回顾复习
可靠度R(t)
产品在规定条件下和规定时间内完成规定功能的概率。
失效率λ(t)
工作到某时刻t时尚未失效或故障的产品，在t时刻以后
的下一个单位时间内发生失效或故障的概率。
可靠性指标及其
内在关系
第二章 不可修复系统的可靠性
可靠性功能逻辑图
串联系统
并联系统
混联系统
表决系统
旁联系统
网络系统
1．可靠性功能逻辑图
就其功能研究系统可靠性。
可靠性逻辑图：
系统与单元功能间的逻辑关系图
建立可靠性功能逻辑框图，不能从结构上而应从功
能上研究系统类型
1．可靠性功能逻辑图
BA
C2
C1
例1：
逻辑关系？
1．可靠性功能逻辑图
如果分析的是短路失效，只要一个短路，系统即短路。
其系统逻辑框图为：
如果分析的是开路失效，当两个电容同时失效，才会
引起系统失效。其逻辑框图为：
A B
C1 C2
A B
C1
C2
1．可靠性功能逻辑图
例2：
A B
1 2
逻辑关系？
1．可靠性功能逻辑图
如果研究的是液体“流通”：1、2都实现自己的功能
“开启”，系统才能实现液体“流通”。其逻辑框图
为：
如果研究的是液体“被截流”：1、2只要有一个功能
正常“关闭”，系统就可实现“被截流”。其逻辑框
图为：
A B
1 2
A B
1
2
1．可靠性功能逻辑图
若已知逻辑图和每个单元的工作概率或故障概率，则
通过适当的运算，可求得整个系统的工作概率（可靠
度）、故障概率（不可靠度）、MTTF等可靠性特征量
（指标）。
主要研究几种常用的典型系统及其可靠性特征量的计
算方法。
假设：
① 系统、单元均有两种状态正常与失效；
② 各单元所处的状态是相互独立的。
2．串联系统
特征：n个单元全部正常工作时，系统正常工作；
只要有一个单元失效，系统即失效。
设： － 系统正常工作状态
－ 系统故障状态
－ 单元 i 处于正常工作状态（i＝ 1，2，…，n）
－ 单元 i 处于故障状态（i ＝ 1，2，…，n）
1 2 n
A
B
2．串联系统
则
A ＝ ＝
＝ ＝
2．串联系统
由上式： ＝ （Ai 之间相互独立）
＝
＝
上式表明，在串联系统中，系统的可靠度是元件(单元)可靠度乘积。
∵ ＜ 1，
∴ ＜ 1， 而且 ＜
即串联子系统的可靠度比任一单元要小。
因此，提高最低可靠度单元（薄弱环节）的可靠度效果会更好。
2．串联系统
若各单元服从指数分布，
＝ ＝ ＝
由此可知，串联后仍服从指数分布：
λs ＝ ，θs ＝ 。
3．并联系统
特征：任一单元正常工作，子系统即正常工作;只有所有单
元均失效，系统才失效。
设： A－ 系统正常状态
－ 系统故障
－ 单元 i 处于正常工作状态（i ＝ 1，2，…，n）
－ 单元 i 处于故障状态
1
2
3
A B
3．并联系统
则 ＝ ＝
（设各单元状态相互独立）
＝ ＝
＝
＝ ＝ ＝
＝
＝ ＝ ＝
3．并联系统
若各单元寿命均服从指数分布，λi ，
＝
当n ＝ 2时，
＝
＝
＝
3．并联系统
经分析，并联系统 ＞ 之最大值，n越大， 越高，
但并联单元多，结构尺寸大，重量、造价高，且
∴通常取 n ＝ 2～3 。
n
缓慢
4．混联系统
1) 一般混联系统（由串联、并联混合组成的系统）
1 2 3
4 5
6
7
8
子系统
S1 6
7S2
8
等效单元
8S4S3
4．混联系统
其中 ＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
4．混联系统
2) 串－并联系统
11
21
m11
12
22
m22
1n
2n
mnn
ij
第j列
i=1,2,…,m
j=1,2,…,n
4．混联系统
每一列视为一个子系统，求出各子系统的Rj ，再相乘即得Rs
＝
＝ ＝
当m1 ＝ m2 ＝ …＝ mn ＝ m，且 ＝ 时，
＝
4．混联系统
3) 并－串联系统
11
i=1,2,…,m
j=1,2,…,n
第i行
12 1n1
21 22 2n2
m1 m2 mnm
ij
4．混联系统
每一行视为一个子系统，求出各子系统的Ri ，再求得Rs
＝
＝
＝
当n1＝n2＝…＝nm＝n， ＝ 时，
＝
5．表决系统（r/n）
特征：n个单元中只要有r个单元正常工作系统就能正常工作。
设： Ai － 单元i处于正常工作状态（i ＝ 1，2，3）
A － 系统处于正常工作状态
则 A ＝
