际成本(即 OPF 中节点功率平衡方程对应的拉格朗
日乘子)①网损补偿费用；①有功、无功耦合关系；①安全服务费用，对于有功来
说指的是阻塞管理费用，对于无功而言还应加上无功／电压支持服务费用。
“电网开放”是电力市场的一个重要特征。作为电力市场运营平台的输电网，
其功能和角色发生了重大变化。如何在市场环境下准确地计算输电费用，是一个
具有挑战性的新课题。在实行市场化的初始阶段，人们为了计算输电费用，提出
了各种模型和算法。在 3．4 节我们将介绍一种潮流追踪法。文献[37，38]利用 OPF
的模型研究了一种拍卖“输电权”的机制。输电权概念的提出打破了以往研究输电
费用的思路，跳出了物理意义的局限，认为 ISO 只需保证注入节点(如发电机或
电力销售商)与输出节点(电力用户)之间的功率注入和输出，而无需关心网络中潮
流的分布情况。采用基于拍卖机制的优先权保险服务方式出售输电权，输电网用
户必须根据所需功率事先购买“使用权”，以免在输电网发生阻塞时执行电力交易
合同出现困难。
在电力市场机制下，由于双边合同和多边合同的日益增多，系统的安全稳定
运行越来越受到各方面的重视，输电阻塞成了影响系统安全运行的首要问题。
网络阻塞缓解可从以下几方面入手：①阻塞线路切换[39]；①调节变压器和调
相器抽头[40]；①使用灵活交流输电系统[41]。这三方面都是从网络物理特性考虑的。
在电力市场条件下，阻塞缓解研究的焦点是希望利用价格手段进行电力交易量的
增加或削减。从而降低过载线路的潮流功率。由于市场模型、政治体制、技术发
展状况等许多因素的不同，世界各国的电力市场采用了不同的阻塞管理方案，一
般来说可将其划分为 3 大类，即交易合同的削减、输电容量预留和系统再调度。
根据不同时间、不同情况采用这 3 种手段的结合是最有效的方法。文献[42]提出
了一种阻塞管理 OPF 模型，依据发电厂和用户的调整报价，可以同时调整实时
平衡市场下的发电机出力以及必要时削减部分短期双边合同量。文章应用改造的
线性原对偶内点法求解 OPF 模型。目标函数是调整费用最小(详见 节)。
在电力市场环境下，为了最大限度地降低输电成本，输电网已不得不把其传
输容量极限研究作为提高经济效益的主要手段。系统输电能力的估计不仅能指导
系统调度人员的操作，保证系统安全可靠运行，具有技术方面的价值；同时输电
能力也具有市场信号的作用，能为市场参与者进行决策提供参考。可用传输容量
(ATC)指的是在一定系统运行条件下，节点与节点之间(或一个区域与另一个区域
之间)所有输电路径能可靠地转移或传输功率能力的量度(详见第 3．5 节)。可用
传输容量也能作为—个优化问题来求解。文献[43]提出的算法使用直流模型，考
虑了各种安全约束，利用线性规划的优化方法计算单个电源负荷母线组或输电走
廊的 ATC。然而系统中无功／电压水平直接影响着传输功率的提高，因此基于
直流潮流模型的 ATC 计算不够准确。为此，文献[44]采用多层前馈神经网络方
法求解以区域间最大输电容量为目标函数的交流 OPF 模型。文献[45]提出了“OPF
十 MAT(Maxtmum Allwable Transfer)”的方案，它通过减少运行在接近稳定极限
设备上的功率来满足系统稳定约束，然后将减少的功率在其他设备中优化配置以
保证指定联络线路传输功率最大。
以上介绍了在电力市场环境下 OPF 的多种应用场合。实际上，OPF 在电力
市场中不同的功能，主要取决于不同的目标函数，不同的控制变量、状态变量，
以及不同的约束条件的组合。具体比较参见表 3-15。
基于最优潮流的阻塞管理方法
起初，阻塞管理的基本思路就是在竞价市场和双边合同市场之外建立一个实
时平衡交易市场、鼓励尽可能多的发电厂和电力用户参与市场竞争，协助调度部
门修订调度计划，解决传输阻塞问题。但随着电力市场中双边合同数量的增加，
产生了一个新问题，就是平衡市场中的电源可能逐渐难以满足阻塞管理的要求。
因此，为了保证系统的安全运行，解决阻塞问题，就必须根据市场竞价修正某些
双边合同，此时应调整与该合同有关的发电厂出力和电力用户的负荷。
利用最优潮流可以根据市场报价调控实时平衡市场中发电厂的出力，在必要
时可通过竞价手段削减某些双边合同量。以下介绍一种根据思路建立的书写模型
[34]。市场参与者提出增减出力报价，设目标函数为调整费用最小，应用改进的
非线性原对偶内点法最优潮流可以有效地进行阻塞管理。
图 3-4 表示了一条发电机(厂)的有功调整竞价曲线。图中横坐标 表示发电
机 的总有功出力，纵坐标 表示发电厂商的调整报价。其中 表示要求发电机
增加出力时的报价， 表示要求发电机削减出力的报价；以 表示要求削减节
点 之间双边合同量时的报价； 为初始有功出力； 为节点 间的双边合
同量； 和 分别为发电机 的有功出力上下限。
图 3-4 平衡市场中发电机的报价曲线
从图 3-4 中可以看出，增加出力的报价一般高于削减出力的报价，而双边合同削
减量的报价是最高的。这是因为，增加机组出力比削减出力要付出更多的燃料费
用。对双边合同而言，由于涉及到合同双方的经济利益，原则上应该得到充分保
rP
i rb ib
ib
,i j
ib
,i j 0iP
,i j
iP ,i j
max
iP
min
iP i
证，因而削减合同量的报价最高。另外，用户也可以进行报价，其竞价曲线与发
电机类似，这里只考虑削减负荷的情况(包括单独削减和双边合同的削减)。通常
情况下，削减用户负荷的报价要高于机组出力的调整报价，这也是由经济利益决
定的。
阻塞管理的数学模型的目标函数为
上式中的前一项表示发电机或负荷在平衡市场中的调整费用，因为增量报价
与减量报价 是不同的(对于负荷只含 )，因而这一项是不定的，需要在迭代
计其中视 的值(是大于 还是小 )来确定。后一项表示所有与节点 相关的双
边合同的削减费用之和。需要指出的是，式(3-38)中的户 、 与图 3-4 中的
、 不同，前者表示节点总出力减去双边合同量的值，即为实时平衡市场中
的出力，三者的关系可以表示为
阻塞管理的数学模型的约束条件包括
对发电机节点( )：
对负荷节点( )：
ib
lb
ib
îP îP îP i
îP
0
îP
îP
0
îP
Gi N
Li N
对所有节点( )：
式中： 为负荷总数； 为节点注入无功(对于发电机节点为无功出力，对负荷
节点为无功负荷)； 分别为发电机无功出力上下限约束。
式(3-39)也表示负荷节点的功率情况， 为节点总负荷， 为该节点在平衡
市场中的负荷(另一部分负荷通过双边合同获得)。
阻塞管理的目标函数是管理费用最小，当阻塞消除后，由调度管理中心付给
各市场参与者。 、 、 可以看作是优化过程的控制变量，是需要调整的；
为状态变量，其值由控制变量决定。调度管理中心要指定一个发电厂作为
平衡节点，用以补偿网损。式(3-39)一(3-41)以及式(3-49)分别为发电机节点和负
