第二章 静态安全分析
第三章 静态安全分析
静态安全分析及补偿法
静态等值法
静态安全分析的直流潮流法
静态安全分析的灵敏度法
1
第二章 静态安全分析
静态安全分析的灵敏度法
节点功率方程的线性化
断线处节点注入功率增量的计算
快速断线分析计算流程
两种静态N-1灵敏度分析法对比
2
第二章 静态安全分析
节点功率方程的线性化
直流潮流模型是一种简单而快速的静态安全分析方法，但这
种方法只能进行有功潮流的计算，没有考虑电压和无功问题。
采用潮流计算的P-Q 分解法和补偿法进行断线分析可以同时
给出有功潮流、无功潮流以及节点电压的估计。但为了使计
算结果达到一定的精度，要求必须进行反复迭代，否则其计
算结果，特别是电压且无功潮流的误差较大。本节课将介绍
一种断线分析的灵敏度法，此法将线路开断视为正常运行情
况的一种扰动，从电力系统潮流方程的泰勒级数展开式出发，
导出灵敏度矩阵，以节点注入功率的增量模拟断线的影响，
较好地解决了电力系统断线分析计算问题。
3
第二章 静态安全分析
此法简单明了，省去了大量的中间计算过程，显著提高
了断线分析的效率。应用本方法既可以提供全面的系统运行
指标（包括有功、无功潮流，节点电压、相角)，又具有很
高的计算精度和速度，因此是比较实用的静态安全分析方法。
网络断线分析还可以结合故障选择技术，以减少断线分
析的次数，进一步提高静态安全的效率。
如前所述，电力系统节点功率方程为:
（1）
式中:Pis ， Qis 分别为节点 i 的有功和无功功率注入量。
4
第二章 静态安全分析
对于正常情况下的系统状态，式(1)可概括为：
式中: W0 为正常情况下节点有功、无功注入功率向量；X0
为正常情况下由节点电压、相角组成的状态向量；Y0 为正常
情况的网络参数。
若系统注入功率发生扰动为△W ， 或网络发生变化△Y
，状态变量也必然会出现变化，设其变化量为△X ， 并满足
方程：
将式(3)按泰勒级数展开，则有：
(2)
（3）
（4）
5
第二章 静态安全分析
当扰动及状态改变量不大时，可以忽略 项及高次项，
由于 是Y 的线性函数,故 因此式（4）可
简化为：
将式(2)代入后，上式成为：
由此可求出状态变量与节点功率扰动和网络结构变化的线
性关系式为:
当不考虑网络结构变化时， 式(6) 成为：
（5）
（6）
6
第二章 静态安全分析
式中：
J0为潮流计算选代结束时的雅可比矩阵; S0 则称为灵敏度矩
阵。因为在潮流计算时J0已经进行了三角分解，所以S0 很容
易通过回代运算求出。
当不考虑节点注入功率的扰动时，△W=0 ，式(6) 变为:
或经过变换可改写成如下形式:
式中：I 为单位矩阵。
（7）
（8）
（9）
7
第二章 静态安全分析
最终得到:
与式(7)相比，△Wy 可看作是由于断线而引起的节点注入功
率的扰动：
上式中右端各项均可由正常情况的潮流计算结果求出，因
此断线分析模拟完全是在正常接线及正常运行方式的基础上
进行的。为了校验各种断线时的系统运行情况，只要按式
(11)求出相应的节点注入功率增量△Wy 。然后就可利用正常
情况下的灵敏度矩阵由式(10)直接求出状态变量的修正量。
修正后系统的状态变量为:
（10）
（11）
（12）
8
第二章 静态安全分析
节点状态向量X已知后，即可按下式求出任意支路ij 的潮流
功率：
式中: tij 为支路变比标幺值；bij0为支路ij 容纳的1/2 。
（13）
9
第二章 静态安全分析
断线处节点注入功率增量的计算
断线分析的关键是按式(11)求出断线处节点注入功率增量
△Wy 。静态安全校验主要是进行单线开断分析，但也可能涉
及到多回线开断的情况，以单线开断的情况为例。
为叙述方便，暂时假定系统中所有节点均为PQ节点，将式
(11)简写为
式中：
△Wl 与断线支路在正常运行情况下的潮流有关。
（14）
（15）
（16）
10
第二章 静态安全分析
设系统中总的支路数为b ， 断线支路两端节点为 ij ，则在
b 阶向量△Y 中只有与支路 ij 对应的元素为非零元素，即：
对于一个节点数为N 的网络来说，式(16)中的
为 阶矩阵，由式(1)可知，只有节点i 和 j 的注入功率
