经济预测与决策（二）
湖南大学经贸学院
许和连 博士、 教 授
第四章 曲线趋势预测法
第一节 直线趋势模型预测法
一、直线趋势模型
直线趋势模型为：
式中：t——时间变量； ——预测值；a,b——模型参数
二、直线趋势模型的识别
设：某一经济变量 的时间序列为 为样本容量。
方法一：绘制 的散点图（或称时序图），若散点图形近似于一条直线，则初步判断该时间序列可以选用直线趋势模型进行预测。
方法二：可用阶差法识别。根据模型（）可知，其一阶差分：
为一个常数，计算给定的时间序列的一阶差分，若一阶差分近似为一个常数时，则可以选择直线趋势模型进行预测。
三、直线趋势模型的参数估计
（一）最小二乘法
最小二乘法的基本思想是：使误差平方和
达到最小，从而得到参数a和b的估计值。
由极值原理，获得参数估计式如下：
（二）折扣最小二乘法
折扣最小二乘法的基本思想是：对误差平方进行指数折扣加权后，使其总和达到最小，即
其中a为折扣系数，且0<a<1。
折扣系数a的大小，反映了折扣程度。当a =1时，即退化为最小二乘法。当a越接近于1时，折扣加权作用越小；反之，当a接近于0时，折扣加权作用越大。
为了使 令其偏导数为0，得到关于能数a、b估计值的标准方程组：
四、点预测与置信区间预测
将样本范围所取的t 值代入预测模型中，得到的估计值为追溯预测值，而将未来所取的 代入模型中，得到的 ，即为变量的点预测值。
给定置信度 ，得到变量yt在点预测值 上下变动的范围称为置信区间预测，该预测区间为：
式中：Sy估计标准差，即
当 时，置信区间可以取为：
对于折扣最小乘法估计标准误差为：
折扣最小二乘法的预测区间为：
例4-1：表4-2是某啤酒厂1995-2002年间历年的啤酒产量，试预测2003~2005年该厂的啤酒产量。
194
184
179
171
164
161
156
149
啤酒产量
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
1995
年份
第二节 可线性化的曲线趋势模型
预测法
一、多项式曲线模型
一般形式为
式中： ——待估参数。
二次曲线模型的特点是二阶差分为一常数。同理可知，三次曲线模型的特点是三阶差分为一常数。因此，当一个时间序列的二阶或（三阶）差分近似为一个常数时，都可以选择二次（或三次）曲线模型进行预测。
关于二次（三次）曲线模型的参数估计可以采用最小二乘法。这里以二次曲线模型的参数估计为例。
将二次曲线模型线性化，令 这样将二次曲线模型转化为二元线性模型：
然后，根据最小二乘法原理得到标准方程组：
最后，求解三元一次线性方程组，即可得到参数b0、b1、b2的估计值，从而得到二次曲线模型。
例4-2：
北京市某区地税局1995~2002年的税收总收入如表4-6 所示，试预测2003年和2004年的税收总收入。
表4-6 地税局1995-2002年税收总收入
单位：万元
176600
142906
118711
91142
74971
63397
54313
44766
税收总收入
2002
2001
2000
1999
1998
1997
1996
1995
年份
二、指数曲线模型
指数曲线模型的一般形式为：
其中： a,b——待估参数；t——时间变量；e——自然对数的底。
指数曲线模型的特点是一次比率，即环比发展速度为一个常数，因此，当时间序列 随时间t的增加而按一定比率增长或减少时，可以选择指数曲线模型进行预测。
对模型两边取自然对数，得：
令 则模型可转化为直线模型：
根据直线模型的最小二乘参数估计公式，得到：
三、幂函数曲线模型
幂函数曲线模型的一般形式为：
对模型两边取对数，得到：