荷节点的功率平衡方程式，式(3-47)、式(3-48)以及式(3-43)、式(3-44)为变量的不
等式约束，式(3-45)为线路有功潮流约束，包括普通线路和变压器。
因为阻塞问题本身就是一个违反约束的典型情况，特别是线路容量约束属于
函数不等式约束，需要把函数值严格限制在约束以内。采用内点法可以最大限度
地发挥处理函数不等式约束的优势。
阻塞管理计算过程可简单归纳如下。
第一步：通过日竞价市场和双边合同市场的竞价行为得到初步的调度方案。
第二步：在实时平衡市场中进行阻塞管理报价，运行牛顿—拉弗森法潮流程
序，得到各初始状态量。
第三步：检查是否有线路传输功率越限，如果有，继续第四步；若无，则输
出结果无阻塞现象，可以正常运行。
i N
LN iQ
min max,i iQ Q
iP îP
îP
,i j
iP iQ
,i iV
第四步：根据各市场参与者的报价运行阻塞管理程序。
第五步：得到优化的阻塞管理策略，输出结果。
【例 3-2】 系统接线和初始潮流如图 3-5 所示。系统中有两台发电机(厂)G1
和 G 2，3 个用户 L3、L4 和 L 5，一个双边合同，合同功率值为 300MW，从 G2
流向 L5，这是在短期双边合同市场中形成的，其余的电源和负荷均由调度管理
中心在日竞价市场中调度。试解决系统阻塞管理问题。
【解】 在实时平衡市场中，G1、G2 和 L4 向处理函数不等式约束的良好
性能提交自己增加和削减出力(负荷)的报价来参与实时阻塞管理中的竞争。双边
合同交易方也向处理函数不等式约束的良好性能提出了自己的削减报价：
从各方报价可以看出，负荷削减的报价要高于发电机的报价，因为发电机更
容易调整力，而双边合同的削减价格远远高于以上两者，因为交易双方由于经济
利益都不愿意削减合同量，因此只有在网络阻塞状况极其严重，而且仅靠实时平
衡市场中的电源难以满足要求的情况下才削减双边合同量。
1)只调整发电机出力，不需调整双边合同和负荷。
假设出于某种原因支路 4-5 的功率极限降到 100MW，小于正常情况下的潮
流功率值，即发生了阻塞。为了消除阻塞，运行阻塞管理程序，得到最经济的解
决方案，把 G2 的出力减小到 308MW，把 G1 的出力提高到 441. 8MW。计算结
果显示，线路 4-6 之间的潮流功率是 100MW，其余的约束条件也都满足要求，
全部的管理费用是 1253＄。在这种情况下 L4 和双边合同都末进行调整，因为它
们的报价远远高于发电机，而且只需调整发电机出力就可以解决这种情况的阻塞
问题，这种选择是由优化算法本身决定的。
2)需要调整发电机出力和双边合同。
假设因为某种原因，线路 2-4 的功率极限降到 250MW，显然，G2 的输出功
率被限制住 250MW，这样导致必须削减节点 2 和 5 之间的双边合同才能满足要
求，因为 P2，5＝300MW。运行阻塞管理程序得到以下调整策略：
①电机 G2 在实时平衡市场中削减 200MW；
① 削 减 双 边 合 同 50MW ， 即 G2 和 L5 要 同 时 削 减 50MW ， 即 P2 ， 5 ＝
250MW，G2 全部用于满足双边合同，在平衡市场中出力为 0；
①增加 G1 的出力至 。
这种情况下总的调整费用为 7192＄，线路 2-5 的功率限制在 250MW，其余
约束均满足安全要求。
3)负荷也参与阻塞管理。
前两种情况都没有涉及负荷的调整，当阻塞进一步严重时有必要对负荷进行
削减才能解决阻塞问题。结合前两种情况，即 4-5 支路的功率极限降到 100MW，
同时 2-4 的功率极限为 250MW，这种情况下，除了调整双边合同量，还要同时
削减节点 4 的负荷 L4。计算结果显示，除了双边合同削减了 50MW，负荷 4 也
削减了 47．4MW，G1 的出力为 392．9MW，G2 的出力为 250MW，这时调整
费用为 7385＄，各条线路满足约束条件。
潮流追踪问题
在电力市场环境下，发电、输电和配电业务将分开经营。输电成为一种特殊
的业务，向独立发电厂或电力批发商提供服务，或为其他电力公司提供转运服务，
后者都成为输电系统的用户。这样，就会涉及定义对这些用户的服务项目和确定
过网费等问题。在这种情况下，调度人员不仅要知道整个电力系统的潮流分布，
而且要知道用户对电网输变电设备的利用份额是多少，网损应如何分摊等等。解
决这些问题是度量输电服务的关键，对确定输电费用有直接影响。
当前国际上采用的确定过网费的方法有：只按输送的电能计费的邮票法；主
观地规定用户的潮流流向的合同路径法；在假定其他输电业务都不存在的情况下，
计算某一特定输电用户在电网中的潮流分布的兆瓦—公里法等等[46]。这些方法
都难以准确量度输电用户对输变电设备的实际利用情况,由此得到的过网费难以
达到公平合理。更重要的是，这些过网费其法不能给输电用户以正确的信息，从
而可能引起过负荷并危及电力系统的运行。为此，必须能够准确分析各种运行状
态下输电用户的潮流分布问题，这就是潮流追踪问题。
目前，已有一些文章对潮流追踪问题进行了研究。文献[47]提出了一种有功
潮流追踪方法，可以求出从某一电源到某一负荷点的有功功率大小，也可以求出
某一电源或某一负荷点功率占用某条输电线路的份额，从而可以进行相应的损耗
分摊及投资回收分摊，但该方法只适应于无环网络。文献[48]提出了两条电流分
解公理，解决了电路中各支路电流的构成和追踪等基尔霍夫定理没有涉及的问题。
在此基础上，提出了有功潮流追踪的算法并应用于网损分摊及输电设备利用份额
的分摊中[49,50]。这种方法可以考虑环形电网，克服了文献[47]的不足。文献[51]
也是以有功潮流追踪为基础，利用边际成本法计算输电费用，包括固定成本、线
损成本和阻塞成本。
本节介绍有功功率的追踪问题，这是过网费分析的基础理论。首先，归纳作
为过网费潮流分析基础的两条电流分解公理，据此推导分摊网损和确定输变电设
备利用份额的基本原则。其次，以图论为依据，引出一种电力系统输变电设备利
用份额和网损分摊问题简单、高效、通用的算法。
在过网费计算中，网损分摊问题及输变电设备利用份额问题主要涉及有功潮
流的一些量，因此为了简化叙述，在以下讨论中忽略无功潮流的影响。
如读者有兴趣进一步了解潮流追踪问题方面的进展，可参考文献[52]
电流分解公理与网损分摊原则
迄今为止电路的研究都限于各电路元件的总电流及其相应的物理效应，未涉
及这些电流的构成和效应的分摊问题。过去在电力系统的潮流计算中，我们也只
关心输电线路及变压器中通过的总电流(功率)及相应的压降及功率损耗。但是，
在研究过网费问题时，就不得不进一步对网络中各支路电流的组成及其对网络的
影响进行分析计算。在这种情况下，仅用基尔霍夫电路定律已经不够。为了解决
这类问题，首先应补充两条关于电流分解的公理[48，49]。
公理 1 电流分量沿支路不变。
设支路 通过电流 ，其中含有 L 个电流分量 ( )：
该公理断言，所有电流分量 利总电流 一样在该元件首末端不变。如果
