数据、模型与决策
线性规划
Linear Programming
LP的数学模型 Mathematical Model of LP
图解法 Graphical Method
标准型 Standard form of LP
基本概念 Basic Concepts
单纯形法 Simplex Method
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数学模型
Mathematical Model
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线性规划
Linear Programming
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线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP
线性规划通常研究资源的最优利用、设备最佳运行等问
题。例如，当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安
排，用最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时
间等）去完成确定的任务或目标；企业在一定的资源条件
限制下，如何组织安排生产获得最好的经济效益（如产品
量最多 、利润最大）。
线性规划（Linear Programming,缩写为LP）是运筹学的重要
分支之一，在实际中应用得较广泛，其方法也较成熟，借助
计算机，使得计算更方便，应用领域更广泛和深入。
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Linear Programming
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【例】最优生产计划问题。某企业在计划期内计划生产甲、
乙、丙三种产品。这些产品分别需要要在设备A、B上加工，需
要消耗材料C、D，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加
工及所需要的资源如表所示。已知在计划期内设备的加工能
力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤；每生产一件甲、
乙、丙三种产品，企业可获得利润分别为40、30、50元，假定
市场需求无限制。企业决策者应如何安排生产计划，使企业在
计划期内总的利润收入最大？
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP
应用模型举例
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产品产品
资源资源
甲甲
乙乙 丙丙 现有资源现有资源
设备设备AA 3 3 1 1 2 2 200 200
设备设备BB 2 2 2 2 4 4 200 200
材料材料CC 4 4 5 5 1 1 360 360
材料材料DD 2 2 3 3 5 5 300 300
利润（元利润（元//件）件） 40 40 30 30 50 50
表 产品资源消耗
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP 8/17/2022
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【解】设x1、x2、x3 分别为甲、乙、丙三种产品的产量数学模型
为：
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP
产品产品
资源资源
甲甲
乙乙 丙丙 现有资现有资
源源
设备设备AA 3 3 1 1 2 2 200 200
设备设备BB 2 2 2 2 4 4 200 200
材料材料CC 4 4 5 5 1 1 360 360
材料材料DD 2 2 3 3 5 5 300 300
利润（元利润（元//
件）件）
40 40 30 30 50 50
最优解X=(50,30,10);Z=3400
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线性规划的数学模型由
决策变量 Decision variables
目标函数Objective function
及约束条件Constraints
构成。称为三个要素。
其特征是：
1．解决问题的目标函数是多个决策变量的
线性函数，通常是求最大值或 最小值；
2．解决问题的约束条件约束条件是一组多个决策变量
的线性不等式或等式。
怎样辨别一个模型是线性规划模型？
线性规划的数学模型
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【例】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，
轮流休息。根据统计，商场每天需要的营业员如表所示。
表 营业员需要量统计表
商场人力资源部应如何安排每天的上班人数，使商场总的营业员
最少。
星期星期 需要人数需要人数 星期星期 需要人数需要人数
一一 300300 五五 480480
二二 300300 六六 600600
三三 350350 日日 550550
四四 400400
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP 8/17/2022
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【解】 设xj(j=1，2，…，7)为休息2天后星期一到星期日开始上
班的营业员，则这个问题的线性规划模型为
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP
星星
期期
需要需要
人数人数
星星
期期
需要需要
人数人数
一一 300300 五五 480480
二二 300300 六六 600600
三三 350350 日日 550550
四四 400400
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11 X1X1 00 C1C1 404404 >=>= 300300 104104
22 X2X2 6767 C2C2 301301 >=>= 300300 11
33 X3X3 146146 C3C3 350350 >=>= 350350 00
