第五讲局部均衡和一般均衡局部均衡与福利分析从局部均衡到一般均衡纯交换经济含有生产的一般均衡模型
竞争性市场的局部均衡分析在前面的章节中我们始终假设，我们所考察的商品的市场是竞争性市场在用局部均衡理论分析某种商品的竞争性市场时，可以使用供给需求模型假设其他商品的价格都固定不变根据市场条件决定供给和需求曲线给定供给和需求曲线，求出均衡的价格和数量市场条件变化导致市场均衡变化(比较静态分析)
竞争性市场假设的适用条件某个商品的市场是竞争性的，最重要的一个条件是所有消费者和生产者都是价格接受者但这一假设在什么条件下能够成立？直观上，当只有很少几个消费者和生产者时，竞争性假设肯定不能成立，只有当消费者人数和生产者数量都趋于无穷大时才有可能成立下面我们借助一个市场博弈来说明这一点
局部均衡的一个市场博弈模型分别用S 和B表示某个商品的卖家(生产者) 和买家(消费者) 集合，人数分别是n和nsb卖家i的利润是，其中t是i的收入，iq是i生产的商品数量i买家j的效用是，其中q是j购买的商j品数量，t是j的支付额j假设商品是无限可分的，交易数量可以是任意非负实数
局部均衡的竞争性均衡我们关心这个市场博弈的交易结果，通常的竞争性假设要求所有人都按照某个市场价格交易定义：市场博弈的一个结果被称为竞争性价格p下的一个竞争性均衡，如果有：每个卖家的利润都达到最大每个买家的效用都达到最大交易是可行的
竞争性均衡的存在性竞争性均衡是否一定存在？不一定，因为我们对效用函数和成本函数没有做足够的限制例：当时，要求有解边际成本递增假设：对任意i，c是递增的凸i函数，且在有限产量之外为无穷大边际效用递减假设：对任意j，u是递增的凹j函数，且饱和数量之外为不变量定理：市场博弈在上述假设下存在竞争性均衡竞争性均衡是如何达到的？下面我们用合作博弈理论对此进行简单的分析
合作博弈Cooperative games一个效用可转移(transferable utility, TU) 的合作博弈可以表示为G = (N, v)N= {1, 2, …, n} 是参与人集合，N的任意一个子集S称为一个联盟v是特征函数(characteristic function): 对任意联盟S，v(S) 是一个实数，表示联盟S 所有成员能够得到并分配的最大总支付，称为联盟S 的价值(value)假设v 满足超可加性(superadditivity)：对任意两个不相交的联盟S和T：v(S∪T) ≥ v(S) + v(T)为简便起见，通常还假设所有联盟的价值都非负，且空集的价值等于零
合作博弈的解solution可行支付向量：全体可行支付向量的集合记为E，但其中哪些是对博弈可能的结果的合理预测呢？合作博弈的一个解是E的一个子集，包括了所有“合理的”支付向量当n = 2, 3时，可以较方便的用图像来描述合作博弈的解
核core核是合作博弈的最重要的解之一给定，如果存在联盟S，，我们称可以被联盟S所阻止(block)核是所有不能被任何联盟所阻止的可行支付向量的集合一旦按照核中的某个支付向量进行分配，没有任何联盟能够一致同意改变这个结果核包含了在彻底自由的竞争下所有稳定的结果
核：一些讨论核是合作博弈中最直观最常用的一个解概念但核也有一些缺点：有可能是空集经常不唯一即使存在唯一的核，有时也可能非常不合理幸运的是，当我们使用合作博弈来考察一般均衡时，核没有上述缺点
例：三人多数博弈设，且这个博弈的核非空等价于下面(不)等式组有解：即(图像如何表示？)
例：手套博弈有n个人每人拥有一个右手手套，n+1 人每人拥有一个左手手套。每个人在至少拥有一副手套时支付为1，否则为0 容易验证，该博弈存在唯一的一个核向量，其中所有拥有右手手套的人支付为1，而所有拥有左手手套的人的支付为0但当n很大时，这个结果非常违反直观