和 分别表示支路 首末端电流分量，则有
这个公理可以由电源向电路元件首端注入的电荷应一个不少地从末端流出
这一直观印象得到解释。由此公理可以得到两个推论。
在引入推论之前，先给出“利用份额”的定义。设支路电流 中电流分量
( )分别由 L 个电源提供，则其中电源 对该元件的利用份额 为
推论 1 电源(或负荷)对各支路的利用份额在首末端相同。
在电力系统中常用功率代替电流。设元件首、末端电压分别用 和 表示，
则元件首、末端的总功率为 和 ，而电源 提供的首、末端的功率为
k kI k lI (1, 2, , )l L L
k lI kI
k lI k lI k
kI k lI
1,2, ,l L L l k lf
sV RV
s kV I R kV I l s k lV I
和 我们有
因此，当“利用份额”采用功率比值定义时，首末端的值也一样，等于相应电
流的比值，在以后讨论中电流比值和功率比值也可以相互替代。
推论 2 支路上的功率损耗应按各电流分量的比例分摊。
支路 上的功率损耗 可表示为
由电流分量不变公理可知电流分量 引起的功率损耗为
由式(3-54)、式(3-55)即可得到功率损耗按电流分量成比例分摊的结论：
在研究配电网损耗分摊的文献中，也曾提出按电流平方分摊损耗的原则，即电流
分量 应分摊的网损 按下式计算：
我们认为这种分摊原则不合理，因为它可能使全局网损和电源分摊网损的增长趋
势出现矛盾的情况。设想一个单位电流的电源 接入一条电流为 的输电线路，
若线路电阻为 1，则由于该电源的接入使整个网损增加 ：
该电源 按电流平方分摊的原则，应承担的网损为
R k lV I
k ( )kP
k lI
k lI ( )k lP
g x
P
g
其极大值出现在 时， 当 时逐渐下降。且当 时， 。
因此，电源 引起的网损 愈大，其承担的网损反而愈小，显然不合理。而按
电流分摊时，电源 应承担的网损为
在这种情况下， 与 同步增长，从而使输电线路用户更关心整体网损的降
低。
此外，按电流平方分摊网损将使电源对线路的利用份额在首末端不再保持一
致，这将引起概念上和计算上的混乱。
公理 2 注入电流在同一节点各出线的分量与相应出线的总电流成比例。
设节点 有 条出线，其电流各为 （ )。该公理断言某电源
在此节点注入电流 时，它在出线 中的电流分量 为
这个公理可以理解为注入电流的电荷随机地分配到各出线，而分配到各出线
的概率与其总电流成比例。在引出下一推论之前，先给出“节点网损”的定义。
定义 对于电网中节点 来说，从电源输电到该节点引起的全部网损叫做节
点 的网损(以下用 表示)。
当节点 的全部电能直接由电源通过线路送电时，节点 的网损就等于该节
点所有进线的网损之和。
推论 各出线分摊节点网损的份额与其电流(或功率)成比例。
设节点 共有 条进线，只与电源相连，因此节点 的网损 为
1x 2gP 1x x 1gP
g P
g
P P
i 0L kI 01,2, ,k L L
lI k k lI
i
i iP
i i
i iL i iP
根据公理 1 的推论 2 及公理 2 可知，进线 的网损 在出线 应分摊的损耗为
式中： 为节点 的出现数。出现数 应分摊的总网损为
式中： 为分摊系数
当节点 的进线不是全部直接与电源相连时，式(3-60)和式(3-61)亦可用递归
的方法得到证明，在此不再赘述。
网损分摊问题的数学模型
在潮流计算之后，系统的总网损及各支路的功率损耗 已知，现在的问题
是如何把网损分摊到各负荷或者各电源。以下首先讨论把网损分摊到负荷上的数
学模型。
为 了 求 出 各 负 荷 应 分 摊 的 网 损 ， 关 键 在 于 求 出 各 节 点 的 网 损
。 包括两部分：
(1)进线集 中各线路网损 之和。
(2)通过进线集 转送节点 的网损 的部分。
对节点为 N 的系统来说，电网损耗平衡方程式有如下形式：
m mP k
0L i k
i ka
i
ijP
1,2, ,iP i N L iP
_ji i ijP
_ji i j jP
式中： 为 通过节点 的出线 向节点 转移的网损的系数。支路 的序
号为 。由式(3-61)可知
式中： 个为节点 的负荷功率； 表示节点 的出线集。
式(3-62)为 个线性方程组，包含 个未知数 ，故可用一
般线性
方程解法求解。
在求出各节点网损 之后，即可按下式求出各节点负荷应分摊的网损：
当需要把网损分摊到电源上时，其算法类似。在这种情况下，网损的平衡方程式
为
式中： 为 通过节点 的进线 向节点 转移的网损的系数，支路 的序号
为
式中： 为节点 电源的功率。当求出各节点网损 之后，就可按下式计算
各电源分摊的网损，
j ka jP j ji i ji
k
L
jP j j j
N N 1,2, ,iP i N L
jP
i ka jP j ij i ij
k
G
jP j jP
对上述的数学模型中方程组式(3-62)或式(3-65)可以用一般线性方程解法求解，得
到各节点的网损 ( )，然后再根据式(3-54)或式(3-67)求出各节点
负荷或电源应分摊的网损 ( )，但这样计算量大且不灵活。我们
利用图论的理论开发了非常简单而有效的算法(理论详见 节)。现将对负荷
分摊网损的算法叙述如下：
步骤 1：准备计算，其内容包括潮流计算，并根据潮流的方向形成 、
、 、 。
步骤 2：搜寻 的节点 ，由于节点 无进线，故 ，或已按式
(3-62)累积完毕， 已知，作为待消去节点。
步骤 3：根据式(3-64)汁算节点 的负荷应分摊的网损。
步骤 4：对 的所有节点 按式(3-62)累计 ，并将节点 的进线数
减 1。
步骤 5：对 赋值一 1，表示此节点已消去。
步骤 6；返回步骤 2，寻找下一个进线为 0 的节点，直至进线为 0 的节点全
部消去。
现在仅以 IEEE 的 24 节点 RTS 系统[56]为例，介绍计算结果。该系统的潮流
计算以节点 23 作为平衡节点，其他电源均为 节点。整个电力系统的网损为
，标幺值为 。
首先，我们把这些网损对系统中各负荷进行分摊。计算的消去顺序如表 3-16
所示。由表中可以看出，第一个消去的节点是节点 1，同时消去了支路 1、2、3；
然后消去节点 2，同时消去支路 4、5；第三个消去的是节点 7，同时消去支路
11……如此下去，直到消去全部节点。最终得到各负荷的网损分摊(标么值)情况，
jP 1,2, ,j N L
jDP 1,2, ,j N L
j
j d j d j
0d j j j 0jP
jP
j
ji j i jP i
d j
d j
PV
如表 3-17 所示。
由表 3-17 可以看出，由于各节点在电网中所处位置不同，其网损相差很大(这
里网损率是指各节点分摊的网损与该节点的负荷功率或电源功率之比)。目前，
各系统对不同负荷均采用同一网损率的做法是不合理的。为了公平地确定过网费，