44 X4X4 170170 C4C4 400400 >=>= 400400 00
55 X5X5 9797 C5C5 480480 >=>= 480480 00
66 X6X6 120120 C6C6 600600 >=>= 600600 00
77 X7X7 1717 C7C7 550550 >=>= 550550 00
最优解：
Z＝617（人）
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线性规划
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【例】合理用料问题。某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些
轴的规格分别是，1，（m），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度
为4 m。现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？
【解】这是一个条材下料问题 ，设切口宽度为零。 设一根圆钢切割成甲、
乙、丙三种轴的根数分别为y1，y2，y3,则切割方式可用不等式
+y2+≤4表示，求这个不等式关于y1，y2，y3的非负整数解。象这样
的非负整数解共有10组，也就是有10种下料方式，如表所示。
表1．3 下料方案
方案方案
规格规格
1 1 22 33 44 5 5 66 77 88 99 1010 需求量需求量
yy11((根根)) 22 22 11 1 1 11 0 0 0 0 00 00 00 10001000
yy2 2 11 00 22 1 1 00 4 4 3 3 22 11 00 10001000
yy33 00 11 00 2 2 33 0 0 1 1 22 44 55 10001000
余料余料
（（mm））
00 0 0
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设xj(j=1,2…,10)为第j种下料方案所用圆钢的根数。则用料最
少数学模型为为::
求下料方案时应注意，余料不能超过最短毛坯的长度；最好将毛
坯长度按降的次序排列，即先切割长度最长的毛坯，再切割次长
的，最后切割最短的，不能遗漏了方案 。如果方案较多，用计算
机编程排方案，去掉余料较长的方案，进行初选。
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP
方案方案
规格规格
1 1 22 33 44 5 5 66 77 88 99 1010 需求量需求量
yy11((根根) ) 22 22 11 1 1 11 0 0 0 0 00 00 00 10001000
yy2 2 11 00 22 1 1 00 4 4 3 3 22 11 00 10001000
yy33 00 11 00 2 2 33 0 0 1 1 22 44 55 10001000
余料（余料（mm）） 00 0 0
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Linear Programming
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11 X1X1 500500
22 X2X2 00
33 X3X3 00
44 X4X4 00
55 X5X5 00
66 X6X6
77 X7X7 00
88 X8X8 00
99 X9X9 250250
1010 X10X10 00
Z＝
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【例】配料问题。某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格
是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于
35%~55%之间，不允许有其他成分。钢铁公司拟从五种不同级别
的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表所示。矿
石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低的矿物数量。
假设矿石在冶炼过程中，合金含量没有发生变化。
表 矿石的金属含量
合金合金
矿石矿石
锡锡%% 锌锌%% 铅铅%% 镍镍%% 杂质杂质 费用（元费用（元/t /t ））
11 2525 1010 1010 2525 3030 340340
22 4040 00 00 3030 3030 260260
33 00 1515 55 2020 6060 180180
44 2020 2020 00 4040 2020 230230
55 88 55 1515 1717 5555 190190
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP 8/17/2022
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Linear Programming
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解: 设xj（j=1,2，…，5）是第j 种矿石数量，得到下列线性规划模
型
注意，矿石在实际冶炼时金属含量会发生变化，建模时应将这种
变化考虑进去，有可能是非线性关系。配料问题也称配方问题、
营养问题或混合问题，在许多行业生产中都能遇到。
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP
矿石矿石 锡锡%% 锌锌%% 铅铅%% 镍镍%% 杂质杂质 费用（元费用（元/t /t ））
11 2525 1010 1010 2525 3030 340340
22 4040 00 00 3030 3030 260260
33 00 1515 55 2020 6060 180180
44 2020 2020 00 4040 2020 230230
55 88 55 1515 1717 5555 190190
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线性规划
Linear Programming
Page 16
11 X1X1 00
22 X2X2
33 X3X3 00
44 X4X4