令 则模型转化为直线模型：
四、对数曲线模型
一般形式
令 ，模型转化为线性形式
五、双曲线模型
双曲线模型的一般形式为：
其几何图形如图所示
yt
t
a
O
b>0
t
a
O
b<0
yt
图4-11 双曲线模型图
第三节 有增长上限的曲线趋势模
型预测法
有增长上限的曲线趋势模型一般包括三种：修正指数曲线模型和两个S形曲线模型，即龚珀兹曲线模型和皮尔曲线（亦称Logistic）模型，它们常被用于商品的需求预测中。
一、修正指数曲线模型预测法
1．模型的形式
式中：K、a、b——待估参数。
2．模型的识别
修正指数曲线模型的特点是一阶差分的环比为一个常数。
3．模型的参数估计。下面分两种情况进行讨论
第一种情况：根据经验，当增长上限K已知时，可以采用上一节使用的将曲线模型线性化的最小二乘法来估计其余两个未知参数a 和b。
第二种情况，当K、a、b均未知时，模型无法线性化，因而不能用最小二乘法估计参数，此时可用三和法或三点法估计参数。
三和法（也称三段法）：设时间序列 有N个数据。不妨设N=3n, 如下表如示。
（估计过程与例4-4）
t
1
2
…
n
n+1
n+2
…
2n
2n+1
2n+2
…
3n
y
t
y
1
y
2
…
y
n
y
n+1
y
n+2
…
y
2n
y
2n+1
y
2n+2
…
y
3n
二、S形曲线模型预测法
两个模型为龚珀兹（Gompertz）曲线模型和逻辑斯蒂（Logistic）曲线模型。通常它们能够反映具有生命周期特征的现象，如人口预测、商品的寿命等等，因此也被称为生命周期曲线。
1．龚珀兹（Gompetz）曲线模型。
（1）模型的一般形式为：
其几何图形如下图所示
图4-14 龚珀兹曲线模型
根据模型可知，t=0时， 为该曲线的增长上限值，拐点为
曲线关于拐点不对称。
yt
t
ln[-(lna)-1]/lnb
K/e
0
Ka
（2）模型识别
龚珀兹曲线模型特点：对数一阶差分的环比为一个常数。
（3）模型的参数估计
第一种情况，增长上限K已知：
将模型变形为：
对上式两边取对数：
由于 ，因此对上式两边同乘以（-1）再取对数，最终将龚珀兹曲线模型线性化为：
令 则有
然后用最小二乘法估计出参数A、B，求反对数得到a和b
第二种情况，增长上限K未知：
将模型两边取对数，得到：
若令 则上式变为：
仿照修正指数曲线模型参数估计的方法，可得到b、lna和lnK的计算公式：
最后通过反对数求出a和K的值，从而得到龚珀兹曲线模型的参数估计（见例4-5）
2.逻辑斯蒂（Logistic）曲线模型
（1）模型的一般形式为：
式中：K>0,a >0,0<b<1.
几何图形如下图所示
yt
t
(lnK-lna)/lnb
1/(2K)
0
1/(K+a)
当t=0时， ； ，所以 和 都是曲线的渐近线，其中 1/K 为其增长上限。拐点为
且该曲线关于拐点对称。
（2）模型识别
模型的特点：其倒数一阶差分的环比为一常数。
（3）模型的参数估计
将模型两边取倒数，得：
若令 ，则上式变为：
可见，Logistic曲线模型的倒数正是修正指数曲线模型的形式。因此，依照修正指数曲线模型参数估计的三和法，可得b,a 和K的计算公式：
第五章 马尔科夫预测法
第一节 马尔科夫链及转移概率
一、随机过程
定义5-1 设Ω是随机试验E的样本空间，T为时间参数空间。若对每一时刻 ，都有定义在Ω上的随机变量 与之对应，则称依赖于t的一组随机变量 为一随机过程，简记为
例5-1 设Z(t)是某市电话局在时间t内收到的呼叫次数，
=[0, 24]，则 是一随机过程。
例5-2 设Z(t)是北京市在一天内t时刻的温度， =[0, 24]，则 是一随机过程。