在系统中应对不同负荷采用不同的网损率，这样可以促使系统电源与负荷的分布
更加合理。
当把网损向电源分摊时，最终得到的网损分摊情况列于表 3-18 之中
输电设备利用份额问题
以下讨论用户对输电设备的利用份额的分析理论和算法。首先，以 节
中两条电流分解公理为基础，建立了求解输电设备利用份额的数学模型。为了进
行有效的求解，对潮流标注有向图的持性进行了研究。研究表明此类有向图上不
可能存在有向回路。在此基础上开发了适合任何复杂网络结构的输电设备利用份
额的计算方法。
在电力系统给定运行方式下，通过潮流计算可以求得各输电线路及变压器中
(以下统称支路)的潮流。现在要讨论的问题是如何确定用户(独立电源或电力批发
商)电力在电网中各支路的分布情况。
根据问题的性质，可以计算电源电力在电网各支路的分布，或者计算用户负
荷电力在电网各支路的分布。以下我们主要讨论电源电力在电网各支路的分布，
即确定电源对输电设备的利用份额。确定负荷对输电设备的利用份额的模型及算
法完全类似。
设电力系统有 个节点， 个电源， 条支路。现在希望求出一个
的矩阵 F，其中元素的定义为
式中： 、 为支路 的有功潮流及电流； 、 为电源 通过支路
的有功潮流及电流。
因此，矩阵 F 的元素 即表示在给定运行方式下电源 利用支路 的份
额。显然，
为了建立这个问题的数学模型，必须要利用第 节中的公理。首先，由
公理 1 可知，式(3-68)中电源 对支路 的利用份额 在该线路的首末端是一
致的。因此式中功率 、 和电流 。 既可取支路首端的值，也可
取支路末端的值。第 节中公理 2 断言，注入电流在该节点各出线的分量与
相应出线的电流成比例。用公式可表示为
N GN BN B GN N
kP kI k k mP k mI m k
k mf m k
m k k mf
k mP kP k mI k mI
式中： 为电源 在节点 的注入电流； 为节点 流出或注入的总电流。
用节点 的电压相乘，将式(3-70)写为
式中： 为 电源在节点 的注入功率； 为节点 的注入总功率或流出的
总功率。将上式代入式(3-68)可得
因此，如果我们能求出各电源在各节点的注入功率 ，就可以根据上式求出电
源 对节点 各出线的利用份额。为此，应首先建立各电源功率与各节点总输入
功率之间的关系。
对于一般 节点的系统的潮流分布，我们可以写出如下关系：
式中：
分别为节点电源功率矢量及节点的总输入功率矢量；A 为 阶方阵，其中元
素定义为
（3-73）
式中： 表示支路 为节点 的进线。
在电力系统潮流计算之后，各节点的总输入功率及各支路的潮流已知，故 A
阵各元素为已知数。求解式（3-72）得
式中： 表示了各电源对各节点总输入功率的贡献。进一步可以写出各节点总
miI m i iP i
i
miP m i iP i
miP
m i
N
g nP AP
1 2, , ,g g g ngP P P P L
1 2, , ,n nP P P P L
N N
1 ( )
_( )
0 (
ij ij i
i j
a P P ji i
其他）
_( )ji i ji i
1
n gP A P
1A
输入功率与该节点各出线功率的关系：
式中： 为 维支路功率矢量：
其中元素均为各支路的首端潮流功率。C 为 阶矩阵，其元素的定义为
（3-76）
其中 表示支路 为节点 的出线。
将式（3-74）代入式（3-75）得
（3-77）
式中：
（3-78）
由式（3-770 可知，节点 的电源对支路 的有功潮流的贡献为
（3-79）
因此，根据式（3-53）即可求出节点 电源对支路 的利用份额,也可用来
方便地解决第 节中的网损分摊问题。
图论方法
一个标注的潮流分布图是有向图，电网的接线图是相应的基图。不同的运行
方式的潮流方向不同，因而对应不同的又向图。电网个支路的方向由实际潮流的
有功功率方向确定。对每一支路而言有起点和终点。对每一个节点 而言有出线
和进线，出线数用 表示，进线数用 表示。出线支路集用 表示，
进线支路集用 表示。
沿支路的方向前进可以形成有向道路。当有向道路的起点和终点为同一节点
时成为有向回路。在潮流标注图中设 分别表示支路 的电阻、电
B nP CP
BP BN
( )1 2, , , B
t
B k NP P P P P L L
BN N
( )
( )
0 (
k i
k i
P P k i
C
其他）
k i k i
1
B g gP CA P BP
1B CA
i k
igk i k iP b P
i k
i
d i d i i
i
, , ,k k k kR X P Q k
抗和有功、无
功潮流，我们提出如下定理：
定理 1 在电力系统标注潮流的有向图上，当沿有功潮流方向各文路满足
时，则该有向图不存在有功潮流的有向回路。
证明 采用反证法。如果存在有向回路 ，则沿该回路各支路首末端电压相
角差之和为零：
式中： 为支路 首末端电压相角差，可表示为
式中各电气量均取文路 的末端值。当 时， ，因此式
(3-81)不成立，从而不可能存在有向回路。证毕。
应当指出，这是一个充分条件。也就是说，即使个别支路不满足此条件，也
未必存在有向回路。一般潮流分布均能满足定理中 的条件。当有
支路不满足此条件时，该支路的功率必然很小，在计算中可以忽略不计，假定此
线路断开。
定理 2 当有向图中无有向回路时，至少有两个节点分别满足 和
。
证明 采用反证法。假设所有节点都有 ，即每个节点都至少有一条
出线。那
么，从任意节点 出发，可沿其出线到下一节点 ，然后又沿 的出线到下一
节点 。这
样下去可能出现两种情况：一种是无穷无尽地巡游下去，这对有限图来说是不可
能的；另
一种是存在有向回路，这和定理的前提矛盾。因此，至少有一个节点满足 。
k k k kP X Q R
L
k k
k k k k kP X Q R 0k
k k k kP X Q R
0d i
0d j
0d i
1n 2n 2n
3n
0d i
用类
似的方法可以证明至少有一个节点满足 。证毕。
结合定理 1 和定理 2 可得到如下推论。
推论 在潮流标注的有向图上至少有一个节点无出线，至少有一个节点无进
线。
在引出下一定理之前，先给出一个定义。设 为有向图 D 的一个节点，且
。消去节点 及出线集 的过程称为消去节点 的过程。
定理 3 有向图 D 不存在有向回路时，可通过消去过程去掉 D 的全部支路。
证明 设有向图的节点集为 ，有向支路集为 。当有向图 不存在
有向回
路时，由定理 2 知至少有一个节点 满足 。对 实现消去过程去掉
中的支路。消去 后形成子图 。由于 ，，故 仍不存在
有向回路。因此， 中必有节点 满足 ，从而可对 实现消去过程。
这样下去，经过不大于节点数的递归消去过程就可以去掉 的全部支路。证毕。
以下用图 3-6 为例说明消去过程。如图 3-6(a)所示，该有向图不存在有向回