55 X5X5
最优解：
Z=
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Mathematical Model of LP 8/17/2022
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【例】投资问题。某投资公司在第一年有200万元资金，每年都有如下的
投资方案可供考虑采纳：“假使第一年投入一笔资金，第二年又继
续投入此资金的50%，那么到第三年就可回收第一年投入资金的一
倍金额”。投资公司决定最优的投资策略使第六年所掌握的资金最
多。
第五年：(x7/2+x9)=x8+2x5
第一年：x1+x2=200(万元)
第二年：(x1/2 +x3)+x4=x2
第三年(x3/2+x5)+x6=x4+2x1
第四年：(x5/2+x7)+x8=x6+2x3
到第六年实有资金总额为x9+2x7，整理后得到下列线性规划模型
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP
【解】设 x1：第一年的投资； x2：第一年的保留资金
x3：第二年新的投资； x4：第二年的保留资金
x5：第三年新的投资； x6：第三年的保留资金
x7：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金
x9：第五年的保留资金
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线性规划
Linear Programming
Page 18
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP
11 X1X1
22 X2X2
33 X3X3
44 X4X4 00
55 X5X5
66 X6X6 00
77 X7X7
88 X8X8 00
99 X9X9 00
最优解： Z＝ 万元
x1：第一年的投资； x2：第一年的保留资金
x3：第二年新的投资； x4：第二年的保留资金
x5：第三年新的投资； x6：第三年的保留资金
x7：第四年新的投资 x8：第四年的保留资金
x9：第五年的保留资金
8/17/2022
制作与教学
线性规划
Linear Programming
Page 19
【例】均衡配套生产问题。某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。
两种零件必须经过设备A、B上加工，每件甲零件在A、B上的加工时
间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A、B上的加工时间分别为4分
钟和10分钟。现有2台设备A和3台设备B，每天可供加工时间为8小时。
为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不
超过另一种设备总时间1小时。怎样安排设备的加工时间使每天产品的
产量最大。
【解】 设x1、x2为每天加工甲、乙两种零件的件数，则产品的产量是
设备A、B每天加工工时的约束为
要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备1小时的约束
为
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP 8/17/2022
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线性规划
Linear Programming
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目标函数线性化。产品的产量y等价于
整理得到线性规划模型
约束线性化。将绝对值约束写成两个不等式
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP 8/17/2022
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线性规划
Linear Programming
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线性规划的一般模型
一般地，假设线性规划数学模型中，有m个约束，有n个决策变量
xj, j=1,2…,n，目标函数的变量系数用cj表示, cj称为价值系数。约
束条件的变量系数用aij表示，aij称为工艺系数。约束条件右端的
常数用bi表示，bi称为资源限量。则线性规划数学模型的一般表达
式可写成
为了书写方便，上式也可写成：
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP 8/17/2022
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线性规划
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Page 22
在实际中一般xj≥0,但有时xj≤0或xj无符号限制。
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP 8/17/2022
制作与教学
线性规划
Linear Programming
Page 23
1.什么是线性规划，掌握线性规划在管理中的
几个应用例子
2.线性规划数学模型的组成及其特征
3.线性规划数学模型的一般表达式。
作业：教材P31 T 2，3，4，5，6
线性规划的数学模型
Mathematical Model of LP
下一节：图解法
8/17/2022
../../../XIONGW/or/ppt/ch1/
图解法
Graphical Method
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Linear Programming
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图解法的步骤：
1.求可行解集合。分别求出满足每个约束包括变量非 负要求的
区域，其交集就是可行解集合，或称为可行域；
2.绘制目标函数图形。先过原点作一条矢量指向点（c1,c2)，
矢量的方向就是目标函数增加的方向，称为梯度方向，再作一
条与矢量垂直的直线，这条直线就是目标函数图形；
3.求最优解。依据目标函数求最大或最小移动目标函数直线，
直线与可行域相交的点对应的坐标就是最优解。
