第 26 卷第 2 期
Vo1. 26
四川文理学院学报 2016 年 3 月
岛 University of Arts and Science Journal
模糊环境下几何平均亚式期权的保险精算定价
胡攀，李爱氏，唐海军
(四川文理学院数学与财经学院，四川达州 635000)
摘 要:在标的股票价格服从几何 Liu 过程的模型假设下，首先利用保险精算法给出几何平均亚式看涨、
看跌期权的定价公式;其次，讨论了定价公式关于各参数的羊调性和凹凸性;最后，用所建模型计算煤层气开
发项目的增长期权价值，为煤层气项目的价值评估提供了一种新的思路和方法.
关键词:模糊因素;保险精算法;几何平均亚式期权
中图分类号 : 文献标志码 :A
o 51 言
分数布朗运动作为自适应的高斯过程，是布
朗运动的推广，由于其可以刻画长期相依性而在
股票的价格模型中取代了布朗运动.但随着不确
定性理论的发展，人们发现金融市场上除了存在
随机性以外，还存在大量的模糊性.
为了处理模糊过程， 1965 年 Zadeh 用隶属函
数引入了模糊集合的概念，[lJ 2002 年 Liu 通过定
义可信性测度和模糊事件的自对偶性， [21 建立起
了可信性理论，使之成为研究模糊理论的一个数
学分支， 2008 年 Liu 在模糊环境下提出了与布朗
运动相对应的 Liu 过程的概念用于描述动态模
糊，问同时建立了 Liu 股票价格模型.从此基于
Liu 股票价格模型的期权定价公式及其应用便开
始发展起来.忏7J 然而上述模型并不能解决股价
在短期内的异动对期权价值影响的问题，因此期
权持有者可以通过短期内操纵股价来牟利，从而
破坏金融市场次序.
亚式期权作为一种强路径依赖性期权，标的
资产(如股票)的期末价值采用期权持有期内的平
均值，从而可以有效避免股价的短期异功对期权
价值的影响.亚式期权分为算术平均和几何平均
收稿日期 :2015--11一 18
文章编号 :1674--5248(2016)02一0007一05
两种.由于算术平均价格的精确分布并不存在，所
以算术平均亚式期权的定价公式很难求得，而几
何平均价格服从对数正态分布，因而几何平均亚
式期权的定价公式比较容易求得.随机条件下亚
式期权的定价公式是在放宽 B-S模型的某些假
设条件下得到的，如跳一扩散模型、[8J 随机利率模
型、 [9J 随机波动模型等 [10J 由于现实的金融市场中
存在大量的模糊性，因而考虑模糊环境下几何平
均亚式期权的定价问题更符合实际的需要.
受上述研究的启发，本文在假设金融市场受
模糊性因素影响的条件下，研究几何平均亚式看
涨、看跌期权的定价问题.
1 预备知识
1. 1 可信性理论
定义 1 [3] 模糊过程 C，被称为是 Liu 过程，
如果它满足(i) Co = 0; (ii) C，具有独立平稳增
量 (iii) 任意增量 C什， -C.，是均值为 et ，方差为
C; 2 t 2 的正态分布模糊变量，其隶属函数为
π I x -et I μ (x) =2 (1十 exp(一一一一))一 1 ,
ý6σt
∞<x<十∞(1)
特别，当 e=O ，σ=1 时称 C，为标准 Liu 过程.
基金项目:四川省教育厅 2016 年度一般项目"基于模糊理论的煤炭项目价值评估与投资决策分析"062胁354) ;四
川文理学院 2014 年度面上项目"模糊环境下煤层气项目的价值评估与最佳投资决策研究" C2014Z009Y)
作者简介:胡 攀(1983一九男，四川雅安人.讲师，硕士，主要从事金融数学与灰色系统理论研究.
• 7 •
2016 年第 2 期 胡 攀，李爱氏，唐海军:模糊环境下几何平均亚式期权的保险精算定价
定义 2[3] 假设 C1 是一个标准 Liu 过程，称
模糊过程 C1 =exp(et + σC 1 ) 为几何 Liu 过程.