和支路 i j 的导纳有直接关系，即只有求节点i j 的注入功率
时才用到Gij 和Bij 。所以该矩阵每列只有4 个非零元素。
设支路i j 的阻抗角为 ，即：
则有：
（17）
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第二章 静态安全分析
利用以上关系和式（1），可以求得
将式（13）代入以上两式可得：
同理可得到：
（18）
（19）
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第二章 静态安全分析
式(18)和式(19)中的4 个元素即为 中对应于支路i
j 的4 个非零元素，其他元素为：
式中: 表示 k 不属于节点集{i , j} 。
综合式(17) ~ (20)，可得出式(16)的简化形式为：
式(15)中的 为 阶方阵， 是一个
阶矩阵，相当于用雅可比矩阵对各支路导纳元素求偏导。
（20）
(21)
13
第二章 静态安全分析
每条支路对应一个 阶方阵，其结构如图1 所示.
图1 的矩阵结构
14
第二章 静态安全分析
由于当 且 时有：
（22）
所以对每条支路来说， 阶矩阵中最多只有16 个非零
元素，它们由雅可比矩阵或由式(18) 、式(19)求出：
15
第二章 静态安全分析
（23）
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第二章 静态安全分析
同理可对Pj 和Qj 求出与式(23)类似的8 个偏导数公式。
以上诸式中Hij 、Nij， Jij， Lij 均为雅可比矩阵的元素：
（24）
17
第二章 静态安全分析
式(25)中，只有对应于节点i j 两行两列交叉处2i-1、2i
、2j - 1， 2j 有非零元素，其余元素均为零。
由以上讨论可知，在△Wl 且L0 中只有与断线端点有关的
元素才是非零元素，故式(14)可以写成更紧凑的形式：
（25）
由于△Y 中只有一个非零元素△Yij= - yij ，所以式(15)变为:
18
第二章 静态安全分析
式中：
（26）
（27）
式中: 等为灵敏度矩阵中行和列都与
断线端点有关的元素，且有：
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第二章 静态安全分析
式(26) 中等式左边的向量表示断开线路 i j 时在节点 i 、j 形
成的节点注入功率增量，其他节点的增量为霉。据此我们即
可由式(10)求出各状态变量的修正量。
式(26)是断线分析的主要公式，式中右端各项均可由牛顿法
正常潮流计算结果获得。在形成H 矩阵时只需进行两个4 阶
方阵的运算[见式(27) ]，因而可以非常简便地求出由于断线
引起的注入功率增量，快速进行静态安全分析。
（28）
20
第二章 静态安全分析
快速断线分析计算流程
快速断线分析方法的计算流程如图2 所示。由图可知，在
进行断线分析之前，首先要用牛顿法计算正常运行情况时的
潮流，提供断线分析所需的数据。这些数据包括雅可比矩阵
J0 、灵敏度矩阵S0 、正常情况下各节点电压相角和支路潮流
等等。
断线分析计算包括3 部分(以单线开断为例)：
(1)按式(26)求出相应的节点注入功率增量，其中主要的计算
是按式(27)求出 H 矩阵。
(2) 按式(10)求各节点状态变量的改变量，并按式(12)求出断
线后新的状态变量。
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第二章 静态安全分析
(3)按式(13)求出断线后各支路潮流功率。
图 2 快速断线分析计算流程图
22
第二章 静态安全分析
应当指出，当断线使系统分解成两个不相连的子系统时，式
(27)中H 矩阵的逆矩阵不存在，因而不能直接进行断线分析。
以上讨论假定所有节也均为PQ节点。实际上，当与断线相
连的节点为PV 节点时，在节点功率方程式(1) 中只有一个
与有功功率有关的方程，故断线分析只需计算该节点的有功
功率增量，并认为无功功率增量为零，因此式(26) 和式(27)
中要除去与无功功率有关的行和列。当断线与系统平衡节点
