管理运筹学
第九章 目标规划
目标规划问题举例
有优先权的目标规划的图解法
复杂情况下的有优先权的目标规划
加权目标规划
本章内容
1
2
3
4
目标规划问题举例
有优先权的目标规划的图解法
复杂情况下的有优先权的目标规划
加权目标规划
本章内容
1
2
3
4
§ 1 目标规划问题举例
例2 商务活动
企业在进行盈亏平衡预算时，不能只集中在一种产品上，需
要用多产品的盈亏分析来解决具有多个盈亏平衡点的决策问
题（多产品的盈亏平衡点往往是不一致的）。
例1 企业生产
不同企业的生产目标是不同的。但随着环境问题的日益突出，
可持续发展已成为全社会必须考虑的问题。因此，企业生产
必须承担起社会责任，考虑环境污染、社会效益、公众形象
等多个方面。
§ 1 目标规划问题举例
例3 投资
企业投资时不仅仅要考虑收益率，还要考虑风险。通常，风险
大的投资收益率更高。因此，企业管理者只有在对收益率和风
险承受水平有明确的期望值时，才能得到满意的决策。
例4 裁员
企业裁员时要考虑很多可能彼此矛盾的因素。裁员的首要目的
是压缩人员开支，但忠诚度就很难保证,员工的心理压力、工作
压力等都会增加，可能产生负面影响。
例5 营销
营销方案的策划和执行存在多个目标。既希望能达到立竿见影
的效果，又希望营销的成本控制在某一个范围内。
目标规划问题举例
有优先权的目标规划的图解法
复杂情况下的有优先权的目标规划
加权目标规划
本章内容
1
2
3
4
§ 2 有优先权的目标规划的图解法
例6 一位投资商有一笔资金准备购买股票。资金总额为
90000 元，目前可选的股票有 A 和 B 两种（可以同时投资于
两种股票）。其价格以及年收益率和风险系数如所示。
股票 价格/元 年收益/（元/年） 风险系数
A 20 3
B 50 4
A 股票的收益率为（3/20）×100% = 15%，股票 B的收益率为
4/50×100% = 8%，A 的收益率比 B 大，但同时 A 的风险也
比 B 大。这也符合高风险高收益的规律。
试求一种投资方案，使得一年的总投资风险不高于 700，
且投资收益不低于 10000 元。
§ 2 有优先权的目标规划的图解法
两个目标变量：限制风险、确保收益。
假设目标限制风险的优先权比目标确保收益大，必须首先满足
第一个目标，再尽量满足第二个目标。
建立模型：
设 x1、x2 分别表示投资商所购买的 A 股票和 B 股票的数量。
资金总额的约束：总投资额不能高于 90000 元。即
20x1 + 50 x2≤90000。
注意：资产总额的约束是刚性约束，是不允的。
§ 2 有优先权的目标规划的图解法
风险约束：总风险不能超过 700。投资的总风险 +
。引入两个变量 d1
+和 d1
−，等式如下。
d1
+表示总风险高于 700 的部分，d1
−表示总风险少于 700
的部分，d1
+ ，d1
− ≥0。
把 d1
+和 d1
−这样的变量称为偏差变量。偏差变量的作用是
允条件不被精确满足。
+ =700+ d1
+ − d1−
一、约束条件
§ 2 目标规划的图解法
等式转换可得
+ − d1+ + d1− =700。
年收入约束：
年收入=3x1+4x2
引入变量 d2
+和 d2
− ，分别表示年收入超过与低于 10000
的数量。
第 2 个目标可表示为
3x1+4x2 − d2+ + d2− =10000
§ 2 有优先权的目标规划的图解法
二、有优先权的目标函数
本问题中目标较高的优先权为 P1，目标较低的优先权为
P2。
针对每一个优先权，建立一个单一目标的线性规划模型。
首先建立具有最高优先权的目标的线性规划模型，求解；然
后按优先权逐渐降低的顺序分别建立单一目标的线性规划模
型，方法是在原来模型的基础上修改目标函数，并把原来模
型求解所得的目标最优值作为一个新的约束条件加入到当前
模型中，并求解。
§ 2 有优先权的目标规划的图解法
三、图解法
1．针对优先权最高的目标建立线性规划
20x1＋50x2≤90000
+− d1+ + d1-=700
3x1+4x2 − d2+ + d2- =10000
x1, x2, d1+ , d1- ≥0
建立线性规划模型如下：
Min d1
+；
.