引理 1 [4 ] 对 Vt > O ，几何 Liu 过程 C1 的隶
属函数为
π Iln z - et I μ (x) =2 (1 + exp(~一τ了一一.::....!..) ) -1 ,
-J 6 σt
z>O (2 )
期望值为
E(C 1 ) =16at exp(et )csc(16at ) ,
Vt < π/0百σ(3)
定义 3[11] 假设 c 是一个标准 Liu 过程，则
称模糊过程 1 1 =tCds 为 Liu 过程的积分
引理 2[1 1] 对任意t>0 ， 11 的正态隶属函数为
Ixl μ (x) = 2 (1 + expC ;.;一))→ 1 . (4)
-J 3t
引理 3[ 12] (可信性反演定理)假设号是隶
属函数为μ 的模糊变量，对于任意实数集合 B ， 导
的可信性测度
cr{HB}=÷(?EVU)
十 1- supμ (x)). (5)
>E B(
定义 4[13] 假设 e 是一个模糊变量，则与的
期望值为
E(辛)= f了Cr陀付-f-w Cr{e ý }dr . (6)
1. 2 Liu 股价模型
假设模糊金融市场中仅存在两种证券:一种
为债券 ， t 时刻的价格记为乱;另-种为股票 ， t
时刻的价格记为 X 1 • 文献[3J给出了股票价格的
一般模型
{←川(时)
X 1 =Xo exp(et 十σC)
(7)
1. 3 保险精算法
1998 年 ， Bladt 和 Rydberg 首次提出将期权
定价转化为公平保费的保险精算计算问题 [11 ]
2005 年 Norbet Schmitz 用反例验证了在风险资
产的收益率大于无风险利率的情况下， [151若风险
资产和无风险资产都按元风险利率折现，则市场
存在明显的套利机会，进而提出了为期权定价时，
风险资产按期望收益率折现，元风险资产应按无
风险利率折现的改进的保险精算法.
定义 5[14 ] 股票价格过程 X1 满足 (7)式，则
• 8 •
X1 在 [O ， t J 内收益率 Lß(S灿的期望定义为
目叫
2 几何平均亚式期权定价公式
依据修正的保险精算法，执行价格为 K 、到
期时间为 T 的几何平均亚式看涨期权在 t =O 时
刻的价值为
E凹(呻邮(←一 j :〉〉〉卢严严酌(毛b‘s、ο仙)d汹阳d的h
几何平均亚式看跌期权在 t=O 时刻的价值为
E 川〈一寸e蚓x
定E理里 l 假设股票价格满足(σ7) 式'贝则1j对 V 丁
〈 πrr / <J♂百σω) ，在[阴O ， T口]内 X，的期望收益率
[卢(s)ds = eT 十 ln[♂山而T) ]
rT EX于证明: 由定义 5 有 exp( I 。卢(sMs )=37=
E[exp(eT+ σCT )] ，根据引理 1 即得结论.
定理 2 设股票价格服从几何 Liu 过程，则
执行价格为 K ， 到期时间为 T (VT <
π/(16σ) ) 的几何平均亚式看涨期权在当前时刻
的价值为
Xoσ 1 'T' rT C(Xo ， K ， e ， a ， r) =γ叫γT - Lß(.d的]
f~坷 叫飞叫￡扑扣宁村(fμ;μ阳川.d州呻>C!;协d山川x
l+e臼xp以(二工)
且 J3T
证明:
C(川
二! :f川川川∞气飞1列Cr叫州〉才斗巾巾忖(卡扣h问(exp仪叫叫X邓刚旷pμ什叫(←叶-千j :〉〉〉〉卢酌ρ川C\川Cïld峭ld叫d
「十四 1 rT rT rT
(8)
= L Cr\叩宁 | }ldrd )洲l j(JMf)I十唰| j(I泌 rTlK J dr
令 y=叫([卢(仆的 >X +K叫bh)山 一
山，则 dy=叫([卢川)dJ
原式 =exp(- I:同仆的)
f:XJl( J~ 酌)dJr{EX叶[1山t) > y}d
胡 攀，李爱氏，唐海军:模糊环境下几何平均亚式期权的保险精算定价 2016 年第 2 期
= 臼叫时p(←一 [ß(s卢严严酌(ιb‘5可ο)ι的ω叫吁仆忖)f二j队:〉μ炽川川(s)叫叫)d灿…d的s
( 口川盯卡叮一吁叮T盯J阳n
rl[ Cdt注「(ay
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JHH3 日四川
,
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F
X
一
n-i' T-一一。"
T
一
ρIV-
1-2-y-n-i-T
一U AY
σ
y =Xo叫(坐十二山 ，T ' 2
y=经::exp(但 +iebduT ---r' T ' 2
厅X n , 1 ~ rT 原式=干叫(γT-L州的)
jZ是+(f~ß<''''''-叶η叫φCr {[C，dt) 注 u}du
(9)
当 U 二三 O 时，由可信性反演定理可知
1fT 、 1
Cr~ 1. C，dt 二三 u~= 亏心呼μ (X) 十l-sulþ(x))
飞 J U L..J I / U ..r<二、U
结合起里 I呻IfJ. (X) = j1. (x ) = 20 十吨(主王))
J二?，u' ,.)3T
-1 ， $3驴(工)= μ(0) = 1.