市场博弈的特征函数现在我们使用合作博弈与核来分析前述市场博弈，首先需要写出该博弈的特征函数给定任意卖家和买家的集合，联盟的价值表示这些卖家和买家通过内部的可行交易能够获得的最大总剩余
特征函数的一些性质为简便起见，下面我们假设所有卖家都对称，所有买家也都对称，因此特征函数可以简单的用人数记为可以验证，市场博弈的特征函数满足下述性质：线性：单调性：如果，则超可加性：，当且仅当时等号成立
市场博弈的核一个支付向量在核中的条件：为简便起见，下面我们考虑卖家和买家人数相等的简单情况，即如果n =1，则核包括所有满足的非负配置
平等对待性质如果，核中的配置满足核中的配置的取值范围明显比时缩小了此外，可以观察到核要求两个买家配置相等，两个卖家的配置也相等对任意的，可以类似的证明，对于任意核中的配置，都满足这一对称性质，我们称之为平等对待性质(Equal treatment property)直观上，这是因为卖家(买家) 之间的竞争造成的
局部均衡的核收敛性质对任意，可以验证核中的任意配置满足：其中当n变得很大时，我们有这意味着所有人在核中的配置都是确定的，这一结论通常称为核收敛(core convergence) 性质
核与竞争性均衡定理：每个竞争性均衡配置都在核中证明略。这个结论告诉我们，当市场中交易双方的人数都很大时，核收敛得到的极限配置恰好是竞争性均衡下的配置这实际上为在局部均衡分析中使用竞争性均衡(以及价格接受假设) 提供了一个解释：市场中的每个人可以尽自己的一切可能去争取更大的收益，但如果市场竞争足够大(人数足够多)，最好的结果就和竞争性均衡结果差不多
局部均衡分析的适用条件从马歇尔的《经济学原理》开始经济学家在使用局部均衡分析。局部均衡的一个优势是，它允许我们单独考察某个商品市场，而忽略其他市场。这说明，我们在应用局部均衡分析时，假设：这个商品市场的均衡变化不会影响其他商品的价格和交易量但这个假设在什么条件下成立？
小规模的市场一种可能的直观解释是，我们所讨论的那种商品的只占整个经济的极小的部分对该商品的支出仅占消费者支出的很小部分，从而消费者新增收入只有很小部分用在该商品上，从而其收入效应很小类似理由，可以认为替代效应很小，该商品市场的变化几乎不影响其他商品的价格，因此可以把在所有其他商品上的总花费看做一个复合商品，称为等价物(numeraire)，其价格可以标准化为1
一个简单的模型有两种商品，商品l和等价物，l的价格记为p消费者的消费组合是效用函数是拟线性的：假设无论消费者的收入是多少，效用最大化的条件是，由此可得到需求函数可以看出这个需求函数和消费者的收入无关
如何评价竞争性市场？局部均衡分析的另一个优势是可以很方便的进行规范分析和福利评价例：在竞争性条件下，如何评价市场这个制度？可能有不同的评价标准效率：交易会产生多少社会福利的总剩余？公平：总剩余在人群中如何分配？无论是效率标准还是公平标准，都利用消费者剩余和生产者剩余来进行评价
回顾消费者剩余和生产者剩余消费者剩余(CS)生产者剩余(PS)
马歇尔总剩余某个市场的消费者和厂商的整体福利分别用消费者剩余和生产者剩余来评价(马歇尔)总剩余定义为消费者剩余和生产者剩余之和如果政府也参与交易，总剩余还要加上政府的剩余
政府对竞争性市场的管制作为局部均衡福利分析的一类应用，我们可以考察政府对竞争性市场管制的后果政府对市场的管制大致可以分为几种类型价格管制：最低限价，最高限价数量管制：生产配额，进口配额税收和补贴以上几方面的管制有时是相互结合的。例如价格管制可能导致供求不相等，从而可能需要结合数量管制来决定产品的分配。例如：价格支持。
最高限价如果政府最高限价低于市场出清价格，会导致短缺：CS = A+CPS = ECS+PS = A+C+E无谓损失(dead-weight loss): DL = B+F生产者和全社会的总福利变差，消费者福利不一定(和需求弹性有关)
