ch6 期望效用理论
一、个体行为决策准则
（一）偏好关系
效用是一种纯主观的心理感受，因人因地因时而异。
偏好是建立在消费者可以观察的选择行为之上的。
偏好关系（preference relation)是指消费者对不
同商品或商品组合偏好的顺序。它可以用一种两维（或二
元）关系（binary relation）表述出来。
1.偏好关系的表述
令C 为商品（或者消费）集合，C 中有M 种可供选
择的商品。它是M 维实数空间 中的一个非负子集，它
总是被假定为闭集和凸集。x、y、z……是它的子集，
或者称之为商品束（commodity bundle）或者消费束
（consume boundle）。我们可以在消费束的集合上
建立下面的偏好关系（preference relation）或者偏
好顺序（preference ordering）：
（1） 弱偏好于x，x 至少与y 一样好。
（2） 强偏好于x ；
但， 不成立。
（3） 无差异于x 、y；即：
和
2.偏好应满足的基本公理（Axiom）条件：
（1）完备性（completeness）:
中有一种关系成立。
完备性假定保证了消者具备选别判断的能力。
（2）自返性（reflexivity）：
，则有
自返性保证了消费者对同一商品的选好具有明显的一
贯性。
（3）传递性：
传递性保证了消费者在不同商品之间选好
的首尾一贯性。
同理：
（4）连续性（continunity）
对于任意的X、y，集合 和 是闭
集，则 和 是开集。
即如果x是一组至少与y一样好的消费束，而
且它趋近于另一消费束z，则z与y至少同样好。这
样就可以得到一条连续的无差异曲线。
（4）单调性（monotonicity）
，
单调性说明增加一点商品至少与原来的情
况同样好。只要商品是有益的，单调性就必然
成立。
强单调性说明同样的物品，如果其中有些种类
的数量严格多于原来的物品，消费者则必定严格
偏好于他们。
且 则
（5）局部非饱和性（local non-satiation）
和 〉0，总存在 使得
在技术上，局部非饱和性和单调性保证了无
差异曲线具有一个负的斜率。
局部非饱和性假设的含义是，即使仅允许对
消费束做微小的调整，消费者也可以更好。
局部非饱和性假设意味着不存在无差异区域。
因为如果有无差异区域，就可以在区域内以
x0画出一个邻域，其内所有消费束与x0无
差异。这显然违背了局部非饱和性假设。
显然，强单调性成立意味着局部非饱和性成
立。
（6）凸性（convexity）
严格凸性（strictly convexity）：
凸性可理解为边际替代率递减。
平均消费束比端点消费束更受偏好。
凸性(Convexity)
x2
y2
x1 y1
x
y
z =(txz =(tx11+(1-t)y+(1-t)y11, tx, tx22+(1-t)y+(1-t)y22) ) ，（，（0 0 ≤ t ≤ 1≤ t ≤ 1））
Z偏好于x,y。
（二）确定性环境下的效用函数
1.基数效用与序数效用
基数效用：19 世纪的一些经济学家如英国的
杰文斯、奥地利的门格尔等认为，人的福利或
满意可以用他从享用或消费过程中所所获得的
效用来度量。对满意程度的这种度量叫做基数
效用.
序数效用：20 世纪意大利的经济学家帕累托
等发现，效用的基数性是多余的，消费理论完全
可以建立在序数效用的基础上。所谓序数效用是
以效用值的大小次序来建立满意程度的高低，而
效用值的大小本身并没有任何意义.
2.效用函数定义
如果对于 有
和
成立，则函数关系 是一个代表了偏
好关系的效用函数。
定理1：
一个效用函数可以通过正单调变换而获得另一个
效用函数与原来的效用函数具有同样的偏好关
系：
且 是单调递增函数，则有：
定理2：
如果消费者在消费集C 上的偏好关系具有
完备性、自返性，传递性和连续性，则存在一
个能够代表偏好顺序的连续效用函数u :C→R。
（三）消费者效用最大化问题
令 则最大化问题为：
上述约束式为瓦尔拉斯（walrasian budget set）预算集。
最优解：
（三）不确定性环境下的行为选择
1.关于风险与不确定性
奈特（）《风险、不确定性和利润〉
中关于确定型、风险和不确定性的解释：
确定性：是指自然状态如何出现已知，并替换
行动所产生的结果已知。它排除了任何随机事件
发生的可能性。
风险：是指那些涉及已知概率或可能性形式出现的随机
问题，但排除了未数量化的不确定性问题。即对于未来可
能发生的所有事件，以及每一事件发生的概率有准确的认
识。但对于哪一种事件会发生却事先一无所知。
不确定性：是指发生结果尚未不知的所有情形，也即那
些决策的结果明显地依赖于不能由决策者控制的事件，并
且仅在做出决策后，决策者才知道其决策结果的一类问