路，并且 。因此，首先消去节点 1 及相应的出线(1)、(2)、(3)。消去节
点 1 后形成子图
如图 3-6(b)所示，此时， 。从而下一步可消去节点 2 及相应的出线(4)。
消去节点 2 后形成子图 如图 3-6(c)所示，此时， ，从而进一步可消
去节点 4 及相应的出线(5).至此消去过程全部结束。
0d j
i
0d i i i i
V U ,D V U
1i 1 0d i 1i 1i
1i 1 1\ , \D V i U i D D D
D 2i 2 0d i 2i
D
1 0d
D
2 0d
D 4 0d
图 3-6 消去出线过程的例子
在以上消去过程中。顺次对满足 的节点消去 中的支路，称为
消去出线过程。消去过程也可以顺次对满足 的节点消去 中的支路，
称为消去进线过程。其相应的定义、定理相以上讨论类似，不再赘述。这两种消
去过程是实现输电设备利用份额问题和网损分摊问题计算方法的基本框架。利用
这两种算法可以把输电设备利用份额和网损分摊到电源，也可以分摊到用户。
为了解释这个算法，我们将用图 3-6(a)所示的简单系统来求解输电设备利用
份额问题。图 3-6(a)上标注了这个系统的有功潮流。
首先消去节点 1，因为 。由图可知，
，根据式(3-80)可得
根据式（3-73），将 通过系数 转移至节点 2、3、4：
这样一来就完全消除了节点 1 及其出线。该系统简化成图 3-6(b)。
由于此时 ，因此现在应消去节点 2。由图可知
。根据式(3-71)可得
根据式(3-73)，将 通过系数 转移至节点 4：
0d i i
0d i i
1 0d
1 1 1,1400, 400, 1 1 , 2 , 3GP P P
1,1P jia
2 0d
2 2,1173, 59, 2 4P P
2,1 2,2,P P jia
到此我们就完全消除了节点 2 及其出线。该系统简化成团 3—6(c)。
最后，由于此时 ，所以我们接下来消去节点 4。此时，
根据式（3-80）可得
现在我们已完成了全部的消去过程。表 3-19 给出了该系统的分布系数。
4 0d
输电系统可用传输能力
可用传输能力(ATC)概述
电力系统输电能力对于整个系统的安全可靠性有着很大的影响。传统垂直管
制环境下，区域间的输电能力仅仅是系统调度员调度时的一个参考信息，了解系
统目前运行状态离各种约束的距离。而在电力市场环境下，系统运行不确定性增
大，电能交易瞬息万变，支路过负荷、节点电压越限等故障更有可能发生。这就
提出了如何准确、高效地计算输电网输电能力的问题。
电网输电能力计算的研究始于 20 世纪 70 年代，但直到 1996 年美国联邦能
源委员会(FERC)颁布了“要求输电网的拥有者计算输电网区域间可用传输能力
(Availab Transfer Capability，ATC)”的命令后，这方面的研究才受到众多工程人
员和研究学者的注意[57]。其后，北美电力可靠性委员会(NERC)给出了 ATC 的定
义[58]：ATC 是指在现有的输电合同基础之上，实际物理输电网络中剩余的、可
用于商业使用的传输容量。此定义说明，电力市场环境下，电网输电能力的问题
不再是原来意义下简单的区域功率交换能力，而是基于已有的输电合同，在保证
系统安全可靠运行的条件下，区域间或点与点间可能增加输送的最大功率。它是
在现有的输电合同基础之上，实际输电网络保留输电能力的尺度，可以概念性地
表示为
式中：TTC 为最大输电能力，反映了在满足系统各种安全可靠性要求下，互联
系统联络线上总的输电能力；TRM 为输电可靠性裕度，反映了不确定因素对互
联系统间输电能力的影响；CBM 为容量效益裕度，反映了为保证 ETC 中不可撤
销输电服务顺利执行时输电网络应当保留的输电能力；ETC 为现有输电协议(包
括零售用户服务)占用的输电能力。根据 ETC 合同的稳定程度，可以使用诸如“可
撤销”和“不可撤销”、“计划”和“预约”传输来进一步描述输电合同。当互联网络间
的输送电量过大，随机干扰危及系统运行安全时，需要削减部分输电业务。这时
就引起了输电阻塞。
从上述 ATC 定义可以看出，不确定性因素对输电系统可用传输能力 ATC 的
影响很大，例如线路和发电机故障都可能导致网络输电能力的急剧下降。因此，
如何处理网络不确定性因素的影响，高效、较精确地计算 ATC，既是 ATC 计算
中的关键问题，也是目前 ATC 研究中急需解决的难点。
ATC 用来评估未来一段时间(一小时、一天或更长)网络的额外输电能力。因
此，ATC 的计算值需要按要求的时间段进行更新，根据对网络输电能力预测时
问的长短，ATC 的计算分为在线 ATC 计算和离线 ATC 计算。
离线 ATC 计算时，网络的不确定性因素对 ATC 计算的准确度影响较大。一
般来说，预测时间越长，不确定因素对 ATC 的影响越大。为了保证 ATC 的计算
值在商业应用可接受的范围内，同时减小计算量和节约计算时间，一般采用概率
性模型计算 ATC。
在线 ATC 计算时，由于预测时间较短，只需从大量预想故障中选择一些可
能是最严重的故障进行研究，这样计算量就大大减小了。因此，从实时应用的角
度来看．在线 ATC 计算时一般选择确定性模型。
以下就这两类 ATC 的计算方法作简要的介绍
1．基于确定性模型的算法
目前基于确定性模型提出的算法主要有以下几种：
(1)线性规划阶[59]。该算法使用直流潮流模型，考虑各种安全约束条件，利
用线性规划的方法计算 ATC。由于算法基于直流潮流．忽略了电压和无功的影
响，不适用于缺乏无功支持和有效电压控制的重负荷系统。此外，线性规划法随
着系统规模的增大，计算时间急剧增加，因此也不适用于大系统的 ATC 计算。
(2)连续潮流法(CPF) [60]。该方法基于连续潮流法可以跟踪潮流解轨迹的特点，
从一个基准潮流出发，逐步增加研究区域问的送受电量，直到电压静态稳定极限，
即系统的临界最大潮流点。它考虑了系统的电压、无功特性及其他非线性因素影
响，计算结果较之线性规划法更精确。但由于 CPF 在负荷量和发电量增加时，
采用的是一个公共负荷因子，忽略了发电和负荷的优化分布，可能导致 ATC 的
计算值趋于保守。
(3)最优潮流法(OPF) [61]。基于 OPF 的 ATC 计算是对应用 CPF 计算 ATC 的
改进。OPF 可以方便地处理各种系统约束及系统静态预想故障，对系统资源进行
优化调度，非常适合于 ATC 的计算。CPF 和 OPF 计算 ATC 时，或涉及非线性
方程的处理，或涉及系统资源的优化调度，计算速度非常慢。
(4)分布因子法[62]。该方法又称灵敏度分析法，是针对 CFF 和 OPF 计算量过
大的缺点提出的，它牺牲了一定的计算精度来换取较快的计算速度，求得近似
的 ATC 值。
(5)遗传算法[63]。该算法利用遗传算法能寻找全局最优解的特性，试图求得
最优的区域间可用传输容量。其计算速度、计算精度一般要优于 CFF。
