霪蒸雾繁鬻囊鬻羹一中国科技信息：。。。年第，。期CHINASCIENCEAN。Ⅱ洲N。。。GY．晰∞MAT。洲A叼．2∞。中心极限定理应用举例周德华’袁书娟。1，山东万杰医学院数学教研室255215；2，河北理工大学轻工学院0650002．常见的儿柙匝用2．1o：已知时，总体均值¨得区间估计(1)设x，，x…：，，z为服从总体，|v(∥，呸)的一样本。已知i上=窆一是∥的无偏撕。，且绗计量”=Di=I吾X-u忑Ⅳ(o'1)’因此，对于给定的显著性水平口，可从附表中确定“的双侧口临界值”’使得一|Df㈦成立，即一<~=l口l-Z，]P卜“’《翥叫括栅‘．．．：专卜口于是总体均值“得置信度为卜a的置信区问为p"-O，。哆忑再“‘《甜例1调查了144名吸烟的人吸烟量的平均值为i2(支)，假设吸烟人中的吸烟量服从正态分布N(“，4。)，试估计总体均值H的置信度为99％的置信区间。解：本例是在已知总体方差的情况下对总体均值H的估计。利用上式可得。1．引言及预备知识众所周知，中心极限定理是概率论中最重要最基本的一个定理”=144，；：12，盯=1．5。口：0．Ol。基于中心极限定理在经济生活中有很多的应用，笔者仅就中心极限定理在参数区间估计及求数列极限过程中的应用通过举例做一些粗浅f12—2．58。。!,12+2．58x。竺1即置信区间为(11．14，12．86)L√144√144，讨论。(2)对一般总体若已知总体方差在大样本情况下仍可用公式对1．1Levy—Lindeberg定理li’总体均值“做区间估计，依中心极限定理可知，不是正态分布的一般若■以…一是相互独立且服从相同分布的随机变量，，E(X，)=∥分布，当n充分大时，n个相互独立的随机变量的和是一个服从正态分布的随机变量，而由这些独立的随机变量组成的样本，其样本的平均D(一)=盯。(f=1…，2，”)当胛_∞时窆Ⅳ，Ⅳ(掣，疗仃。)’值也是一个服从正态分布的随机变量。即歪nu例2已知男性婴儿头围的标准差。i．39(cm)，今抽取152名男,=一咖。1(”寸m)性婴)L~IJ得平均头围为42．9(cm)，试以置信度0．95估计总体均数u的√n盯置信区间。1．2定义‘。1：设总体分布含有一未知参数臼若由样本确定的两统计解：本例是在一般总体，若已知总体方差且在大样本的情况下量巨(x…对总体均值u的区间估计。利用上式可得，，彳：，Ⅳ。)及蘸(一，Ⅳ…：，X。)对于事先给定的一个口(0<口<1)’使得僭fa(Ⅳ区间PIq．，儿托…，x以。)<0<反岛f(一…，X2，X。)卜』1俐、}娌酬。匹侧-=~则称随即Xf42．9_1-96×粤，42．9+l_96×坚1LJL452452／f商的置信区问。酋及魂成，童是目为置信区间的下上限，1一a成为置]即置信区间为(11．14，12．86)。L，2．2o。未知时，总体均值u得区间估计信度，0成为显著性水平。
(1)设X，，置…，，以为服从总体N"O,，02)的～～‘样本，因为一。未知，剐’。Pp-u-所以用上式估计／．t得不到结果，此种情形下可用样本方甍：S估计Ff√万巧环c∥cp．+：_-一a一!√；可可k"]2总体方著仃。，由于统计量，：至．半ff。因此，于。对给定的显I于是总体均值∥的置信度为l一』的置信区问另：一11s}、’4n著性水平口，町据附表确定材的双侧口临界值，。!(一一I)’使lp一”·．，．!√；T研·，p+“．?√ji研I例5为了检仓某药品降珏H同醇的作用，作了150例临床观察，，嘞i“。：卜触’结果11例有效，试求总体有效率的置信度为99％~3置信区问。解：月=15011=、‰=11，样本率口0．073=：一口0．Ol，查表得，Ph·一：击c脑+，·t舟h于是总体均值∥得置信度为1一口的置信区间为“：一2．58。代入上式得：hs；百_争甜(0．073～2．58×扣两F研，0．073+2．58×属两『=丽)例3在一批中药片剂中随机抽取25片检查称得片重为o．5g，标准差为o．08g，已知片剂的重量服从正态分布，试求此中药平均片则总体有效率的置信区问为(0．018,0．128)．重的置信度为99％的置信区间。解本例是在已知总体方差的2．情况2下对总体均值u的估计证明极限lim争』二：0”。。篙2“。豇!利用上式可得。构造服从普阿松分布的随机变最序列f=。l，且兄=1，由再nl，^l=25，x=0．5，s=0．08、口：0．0lf0．080生性n．5—2．797×一，0．5+2．797。竺竺1即所求的置信区间为：l425425／仉：∑蔷服从五=，?的普阿松分布a(0．46，0．54)‘尸(2)对于～般总体在大样本情形下(仉=沪等“P(i=0,1,2--．)，总体方差未知，可用。S来代替，由中心极限定理知，膏一。近似服从标准正态分布。因此对E五忑(rL)=D(巩)=刀．由j二{考，}独立尉分布且方羞有限由中心于给定的样本值XX…I2，，一，总体均值∥得置信度为1一a得置极限定理可知nkt2信区间为：r—SSl1”“‘t一：忑,X+lt’t~，万尸J(仉％≤。)P=(仉圳=蒿il1o历_面Le_折=圭例4今调查了350名健康成年女性的血红蛋白含量(g％)的其均值为11．7(g％)，标准差为1．5(g％)，试估计健康成年女陛的总体故均值嬲“的置信度为99％的置信区间喜斋：墅㈦喜嘉一oo。解：本例是在总体方差未知的情况下对总体均值u的估小结计。在参数区间估计中，特别是对不是正态分布的一般分布，当样n=350，x=11．7，s：1．5．口：0．0l，代入上式可得嚣信区问：本容量足够大时，就可利用中心极限定理转化为正态分布来处理，进cl而求出参数的置信区间；另外在求数列极限时，也可应用中心极限Il7一×盖,11．7+2．58x盖j￡ljJ(¨俐L引儿定理。2．3总体率的区间估计1’I(1)n次独立重复试验中某事件出现的次数x服从二项分布，由中心极限定理知，当n充分大时，二项分布以正态分布为极限，即总体X近似服从N(np，npq)。因此样本率P：墨便近似服从正态分布N(p，pq／n1。令。：．皇三兰则甜服从标准正态分布ⅣIXEq(o，1)·对-’J；n止n。一√p【1一P)’，”著性水平a，可从附表中确定“．。(”一1)，使得尸Ip-P丽i锄一一1=1口2J47