题。即知道未来世界的可能状态（结果），但对于每一种
状态发生的概率不清楚。
由于对有些事件的客观概率难以得到，人们在实际中常
常根据主观概率或者设定一个概率分布来推测未来的结果
发生的可能性，因此学术界常常把具有主观概率或设定概
率分布的不同结果的事件和具有客观概率的不同结果的事
件同时视为风险。即风险与不确定性有区别，但在操作
上，我们引入主观概率或设定概率分布的概念，其二者的
界线就模糊了，几乎成为一个等同概念。
2.不确定性下的偏好选择
（1）不确定性下选择的表述方法
自然状态：特定的会影响个体行为的所有外部环境因
素。
通常我们用S表示自然状态的集合：S={1，…，S}。
自然状态的特征：
自然状态集合是完全的、相互排斥的（即有且只有一种
状态发生）
自然状态的信念（belief）：个体会对每一种状态的
出现赋予一个主观的判断，即某一特定状态s出现的概率P
（s）满足：
0≤p（s）≤1，
这里的概率p（s）就是一个主观概率，也成为个体对自
然的信念。不同个体可能会对自然状态持有不同的信念，
但我们通常假定所有的个体的信念相同，这样特定状态出
现的概率就是唯一的。
①状态依存结果的优序选择（状态偏好）
用彼此排斥和详尽无遗的自然状态组成的集合，而不
是用概率来反映个人所面临的随机性。
假定：X:不确定环境下可选择行为的集合;
S:可能的状态集合
C:可选择行为的结果的集合
行为xX和s S结合产生的结果cC
函数 把行为、状态和结果对应起来：
当经济主体在可行的行为之间进行选择时，他们以被
选行为产生的结果为基础进行选择。但是行为对于决定特
别的结果来说，常常是不充足的。其他因素会与选择的行
为相互作用产生一个特别的结果。这些其他因素，超越了
经济行为人的控制，被称为自然状态。
大量的自然实状态的存在使得目前所采取的任何行为
的将来结果是不确定的。
在决定行为的过程中，主体对自然状态是不确定的，
这些状态将共同确定被选行为的结果。选择行为a就为每
一自然状态决定了一个结果c= ， 对X中行为的选
取从而被视为对依赖状态（或偶然状态）结果的选取。
通过观察函数f可以容易区分确定条件下和不确定条件
下的决策。
若c关于自然状态是不变的，即自然状态不会影响产生
的结果，则可以认为是确定条件下的决策。
若不同的状态导致不同的结果，则可以认为是不确定
条件下的决策
②行为结果的概率分布选择
既然在行为、现实的状态和结果之间的关系通过函数
来描述， 在S上定一个概率测度：
对任意x X，存在一个C上的概率分布：
这个概率表述表明，在一个行为既定的情况下，特定
结果出现的概率等于导致这个特定结果出现的可能性状况
的概率。由于某个特定行为结果发生的概率取决于经济主
体选择的行为，因此，我们可以等价地认为，对于行为
结果的选择等同于对某个特定结果的概率分布的选择。
因此，不确定性条件下的行为选择可以理解为行为主
体在不同的概率分布中进行选择。这意味着，行为主体表
现自己偏好关系的可行行为集合X必须具备如下性质：
在这种情况下，我们可以用定义在C上的一个函数P
（.）来表示行为x，其中，p（c）是使选择x的结果等于
c
的概率。
因此，对于所有的c∈C，
p（c）≥0 且
（2）不确定性下的理性决策原则
A.数学期望最大化原则
数学期望收益最大化准则是指使用不确定性下各
种可能行为结果的预期值比较各种行动方案优劣。这
一准则有其合理性，它可以对各种行为方案进行准确
的优劣比较，同时这一准则还是收益最大准则在不确
定情形下的推广。
问题：是否数学期望最大化准则是一最优的不确定性下
的行为决策准则？
典型案例：圣彼德堡悖论（Saint Petersbury
Paradox）
考虑一个投币游戏，如果第一次出现正面的结果，可以
得到1元，第一次反面，第二次正面得 2 元，前两次反
面，第三次正面得 4 元，……如果前 n-1 次都是反面，
第 n 次出现正面得 元。问：游戏的参加应先付多
少钱，才能使这场赌博是“公平”的？
该游戏的数学期望值：
但实验的结果表明一般理性的投资者参加该游戏愿意
支付的成本（门票）仅为2-3元。
圣彼德堡悖论：面对无穷的数学期望收益的赌博，为何
人们只愿意支付有限的价格？
B.期望效用原则
Daniel Bernoulli （1700-1782）是出生于瑞
士名门著名数学家，1725-1733年期间一直在圣彼德堡
科学院研究投币游戏。其在1738 年发表《对机遇性赌博的
分析》提出解决“圣彼德堡悖论”的“风险度量新理
论”。指出人们在投资决策时不是用“钱的数学期望”来
作为决策准则，而是用“道德期望”来行动的。而道德期
望并不与得利多少成正比，而与初始财富有关。穷人与富
人对于财富增加的边际效用是不一样的。
即人们关心的是最终财富的效用，而不是财富的价值量，