(6)在线系统传输容量估测软件包(TRACE) [64]。该软件包是 EPRI 组织联合一
些电力公司于 1996 年后期开发出来，它也是第一个可用于实际系统的 ATC 应用
软件。该软件包根据能量管理系统(EMS)的实时状态估计数据计算给定路径上的
ATC 和 TTC，以优化系统中的电能交易。软件户内嵌的预想故障快速捕获程序
具有识别紧急预想故障的能力，因此非常适合在线 ATC 的计算。
在线 ATC 计算程序的运行机制如图 3-7 所示。它在能量管理系统(EMS)中与
如下模块进行信息交换：状态估计(SE)、安全分析(SA)、实时运行规划(COP)和
网络开放实时信息系统(OASIS)。由状态估计(SE)模块中获得系统当前运行状态；
由安全分析(SA)模块中获得系统预想事故集；由实时运行规划(COP)模块中获得
负荷预测、发电计划和故障设备信息。所计算的 ATC 值传送并发布到网络开放
实时信息系统(OASIS)模块上。
图 3-7 在线 ATC 的计算框架
电力市场环境下，进入电力行业行竞争的企业既包括以前的电力公司，也有由其
他行业转产到电力行业的新公司。为了保证电力市场的所有参与者都拥有平等的
使用输电设备的权利和机会，需要公布相关的输电网络信息，因此引入了网络开
放实时信息系统(OASIS)。传送至网络开放实时信息系统(OASIS)的主要内容包
括：界面标识、运行日期和时间、约束设备列表、最大输电能力(TTC)及可用传
输能力(ATC)。市场参与者通过公共媒体从 OASIS 上获得所关注系统的输电信息、
ATC 等信息，促进了发电商的竞价，拓宽了电力用户的选择范围，有利于降低
电能生产成本，提高电能供应质量。
2．基于概率性模型的算法
离线 ATC 计算中，需要考虑数目庞大的不确定因素，若逐一地考虑不确定
因素的影响计算时间难以满足实时系统应用的要求。因此，一般基于概率性模型
研究离线 ATC
的计算。
目前基于概率性模型提出的算法主要有以下 3 种：
(1)随机规划法[65]。该算法考虑了 3 种不确定性因素：发电机故障、输电线
路故障、负荷预测误差。前两种不确定性因素是服从两点分布的随机变量，负荷
预测误差是服从正态分布的随机变量。计算 ATC 时，首先用 SPR(two-stage
Stochastic Programming with Recourse)算法将离散变量连续化，然后基于 SPR 的
计算结果，用 CCP(chance Constrained Programming)处理连续变量，求得概率意
义下的 ATC。该方法涉及了概率潮流的计算、离散变量相连续变量的处理，计
算速度不够理想。
(2)枚举法[66]。该算法将系统状态校样和优化算法结合计算 ATC。由于枚举
法的指数时间特性使得这类方法无法用于大系统的 ATC 研究。
(3)蒙特卡罗模拟法[67]。这类算法是将蒙特卡罗模拟法和优化算法结合求解
ATC，是对枚举法的改进。蒙特卡罗模拟法能方便地处理电网中数目庞大的不确
定性因素，且计算时间不随系统规模或网络连接复杂程度的增加而急剧增加，因
此该算法非常适合大系统离线 ATC 的研究。
基于概率模型计算 ATC 时，我们不仅可以得到 ATC 的期望值，而且根据 ATC
的样本值可以方便地绘出 ATC 的概率密度曲线和样本分布函数曲线，估计 ATC
的期望值在某一置信水下下的置信区间，及某项电力交易被削减的风险。
ATC 的这些统计信息，一方面可以指导电力系统运行方式的安排；另一方面可
以用于预测未来一段时期的电力交易价格，指导电力交易商的市场行为。
总之，ATC 计算中的关键问题是如何合理地处理不确定因素的影响，平衡
计算精度和计算时间二者间的矛盾。在线 ATC 计算时考虑的不确定因素相对较
少，可采用确定性模型；而离线计算 ATC 时由于需要考虑数量庞大的不确定出
素，一般采用概率性模型。ATC 的计算，是电力市场研究中非常活跃的领域，
发展相当快，相信随着电力市场的深入发展，将会提出更好的模型和算法用于
ATC 的计算。
以下我们介绍一种计算离线 ATC 的实用算法。该算法将蒙特卡罗模拟法和
灵敏度分析法结合，求解输电网中发电机节点到负荷节点间 ATC。该算法应用
蒙持卡罗模拟法进行系统状态抽样，不仅有效地考虑不确定性因素对 ATC 的影
响，而且还能获得大量的 ATC 统计信息；灵敏度分析法概念简单，计算容易，
该算法应用灵敏度分析法处理 ATC 计算中所涉及的优化问题。该算法将蒙持卡
罗模拟法和灵敏度分析法相结合，以较快的计算速度得到合理的 ATC 值，达到
计算速度和计算精度的统—。
小节介绍蒙特卡罗模拟法在 ATC 计算中的应用， 小节介绍如何应
用灵敏度分析法求解系统某一运行状态下的 ATC。
蒙特卡罗模拟法在 ATC 计算中的应用
这里我们结合 ATC 的计算，对蒙持卡罗模拟法作简要的介绍。
ATC 的计算过程一般由四个步骤组成：①系统状态选择；①系统状态评估；①
计算 ATC；①统计 ATC 指标。蒙待卡罗模拟法是以概率理论和统计方法为基础
的一种计算机模拟方法，它用抽样的方法进行状态选择，用统计的方法得到 ATC
指标。
在蒙待卡罗模拟法中，系统的状态是从设备概率分布函数中抽样确定的。然
后，再对产生的状态进行评估。状态评估即是对每一抽样的状态进行潮流计算，
判断系统是否出现故障，并根据要求进行系统状态校正，排除系统故障。在系统
处于非故障状态下，计算 ATC。一个模拟序列表示一个实际的样本，系统的 ATC
指标是在积累了足够数目的样本后，对每次状态估计的 ATC 结果进行统计而得
到的。
应用蒙特卡罗模拟法进行系统状态采样，一般离线 ATC 计算考虑 3 类不确
定因素[65]，发电机随机故障、输电线路随机故障、节点负荷的随机波动。对于
发电机和线路，认为这两类元件仅有运行和故障两种状恋，其概率分布函数服从
两点分布。对于负荷，认为各节点负荷的波动服从正态分布，即 ，参 2,N
数 是该分布的数学期望，一般为节点的负荷预测值；参数 是该分布的方差，
它描述了系统负荷实际值偏离预测值的程度，一般根据具体的输电系统给出其经
验值。对于两状态设备，我们利用计算机产生一个服从均匀分布 的随机数，
将此随机数与设备的故障率比较，确定该设备的状态：故障退出还是止常运行。
而对于节点负荷，则产生一个服从标准正态分布 的随机数，利用此随机
数修正已知的节点负荷预测值。系统中各设备的状态组成了系统的状态向量 ，
全部可能的状态 的集合 称为系统的状念空间。
对于每一个系统状态 ，都存在与其状态 相对应的事件概率 。假
设 ATC 是对给定状态 的一次试验，试验目的是为了估计在给定设备状态下，
输电系统区域间或节点间的可用传输能力 ATC。根据概率论理论，试验结果的
期望值由下式表示：
试验函数 ATC 的期望值 可由下式估计：
式中： 是第 次的状态抽样值； 是总的状态抽样次数；ATC( )是第 次抽样
值 ，状