一般地，将目标函数直线放在可行域中
求最大值时直线沿着矢量方向移动
求最小值时沿着矢量的反方向移动
图解法
The Graphical Method 8/17/2022
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线性规划
Linear Programming
Page 26
x1
x2
O
10 20 30 40
10
20
30
40
(3,4)
(15,10
)
最优解X=(15,10)
最优值Z=85
例
图解法
The Graphical Method 8/17/2022
制作与教学
线性规划
Linear Programming
Page 27
2 4 6 x1
x2
2
4
6
最优解X=(3,1)
最优值Z=5
(3,1
)
min Z=x1+2x2例
(1,2)
图解法
The Graphical Method 8/17/2022
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线性规划
Linear Programming
Page 28
2
4 6 x1
x2
2
4
6
X（2）＝（3,1）
X（1）＝（1,3）
(5,5)
min Z=5x1+5x2例
有无穷多个最优解
即具有多重解,通解为
0≤α≤1
当α=时
Ｘ
=(x1,x2
)=(1,3)+(3,1)=(2,2)
图解法
The Graphical Method 8/17/2022
制作与教学
线性规划
Linear Programming
Page 29
2 4 6 x1
x2
2
4
6
(1,2)
无界解(无最优解)
max Z=x1+2x2例
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制作与教学
线性规划
Linear Programming
Page 30
x1
x2
O 10 20 30 40
10
20
30
40
50
50
无可行解
即无最优解
max Z=10x1+4x2例
图解法
The Graphical Method 8/17/2022
制作与教学
线性规划
Linear Programming
Page 31
由以上例题可知，线性规划的解有4种形式：
1.有唯一最优解(例例)
2.有多重解(例)
3.有无界解(例)
4.无可行解(例)
1、2情形为有最优解
3、4情形为无最优解
图解法
The Graphical Method 8/17/2022
制作与教学
线性规划
Linear Programming
Page 32
1.通过图解法了解线性规划有几种解的形式
2.作图的关键有三点
(1)可行解区域要画正确
(2)目标函数增加的方向不能画错
(3)目标函数的直线怎样平行移动
作业：教材P34 T7
图解法
The Graphical Method
下一节：线性规划的标准型
8/17/2022
线性规划的标准型
Standard form of LP
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线性规划
Linear Programming
Page 34
在用单纯法求解线性规划问题时，为了讨论问题
方便，需将线性规划模型化为统一的标准形式。
线性规划的标准型
Standard form of LP
线性规划问题的标准型为:
1．目标函数求最大值（或求最小值）
2．约束条件都为等式方程
3．变量xj非负
4．常数bi非负
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线性规划
Linear Programming
Page 35
max(或min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn
线性规划的标准型
Standard form of LP
注：本教材默认目标函数是 max
8/17/2022
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线性规划
Linear Programming
Page 36
或写成下列形式：
或用矩阵形式
线性规划的标准型
Standard form of LP 8/17/2022
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Linear Programming
Page 37
通常X记为： 称Ａ为约束方
程的系数矩阵，m是约束方程的个数，n是决策变量的个数，
一般情况m≤n，且r(Ａ)＝m。
其中:
线性规划的标准型
Standard form of LP 8/17/2022
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Page 38
【例】将下列线性规划化为标准型
【解】（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也
可取负值，标准型中要求变量非负，所以令
线性规划的标准型
Standard form of LP 8/17/2022
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线性规划
Linear Programming
Page 39
(3)第二个约束条件是≥号，在≥号 左
端减去剩余变量(Surplus
variable)x5，x5≥0。也称松驰变
量
线性规划的标准型
Standard form of LP
(2) 第一个约束条件是≤号，在≤左
端加入松驰变量 (slack variable) x4
，x4≥0,化为等式；
(4)第三个约束条件是≤号且常数项为负数，因此在≤左边加入
松驰变量x6，x6≥0，同时两边乘以－1。
（5）目标函数是最小值，为了化为求最大值，令Z′=－Z,得到
max Z′=－Z，即当Z达到最小值时Z′达到最大值，反之亦然。
8/17/2022
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Page 40
综合起来得到下列标准型
线性规划的标准型
Standard form of LP 8/17/2022
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线性规划
Linear Programming
Page 41
当某个变量xj≤0时,令x/j=－xj 。 当某个约束是绝对值不等式
时，将绝对值不等式化为两个不等式，再化为等式，例如约束