应用：政府对房价的限制政府为什么要限制房价？为了维护消费者利益还是生产者利益？为了维护消费者中穷人还是富人的利益？政府是否能够通过限制房价达到目标？消费者利益？消费者中穷人和富人的利益？寻租问题会导致消费者剩余进一步减少
最低限价如果政府最低限价高于市场出清价格，会导致过剩：CS = APS = C+ECS+PS = A+C+E无谓损失(dead-weight loss): DL = B+F消费者和全社会的总福利变差，生产者福利不一定
价格支持最低限价的另一种表现形式是价格支持政府在给定价格(高于均衡价格) 下购买市场上过剩的产品由于政府也参与市场交易，所以社会福利要考虑政府的成本: B+F+G+H无谓损失: B+F+H
生产配额和激励计划政府维持高于均衡水平的价格另一个办法是用生产配额来减少市场供给经营牌照和许可证制度无谓损失B+F政府用激励计划鼓励厂商只生产Q，至少1需要支付的成本B+F+G
进口配额和关税如果一种商品的进口价格低于国内均衡价格，政府可以通过进口配额或关税来减少进口采用进口配额时，国内净损失: B+E+C采用关税时，国内净损失: B+C
税收无论是对消费者征税，税收：A+C还是对厂商征税，均衡结果都没有差别无谓损失：B+F从量税税收的负担分配取决于需求和供给的弹性弹性更小的一方承担更大的税负转嫁因子E/ (E-E) 和s sd-E/ (E-E) 分别表示税dsd负中消费者和生产者承担的比例
补贴政府补贴的效应和税收正好相反，但其分配也取决于供给和需求的弹性政府补贴: A+B+C无谓损失: B
竞争性市场的效率和竞争性市场的均衡交易结果相比，无论是哪种形式的政府管制，都会造成社会总福利的无谓损失。也就是说，在竞争性条件下，不受干预的市场交易使得社会总福利最大化在这一意义上，我们可以说竞争性市场是有效率的有些经济学家几乎在所有的情况下都反对干预市场但为什么在现实中政府仍然要进行管制？
市场失灵市场并不一定在所有情况下都能实现最好结果不公平的问题市场失灵市场失灵的可能原因存在市场势力信息不对称外部性和公共品例：金融危机，全球变暖
政府管制的作用和局限政府管制的目的应对市场失灵解决分配不公平(例如通过管制、税收的再分配)但政府管制措施如果不适当，造成的问题往往比市场失灵更严重(政府失灵)计划经济是一种极端的政府管制
小结：如何评价市场制度和政府管制？市场未必完美，但多数情况下是比其他制度更好的制度。除了前面所说的有效率以外，市场价格实际上还起到了配置资源的信号的作用观察价格就足够做出决策看不见的手(invisible hand)有时政府管制是有用的，但必须十分小心的是，也有可能造成很大的问题注意，前面对市场的分析是片面，更全面的分析要用到一般均衡模型
一般均衡模型一般均衡模型同时考察多种产品的消费和生产如何理解一般均衡和局部均衡模型的关系？我们可以用一般均衡来代替局部均衡分析吗？反过来，可以通过同时考察几种商品的局部均衡模型来代替一般均衡分析吗？一般均衡是比局部均衡“更高级”的模型吗？为简便起见，我们首先考察只有消费者的纯交换经济，则考察更一般的包含生产者的经济
纯交换经济Pure exchange economyk种商品，用表示消费者i的消费n个消费者，偏好(效用)，初始禀赋(endowment) 都是给定的。禀赋组合一个分配(allocation) 指所有消费者的消费束的组合：可行分配(feasible allocation)：任何可行分配都是消费者对禀赋进行相互交换后可以得到的分配
艾奇沃思盒子The Edgeworth box如果只有两个消费者和两种商品，则可以用Edgeworth box 来刻画纯交换经济盒子的长度表示第一种商品的总量，而高度表示第二种商品的总量图中每一点都表示一个可行分配