1fT 、 吁中
Cr { I C,dt ::2 X } = (1 十 exp(二二 ))-1 (10)
lJ o ' - ) 'f3T
当 u<O 时，叩ρμ(工 )=μ(O)=1 ， sZRub)
=μ (x )=2 (l十 exp(三互王) )一1.
广 '-J3T
1fT 、一--~
Cr { I C，dt 二三 x } =l 一(1 十 exp(τ二二)) -1
\J 0 、 3T
=(1+巳xp(主~ ))一 1 (11)
J3 T
综合(10) (11)两式有
1fT 、-~
Cr{ I C,dt ::2 x} = (1 十四p(二:::-)) -1 (12)
lJ 0 • - J ' f3 T
将(1 2)式代入(9)式即得结论.
定理 3 设股票价格服从几何 Liu 过程，则到
期时间为 T( VT<π/ (16σ门，执行价格为 K 的几
何平均亚式看跌期权在 t= 0 时刻的价值为
P( .e ,(J, r) Xn厅 1--::'~ exp( : eT T - --r ' 2
J:?fzpwd卡)T exp(宇:严严酌附川‘5ο圳节ο创)d叫d
1+巳却(←一一二)
勺 3T
(13)
证明:本定理的证明类似于定理 2 的证明.这
里从略.
定理 4 几何平均亚式看涨期权的价格 C=
C(Xo ,K ， e ，(J， r) 具有如下性质:
① C 是 Xo 的单调增加凸函数;
② C 是K 的单调减少凸函数;
③ C 是 t 的单调减函数;
④ C 是 σ 与 r 的单调增函数.
证明:①本性质表明在其余参数不变的条件
下，几何平均亚式看涨期权的价格 C=C(Xo ，
K ， e ，(J， r) 是股票初始价格 Xo 的单调增函数和
凸函数.根据公式(7)有
fT _ fT
,: I lnX ,dt = lnX。十: eT+二 I C,dt T J 0 ...._， υ2-~ , TJo-'
于是，
E [e←h归仪叫时X邓pμ(仆川E仪仰X却叶p
[" I 1 ,. fT fT 、 ì +
=EL Xo呻(言eT十 T J 0 C，dt-寸L卢严酌附(心仙1ρ)汹彷叫) 一呻(←一汀)K盯J
I 1 _ fT fT 、
因为呻(言eT+于 J 0 C,dt - j Oß(S)圳的
可信性分布与 Xo 无关，令
I 1 _ fT f丁、
α= exp~言eT+于 L C,dt - Lß(S)的) >0.
则上式变为 E [XOa- exp(- rT)KJ 十 ，显然
E [XOa- exp(-rT) K J + 是 Xo 的单调增函数和
凸函数.因此 C =C(Xo ,K , e ，(J， r) 是 Xo 的单调
增加凸函数.
I 1 _ f T fT 、
② 因为 [Xo叫言eT+于 J o Cdt-Joß(s)的)-
exp(-rT) K]+ 是关于K 的单调减函数和凸函数，而
叫
与 K 无关，于是结论成立.