例5-3 设Z(t)是第t个交易日收盘时的上证指数， ={1，2，3，…}，则 是随机过程。
例5-4 在一系列掷硬币的试验中，记
则Z(t)， ={1，2，3，…}是一随机过程。
由于随机变量与时间参数空间T都有连续与离散之分，所以随机过程可分为如下四类：
1．连续型随机过程：随机变量Z(t)与时间T都是连续的。如例5-2。
2．离散型随机过程：随机变量是离散的，时间是连续的。如，例5-1。
3．连续随机序列：随机变量是连续的，时间是离散的。如例5-3。
4．离散随机序列：随机变量与时间都是离散的。如例5-4。
二 马尔科夫链
马尔科夫链是指具有无后效性的时间序列。所谓无后效性是指序列将来处于什么状态，只与它现在所处的状态有关，而与它过去处于什么状态无关。无后效性可用条件概率表示。
定义5-2 设时间序列 的状态空间S是一整数集，若对S中的任意n个整数： 和T中任意n个整数
都有：
则称时间序列是马尔科夫链。而条件概率 称为由tn-1时刻之状态i到tn时刻之状态j的状态转移概率，记为
定义5-3 若对任意 和任意自然数k，马尔科夫链的转移概率 ，则称 为由状态i经k步到状态j的转移概率，简称k步状态转移概率，记为 。
三．转移概率矩阵及其性质
定义5-4 设马尔科夫链 的状态空间为 ，则称由一步转移概率 构成的n阶方阵
为一步状态转移概率矩阵。
一般地，由k步转移概率 构成的n阶方阵
为k步状态转移概率矩阵
性质5-1 设 是马尔科夫链的一步转移概率矩阵，则：（1） ；
（2） 。
性质5-2 设 与 分别为马尔科夫链的一步和k步转移概率矩阵，则：
即k步转移概率矩阵恰好等于一步转移概率矩阵的k次幂。
例5-7 为了了解顾客对A、B、C三种不同品牌洗衣粉的购买倾向，市场调查小组进行了购买倾向调查。在本月购买A、B、C品牌的顾客中分别调查了100人、150人、和120人。了解他们下月的购买倾向。调查结果用矩阵表示如下：
其中，第一行表示在本月购买A品牌100人中有40人在下月仍打算购买A品牌，而打算转向购买B和C品牌的人数都是30。第二行与第三行类同。要求：
（1）写出状态转移概率矩阵。
（2）求购买C品牌的顾客矩阵在未来第二个月购买A品牌和B品牌的概率。
第二节 概率向量与概率矩阵
定义5-5 如果一个行向量的元素都是非负的，且各元素之和等于1，则称此向量为概率向量。
如果一个方阵的每一行向量都是概率向量，则称此方阵为概率矩阵。
性质5-3 如果同阶方阵 与 都 是概率矩阵，则 也是概率矩阵。即概率矩阵的乘积为概率矩阵。
定义5-6 马尔科夫链在初始时刻的概率分布
称为初始分布，记为 ；在 t时刻的概率分布为
称为马尔科夫链在t时刻的绝对分布。记为
定理5-1 马尔科夫链在t时刻的绝对分布等于初始分布与t步转移概率矩阵的乘积，即
1 2 … n
p
1 2 … n
p
例5-8 马尔科夫链的一步转移概率矩阵为：
（1）若初始分布为（02,,），求t=1时的绝对分布。
（2）若初始分布为（,,），求马尔科夫链在任一时刻t的绝对分布。
例5-9 设马尔科夫链的转移概率矩阵为：
初始分布为 。求马尔科夫链在任一时刻的绝对分布。
定义6-7 设P为马尔科夫链的一步转移概率矩阵。如果存在概率向量u=(u1, u2, …，un)使得uP=u，则称u为P的固定概率向量，或称为P的固定点（或均衡点）。
如果马尔科夫链的转移概率矩阵P的所有行向量都等于同一向量u，则称P是由u构成的稳态矩阵。
二、正规概率矩阵
定义6-8 设P是马尔科夫链的一步转移概率矩阵，如果存在自然数k，使得Pk的所有元素都是正数，则称P为正规概率矩阵。
例6-10 试判断下列哪些矩阵是正规概率矩阵，哪些不是.