瓦尔拉斯均衡Walrasianequilibrium在一般均衡模型中，竞争性均衡一般称为Walras 均衡，假设所有人都把某个市场价格向量看作是给定的在纯交换经济中，每个消费者都在的约束下求解，得到需求函数是k 的超额需求(excess demand)在纯交换经济中，Walras 均衡定义为满足的一对也就是说在均衡价格下不存在超额需求为正的商品
Edgeworth 盒子中的Walras 均衡在两个消费者两种商品的交换经济中，我们可用Edgeworth box来描述Walras 均衡右上图中，商品X 超额需求为正，而商品Y 超额需求为负右下图表示Walras均衡
关于需求函数的补充说明容易看出，需求函数满足零次齐次性质价格单形(simplex)：总超额需求函数关于价格也是零次齐次函数如果是Walras 均衡价格，则Walras 法则：对任意价格向量, 成立换句话说，超额需求的总价值一定恒等于零证明：直接根据超额需求的定义和预算约束可证
关于Walras 均衡的补充说明市场出清(market clearing)：如果前k-1 个市场出清且，则第k个市场也出清自由物品(free good)：如果是Walras 均衡价格，且，则如果商品i满足如下性质，我们就称i是合意的(desiable)：如果，则如果所有商品都是合意的，并且是Walras 均衡价格，则，因而
Brouwer 不动点定理现在我们想要证明Walras 均衡的存在性，先介绍下面的Brouwer不动点定理定理：若是一个单形到其自身的连续函数，则一定存在某个满足
Walras 均衡的存在性可验证是连续的，定理：如果且是一个连续函数，且根据Brouwer不动点定满足，则存在理，存在满足满足即证明：构造这个映射如下：再利用可整理得解释：如果商品k存在过度需求，则价格上升因此
关于均衡存在性证明的补充说明例：下图中，消费者2Walras 均衡存在性大只关心商品X，而消费致上只要求Walras 法者1 的无差异曲线在左则和需求函数的连续边界斜率无穷大。消费性，但这两个条件的者2 偏好不是强单调的要求是相当弱的(要求偏好的连续性、强单调性和凸性)，因此均衡的存在性相当普遍但这些条件不满足时Walras均衡仍然可能不存在
偏好的凸性和均衡的存在性如果偏好不是凸的，则需求函数可能不连续，也可能导致Walras 均衡不存在
总替代和Walras 均衡的唯一性在价格向量p，如果，则两种商品i, j 是总替代的(gross substitutes)假设所有商品都是合意的，如果在所有价格下所有商品都是总替代的，则若是一个均衡价格向量，则它是唯一的均衡价格向量证明：假设是另一个均衡，定义由于齐次性和均衡定义，由m 的定义，对某个价格，有. 现在把所有不同于的价格都依次降低为，从而使得商品k的需求下降，从而，这意味着不是均衡
例：Cobb-Douglas 交换经济设两人的效用分别为：在均衡下，对每种商品的需求都等于供给，而根据Walras 法则只需考虑商品1的出清：而禀赋分别为：消费者1 对商品1 的需求：消费者2 对商品1 的均衡只能确定相对价格需求：
如何规范的评价Walras 均衡？前面我们对Walras 均衡的分析属于实证分析存在性唯一性现在我们来对均衡进行规范分析有效性公平性
帕累托效率Pareto efficiency如果对一个可行分配，不存在可行分配使得所有人都有，且至少有一人，则称是帕累托最优(Pareto optimal)，或称帕累托有效(Pareto efficient)
契约曲线Contract curve 在两消费者两商品的简单情况下，帕累托有效分配可简单的用Edgeworth box 表示为某两条无差异曲线的切点，即帕累托有效集合(帕累托集) 在图中也被称为契约曲线