§ 2 有优先权的目标规划的图解法
当d1
+ = d1
-=0时，约束条件 +− d1+ + d1-=700变为
+=700；
约束条件3x1+4x2 − d2+ + d2- =10000暂时不起作用。
§ 2 有优先权的目标规划的图解法
2．针对优先权次高的目标建立线性规划优先权次高（P2）
的目标是总收益超过 10000。
建立线性规划如下：
min d2
-
.
20x1＋50x2≤90000
+− d1+ + d1-=700
3x1+4x2 − d2+ + d2- =10000
d1+ ＝0
x1, x2, d1+ , d1- ,d2+ ,d2- ≥0
把第一步求得的d1
+＝0作为约束条件放到这个线性规划中。
§ 2 有优先权的目标规划的图解法
§ 2 有优先权的目标规划的图解法
3x1+4x2 =10000 直线的左下方区域中 d2- >0,右上方区域
中d2
- =0，可得d2
-最小值，但该区域和阴影部分无重合，接
受d2
- >0 的解。阴影区域中d2
-最小的点即直线 +
=700 和 20x1＋50x2 =90000的交点（ 810 ,1476 ），总风
险为 700，总收益为3×810+4×1476=2430+5904=8334<10000
故没有达到第二个目标。
本例中，优先权高的目标实现了，并付出了优先权低的目
标没有实现的代价。如果采用“管理运筹学”软件进行求解，
可知 d1
+ = d1
- =0, d2
+ =0, d2
- ≈1667。
§ 2 有优先权的目标规划的图解法
求解方法：
（1）确定解的可行区域。
（2）对优先权最高的目标求解，如果找不到能满足该目标
的解，则寻找最接近该目标的解。
（3）对优先权次之的目标进行求解。注意：必须保证优先
权高的目标不变。
（4）重复第 3 步，直至所有优先权的目标求解完。
§ 2 有优先权的目标规划的图解法
四、目标规划模型的标准化
例 6 中对两个不同优先权的目标单独建立线性规划进行
求解。为简便，把它们用一个模型来表达：
20x1＋50x2≤90000
+ − d1+ + d1-=700
3x1+ 4x2 − d2+ + d2- =10000
x1, x2, d1+ ,d1- ,d2+ ,d2- ≥0
min P1（d1
+）+P2（ d2
- ）
.
目标规划问题举例
有优先权的目标规划的图解法
复杂情况下的有优先权的目标规划
加权目标规划
本章内容
1
2
3
4
§ 3 复杂情况下的有优先权的目标规划
例 7．一工艺品厂商生产某两种工艺品 A、B，生产产品 A
需要耗费人力 2 工时/件，生产产品 B 需要耗费人力3工时/件。
A、B 产品的单位利润分别为 250 元和 125 元。为了最大效率
地利用人力资源，确定生产的首要任务是保证人员高负荷生产，
要求每费人力资源不能低于 600 工时，不能超过 680 工时的极
限；次要任务是要求每润超过 70000 元；在前两个任务的前提
下，要求每 A 和 B 的产量分别不低于 200 和 120 件， B 产
品比 A 产品更重要，假设 B 完成最低产量 120 件的重要性是
A 完成 200 件的重要性的 2 倍。
试求如何安排生产？
解：
该问题中 3 个不同优先权的目标，用 P1、P2、P3 表示
从高至低的优先权。
P1 有两个目标：每费人力资源不能低于 600 工时，也
不能超过 680 工时；
P2 有一个目标：每润超过 70000 元；
P3 有两个目标：每 A 和 B 的产量分别不低于 200 和
120 件。
§ 3 复杂情况下的有优先权的目标规划
采用简化模式，得目标线性规划如下：
§ 3 复杂情况下的有优先权的目标规划
x1，x2， d1
+, d1
- ,d2
+ ,d2
- ,d3
+ ,d3
- ,d4
+ ,d4
- ,d5
+ ,d5
- ≥0
min P1(d1
+)+ P1(d2
-)+ P2(d3
-)+ P3(d4
-)+ P3(2d5
-)
.