相连时，由于式(1)中不包含与平衡节点有关的方程，因此
不求平衡节点注入功率的增量。这实际说明，PV 节点的无
功注入功率和平衡节点的有功及无功注入功率本身就是不定
的，所以求它们的增量没有意义。
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第二章 静态安全分析
在静态安全校验中，如果只分析断线对某些关键节点的状态
变量和关键支路潮流的影响，那么在图2的后两框中可只对
这些节点和支路求断线后的数值，从而可进一步减少计算量。
[例2-3] 试对IEEE-14 节点系统进行断线分析，并与牛顿拉-
弗森法计算结果进行比较。表1 给出了该系统的原始数据，
其中有关数据已化为以100MVA 为基准的标准值。
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第二章 静态安全分析
表1 IEEE-14节点潮流计算原始数据
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第二章 静态安全分析
2) 以断开线路5-6 为例说明断线分析计算过程。
①计算由于线路5-6 开断而引起的节点注入功率增量。
首先根据式(27)形成H 矩阵。
由正常情况潮流计算结果和雅可 比矩阵及灵敏度矩阵元素
可知[雅可比矩阵和灵敏度矩阵已由潮流计算获知，这里未
列出，此外，雅可比矩阵元素也可由式(24) 算出]
[解] 根据断线分析计算流程图2，可确定计算步骤如下:
1)用牛顿法计算正常情况下的支路潮流。
当精度为 时，对所给系统迭代3 次可以收敛，其节
点电压、相角及支路潮流均在表2 中给出。
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第二章 静态安全分析
表2 牛顿-拉弗森法潮流计算结果
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第二章 静态安全分析
2) 以断开线路5-6 为例说明断线分析计算过程。
①计算由于线路5-6 开断而引起的节点注入功率增量。
首先根据式(27)形成H 矩阵。
由正常情况潮流计算结果和雅可 比矩阵及灵敏度矩阵元素
可知[雅可比矩阵和灵敏度矩阵已由潮流计算获知，这里未
列出，此外，雅可比矩阵元素也可由式(24) 算出]
[解] 根据断线分析计算流程图2，可确定计算步骤如下:
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第二章 静态安全分析
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第二章 静态安全分析
然后由式(26)计算断线处的节在注入功率增量为：
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第二章 静态安全分析
②根据式(10) 求各状态变量的改变量。
对节点2 的相角而言，其改变量 为:
同理可求出其他节点状态变量的改变量。
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第二章 静态安全分析
③根据式(12) 求出各节点断线后新的状态变量。
将正常情况的状态变量与②中求出的状态改变量对应
相加即可获得线路5-6 开断后各节点新的状态变量。其值如
表 3 中的第2、3 列所示。表3 中的第4 、5 列给出了该线开
断情况下直接采用牛顿法计算的结果，表中最后两列为两种
方法计算结果之差的绝对值。
由表3 可以得出电压的平均误差为，最大误差为
， 相角的平均误差为，最大误差为。
因此应用这种方法可以取得很好的精度，但计算时间却只有
牛顿-拉弗森法迭代一次所需时间的1/7。
32
第二章 静态安全分析
表3 线路5—6开断后节点状态变量及误差
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第二章 静态安全分析
3) 断开其他线路时的计算结果
为全面考察断线分析方法的计算精度，在表4中列出了断
开其他线路时的计算结果。通过计算可知，总的电压平均误