福利经济学第一定理从Edgeworth box 图中容易看出，当初始禀赋取遍所有可能点时，Walras均衡分配集合恰好是契约曲线定理(First theorem of welfare economics)：如果是一个Walras均衡，则是帕累托有效的证明：假设可行的帕累托优于，则，且有等号不成立，故产生矛盾。意义：竞争性市场均衡的结果(Walras 均衡)是有效的(在Pareto最优的意义上)
帕累托最优的一阶条件前面关于帕累托最优的一阶条件可以推广到任意数量消费者和任意数量商品的交换即在给定其他人的效经济中用时，找到可行分配是帕累托有效的，使某人效用最大当且仅当对一阶条件：是下面问题的解：
效用可能性前沿The utility possibilities frontier帕累托效率不足以进行充分的评价当我们用效用来重新表示契约曲线时，可以得到效用可能性前沿其中哪个分配是合理的？社会福利函数常用的社会福利函数功利主义：罗尔斯主义：
福利经济学第二定理定理(Second theorem of welfare economics)：假设是一个帕累托有效分配，其中每个当事人对每种商品都持有正的数量。假设偏好是凸的、连续的和单调的，则是对应于初始禀赋的一个Walras 均衡分配意义：任何一个帕累托有效分配(契约曲线或效用可能性前沿上的任何一点) 都可以通过初始禀赋的恰当再分配和自由市场竞争来实现证明：因为较复杂而不再给出。要用到分离超平面定理(如果A 和B 是中两个非空且不相交的凸集，则存在，使得)
Walras 均衡是如何达到的？一种解释：瓦尔拉斯拍卖者该拍卖者喊出一些价格向量，所有消费人都在这些价格下选择自己的需求和供给。拍卖者计算出每个价格向量下每种商品的超额需求，并调整价格直到所有市场出清为止另一种解释：当消费者数量足够多时，可以通过自由竞争自发的达到Walras 均衡分析工具：合作博弈与核
交换经济的核给定初始禀赋和可行分配，如果存在联盟和该联盟的一个分配，满足，并且(存在)，则称分配可以被联盟阻止(block)例：社区中的杂货店如果一个可行分配不能被任何联盟所阻止，则称属于该交换经济的核(core)消费者之间可以通过充分自由的竞争与合作来排除掉所有不在核中的不合理分配回忆核的缺点
Walras 均衡在核中定理：如果是初始禀赋下的一个Walras 均衡，则在核中证明：假设不然，则存在某个联盟和可行分配，使得中所有人相对于更偏好于(至少有一个人严格偏好于)，且。但Walras 均衡的定义要求，且至少有一个等号不成立。因此，产生矛盾。
核是帕累托最优集的子集如果属于核，则一定是帕累托有效的右图是两个消费者两种商品的简单情况下，核的示意图。核中除了Walras 均衡分配外，还有一些其他分配问题在于，当人数增加时，核会怎样变化？
复制经济为简便起见，我们只考察一种最简单的人数增加的情形：复制经济如果两个消费者的偏好和初始禀赋都相同，则称他们是同类型的，我们只考虑有两类消费者A, B 的简单情况如果一个经济中每种类型的消费者的人数都是另一个经济的r倍，则前者是后者的复制经济一个经济的r-核(r-core) 定义为该经济的r 倍复制经济的核
平等对待性质定理：假设所有人的偏好都是严格凸、严格单调和连续的，则经济的任意r-核中的分配中任何两个同类的人都有相同的消费束证明：假设在r-核中，2r人分别用下标A1, …, Ar, B1, …, Br表示。令分别是两类人的平均消费束，由于是可行的，因此如果分配不相等，我们选出两类人中最差的人组成一个两人联盟，他们可以得到，并且其中一个人严格好于原来，因此原来的分配被阻止
例：两倍复制经济的核利用平等对待性质，可以在Edgeworth box中考察复制经济的核右图表示一个两倍复制经济的核为什么会是原来经济的核的一考虑1 个B型人和2 个A个真子集型人组成的联盟，A 型图中这样的点在原经得到，而B 型得到济的核中，但可以被两倍复制经济的某个联盟阻止