第三节 马尔科夫在经济预测等方
面的应用
一、市场占有率的预测
所谓市场占有率，是指在某地区消费某种产品的居民中，使用某一品牌的居民所占的比率。如果假设在某地区经营的某种产品有n个品牌A1, A2, …，An, 并假设消费者消费这n种品牌的产品具有马尔科夫链的特征，那么，用马尔科夫链的基本原理和基本方法可以对这n种品牌的市场占有率作出预测。具体步骤如下：
第一步，进行市场调查
1．在全体消费此种产品的消费者中，调查目前购买n种品牌的消费者各占的比率，获得初始分布
2．调查在n种品牌之间消费者的流动情况，获得转移频数矩阵，进而获得转移概率矩阵P。
比如，在被调查的目前使用第i种品牌的ni个消费者中，在下一时刻将有nij个消费j品牌。于是转移频数矩阵为。
用ni去除矩阵N的第i行各元素就得到了转移概率矩阵
其中
第二步，预测未来第k时刻的市场占有率。计算初始分布p0与k步转移概率矩阵P(k)的乘积，就可得到未来第k时刻的绝对分布，即第k时刻的市场占有率：
第三步，预测均衡状态下的市场占有率。如果转移概率矩阵P是正规矩阵，那么P有惟一的固定点 ，于是，在市场最终达到均衡状态下，各种品牌的最终市场占有率将分别为
应用举例
例5-13 在北京地区销售的鲜牛奶主要由三个厂家提供。分别用1，2，3表示。去年12月份对2000名消费者进行了调查。购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。同时，得到的转移频数矩阵为：
其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费者继续购买厂家1的产品。转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。N的第二行与第三行的含义同第一行。
（1）试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。
（2）试求市场处于均衡状态时，各厂家的市场占有率。
二、人力资源预测
采用马尔科夫链的基本原理和基本方法可以对一个单位的人力资源的流动情况进行分析和研究，并对未来该单位人力资源的结构进行预测。
例5-14 某高校为编制师资发展规划，需要预测未来教师队伍的结构。现在对教师状况进行如下分类：青年，中年，老年和流退（流失或退休）。根据历史资料，各类教师（按一年为一期）的转移概率矩阵为；
目前青年教师400人，中年教师360人，老年教师300人。试分析3年后教师的结构以及保持编制不变，3年内应进多少硕士和博士毕业生充实教师队伍。
三、期望利润预测
1．利润矩阵
定义5-9 设市场状态空间为S={1，2，…，n}，转移概率矩阵为 。当市场由状态i转移至状态j时，厂家的利润为 ，则称由 构成的n阶方阵
为利润矩阵。
2．期望利润预测公式。设 为从状态i开始，经过k步转移到各状态所获得的期望利润，i=1, 2, …，, n。记：
并规定v(0)=0.
由数学期望的定义知，当k=1时
当k>1时， 等于由状态i开始，经一步转移到各状态获得期望利润 再加上以一步转移后所到达的各个状态j再经k-1步转移到各状态所获得的期望利润 的数学期望即：
于是
此式给出了市场由一种状态开始，经k步转移到达各种状态时，生产厂家的期望利润构成的向量v(k)的递推公式。
例5-15 设一生产厂家的产品每月市场状态有畅销和滞销两种，用1表示畅销，用2表示滞销。假设从畅销到畅销可获利30万元；从畅销转为滞销将可获利10万元；从滞销转为畅销可获利20万元；从滞销到滞销将亏损10万元。现有30个月的市场销售记录。如表6-3所示。
表5-3 30个月的市场销售状态
（1）求销售市场状态转移概率矩阵。
（2）分别预测下个月和未来3个月的期望利润。
1
1
2
2
2
1
1
2
1
1
2
2
1
2
1
市场状态
30
29
28
27
26
25
24
23
22
21
20
19
18
17
16
月份
2
1
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
1
1
市场状态
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
月份
四、马尔科夫链在其他方面的应用举例
（一）项目选址问题
例5-16 某汽车维修公司在北京市有甲、乙、丙3个维修厂。由于公司注重对员工的技术培训，树立顾客至上、信誉第一的理念，采用先进的管理模式，所以公司在本行业具有良好的形象，形成了一定规模的、稳定的客户群。对客户的调查显示，客户在甲、乙、丙3个维修厂之间的转移概率矩阵为：
由于资金的原因，公司目前打算只对其中的一个维修厂进行改造，并扩大规模。试分析应选择哪个维修厂。