差为 ，相角平均误差为 。在计算中可以获
知线路5--6 开断时的误差最大，这也正是前面选择这条线路
为例的缘由。
[解] 根据断线分析计算流程图2，可确定计算步骤如下:
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第二章 静态安全分析
表4 IEEE-14 节点系统断线误差分析
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第二章 静态安全分析
两种静态N-1灵敏度分析法对比
灵敏度分析法具有较高的计算精度和速度，但对该分析
方法的不同实现算法间的差异尚未做过深入的分析研究。本
节课阐述 N-1 支路开断灵敏度分析法的基本原理； 对基于
复合函数偏导数和潮流方程泰勒级数展开式求取开断支路两
端母线等效注入功率的 2 种支路开断灵敏度分析方法，从算
法复杂度、精度等方面分析其差异； 以华北某一局部电网为
例，进行了全网 N-1 支路开断扫描，并对 2 种灵敏度算法的
计算结果进行了对比和分析。
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第二章 静态安全分析
＊支路开断的等效注入功率模拟
如图 3所示， 设拟开断支路为并联输电支路中的A支路，
其两端母线分别为m和n；PmnA+jQmnA、PnmA+jQnmA与
PmnB+jQmnB、PnmB+jQnmB分别为支路 A 及其并联支路 B 在
支路开断前的潮流；Pm+jQm、ΔPn+jQn分别为母线 m 和 n
的注入功率。 ΔPm+ΔjQm、ΔPn+jΔQn为模拟线路开断的两端
母线等效注入功率；α和 β 分别为与母线 m 和 n 有直接支路
连接的相邻母线集合。
★静态N-1的灵敏度分析法
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第二章 静态安全分析
由图 3 可知，支路开断前、后的功率平衡方程式分别为式
（28）和（29）：
图3 支路开端模拟
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第二章 静态安全分析
式中： 和 为除开断支路功率外母线
m、n 注入母线集合 α 和 β 的有功和无功。
将式（28）减去式（29），可得支路开断后注入母线集
合 α 和 β 的功率增量 为
由此可见， 这些功率增量即为开断支路断开前的潮流。
为利用支路开断前的网络数据，可假设拟开断线路并未断开，
通过在母线 m、n 注入等效功率 使得
（28）
（29）
（30）
39
第二章 静态安全分析
满足式（30）。在网络接近线性的条件下，
可利用式（31）计算母线的等效注入功率：
式中：H 为 4×4 的方阵， 是母线 m、n 注入功率对
的灵敏度系数矩阵。不同灵敏度分析算法在计算 H 阵时所采用
的方法各不相同，其算法复杂度也不相同。
＊ N-1支路开断模拟的灵敏度算法之一
利用复合函数偏导数法则计算 H 阵各元素，其计算公式如式
（32）所示：
（31）
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第二章 静态安全分析
式中： 分别为系统灵敏度矩阵中，各母线电压相
位与幅值对母线注入有功、 无功的灵敏度系数；H'、N'、J'、
L' 为潮流计算收敛后的系统雅克比矩阵元素，其中与母线 m、
n 相关的元素应去除开断支路所对应的分量，即：
（32）
式中： 为开断支路
所对应的雅克比矩阵中的相应元
素； 为开断支路的电导
、电纳以及对地电纳。
为母线m、n 的电压幅值以及两
电压间的相位差。
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第二章 静态安全分析
对于具有 p 个 P-V 母线的 N 母线系统，J 阵和 S 阵的维
数分别为 4×（2N-p-1）和（2N-p-1）×4。J 阵为稀疏矩阵，
可以采用稀疏存储技术 ，以减少计算量。
＊N-1 支路开断模拟的灵敏度算法之二
从电力系统潮流方程泰勒级数展开式出发， 经详细推