核收敛定理Core convergence定理：如果对任意的，可行分配都在交换经济的r-核中，则是该交换经济的一个Walras 均衡分配核收敛定理有时也称为核等价(core equivalent) 定理意义：说明了Walras 均衡在大型经济中的合理性和稳定性证明思路：证明对任意不是均衡的分配y，都存在某个足够大的复制r，使得y不在r-核中
证明：假设y 不是Walras 均衡分配，不妨假设y和w的连线与A 型人的无差异曲线相交，因此存在分配，其中V和T是正整数，把经济复制V 次后，考虑一个包含V个A 和V-T个B 的联盟，其中每个A 得到，而每个B 得到该分配是可行的，因为该分配会在使B 不变差的前提下改善A，因此y会被上述联盟所阻止，从而不在V-核中
含有生产者的一般均衡模型前面讨论的交换经济是较简单的一般均衡模型，更为一般的，需要考虑有生产者(厂商) 的情况假设经济中有k种商品，m个厂商，每个厂商j的净(net) 产出可表示为k维向量，其全体组成生产可能性集合商品中包括了厂商的要素投入和产出如果竞争性的价格向量是p，则厂商j的利润是根据利润最大化可以求出净供给函数，所有厂商的总净供给函数是
转换前沿Transformation frontier如果只有两种商品，则容易用图像表示厂商的生产可能性集合，习惯上用横轴表示投入，纵轴表示产品其边界称为转换前沿一般假设是凹的某点斜率(绝对值)为该点的边际转换率( MRT)
特例：一个生产者和一个消费者图中横轴表示劳动(和闲暇)，纵轴表示产品，价格分别是和厂商在生产技术约束下最大化利润消费者在预算约束下最大化效用
特例：竞争性均衡在竞争性均衡中，劳动力市场和产品市场都出清，并且有一阶条件：在一定条件下，可以通过复制来分析更一般的对称经济但无法分析不对称经济
一般均衡模型：更一般的设定厂商，可以用生产集刻画消费者，可以用消费集，上的偏好关系，初始禀赋刻画每个消费者i拥有厂商j比例为的股权，配置：定义：给定上述的经济，一个配置和一个价格向量组成了一个Walras 均衡，如果：每个都最大化了中的利润每个都最大化了效用，预算约束市场出清：
总需求和Walras 法则我们分别用表示总得消费者需求、生产者净产出和禀赋总超额需求(aggregate excess demand)：Walras 法则：对任意价格向量，成立和交换经济中一样，Walras 法则成立的根本原因是消费者的预算约束。实际上，这个法则本身就可看作是经济整体满足的一个总得预算约束证明也和交换经济中类似，作为练习
Walras 均衡的存在性定理(Debreu, 1959)：如果满足下列假设①每个消费者的消费集是有下界的凸闭集‘②每个消费者都没有充分满足的消费束③每个消费者的偏好都是连续的④每个消费者在其消费集内部有一个禀赋⑤每个消费者的偏好都是严格凸的⑥对每个厂商，⑦Y 是凸闭集⑧Y 满足⑨Y 满足则Walras均衡存在。
关于均衡存在性的补充说明这个存在性定理本质上也是用不动点定理证明，但由于数学上的复杂性，具体证明过程省略关于假设条件的说明：假设(1)-(3) 保证了需求函数的存在假设(1)-(5) 保证了需求函数的连续性假设(6) 认为厂商总能停业，从而能保证利润非负假设(7) 保证了厂商的净供给函数的连续性假设(8) 认为生产过程不可逆假设(9) 认为增加了额外投入后可以不减少产出
均衡的福利分析福利经济学第一定理：如果是一个Walras均衡，则是帕累托有效的福利经济学第二定理：假设是一个帕累托有效配置，且每个消费者对各种商品持有严格正的数量，偏好和生产集合满足通常的假设，则存在价格向量满足：①如果，那么②如果，那么
