《* 切线长定理》教案
教 师： 王 群
年 龄： 32 岁
教 龄： 13 年
职 称：中学一级
工作单位： 周家镇第二中学
课 题： * 切线长定理
一、教材分析：
本课内容选自九年义务教育四年制初级中学教科书《几何》第三册第六章第十节切线
长定理。
1、教学内容：切线长定义和切线长定理
2、教学目标：
（1）、知识技能目标：了解切线长的定义，掌握切线长定理，并利用它进行有关的计
算；在运用切线长定理的解题过程中，进一步渗透方程的思想，熟悉用代数的方法解几何
题。
（2）、数学思考目标：经历画图、度量、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理
能力和初步的演绎推理能力，培养学生有条理地、清晰地阐述自己的观点的能力。
（3）、解决问题目标：初步学会从数学的角度提出问题、理解问题，并能运用所学的
知识和技能解决问题，发展应用意识。在解题中形成解决问题的基本策略，体验问题策略
的多样性，发展实践能力与创新精神。
（4）、情感与态度目标：了解数学的价值，对数学有好奇心与求知欲，在数学学习活
动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
3、教学重点：理解切线长定理
4、教学难点：应用切线长定理解决问题
二、教学方法：
教学方法采用引导发现法，辅之以讨论法。利用“问题情境——建立数学模型——解
释、应用、拓展”的模式进行教学。本节课是概念、定理、解题的教学，因此，要利用概念
模式元、定理教学模式元、解题教学模式元的有机组合，完成本节课的教学。
三、教学手段
为了提高课堂教学效率，激发学生学习兴趣，培养学生空间想象力，本节课采用的是
直观教学手段，充分利用多媒体和自制教具的演示使数学知识形象化，便于学生理解和掌
握。
教 具：
多媒体计算机、自制圆半径测量仪、悠悠球
学 具：
刻度尺 2 把、量角器、圆规、水杯、强力胶
四、教学指导思想：
突出体现基础性、普及性、发展性，使教学面向全体学生，实现：
——人人学有价值的数学；
——人人都能获得必需的数学；
——不同的人在数学上得到不同的发展。
学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。教学过程是师
生交往互动的过程，在这一过程中，教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事
数学活动的机会，帮助他们在动手实践、自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基
本的数学知识与技能、数学思想和方法，使学生的学习过程生动活泼、主动而且富有个性。
五、教学实施过程：
教 学
过 程
教 学 内 容 师 生 相 互 交 往 设计意图
一、
激
发情
趣导
入新
课
同学们，请看这是什么玩具？（悠悠球）对，这
是大家非常喜爱的一种玩具。（教师演示一次） 可是，
大家在玩悠悠球时是否想到过它的转动过程中还包含
着数学知识呢？是什么知识呢？我们来看一下它的构
造。（拆开球，出示球的剖面）这是悠悠球在转动的一
瞬间的剖面，从中你能抽象出什么样的数学图形？
（球的整体和中心轴可分别抽象成圆形，被拉直的线
绳可抽象成线段。）
这些图形位置关系怎样？
（两圆为同心圆，线段所在直线和小圆相切）[在
这两问中，如果学生想不到球的整体时，这个圆可以
不提]
线段的两个端点和小圆的位置关系怎样？（一个
是切点在小圆上，一个在小圆外）
我们可以看出，球与手的距离就决定于这条线段
的长度。在几何中，我们把满足上述特征的线段的长
叫做点到圆的切线长，这节课我们就来研究切线长的
有关知识。
教师出示同学们熟
悉并且喜爱的玩具之后
连续几问转入正题。
学生看到玩具眼睛
一亮，注意力被吸引，
想到老师为什么会在课
堂上拿出悠悠球，一时
兴致勃勃。当老师话锋
一转，步入正题时，他
们的兴致也随之而来，
带着强烈的好奇心思考
老师提出的问题。
此时教师又引导学
生说出线段的特征，不
失时机地引入新课，板
书课题。
吸 引 学
生的注意力，
激发学生的
求知欲，同