而且，财富增加所带来的边际效用（货币的边际效用）是
递减的。
伯努利选择的道德期望函数为对数函数，即对投币游戏
的期望值的计算应为对其对数函数期望值的计算：
其中， 为一个确定值。
另外， Crammer（1728）采用幂函数的形式的效
用函数对这一问题进行了分析。假定：
则
因此，期望收益最大化准则在不确定情形下可能导致
不可接受的结果。而贝努力提出的用期望效用取代期望收
益的方案，可能为我们的不确定情形下的投资选择问题提
供最终的解决方案。
根据期望效用，20%的收益不一定和2倍的10%的收
益一样好；20%的损失也不一定与2倍的10%损失一样
糟 。
C.后期望效用理论：
由阿莱斯悖论等各种试验引发的新的期望效用理论，
如前景理论、遗憾理论、加权的期望效用理论、非线性的
期望效用理论等等行为金融学和非线性经济学对期望效用
的新的解释。
二、VNM期望效用函数
期望效用理论是不确定性选择理论中最为重要的价值
判断标准。期望效用函数作为对不确定性条件下经济主体
决策者偏好结构的刻画，具有广泛的用途。
（一）效用函数的表述和定义
不确定性下的选择问题是其效用最大化的决定不仅对
自己行动的选择，也取决于自然状态本身的选择或随机变
化。
因此不确定下的选择对象被人们称为彩票（Lottery）
或未定商品（contingent commodity）
设想消费者参加一次抽奖（lottery），所有可能产生
的结果为C，假定C的结果是有限的，我们用N=1，…，
N来标示这些结果，每一结果发生的概率为 ，这样，
我们可将该简单抽奖（simple lottery）记为：
比简单抽奖更为复杂的是复合抽奖（compound
lottery），其抽奖结果是众多的简单抽奖。复合抽奖记
为：
其中， 是一个简单抽奖。对于每
一个复合抽奖，我们可以计算出一个引至抽奖（reduced
lottery）。它将复合抽奖简化为简单抽奖。
任何复合抽奖 的引至抽奖，可以
通
过下面的向量加法获得：
期望效用表述（expected utility representing）：
对一件抽奖商品的期望效用表示为对抽奖结果的效用函
数的数学期望:
其中， 是VNM
效用函数。
更一般地，我们可以表述为：
其中， 是一个随机变量。其含义为：一种未定商品
的效用等于该未定商品所涉及的确定商品的效用的均值。
（二）期望效用函数的公理化陈述
1.不确定性下的偏好关系表述
个体所有可选择抽奖的集合称为抽奖空间，记为：
同样地，假设个体在抽奖空间上存在一个偏好关系，即
可以根据自己的标准为所有抽奖排出一个优劣顺序。
2.基本公理
公理1：
第一式说明，抽奖的概念同样适合于确定性财富。某一
确定的拥有x，相当于抽奖的中签率为100%，其价值
为x.因此，确定商品空间是未定商品空间的一个子集。
第二式则表明，同样一张抽奖有两种表示形式；
第三式是复合抽奖原理的体现，它说明经济主体只关心抽
奖结果最终的概率分布，而不在乎抽奖（彩票）的构成形
式。
公理2：连续性（continuity）：对于任意的
下面的集合为闭集：
和
连续性假设将保证概率的微小变化不会改变原有的两个
抽奖商品之间的偏好顺序。
如：如果消费者对“快乐和安全的开车旅行”的偏好
强
于“待在家中”，那么，他对于一个“快乐与安全的开车
旅
行”与一个具有充分小、但不为0的正概率的“发生车祸
导
致死亡”的混合结果的偏好，仍然要强于“待在家中”。
连续性假设保证了效用函数的连续性。该公理也称之为
阿基米德公理（Archimedean axiom）。
公理3：独立性（indenpence）：对于任意的
和 ，要求有：
这意味着：如果将两个抽奖与第三个抽奖放在一起考
虑，则前两者的偏好顺序独立于特定的第三个抽奖。
独立性公理是不确定性环境下决策理论的核心，它提供
了把不确定性嵌入决策模型的基本结构。通过该假设，消
费者将复杂的概率决策行为，分为相同和不同的两个独立
部分，整个决策行为仅由其不同的部分来决定。
如果定义在抽奖空间L上的个体偏好满足完备性、自
返性、传递性和连续性、独立性，则下式成立：
且存在VNM效用函数u(.)，满足：
而且，除了u(.)的仿射变换
U(.)是唯一的。
思考题：
1953年，阿莱斯（Allias）曾做过一组心理试验，要
求受验者在如下两组彩票组合种进行选择：
第一组：
A=（500，0；100，1；0，0）
B=（500，；100，；0，）
第二组：
C=（500，0；100，；0，）
D=（500，；100，0；0，）
其中，每一数对中的第一个数字表示彩票的收益，第二
个为概率大小。单位：万美元。
试验结果发现大多数人在第一组中会选择A，而在第二
组中会选择D。
试根据上述条件，通过计算说明为何这一实验结果与独
立性公理相冲突？