设Ai 间相互独立，但事件Ⅰ：A1∩A2 ，Ⅱ：A1∩A3，Ⅲ：A2∩A3 ，
Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 相容
1
2
n
r/n 以
1
2
3
2/3 为
例
5．表决系统（r/n）
＝ P（A）
＝ P(A1∩A2)＋P(A1∩A3)＋P(A2∩A3)
－[ P(Ⅰ∩Ⅱ)＋P(Ⅰ∩Ⅲ)＋P(Ⅱ∩Ⅲ)]＋ P[Ⅰ∩Ⅱ∩Ⅲ ]
＝ P(A1∩A2)＋P(A1∩A3)＋P(A2∩A3)
－[ P(A1∩A2∩A3)＋P(A1∩A2∩A3)＋P(A1∩A2∩A3)]
＋P(A1∩A2∩A3)
＝ P(A1∩A2)＋P(A1∩A3)＋P(A2∩A3)－2 P(A1∩A2∩A3)
＝ P(A1)P(A2)＋P(A1)P(A3)＋P(A2)P(A3)－2P(A1)P(A2) P(A3)
＝ ＋ ＋ -2
5．表决系统（r/n）
当各单元相同时：
＝ ； ＝
5．表决系统（r/n）
对上述“2/3”子系统也可以表示为：
由此，按前述并、串联系统的计算方法即可求得系
统的可靠性特征量。
1 2
3
32
1
5．表决系统（r/n）
一般，对于n个相同单元（ ）组成的r/n表决系
统，由于各单元只有两个状态，因此r/n系统可靠
度 可表示为：
＝
i为正常工作单元数，i＝r，r＋1，…，n时系统都可正常工作。
式中：
5．表决系统（r/n）
又r/n系统，当r＝n时，n/n系统，即为串联系统
当r＝1时，1/n系统，即为并联系统
各系统单元相同，且均服从指数分布时，失效率为λ；
则 ＝
此时 ＝ ＝ ＝
用数学归纳法可以证明：
＝ (1)
5．表决系统（r/n）
当i＝1时，
＝
＝ ＝
上式成立。
设i＝k（1≤k＜n）时等式成立，
即 ＝ (2)
证明i＝k＋1时，上式（1）成立：
i＝k＋1时：
＝
5．表决系统（r/n）
＝
＝
＝
＝
＝
＝
∴ i＝k＋1时，（1）成立，
∴ （1）式成立。
6．旁联系统（非工作贮备系统）
设贮备单元完全可靠（由于单元受环境的影响，
单元贮备期间也可能失效，此部分内容这里不讲，
而只讲贮备单元完全可靠的情况）
1
2
n
故障检测和转
换装置R0(t)
6．旁联系统（非工作贮备系统）
a. 转换装置完全可靠（R0(t)＝1）
设T1，T2，…，Tn为1～n个单元的寿命，随机变量，且两
两相互独立
则 系统寿命 随机变量：
Ts ＝ T1＋T2＋…＋Tn
系统可靠度：
＝ P（Ts＞t）＝ P（T1＋T2＋…＋Tn＞t）
系统平均寿命：
＝ ＝ －单元i 的平均寿命
6．旁联系统（非工作贮备系统）
下面以两个单元组成的旁联系统为例，说明上式 的计
算方法。
设两单元：T1、T2 均服从指数分布，失效率分别为λ1
、λ2
则 f1(t) ＝ ， f2(t) ＝
6．旁联系统（非工作贮备系统）
＝ P(Ts＞t)＝ : Ts＝T1＋T2 的概率密度函数
∵ Ts＝T1＋T2
∴ ＝ 即f1(t) 和f2(t)的卷积。
两边取拉普拉斯变换：
＝ ＝
由上式：
＝ ， ＝
（用到： ＝ ； ）
6．旁联系统（非工作贮备系统）
代入上式即可得
6．旁联系统（非工作贮备系统）
对两个相同单元组成的旁联系统，用上述同样方法得
对n个不同单元组成的旁联系统
6．旁联系统（非工作贮备系统）
6．旁联系统（非工作贮备系统）
b.转换装置不完全可靠［（服从指数分布）］,仍以２个
单元组成的旁联系统为例
1
２
分布函数（或不可靠度）
6．旁联系统（非工作贮备系统）
6．旁联系统（非工作贮备系统）
6．旁联系统（非工作贮备系统）
c. 转换装置不完全可靠。
（不使用时 =0，使用时 (t) = = c）
单元1先投入使用，单元1失效时，转换装置投入
使用， 此时转换装置有两种可能：
① 失效： 系统寿命为 ，失效概率为1-R0
② 正常： 系统寿命为 ，正常概率为R0
6．旁联系统（非工作贮备系统）
此时：
对指数分布：
6．旁联系统（非工作贮备系统）
时
对由n个相同指数单元组成的旁联系统，经推导可得：
７．网络系统
除前面介绍的串联、并联和表决等典型模型外，还有一
般网络模型，如通性网络，交通网络，电路网络等
本节讨论网络模型常用的R分析方法，网络由节点和节点
间的连线(弧或单元)连接而成，假设弧(单元)和系统只