时也使学生
意识到数学
知识广泛存
在于日常生
活之中。
二、
合 乎
情 理
探 索
发 现
（一）、切线长定义
1、板书定义：在经过圆外一点的切线上，这一点
和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
2、剖析定义：（1）找出中心词，把定义进行缩句。
（线段的长叫做切线长）
（2）定义中的“线段”具有什么特征？
∠ 在圆的切线上；∠两个端点一个是切点，一个是
圆外已知点。
3、在图形中辨别：（1）已知：如图 1，PC 和 ∠O
相切于点 A ，点 P 到∠O 的切线长可以用哪一条线段
的长来表示？ （线段 PA）
C
图 1 图 2
（2）已知：如图 2，PA 和 PB 分别与∠O 相切于
点 A、B ，点 P 到∠O 的切线长可以用哪一条线段的
长来表示？（线段 PA 或线段 PB）
（3）如图 2，思考：点 P 到∠O 的切线长可以用三
条或三条以上不同的线段的长来表示吗？这样的线段
最多可以有几条？为什么？
（4）既然点 P 到∠O 的切线长可以用两条不同的
线段的长来表示，那么这两条线段之间一定存在着某
种关系，是什么关系呢？我们来探索一下，出示探索
问题 1，从而进入定理教学。
教 师 在 板 书 定 义
之后，通过对话交往，
引导学生把对概念的感
性认识上升到理性认识，
然后在图形中进行识别，
从而认识概念的本质特
征，理解概念的外延。
在对话中，教师以民主
的精神、平等的作风、
宽容的态度、真挚的爱
心和悦纳的情怀对待学
生，在相互倾听、接受
和共享中获得知识，使
教学相长。
此 处 通 过 学 生 思
考得出结论，再次加深
学生对概念的理解，也
使学生了解切线长与切
线的关系，同时由这个
结论教师适时引出探索
问题 1
使学生
了解切线长
的定义，并
能在具体的
图形中把它
们识别出来。
培养学
生合情推理
能力、语言
表达能力。
P
O
A
B
A
PO
教 学
过 程
教 学 内 容 师生相互交往 设计意图
二、
合 乎
情 理
探 索
发 现
（二）、切线长定理：
1、探索问题 1：从∠O 外一点 P 引∠O 的两条切
线，切点分别为 A、B，那么线段 PA 和 PB 之间有何
关系？
探索步骤：
（1）根据条件画出图形；
（2）度量线段 PA 和 PB 的长度；
（3）猜想：线段 PA 和 PB 之间的关系；
（4）寻找证明猜想的途径；
（5）在图 3 中还能得出哪些结论？并把它们归类。
（6）上述各结论中，你想把哪个结论作为切线长
的性质？请说明理由。
由（5）得：
线段相等：PA=PB；
OA=OB；
角相等：∠APO=∠BPO；
∠AOP=∠BOP；
垂直关系：OA∠PA； 图 3
OB∠PB；
三角形全等：∠OAP∠∠OBP.
2、由（6）得出定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，
圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.
3、剖析定理：
（1）、指出定理的题设和结论；
（2）用符号语言表示定理：
∠PA、PB 分别是∠O 的切线，点 A、B 分别为
切点，（PA、PB 分别与∠O 相切于点 A、B）
∠PA=PB，
∠APO=∠BPO.
定 理 教 学
的方式是学生自
主探索，相互交
流相结合。首先
出示探索步骤的
前三个，等学生
猜想出结论后，
再明确仅凭观察、
度量、猜想并不
能说明结论的正
确性，还需证明
结论的正确性，
同时激励学生寻
找证明猜想的途
径。之后，再让
学生探索更多的
结论，并由（6）
得出定理。定理
的剖析以对话形
式进行。在整个
过程中，教师相
应地进行板书。
随着一环紧扣
一环的探索问题的
深入，学生通过自
主地发现问题、信
息搜集与处理、表
达与交流等探索活
动，获得知识、技
能，并获得积极的、
深层次的体验，从
而促进学生探究能
力的发展。
O
B
A
P
三 、
创 设
情 境
巩 固
应 用
1、填空：如图 3，PA、PB 分别与∠O 相切于点
A、B，（1）若 PB=12，PO=13，则 AO=＿＿＿.
