第七章 要素需求函数、成本
函数、利润函数与供给函
§1.要素需求函数
§2.短期成本函数和长期成本函数
§3.学习曲线与成本次可加性
§4.利润函数与供给函数
本章要点
§1.要素需求函数
一、要素需求函数的推导
说明，利润最大化的条件为要素的使用要达到
其边际产量的价值=要素价格。
由上述条件可导出要素的需求函数：
例：
求关于x1和x2需求函数：
用成本最小化求要素需求函数
拉氏函数为：
注意：在第1种方法中，一般要求生产函数是
规模报酬递减的。由成本最小化导出要素的需求
函数的方法更具有一般性。
二、要素价格变化对要素需求量的影响
定义：
当生产函数严格为凹时，利润极大化问题有解。
求上式关于x1、x2、r1、r2和p的全微分，可得：
后两式可写作：
用克莱姆法则解dx1和dx2,
r1对x1的影响
r2对x1的影响
可见，上式取决于f12的符号。 f12 是指x2增加后
对x1的边际产量的作用。f1为资本的边际产出。
p对x1的影响
§2.短期成本函数和长期成本函数
一、成本函数的定义
上述最小化问题的解 称为条件（产出量
给定时求要素需求）要素需求函数。则成本函数为：
二、短期成本函数
成本函数可表示为：
若生产函数为：
1.平均成本（AC或ATC）与边际成本（MC）的关系
在平均成本的最低点,AC=MC。
同理可证，在AVC的最低点,AVC=MC。
SMC
AFC
TFC
短短
期期
成成
本本
曲曲
线线
综综
合合
图图
ATC
切线
STC
AVC
O Q
C
O
C
Q
切线
TVC
E
F
MC先通过
AVC的最低点，
然后再通过
MC的最低点。
因为当AVC最
低时，AFC还
在下降，AC
未达到最低。
2.成本函数的二阶性质
利润最大化的一阶条件
利润最大化的二进制阶条件
边际成本递增
三、长期成本函数
若生产函数为：
则短期成本函数可表示为：
p 、r1和 r2给定时，x1和x2是q函数。此时
r1和 r2给定时，
STC1
STC2 STC3
LTC
140 300 900 q
b
c
d
a
C
厂商打算供应140T，他会选用
STC
1
这个规模。
现假设供应的产量为300T，显然
在300-650T之间的范围内，第二
个规模更适用。
以下依次类推。
曲线代表每一产量
水平上都选取一最优的生产
规模，此生产规模上对应的STC
曲线与LTC曲线相切。
是STC曲线的包络线。
曲线比STC平缓。
长期总成本的定义：每一产量水平上所能达到的最
低总成本。
说明当k变化时，企业充分利用了k的潜力。即
找出最佳k和q的关系。
由上式解得：
长期成本函数
例：
若一组短期成本函数由下式决定：
即企业在不同阶段的短期成本函数，求长期成
本函数。
§3.学习曲线和成本次可加性
一、学习曲线
如果厂商的生产规模并未发生变化，而其平均生
产成本却长时期地连续下降，那又该如何解释呢
?
由于厂商能够在生产过程中不断获取有关经验，
提高生产效率，因而其平均生产成本通常会随厂
商累积产出的增长而下降。形成这种现象的具体
原因是存在学习效应，又称为“干中学
”（learning by doing）。
1.工人对设备和生产技术有一个学习与熟悉
的过程，生产实践越多，他们的经验就越丰
富，技术就越熟练，完成一定生产任务所需
的时间也就越短。
2.厂商的产品设计、生产工艺、生产组织会
在长期的生产过程中得到完善，走向成熟，
这将使产品的成本降低。
3.厂商的协作者(如原料供应厂家)和厂商合
作的时间越长，他们对厂商的了解越全面，
其提供的协作就可能越及时、有效，从而降
低厂商的平均生产成本。
学习曲线的形状
Q
A
B
C
100
120
160
1000 2000 3000 O
式中AC是累积产量为Q时
厂商的平均生产成本，a,b
乃是大于零的常数。
a的经济涵义是第一单位
产出的平均成本，b则反映
厂商学习效应的大小：b越
大，平均成本下降的速度
越快(即学习曲线越陡)，
学习效应越显著；反之，
平均成本下降很慢，学习
曲线比较平缓，学习效应
不显著。
若考虑两个时期1，2。其产量分别为q1,q2。第
一期的成本为C1(q1),第二期的成本为C2(q2,q1)。
“学习效应”是指 。即第一期的产出量越多，
则第二期的生产成本会降下来。
有时学习曲线也可用要素的使用量来表示：
例：设有一公司，在累积产量达到20时，测得
总用工为200小时；在累积产量达到40时，测得总
用工时为360小时，试估计学习曲线。
从L1式中解出A：
因此，学习曲线为：
1.反映规模报酬递增的若干成本变化