态下的 ATC 值。
从式(3-84)我们可以看出， 不是 的真值，只是其估计值。
由于 x 和 ATC 都是随机变量，所以 也是随机变量[ 是对
ATC 的 N 次抽样结果的算术平均值]。估计值 距离真值 的方
差为
式中： 是试验函数 ATC 的方差，它的估计值 为
0,1U
0,1N
x
x X
x X x P x
x x
x E ATC
)
ix i N ix i
ix
E ATC
)
E ATC
x E ATC
)
E ATC
)
x E ATC
)
E ATC
V ATC V ATC
)
方差 描述了样本 ATC( )的离散程度。根据概率理论，若样本的概率密
度曲线的形状呈钟形，则期望值 的置信度为 的置信区间近似为
式中： 表尔标准正态分布 的上侧 分位数。 和 的关系可从标准正
态分布 的积分表中查到。
通常，我们用方差系数 来表示估计的误差：
式(3-88)表明，蒙特卡罗模拟法的计算量(抽样次数)几乎不受系统规模或复
杂程度的影响，因此，该方法能高效地处理各种复杂因素，非常适用于大系统离
线 ATC 的研究。而且，我们还可以看出，减小 ATC 的方差 或增加系统
状态采样次数 均可减小方差系数 ，提高计算精度。
这里，我们给出一般情况下应用蒙特产罗模拟法计算 ATC 的流程固，如图 3-8
所示。
V ATC
)
ix
E ATC
)
1 2
au 0,1N au
0,1N
V ATC
N
图 3-8 蒙特卡罗模拟法计算流程图
应用灵敏度分析法计算 ATC
灵敏度分析法是电力系统规划决策及运行控制中常用的方法。它通过分析某
项运行指标与控制变量的关系来确定该变量对系统的影响，从而进一步提出改善
该运行指标的措施。本算法基于线路有功潮流对节点注入有功的灵敏度关系，提
出了应用灵敏度法分析指定节点间 ATC 的计算方法。
根据网络的直流潮流方程和支路潮流方程，易得节点功率注入量与支路潮流
间的灵敏度关系式如下(设系统支路数为 ，节点数为 )：
式中： 是支路有功潮流变化量构成的向量 ； 是节点注入有功变化量
构成的向量 (包括了平衡节点的有功变化量)； 是由支路导纳组成的对角
矩阵 ； 是由节点导纳矩阵的虚部构成的方阵 ； 是网络的
b n
kL 1b P
1n lB
b b B 1 1n n A
支路-节点关联矩阵。
矩阵 是 阶的矩阵，称为灵敏度矩阵，它描述了线路有功潮流与
节点(不包括平衡节点)注入功率间的关系；其元素 称为线路 对节点 的灵敏
度系数，表示节点 上有功注入改变单位值时，支路 的有功潮流变化量为 。
由于矩阵 是以平衡节点为参考点计算的，因此，我们将矩阵 扩展为
阶的矩阵 ，其中与平衡节点对应的那列元素均为 0。 中的每个元素 的含义
与 相同。
利用灵敏度分析法，可以解决 ATC 计算中所遇到的如下问题：
(1)进行系统状态校正。
(2)系统其他节点注入功率不变情况下，计算指定节点间的可用传输能力
(ATCl)。
(3)系统发电机出力调整情况下，计算指定节点间的可用传输能力(ATC2)。
1. 应用灵敏度分析法进行系统状态校正
在蒙持卡罗模拟法中，由抽样确定系统的状态，然后对产生的状态 进行评
估。若状态 不能满足系统的安全要求，如系统解列(且所研究的节点对不连
通)、系统发电量与负荷量不平衡，或输电线路过负荷。若计算 ATCl，即系统其
他节点的注入功率不变，由于此时的系统本身不能满足安全约束，那么此时所研
究节点间无可用传输容量，无需计算，我们即可置 ATCl 为 0；若计算 ATC2，
则应先采取必要的校正措施，使系统状态恢复正常，然后再计算节点间的可用传
输能力。校正原则是：
(1)由于发电机故障或节点负荷的波动，系统的发电量小于系统的负荷量时，
削减系统的负荷量，使发电量与负荷量平衡。电力市场条件下，应根据市场各方
已签署的电力买卖合同削减系统各节点的负荷。为简化问题，可以采用按比例削
减各节点负荷的削减策略。
(2)由于线路故障导致系统某些线路过负荷时，应用灵敏度分析法调整系统
节点的有功注入、或削减系统负荷量，消除线路过负荷，使系统运行状态恢复正
常。
S 1b n
,k iS k i
i k ,k iS
S S b n
S S ,k iS
,k iS
ix
ix
通过分析“系统发电机出力变化”及“系统负荷削减”对减轻、消除线路过负荷
的作用，我们提出了基于灵敏度分析的启发式算法。为使系统削减的负荷量最小，
首先应通过调整发电机出力尽量消除线路过负荷。发电机出力的调整过程如下：
(1)选择过负荷最严重的线路 。
(2)确定要调整的发电机节点 。当线路 正方向过负荷时，削减具有正的
最大灵、敏度的发电机节点 的出力，增加具有负的最大灵敏度的发电机节点
的出力；当线路 负方向过负荷时，削减具有负的最大灵敏度的发电机节点 的
出力，增加具有正的最大灵敏度的发电机节点 的出力。
(3)确定节点 的发电机调整量 。根据式(3-89)，为消除线路 上的过负
荷，节点 的发电机调整量 应为
式中； 表示具有正的最大灵敏度的发电机节点 的灵敏度； 表示具有
负的最大灵敏度的发电机节点 的灵敏度。
如果根据式(3-91)确定的节点 的发电机出力调整量过大，违反了发电机出
力上下限约束条件，或者使系统线路过负荷情况更严重，那么只能根据这些约束
条件适当降低调整量 ，而线路 中剩余的过负荷量在后续的削减过程中最终
会得到完全的消除。
(4)调整发电机节点 的出力。
(5)根据式(3-89)、式(3-90)更新线路潮流。
(6)反复步骤(1)-(5)，直到调整发电机出力对消除线路过负荷不起作用为止。
然后，再削减系统的负荷量，以消除线路过负荷。削减方法与调整发电机出
力的过程类似，这里不再详述。
2．应用灵敏度分析法计算指定节点问的 ATCl
应用灵敏度分析法计算指定节点问 ATCl 的过程，即是寻找影响节点间可用
传输能力瓶颈支路的过程。对系统中所运行的任意一条输电支路，计算当其上的
k
,i j k
i j
k j
i
,i j p k
,i j p
max
,k iS
i max,k iS
j
,i j
p k
,i j
功率潮流处于容许传输容量极限值时，指定节点 上所允许的功率变化量。
计算公式如下：
式中： 表示 节点应增加的发电机出力； 表示 节点应增加的负荷值。
使“ 或 ”最小的支路 是影响 ATCl 的瓶颈线路，对应地，最小的“
或 ”即是所求的 ATCl。
3．应用灵敏度分析法计算指定节点间的 ATC2
调整系统发电机组的出力，可以增大指定节点间的可用传输能力。这里我们
参考“应用灵敏度分析法进行系统状态校正”的方法，计算指定节点 间的可
用传输能力 ATC2。计算步骤如下：
(1)增大节点 上的发电机出力 ，使节点 上的所有发电机都处于最大出
力状态，同时节点 上增加相同数量的负荷 。
(2)根据式(3-89)、式(3-90)更新线路潮流，并判断系统是否出现过负荷。如