2x1+3x2-d1++d1-=680, 对应第1个目标，
2x1+3x2-d2
++ d2-=600, 对应第2个目标，
250x1+125x2-d3
++ d3-=70000, 对应第3个目标，
x1-d4
++ d4-=200, 对应第4个目标，
x2-d5
++ d5-=120, 对应第5个目标，
化解多步线性规划问题求解
§ 3 复杂情况下的有优先权的目标规划
x1, x2, d1
+, d1
−, d2
+, d2
−, d3
+, d3
−, d4
+, d4
−, d5
+, d5
−≥0
首先考虑 P1，建立线性规划模型 min d1
++d2
−
. 2x1+3x2-d1
++d1-=680,
2x1+3x2-d2
++ d2-=600,
250x1+125x2-d3
++ d3-=70000,
x1-d4
++ d4-=200,
x2-d5
++ d5-=120,
求解可得x1=0，x2=200，d1
+=0，d1
-=80， d2
+=0，d2
-=0， d3
+=0，d3
-=45000
d4
+=0，d4
-=200， d5
+=80，d5
-=0 ,目标函数d1
++ d1
- =0。
再考虑 P2，把前一个线性规划目标函数得到的最优值作为新增
约束条件，建立线性模型如下:min d3−;
§ 3 复杂情况下的有优先权的目标规划
. 2x1+3x2-d1++d1-=680,
2x1+3x2-d2
++ d2-=600,
250x1+125x2-d3
++ d3-=70000,
x1-d4
++ d4-=200,
x2-d5
++ d5-=120,
d1
++ d1
- =0
x1, x2, d1
+, d1
−, d2
+, d2
−, d3
+, d3
−, d4
+, d4
−, d5
+, d5
−≥0
求解可得，x1=270，x2=20， d1
+=0， d1
−=80，d2
+= d2
−=0， d3
+=d3
−=0，d4
+=70，
d4
−=0， d5
+=0，d5
−=100，目标函数d3−=0。
§ 3 复杂情况下的目标规划
类似地，对 P3 建立对应的线性规划模型（把上一优先权的目标
函数最优值作为新增约束条件），模型如下：
min d4−+2d5−
. 2x1+3x2-d1
++d1-=680,
2x1+3x2-d2
++ d2-=600,
250x1+125x2-d3
++ d3-=70000,
x1-d4
++ d4-=200,
x2-d5
++ d5-=120,
d1
++ d1
- =0,
d3
-=0，
x1, x2, d1
+, d1
−, d2
+, d2
−, d3
+, d3
−, d4
+, d4
−, d5
+, d5
−≥0
目标 1、目标 2、目标 3 和目标 4 达到了，但目标 5 有
些偏差。
§ 3 复杂情况下的有优先权的目标规划
求解可得： x1=250，x2=60， d1
+=0， d1
−=0，d2
+=80, d2
−=0
， d3
+=0,d3
−=0，d4
+=50， d4
−=0， d5
+=0，d5
−=60，目标函数
d4− + 2d5− =120。
使用“管理运筹学软件”可求得以上结果，在目标规划子模
型中输入目标规划的数据即可，相关输入方法和注意事项可以
参考教科书第 211 页。
目标规划问题举例
有优先权的目标规划的图解法
复杂情况下的有优先权的目标规划
加权目标规划
本章内容
1
2
3
4
§ 4 加权目标规划
加权目标规划是通过量化方法分配给每个目标偏离严重程
度的一个罚数权重，建立总的目标函数，使得每个目标函数与
各自目标的加权偏差之和最小。
例 7 中对每费的人力资源超过 680 工时或低于 600工时
的每工时罚数权重定为 7；每低于 70000 元时，每元的罚数
权重为 5；每 A 产量低于 200 件时每件罚数权重为 2，而每
B 产量低于 120 件时每件罚数权重为 4。
§ 4 加权目标规划
其目标函数化为：
min 7d1++7d2−+5d3−+2d4−+4d5−
变成了一个普通的单一目标的线性规划问题
min 7d1++7d2−+5d3−+2d4−+4d5−
. 2x1+3x2-d1++d1−=680
2x1+3x2-d2++d2−=600
250x1+125x2−d3++d3−=70000
x1-d4++d4−=200
x2-d5++d5−=120
x1, x2, d1+, d1−, d2+, d2-, d3+, d3−, d4+, d4−, d5+, d5−≥0 。
§ 4 加权目标规划
加权目标规划和优先权目标规划都是解决目标规划问题的
方法，加权目标规划显然比优先权目标规划更精确一些，但
这对管理者来说并不容。相对来说，评价各目标对总目标的
重要性的顺序显得较为容易，故优先权目标规划适用范围比
加权规划更广一些，可行性更强一些。
谢 谢！
