双因素方差分析方法
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果，而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时，
性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性
能的变化就特别显著。
统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的
影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析
中，把它当成一个新因素来处理。
我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的
问题，用正交试验法比较方便。
无交互作用的双因素试验的方差分析
数学模型
假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A有a个水平，记作A1，A2，…，Aa；因素B有b个水平，记作B1，B2，….Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1，2，…，a；j=1，2，…，b）共有ab个，每个水平组合称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测值Xij，得双因素无重复实验表
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 A
因素 B
无交互作用的双因素试验的方差分析
线性统计模型
基本假设（1） 相互独立；
（2） ，（方差齐性）。
其中
所有期望值的总平均
水平Ai对试验结果的效应
水平Bj对试验结果的效应
试验误差
特性：
水平Ai对试验结果的效应
水平Bj对试验结果的效应
试验误差
要分析因素A，B的差异对试验结果是否有显著
影响，即为检验如下假设是否成立：
总离差平方和的分解定理
仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
可分解为：
称为因素A的离差平方和，
反映因素 A 对试验指标的影响。
称为因素B的离差平方和，
反映因素 B 对试验指标的影响。
称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。
可推得：
将 的自由度分别记作
，则
若假设 成立，则：
对给定的检验水平 ，
F 右侧检验
时，
当
时，
当
拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。
拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
方差来源
因素A
总和
平方和
自由度
均方和
F 值
F 值临介值
因素B
误差
注意
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
其中：
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天，
其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著
影响？
工人 A
机器 B
甲 乙 丙 丁
Ⅰ Ⅱ Ⅲ
解 基本计算如原表
结论：工人对产品的产量有显著影响，
机器对产品的产量有极显著影响。
例2：某厂对生产的高速钢铣刀进行淬火工艺试验，考察回火温度A和淬火温度B两个因素对强度的影响。今对两个因素各3个水平进行试验，得平均硬度见表：
Bj
Ai
试验结果
B1（1210‘C）B2（1235’C）B3（1250‘C）
A1（280’C） 64 66 68
A2（300‘C） 66 68 67
A3（320’C） 65 67 68
假设：不同组合水平下服从正态分布、互相独立、方差相等。
所需要解决的问题是：所有Xij的均值是否相等。
方差分析表：
方差来源 离差平方和 自由度 F值 (2,4) (2,4) 显著性
因素A 2 FA=
因素B 2 FB= *
试验误差 4
总误差 8
A影响不显著。
B影响显著，由于
高速钢洗刀的硬度越大越好，因此因素B可取B3水平，即淬火温度1250‘C为好，因素A水平的确定，应考虑经济方便，取A1水平为好。
323
333
308
298
B5
B4
B3
B2
B1
340
330
343
260
343
363
353
298
350
368
323
280
365
345
358
288
A1
A2
A3
A4
销售地区( 因素B )
品牌
(因素A)
不同品牌的彩电在各地区的销售量数据
【例3】有四个品牌的彩电在五个地区销售，为分析彩电的品牌(因素A)和销售地区(因素B)对销售量是否有影响，对每个品牌在各地区的销售量取得以下数据，见下表。试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？
四、双因素方差分析例题
1、对因素A提出的假设为
H0: m1=m2=m3=m4
(品牌对销售量没有影响)
H1: mi (i =1,2, … , 4) 不全相等
(品牌对销售量有影响)
2、对因素B提出的假设为
H0: m1=m2=m3=m4=m5
(地区对销售量没有影响)
H1: mj (j =1,2,…,5) 不全相等
(地区对销售量有影响)
四、双因素方差分析例题
结论：
FA＝>F＝，拒绝原假设H0，说明彩电的品牌对销售量有显著影响
FB＝< F＝，接受原假设H0，说明销售地区对彩电的销售量没有显著影响
例1的上机操作
对应例1 的数据输入方式
原始数据，行因素水平，列因素水平
*
**
在 下接受，在 下否决
在 下否决
（A）
（B）
工人对产品产量有显著影响，而机器对产品产量的影响极显著。
有交互作用的双因素试验的方差分析
线性统计模型
基本假设（1） 相互独立；
（2） ，（方差齐性）。
有检验交互作用的效应，则两因素A，B的不同水
平的搭配必须作重复试验。
处理方法：把交互作用当成一个新因素来处理，
即把每种搭配AiBj看作一个总体Xij。
观测值
总平均
因素A
的效应
因素B
的效应
交互作用
的效应
试验误差
有交互作用的双因素试验的方差分析
线性统计模型
其中
所有期望值的总平均
水平Ai对试验结果的效应
水平Bj对试验结果的效应
试验误差
交互效应
特性：
要判断因素A，B及交互作用AB对试验结果是否
有显著影响，即为检验如下假设是否成立：
总离差平方和的分解定理
仿单因素方差分析的方法，考察总离差平方和
可分解为：
SSA称为因素A的离差平方和，反映因素 A 对试验指标的影响。 SSB称为因素B的离差平方和，反映因素
B 对试验指标的影响。SSAB称为交互作用的离差平方和，反映交互作用AB对试验指标的影响。SSE称为误差平方和，反映试验误差对试验指标的影响。
若“各因素、各水平及其交互作用的影响无统计意义”的假设 成立，则
则
可推得：
由 作右侧假设检验来考察各因素及因素
间的交互作用对试验指标的影响力.
双因素有重复（有交互作用）试验资料表
因素 A
因素 B
双因素（有重复）试验方差分析表
方差来源
因素A
总和
平方和
自由度
均方和
F 值
F 值临介值
因素B
误差
各离差平方和的计算公式参看出P180_181
这里
例3 P183 例题2
因素A（能量）
因素 B（蛋白质）
输入数据时，C2表示行因素
水平，C3表示列因素水平。
第几次重复不必列明，软件
自会识别。
结果显示如P185
均<
饲料中能量的高低、蛋白质含量的不同
及两者的交互作用对鱼的体重的影响极
有统计意义。
各因素，各水平，各交互作用下的均值。