导后得出的等效注入功率计算式中H 矩阵为：
式中：I、L、S 均为 4×4 阶矩阵。I 为单位阵，L 矩阵的计
算式为：
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第二章 静态安全分析
S 矩阵的元素由与母线 m 和 n 相关的灵敏度系数构成，其计
算式为：
＊2种灵敏度算法对比分析
以上基于复合函数偏导数法则的灵敏度算法（算法 1）与
基于潮流方程泰勒级数展开式的灵敏度算法（算法 2）均是
利用母线等效注入功率实现支路开断的模拟。 以下比较这 2
种方法在计算母线 m、n注入功率对 的灵敏度
系数矩阵H 时的异同之处。
43
第二章 静态安全分析
（1）算法 1 和算法 2 均需要计算潮流收敛后系统的灵敏度
系数矩阵，即雅克比矩阵的逆矩阵。
（2）算法 1 在计算 H 阵时，需要分别在雅克比矩阵和灵敏
度矩阵中提取开断支路两端母线所在行和列中的非零元素，
且对雅克比矩阵元素还应减去开断支路所对应的分量； 算法
2 则仅需在雅克比矩阵和灵敏度矩阵中提取开断支路两端母
线间的雅克比矩阵元素以及两端母线相关灵敏度系数， 其在
计算量以及算法复杂度上均优于算法 1。
（3）算法 1 计及了开断支路的对地充电支路的影响，算法 2
则仅计及了横向支路的开断，因此算法1 计算得到母线电压
精度应略优于算法 2。
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第二章 静态安全分析
（4）由于算法 1 和算法 2 在计算 H 矩阵时 ，均采用了系统
的一阶线性灵敏度系数， 当系统潮流较重，呈现出较强的非
线性时，2 种算法的计算误差均会增大。
★2 种灵敏度算法仿真结果对比
以华北某一局部电网的实时断面数据为例，系统母线数
为 651， 其中 500 kV 、220 kV 以及部分110 kV 线路共计
430 条。 利用这 2 种灵敏度算法进行 N-1 线路开断扫描，其
计算结果与 N-1 潮流计算结果间的误差如图 4所示，2 种算
法的相关统计数据如表5所示。从计算结果可以看
45
第二章 静态安全分析
出 2 种算法计算得到的电压幅值和相位误差基本一致， 在
电压幅值的计算精度上算法 1 略优于算法 2， 算法 2 在计算
效率上则略优于算法 1。
图4 2种灵敏度算法计算结果对比
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第二章 静态安全分析
表5 2种灵敏度算法计算结果
需要指出的是，在图 4 b）中几个开断故障 A 和B，分
别对应于开断蔚县站与万全站间的串补支路，蔚县站和万全
站母线的电压幅值偏差。可见，2 种灵敏度算法在计算具有
负电抗支路的开断时，在开断支路母线处电压幅值的计算误
差会增大。
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第二章 静态安全分析
小 结
灵敏度法将线路开断视为正常运行情况的一种扰动以节点注
入功率的增量模拟断线的影响，较好地解决了电力系统断线
分析计算问题。具有很高的计算精度和速度。
首先要用牛顿法计算正常运行情况时的潮流，提供断线分析
所需的数据，再进行断线分析。
在电力系统静态安全分析中， 静态 N-1 支路开断模拟的主要
分析方法有直流潮流法、 补偿法以及灵敏度分析法等。 对
基于复合函数偏导数和潮流方程泰勒级数展开式求取开断支
路两端母线等效注入功率的 2 种支路开断灵敏度分析方法，
从算法精度以及算法复杂度等方面进行了对比分析。
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第二章 静态安全分析
利用 2 种算法对华北某一局部电网实时数据的 N-1 线路开断
分析结果表明， 算法 1 在计算精度上略优于算法 2，算法 2
则在计算效率上略优于算法 1。 对于在线静态 N-1 安全分析，
2 种算法在计算精度、计算速度上均可满足要求。
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