（2）若 PO=10，AO=6，则 PB=＿＿＿；
（3）若 PA=4，AO=3，则 PO=＿＿＿；PD=＿＿；
2、已知如图 4，PA、PB 分别与∠O 相切于点 A、
B，PO 与∠O 相交于点 D，且 PA=4cm,PD=2cm.
求半径 OA 的长.
小结： 图 4
2 题与 1 题不同，不能用算术方法直接得出答案，
需要设未知数列方程来解决，这是用代数的方法来解
决几何题。（渗透方程思想）
口答
笔答
会利用定理进
行有关的计算，在
2 题中，进一步渗
透方程思想，熟悉
用代数的方法解决
几何题。
教 学
过 程
教 学 内 容 师生相互交往 设计意图
三 、
创 设
情 境
巩 固
应 用
3、解决实际问题：在我们日常生活中有很多物体
呈圆形，例如花盆边沿、水杯口等，有时我们需要知
道圆形物体的半径，那么利用本节所学的切线长定理，
如何解决这个问题呢？
小制作：名称：圆的半径测量仪
材料：两把刻度尺
用途：测量水杯口的半径
过程：
（1）出示问题，学生尝试；
（2）遇到困难，设法解决；
（3）设计方案，说明道理；
（4）完成制作，实物测量。
教 师 出 示 问
题，学生尝试，
在尝试中遇到困
难，师生共同设
法解决。在设计
时，寻求多种方
案，并说明方案
的合理性，比较
方案的简洁性，
最后由学生完成
制作，并进行实
物测量。
运用所学知识解决
实际问题，发展应
用意识，在数学活
动中体验策略的多
样性，发展实践能
力与创新精神。在
数学活动中获得成
功的体验，锻炼克
服困难的意志，建
立自信心。真正做
到“以参与求体验，
以创新求发展”。
四、
顺 应
情 势
归 纳
总 结
1、探索问题 2：
连结图 3 中的两个切点 AB 交 OP 于点 C，又能得
出什么结论？并把它们分类。
2、通过本节课的实践、探索、交流，你有哪些收
获？
这节课我们所探索的有关切线长的知识是在给出
圆的两条切线的情况下得出的，那么要是圆的三条切
线两两相交，又会有什么样的结论呢？如果有四条切
线呢？这些问题有待于我们课后去研究，请看课外作
业。
学生探索问
题 2，得出结论后
进而进行归纳总
结。教师给与适
当的评价之后，
把知识进行引申，
出示探索问题 3
和 4，留为作业。
培养学生归纳
概括能力，把知识
纳入系统，便于学
生存储、提取和应
用。
使学生了解数
学的价值。
O D
B
A
P
五、
心 甘
情 愿
课 外
作 业
1、探索问题 3：
已知：如图 5，∠O 是∠ABC 的内切圆，切点分别
为 D、E、F，
（1）图中共有几对相等线段？
（2）若 AD=4，BC=5，CF=6，
则∠ABC 的周长是＿＿；
（3）若 AB=4，BC=5，AC=6，
则 AD=＿＿，BE=＿＿，CF=＿＿.
2 探索问题 4： 图 5
已知：如图 6，四边形 ABCD 的边 AB、
BC、CD、DA 和∠O 分别相切于
点 L、M、N、P.
想一想： AB+CD 与
AD+BC 之间有什么关系？
说明你结论的正确性。
3、选做：
出示
课外作业针分
层次，针对各类学
生进行。
在课堂探索结
束之时，鼓励学生
继续进行课外探索，
做到“课虽尽，思不
止”。
六、
深 系
情 结
板 书
设 计
* 切线长定理
一、切线长定义： 线段相等：
角 相 等：
二、切线长定理： 垂直关系：
三角形全等：
条理清晰
重点突出
帮助理解
便于记忆
F
E
D
O
CB
A
P
N
M
L
O
C
D
BA
O PC
A
B