二、成本函数的次可加性与规模报酬
考虑只生产一种产品，设C(q)的为企业生产q产
量的（最优）总成本。假定成本函数除零点外二
阶可微。
（1）若对所有可能的产出量q，C''(q)<0，则边
际成本严格递减。
（2）若对所有的产出量q1和q2，0<q1<q2，下式
成立，则平均成本严格递减。
（3）若对所有的产出量qi，下式成立，则成本
函数严格次可加（在一个有限的产量变动范围内，
共同生产一组产量的总和比分别生产它们节约成
本）。
2.两个定理
【定理1】边际成本在任何地方都递减意味着平
均成本也如此。
边际成本递减，则q点的边际成本必定是
范围内边际成本最小值。于是边际成本必小于平
均成本。
由于边际成本递减，边际成本小于平均成本，因
此，严格递减的边际成本必导致递减的平均可变成
本。因此，
【定理2】平均成本在任何地方都递减意味着生
产是次可加的。
平均成本在任何地方都递减表示：
由（1）式可得到：
边际成本在任何地方严格递减的条件最强，意
味着平均成本严格递减和严格次可加，但逆命题
不一定成立。
§4.利润函数和供给函数
利润最大化问题：
供给函数
投入品需求函数
一、利润函数的定义
利润函数是下列最大值函数：
利润函数一定是指最大利润是存在的，且它只
依赖于产出价格和要素价格。
利润函数只有在规模报酬递减时才存在。
假设生产技术是规模报酬递增的。最大利润为
（在p和r给定时）：
规模报酬递增意味着：
两边乘p，同减去：
二、利润函数的性质
（1）对于p递增；
（2）对于r递减；
（3）对于(p,r)是一次齐次的(k=1)；
（4）对于(p,r)是凸的；
（5）当(p,r)>>0时， (p,r)是可导的，并且有
霍太林引理：
（因y已是保证利润最大的最优产出选择，因此
有： ）
（因xi已是保证利润最大的最优产出选择，因此
有： ）
利润函数是关于(p,r)的凸函数。
（因y已是保证利润最大的最优产出选择，因此
有： ）
（因xi已是保证利润最大的最优产出选择，因此
有： ）
三、供给函数的求法
1.从利润函数求供给函数
由霍太林引理，已知生产函数：
第一步，求出利润函数；
第二步，利润函数对p求一阶偏导，得出供给函
数。
例：
已知生产函数为 ， r1和r2分别为x1与k
（固定投入）的价格，p为产品价格。求：
利润函数：
供给函数：
x1*代入π方程，得：
由霍太林引理，求供给函数：
此即短期利润函数。
2.从生产函数直接求供给函数
（如果生产函数是严格凹函数,则利润最大化问
题有解。先求出条件要素需求函数，再将其代入
生产函数，可得到供给函数。）
例：
已知企业的生产函数为：
已知固定投入F=16，求短期供给函数。
解：把F代入生产函数，得：
由利润最大化的一阶条件，得：
代入原生产函数，得到短期供给函数：
显然，若r给定且不变，则供给函数就只表示
供给量与产品价格之间的关系。
3.从成本函数求供给函数
若利润最大化问题有解，则一阶条件为：
例：
已知企业的短期成本函数为：
求企业的短期供给函数为。
四、生产者剩余
1.短期生产者剩余
企业参与市场交易与不参市场交易相比的福利改
进。
生产者剩余
1.长期生产者剩余
指一个行业的最后进入者的产出为零时（行业
边际产出为零），超过正常利润的额外利润，也
称为“租”。
原因：特殊要素的无可替代性；技术的无可替
代性；企业的先发优势。
一般地，长期生产者剩余与垄断有关。
一、利润最大化基本条件的表述
A.利润最大化的一阶条件：
附录：
B.利润最大化的二阶条件：
利润的最大化也可以表示为
利润最大化的一阶条件及二阶条件
二、利润最大化的应用边界
利润最大化的条件在使用上有一些基本的限制：
(1)当生产函数不能微分时；
(2)所有的投入要素都是正值，而且一、二阶条件
仅在最优解的开邻域内有意义，即存在着内点解。
当要素取0值时，条件不能满足。
(3)可能不存在利润最大化的生产技术。
三、库恩——塔克定理
设 是利润最大化问题的非负约束，即
库恩——塔克定理与边角解
四、包络定理与霍推林引理
包络定理：是要说明在最优值时的外在参数对
于变量的影响。是值函数关于参数的全导数。
若 是参数，
霍推林引理
当固定价格水平p时，则
成立。
当固定w时，则可以得到：
复习与思考题
1.什么是生产函数？它与生产技术的关系是依靠
什么联系在一起的？
2.厂商在进行生产的过程中，从企业短期的生产
过程来看如何实现厂商所追求的目标？
3.就经济学的基本逻辑说明生产函数、供给函数
与利润函数的相应关系。
4.简要说明利润最大化的基本条件。