_ fT fT
③显然 exp(言eT+于L Cdt-Lß(仆的)=
xp(一 ieT十主[Cdt) 2 TJo-'~"/
. 是关于e 的减函数，根
j6σTcsc Çj6σT)
• 9 •
2016 年第 2 期 胡 攀，李爱民，唐海军 3模糊环境下几何平均亚式期权的保险精算定价
_ rT
据积分的性质可知 E[Xoe}φ( : eT 十二 IC，dt 一
--.-' 2 - - , T .J 0
[ß(s)出) ~ exp( -' rT)KJ+ 依然是 e 的减函数
rT
④由|。卢(仆的 =eT+ln[/6σTcsc (J百σT汀，
(8) 式可化为
Xosin的江)叫[LT]
c = C(X 0 ,K ,e ,(J ,r) = -------~
J6T2
j 训(气十由T哺+<t ，T-，T+ln [!irσTcsc机σnJ)T du ，显然积
l 十四(一子)
创 3T
分下限是关于 σ 的减函数，而被积函数
exp(哇)
A 是 σ 的增函数，由积分的几何意义
1 + exp(互巳)
J3T
可知，积分的结果是关于 σ 的增函数.
同理可得几何平均亚式看涨期权的价格 C
是克风险利率 r 的增函数.
定理 5 几何平均亚式看跌期权的价格 P=
P(Xo ,K ， e ，(j， r) 具有如下性质:
① P 是 Xo 的单调减少凸函数;
② P 是K 的单调增加凸函数;
③ P 是 e 的单调增函数;
④ P 是 σ 与 r 的单调减函数.
证明:本定理的证明类似于定理 4 的证明过
程，这里略.
3 实例应用
煤层气俗称瓦斯，是一种非常规的天然气，其
主要成分是甲:皖.煤层气项目作为风险类项目之
一，其投资开发是一项投资高、不可逆、极为复杂
和大型的系统工程，现有的煤层气项目的价值评
估主要采用的是折现值法(DFC 法)、实物期权法
和增长期权法.已有研究表明折现值法已很难准
确评估风险类项目的价值 F 由于实物期权法所用
数据信息的确定性，使得项目价值计算结果过于
刚性化;[1617]而增长期权法主要是将煤层气项目
的价值看做项目本身价值加后续技资的增长期权
的价值，增长期权主要采用的是基于 B-S 公式
的价值评估方法 [18J 煤层气主要赋存在煤层中，
• 10 •
其开采往往伴随着煤炭资源的开发和能源利用，
因此有关煤炭资源的开采就可看成是一个基于煤
层气项目的增长期权.由于在某些时段内煤炭价
格波动较为明显，如果直接采用 B-S 公式评估
后续项目增长期权价值，可能会让煤层气开发企
业做出错误决策并给其带来巨大损失和不良后
果.于是在项目开发期内采用煤炭价格的几何均
值来估算增长期权的价值更具有现实意义.
某企业获得某地区煤层气和煤炭项目的双料
开采权，为了保障煤炭开采安全，该公司决定先进
行煤层气开采，待煤层气开采结束后便进行煤炭
资源开采.该地区拥有 15 亿 m3煤层气，预计年产
量 3 亿时，可持续开采 T=5 年，煤层气当前立
即投资开发的戚本 K=9 亿元，煤层气项目年净
现金流约为 亿元，财务基准收益率 i =8%;煤
炭开发项目总价值的现值为 10 亿元，后续投资戚
本为 5 亿元，无风险利率 r =% ，煤炭项目的
价值波动率 σ= ，预期收益率 e =12%.
传统净现金流分析法
根据 DCF计算方法，该煤层气项目的现值和
净现值分别为
P(V)= 安 17
但c1 +)'
1. 7 r. 1 -, =一一 I 1 - _ - _. _ 1= --- c1十 )" --'
NPV=P(V)-K =
因为 NPV<O ，所以该煤层气项目应该不予
投资.
利用 B-S 的看涨期权计算增长期权的方法
如果在项目持续期内煤炭价格相对平稳，则
利用 B-S公式计算增长期权的价值 OP=
亿元(模型参见文献口8J) ，则煤层气项目的价值
P=NPV十OP = - = 亿元.
此时煤层气项目的价值 P >0，所以该项目可进
行投资.
基于几何平均亚式看涨期权计算增长期权
的方法
如果在项目持续期内煤炭价格波动频繁，则
可利用模糊环境下几何平均亚式看涨期权的定价
公式计算该煤层气项目的增长期权的价值町=
一010，煤层气项目的价值 P=NPV十使
=一 十 一 010 亿元.显然 p<O ， 即
该项目不应该进行投资.
