北师大版高中数学高三年级下册期末冲刺试
卷
一、单项选择题（每题 2 分，共 10 题）
1. 函数 f(x) = sin(x) + cos(x)的最小正周期是
A. π
B. 2π
C. π/2
D. 4π
2. 在等差数列{a_n}中，若 a_1 = 1，a_2 = 3，则 a_5 的值是
A. 7
B. 9
C. 11
D. 13
3. 抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率是
A. 0
B. 1/2
C. 1
D. 3/4
4. 函数 g(x) = x^3 - 3x 在区间[-2, 2]上的最大值是
A. 2
B. 0
C. -2
D. 4
5. 若直线 y = kx + b 与圆 x^2 + y^2 = 1 相切，则 k^2 + b^2 的值是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
6. 在∁ABC 中，若角 A = 60°，角 B = 45°，则角 C 的度数是
A. 75°
B. 65°
C. 70°
D. 80°
7. 若复数 z = 1 + i，则 z 的模长是
A. 1
B. √2
C. √3
D. 2
8. 在直角坐标系中，点 P(x, y)到直线 3x - 4y + 5 = 0 的距离是
A. |3x - 4y + 5|
B. (3x - 4y + 5)^2
C. |3x - 4y + 5| / √(3^2 + 4^2)
D. √(3x - 4y + 5)
9. 在等比数列{b_n}中，若 b_1 = 2，b_2 = 4，则 b_4 的值是
A. 8
B. 16
C. 32
D. 64
10. 函数 h(x) = |x - 1|在区间[0, 2]上的积分值是
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、多项选择题（每题 2 分，共 10 题）
1. 下列函数中，在区间[0, π]上单调递增的是
A. sin(x)
B. cos(x)
C. tan(x)
D. x^2
2. 在等差数列{a_n}中，若 a_1 = 5，d = 2，则下列说法正确的是
A. a_10 = 23
B. S_10 = 110
C. a_n = 2n + 3
D. S_n = n(n + 4)
3. 下列命题中，正确的是
A. 若 A∁B，则∁_B(A)∁∁_A(B)
B. 若 A∩B = ∁，则 A 和 B 中至少有一个是空集
C. 若 A∁B = U，则 A 和 B 中至少有一个是全集
D. 若 A∁B，则 A∁B = B
4. 下列函数中，在定义域内连续的是
A. f(x) = 1/x
B. f(x) = √x
C. f(x) = tan(x)
D. f(x) = log(x)
5. 在直角坐标系中，下列直线中平行于直线 y = 2x + 1 的是
A. y = 2x - 3
B. y = -1/2x + 2
C. y = 2x + 5
D. y = -2x + 1
6. 下列数列中，是等比数列的是
A. 2, 4, 8, 16, ...
B. 3, 6, 9, 12, ...
C. 1, 1/2, 1/4, 1/8, ...
D. 1, -1, 1, -1, ...
7. 下列函数中，在区间[0, 1]上可积的是
A. f(x) = 1/x
B. f(x) = sin(x)
C. f(x) = |x|
D. f(x) = tan(x)
8. 在∁ABC 中，若角 A = 30°，角 B = 60°，则下列说法正确的是
A. BC = √3AC
B. AC = √3BC
C. AB = 2BC
D. AB = 2AC
9. 下列复数中，模长为 1 的是
A. 1
B. i
C. -1
D. 1+i
10. 下列命题中，正确的是
A. 若函数 f(x)在区间 I 上连续，则 f(x)在区间 I 上可积
B. 若函数 f(x)在区间 I 上可积，则 f(x)在区间 I 上连续
C. 若函数 f(x)在区间 I 上单调，则 f(x)在区间 I 上可积
D. 若函数 f(x)在区间 I 上可积，则 f(x)在区间 I 上单调
三、判断题（每题 2 分，共 10 题）
1. 函数 f(x) = x^2 在区间[0, 1]上的平均值是 1/2。
2. 在等差数列{a_n}中，若 a_1 = 1，a_2 = 3，则 a_3 = 5。
3. 抛掷两枚均匀的硬币，出现一正面一反面的概率是 1/2。
4. 函数 g(x) = x^3 在区间[-1, 1]上的最大值是 1。
5. 若直线 y = kx + b 与圆 x^2 + y^2 = 1 相切，则 k^2 + b^2 = 1。
6. 在∁ABC 中，若角 A = 60°，角 B = 45°，则角 C = 75°。
7. 复数 z = 1 + i 的模长是√2。
8. 在直角坐标系中，点 P(x, y)到直线 3x - 4y + 5 = 0 的距离是|3x - 4y +
5| / √(3^2 + 4^2)。
9. 在等比数列{b_n}中，若 b_1 = 2，b_2 = 4，则 b_4 = 16。
10. 函数 h(x) = |x - 1|在区间[0, 2]上的积分值是 3。
四、简答题（每题 5 分，共 4 题）
1. 求函数 f(x) = sin(x) + cos(x)在区间[0, 2π]上的最大值和最小值。
2. 求等差数列{a_n}的前 n 项和 S_n，其中 a_1 = 1，d = 2。
3. 求抛掷一枚均匀的硬币三次，出现至少一次正面的概率。
4. 求函数 g(x) = x^3 - 3x 在区间[-2, 2]上的最大值和最小值。
五、讨论题（每题 5 分，共 4 题）
1. 讨论函数 f(x) = x^2 在区间[0, 1]上的平均值与函数图像的关系。
2. 讨论等差数列{a_n}的前 n 项和 S_n 的性质。
3. 讨论抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率与期望值的关系。
4. 讨论函数 g(x) = x^3 - 3x 在区间[-2, 2]上的最大值和最小值与函数图
像的关系。
答案：
一、单项选择题
1. A
2. C
3. B
4. D
5. A
6. A
7. B
8. C
9. C
10. B
二、多项选择题
1. AD
2. ABCD
3. AD
4. BCD
5. AC
6. AC
7. BCD
8. AC
9. ACD
10. AC
三、判断题
1. 正确
2. 正确
3. 正确
4. 错误
5. 正确
6. 正确
7. 正确
8. 正确
9. 正确
10. 错误
四、简答题
1. 最大值√2，最小值-√2。
2. S_n = n(n + 1)。
3. 概率为 7/8。
4. 最大值 2，最小值-2。
五、讨论题
1. 函数 f(x) = x^2 在区间[0, 1]上的平均值是 1/2，与函数图像在区间[0,
1]上的面积平均值一致。
2. 等差数列{a_n}的前 n 项和 S_n 是一个关于 n 的二次函数，具有对称
性和单调性。
3. 抛掷一枚均匀的硬币，出现正面的概率是 1/2，期望值也是 1/2，符
合概率论的基本原理。
4. 函数 g(x) = x^3 - 3x 在区间[-2, 2]上的最大值和最小值与函数图像的
拐点和单调性密切相关。