有两种可能状态—正常或失效。弧(或单元)之间相互独
立。
７．网络系统
例如
１
２
４
３
也可表示为：
1
2
3
4
７．网络系统
1) 全概率分解法
根据全概率公式
其中，
=1 (全集)
互不相容
７．网络系统
设x —某被选单元正常状态(事件)
—某被选单元故障状态(事件)
S—系统正常状态
—系统故障状态
则有：
７．网络系统
则
同理可写出：
其中 ：
表示单元x正常时子系统故障状态的概率
表示单元x故障时子系统故障状态的概率
若 S (x)—单元正常时的子系统（正常状态）
S( )—单元故障时的子系统（正常状态）
７．网络系统
例如 ： 1
2
3
4
5
Ｂ
Ａ
按单元３展开：如图a,b
ＢＡ Ａ
（ａ）
正常时（短路）
（ｂ）
故障时（断路）
Ｂ
７．网络系统
可转化为：
全概率分解法的关键是选择合适的单元进行展开，对于
更为复杂的网络系统，可按此原理逐级分解，将其转化
为一般的串并联，从而求出全系统的可靠性。
７．网络系统
2) 布尔真值表法（穷举法）
n个单元组成的网络系统，各单元均有“正常”和“失效”2种
状态，则系统就有2n种（微观）状态。
对这 个状态逐一分析，判断系统的状态是“正常”还是“故
障”，由于各状态互斥。因此所有正常工作状态的概率之和
就是系统的可靠度。
例如：
1
2
3
4
０—故障
１—正常
７．网络系统
共有 ＝32微观状态
系统
７.网络系统
网络中有一些弧或单元，当这些弧正常时，网络就
正常，这些弧的集合称为路集，若路集中除去任一
弧，就不能仍为路集，这种路集称为最小路集。
3) 最小路集法
路：连接任意两节点间由有向弧组成的弧的集
合，称为这两个节点的一条路，或称道路。
如
{
，
７．网络系统
路集：由输入节点到输出节点的所有路的集合，称为
路集
最小路：如果一条路中移去一条弧后就不再构成路，
则称这条路为最小路。
最小路集：由最小路构成的集合。
具有n个节点的网络的最小路集的最大路长为n—1。
求最小路集的方法：有联络矩阵法、网络遍历法（计
算机求解）等，主要介绍联络矩阵法。
７．网络系统
联络矩阵法
给定一个有n个节点的网络s（有向、无向或混合型），
定义相应的n阶矩阵
其中
＝
若节点i到j之间有弧直接相连
若节点i到j之间无弧直接相连
称c为网络s的联络矩阵（或关联矩阵）
７．网络系统
例如网络s
1
2
3
4
７．网络系统
联络矩阵的乘方规则
定义 其中
显然， 表示节点i到节点j的长度为2的最小路集的全体.
同理
所以从任意节点i到节点j的所有最小路集可表示为：
（ = ） （ 路长r=1,2 n-1）
７．网络系统
由于n个节点网络的最小路集的最大路长为n-1，因此
当r n时，必有 [0]
例如：求上例从1到4最小路集
当r=1时
７．网络系统
当r=2时
＝
７．网络系统
当r=3时
＝
７．网络系统
系统S的最小路集为
S=
注：集合运算
７．网络系统
b 搜索法
可以用建搜索树的方法求解
如上例
s=
７．网络系统
□由最小路集求系统可靠度（正常工作概率）
设某网络共有m个最小路集
最小路集存在，足以使网络正常，
，任意
因此网络正常事件
可表示为
第i个最小路集存在的事件
网络系统正常工作的概率（可靠度）
７．网络系统
仍以上述网络为例
已知
且各弧正常工作的概率事件之间相互独立
７．网络系统
应用上式：
７．网络系统
类似方法：
利用上式可得：
＋
＋……
７．网络系统
（4）最小割集法
网络中的一些弧（或单元），当这些弧失效时，网络就
失效，这些弧的集合称为割集，若由割集中去掉任何一个
弧，就不能仍为割集，这种割集称为最小割集。
设
系统即失效，
为系统的k个最小割集，任一最小割集发生
失效， 因此系统 失效事件B为：
７．网络系统
则系统的失效概率（不可靠度）
如割集：
则
作业：
有旁联系统（非工作贮备系统）如下图所示。
1.转换装置不完全可靠［（服从指数分布）］,仍以２个单
元组成的旁联系统为例
1
２
求系统的可靠性和平均寿命，要求有详细的推导
过程
2.转换装置不完全可靠。
（不使用时 =0，使用时 (t) = = c）
单元1先投入使用，单元1失效时，转换装置投入
使用， 此时转换装置有2种可能：
① 失效： 系统寿命为 ，失效概率为1-R0
② 正常： 系统寿命为 ，正常概率为R0
求系统的可靠性和平均寿命，要求有详细的推导
过程