胡 攀，李爱民，唐海军:模糊环境下几何平均亚式期权的保险精算定价 2016 年第 2 期
按照折现值法和模糊几何平均亚式期权定价
模型计算煤层气项目的价值均为负，说明应持续
等待或放弃投资，而基于 B-S 公式的价值评估
方法得到的项目价值为正，可以立即开发-
4 小结
模糊环境下几何平均亚式期权的价值计算公式，
增强了期权定价的科学性和合理性.将所建模型
用于煤层气项目的价值评估，并将计算结果与用
DCF 法和 B-S 模型计算的结果作比较，提出可
根据煤层气项目后续投资项目资产价格变化的具
体情况选择不同的模型评估煤层气项目的价值.
在充分考虑了模糊性因素的影响后，给出了
参考文献:
[lJ 2adeh L sets [J]. Information and (8):338-353.
[2J Liu BD. Foundation of Uncertainty theory [MJ. Beijing: Tsinghua University. 2006: 81 - 96.
[3J Liu process. hybrid process αnd uncertain process [J]. Journal of Uncertain ):3一 16.
[4J Qin 2F. Li XOption pricing庐rmuLa 庐rF，即可 financial marketDJ. Journal of Uncertain ) :17-21.
[5J 浮英双.基于模糊不确定环境的高新技术项目价值评估模型[J].系统工程理论与实践， 2010( 6) : 1021-1026.
[6J Qin 2 F. Gao XFractional Liu ρrocess wùh aρplicatioη tofinance[JJ. Mathematical and Computer ,
50(9/10): 1538-1543.
[7J 胡 华.标的股票服从几何分数 Liu 过程的幕期权定价模型[J].河南师范大学学报:自然科学版 .2013(2):1-5.
[8J Wang K. KimiI K. Qian X of the binomial tree method for Asian options in jumρ -duffision mod-
els [J]. Mathematical analysis and applications. 2007 (1) : 10一 23.
[9J 王莉君，张曙光.Vasicek 利率模型下的亚式期权的定价问题和数值分析[J].应用数学 .2003(3) :467~474.
口OJWo吨.Cheng. GeornetricAsian 0户tlOns: 白luation and calibration with stochαstic volatility [J ].Quantitative Finance.
2004(4) :301-314.
口1JQin 2F. Li X. Fuzzy calculus for finance[M]. Beijì略 Tsìnghai : 1-54.
口2JLiu B'uncertainty theory[M]. Berlin: .
<13JLiu B. Liu 如cted 'l，皿 lue of户口y variable and fuzzy 口如cted value model正 Transactions on fuzzy
Systems. 2002 (4) : 445 - 450.
[14JBladt M. Rydberg aρρroach to 0 ption ρricing under the 户hysical measure and without markeωr
.wmptions [JJ. Insurance: Mathematics and ( 1) :65一 73.
[15JNorbert on 0ρtion ρricing by actuarial considerations [J]. Jnsurance:Ma川th阳natics and Ec∞on∞om口.1998( 1):
65 • 73.
[16J许晓东，张丽美，杨玉凤，等.实物期权模型在煤层气项目评价中的应用[J].中国煤炭.2011(6) :27-30.
口7J张胜有，冯立杰，魏红，等.基于实物期权方法的煤层气项目Jt返投资决策研究口J.工业技术经济，2009(8): 77-79.
[18J冯立杰，程雪琪，王金凤，等.基于增长期权的煤层气开发项目价值评估模型[J].价值工程， 2011(5):14-15.
[责任编辑范藻]
The Actuarial Pricing of Gωnetric Average Asian Options under Fuzzy Environment
HU Pan , LI Aim巾， TANG Haijun
马飞未
(岛1athematics and Finance-Economics ~元hool of Sichuan University of Arts and Sciences, Dazhou Sichuan 6350∞， China)
Abstract : In the prωess of the underlying stock price fo1Jows geometric Liu model assurnptions, the geometric average Asian
ca1J and put options pricing fonnula are given by using ofactuarial method; Secondly, the monotonicity and convex-concave ofthe
par创neters in the model are discussed; Fina1Jy, the growth option value of CBM development pr<付ect is calculated by using the
model, it provides a new thought and method for the value of CBM p叫ect assessment.
Key words :filz勾r factors; actuarial pricing method; the geometric average Asian optíons
11