果没有线路过负荷，则节点 间的可用传输能力 ATC2 就是 ；否则，调
整系统其他发电机节点间的机组出力，尽量消除线路过负荷。调整过程如“应用
灵敏度分析法进行系统状态校正”中所示。如果调整系统其他发电机节点间的机
组出力消除了线路过负荷，则节点 间的可用传输能力 ATC2 也是 ，否
则继续步骤(3)。
(3)适当减少 ，并恢复系统到原来的基准状态(即恢复系统各个发电机的原
有出
力)。然后，转到步骤(2)重新计算。
从上述 ATC 的计算过程可以看出，应用灵敏度分析法可以简洁、快速地确
定指定节点间的 ATCl，不涉及任何迭代过程；而 ATC2 的计算是一个发电机出
力反复调整的迭代
,A B
,g Ap A ,l Bp B
,g Ap ,l Bp k ,g Ap
,l Bp
,A B
A p A
B p
,A B p
,A B p
p
过程，其计算效率略低于 ATC1。
蒙持卡罗模拟法和灵敏度分析法结合，计算指定节点间概率 ATC 的流程如
图 3-9 所示。可分为 5 部分：
(1)原始数据输人，以确定系统运行方式及所研究的 ATC 内容。
(2)系统状态选择。算法应用蒙特卡罗模拟法抽样系统状态。
(3)系统状态评估及校正。算法应用直流潮流模型进行状态评估，应用灵敏
度分析法进行状态校正。
(4)计 22 指定节点问的 ATC。算法应用灵敏度分析法求解 ATC。(2)-(4)三部
分形成一次抽样状态下，一个完整的 ATC 计算过程。反复(2)一(4)，直到系统的
抽样次数达到顶先的给定值。
(5)统计所研究节点间的 ATC 及相关的网络信息。
【例 3—3】 计算 5 节点系统中发电厂节点到负荷节点的 ATCl。系统的网
络拓扑和负荷数据如图 3-10 所示 c
【解】 该系统由 5 个节点、7 条支路构成，共 9 台发电机，总装机容量
1164MW。假设系统负荷的实际值偏离预测值的方差 ，即系统中每个节
点的负荷波动服从正态分布 。系统状态抽样 10000 次，方差系数 声
小于 。节点 5 为系统的功率平衡节点。输入的原始数据如表 3-20、表 3-21
所示。
2
, u
按照图 3-9 所示流程图计算指定节点间的 ATC。计算前，所输入的原始数据包括：
1)系统运行方式参数：网络拓扑结构、系统元件参数、系统负荷水平及分布、
发电机组分布及出力。这些参数如表 3-20、表 3-21 和图 3-10 所示。
2)ATC 参数：需要计算 ATC 的发电机节点和负荷节点，ATC 的计算类型
(ATC1 或 ATC2)。假定计算发电机厂节点 5 到负荷节点 2 的可用传输能力 ATCl。
然后，应用蒙持卡罗模拟法抽样系统状态 。对于每个设备，我们都用计算
机产生一个随机数，利用此随机数确定该设备的状态。表 3-22 到表 3-4 给出了
某次系统状态选择过程中，对每个设备所生成的随机数及由随机数所确定设备的
状态。系统中所有设备的状态组成了系统的状态向量 。
ix
ix
图 3-9 指定节点间 ATC 的计算流程图
图 3-10 5 节点简单模型系统
接着，评估系统状态 。分三步进行：
1)分析状态 下网络的拓扑，判断发电厂节点 5 和负荷节点 2 是否连通。显
然，没有支路故障发生，所以节点 5 和节点 2 连通。
2)判断系统购发电量是否小于负荷量。状态 下，系统的发电量是 919MW(包
括调频机组 297MW 的功率)，负荷量是 703．29MW，所以发电量>负荷量。此
时，通过调频机组作用，可以保证系统发电量与负荷量平衡。
3)判断支路潮流是否满足支路的容许传输容量约束。为简单起见，这里应用
直流潮流模型计算支路潮流。应用式(3-90)形成节点功率注入量与支路潮流间的
灵敏度矩阵 (最后一列是平衡节点的扩展列．所以值都是 0)，如下所示：
ix
ix
ix
S
应用式（3-89）计算系统各支路的潮流如下（单位：100MW）：
这些支路潮流值均小于其容许传输容量约束。
上述系统状态评估过程中，若发生了所研究的发电机节点与负荷节点不连通，
或系统的发电量小于负荷量，或支路潮流过负荷，则状态 下系统无法止常运行。
此时，直接令 ，无需再应用灵敏度分析法计算 ATCl。显然，状态
下系统能正常运行。
应用灵敏度分析法计算节点 5 到节点 2 的可用传输能力 ATCl 。根据式
(3-92)，估计各支路的潮流达到其容许传输容量约束值时，所允许的节点 5 和节
点 2 的功率变化量(单位：100MW)：
ix
1 0iATC x ix
7 条支路中，由于支路 2 的容许传输容量约束，使得节点 5 和节点 2 的功率
变化量的权限值不超过 。然后，考虑节点 5 上机组的装机容量对这
个变化量的约束作用：节点 5 上机组的装机密量是 544MW，机组处理是
328．29MW，因此这个节点上机组的最大出力变化量是 215．71MW(＜
465．46)。综合线路约束和机组装机容量约束，节点 5 和节点 2 的功率变化极限
值是 。根据 ATC 的定义，功率变化量 215．71MW 就是状态 下节
点 5 到节点 2 的 ATC，而称节点 5 上的发电机组为瓶颈设备。这里所谓的瓶颈
设备，是指在计算 ATCl 时约束条件起作用的元件 瓶颈设备的信息对电力市场
条件下系统的规划具有重要的参考价值。
我们计算了所有发电机节点和负荷节点间的概率 ATCl，如表 3-25 所示。例
如，发电厂节点 5 到负荷节点 2 的可用输电能力 ATCl 的期望值是 273．00MW，
方差是 80．67MW，ATCl 的抽样值以 97．5％的概率落在区间[139．89MW，
406．11MW]、节点 5 的机组装机容量的约束条件起作用的概率是 ％。表
3-25 中的瓶颈设备数据说明：系统发电机的装机容量不足，是阻碍该系统节点间
可用输电能力提高的主要因素。
对表中的数据需作两点解释：①由于节点负荷的波动，使得系统的负荷量降
低时，所计算的 ATCl 可能大于系统在初始给定条件下所计算的 ATC1；①由于
ix
ix
节点发电机装机容量的约束，导致所计算的 ATCl 样本分布形状不呈钟形，出此
这里的置信区间不能由式(3-87)计算，而是根据具体的样本概率密度曲线统计得
到的。
注：瓶颈设备起作用概率： 。式中： 是系统总的抽样
次数； 是设备 的约束条件起作用的次数。
图 3-11 给出了节点 5 到节点 2 的 ATCl 概率密度曲线和样本分布函数曲线。
分析样本分布函数曲线可得，节点 5 到节点 2 的可用输电能力小于其期望值
273．00MW 的概率为 24．24％。这个概率值同时也反映了这对节点间 273．00MW
的额外输电合同被削减的风险。显然，此风险值对电力市场下各交易商的电力买
卖、电力输送等商业行为有着重要指导意义。
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图 3-11 节点 5 到节点 2 的 ATC1