将其化为两个不等式
再加入松驰变量化为等式。
线性规划的标准型
Standard form of LP 8/17/2022
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线性规划
Linear Programming
Page 42
【例】将下例线性规划化为标准型
【解】 此题关键是将目标函数中的绝对值去掉。
令
则有
线性规划的标准型
Standard form of LP 8/17/2022
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线性规划
Linear Programming
Page 43
得到线性规划的标准形式
线性规划的标准型
Standard form of LP
对于a≤x≤b(a、b均大于零)的有界变量化为标准形式有两种方
法，一种方法是增加两个约束x≥a及x≤b，另一种方法是令=x－
a，则a≤x≤b等价于0≤≤b－a，增加一个约束≤b－a并且将原问
题所有x用x=+a替换。
8/17/2022
制作与教学
线性规划
Linear Programming
Page 44
1.如何化标准形式？
可以对照四条标准逐一判断！
标准形式是人为定义的，目标函数可以是求最小值。
2.用WinQSB软件求解时，不必化成标准型。
图解法时不必化为标准型。
3.单纯形法求解时一定要化为标准型。
作业：教材P34 T 8
线性规划的标准型
Standard form of LP
下一节：基本概念
8/17/2022
线性规划的有关概念
Basic Concepts of LP
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Page 46
设线性规划的标准型
max Z=CX （）
AX=b （）
X ≥0 （）
式中A 是m×n矩阵，m≤n并且r（A）=m，显然A中至少有一
个m×m子矩阵B，使得r（B）=m。
基本概念
Basic Concepts
基 (basis)A中m×m子矩阵B并且有r（B）=m，则称B是线性规
划的一个基（或基矩阵basis matrix ）。当m=n时，基矩阵唯一，
当m<n时，基矩阵就可能有多个，但数目不超过
8/17/2022
制作与教学
线性规划
Linear Programming
Page 47
【例】线性规划
求所有基矩阵。
【解】约束方程的系数矩阵为2×5矩阵
容易看出r(A)=2，2阶子矩阵有C52=10个，其中第1列与第3列构成
的2阶矩阵不是一个基，基矩阵只有9个，即
基本概念
Basic Concepts 8/17/2022
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Page 48
由线性代数知，基矩阵B必为非奇异矩阵并且|B|≠0。当矩阵
B的行列式等式零即|B|=0时就不是基
当确定某一矩阵为基矩阵时，则基矩阵对应的列向量称为基
向量(basis vector)，其余列向量称为非基向量
基向量对应的变量称为基变量(basis variable)，非基向
量对应的变量称为非基变量
在上例中B2的基向量是A中的第一列和第四列，其余列向量
是非基向量，x1、x4是基变量，x2、x3、x5是非基变量。基变
量、非基变量是针对某一确定基而言的，不同的基对应的基
变量和非基变量也不同。
基本概念
Basic Concepts 8/17/2022
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Page 49
可行解(feasible solution)
满足式（）及（）的解X=（x1,x2…，xn)T 称为可行解
。
基本可行解(basis feasible solution) 若基本解是可行解则称
为是基本可行解（也称基可行解）。
例如， 与X=（0，0，0，3，2，）都是例1
的可行解。
基本解(basis solution) 对某一确定的基B，令非基变量等于零，
利用式（1.２） 解出基变量，则这组解称为基Ｂ的基
本解。
最优解(optimal solution) 满足式 （1 .1）的可行解称为最优
解，即是使得目标函数达到最大值的可行解就是最优解，
例如可行解 是例2的最优解。
非可行解(Infeasible solution) 无界解 (unbound solution)
基本概念
Basic Concepts 8/17/2022
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线性规划
Linear Programming
Page 50
显然，只要基本解中的基变量的解满足式（1.３）的非负要求，
那么这个基本解就是基本可行解。
在例中，对Ｂ
１
来说，x1,x2是基变量，x3,x4，x5是非基变
量，令x3=x4=x5=0，则式（1.２）为
对B2来说，x1,x4,为基变量，令非变量x2,x3,x5为零，由式
（）得到 ，x4=4，
因|B1|≠０，由克莱姆法则知，x1、x2有唯一解x1＝2/5,x2=1则 基
本解为
基本概念
Basic Concepts 8/17/2022
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Page 51
由于 是基本解，从而它是基本可行解，在 中
x1<0,因此不是可行解，也就不是基本可行解。
反之，可行解不一定是基本可行解
例如 满足式（）～（），但不是
任何基矩阵的基本解。
基本解为
基本概念
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可行基 基可行解对应的基称为可行基；
最优基基本最优解对应的基称为最优基；
如上述B3就是最优基，最优基也是可行基。
当最优解唯一时，最优解亦
是基本最优解，当最优解不唯一时，
则最优解不一定是基本最优解。例
如右图中线段 的点为最优 解
时，Q1点及Q2点是基本最优解,线
段 的内点是最优解而不是基
本最优解。
基本最优解 最优解是基本解称为基本最优解。例如，满足式
（）~()是最优解,又是B3的基本解,因此它是基本最优解。
基本概念
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基本最优解、最优解、基本可行解、基本解、可行解
的关系如下所示：
基本最优解
基本可行解
可行解最 优 解
基本解
例如,B点和D点是可
行解,不是基本解;C
点是基本可行解;A点
是基本最优解,同时
也是最优解、基本可
行解、基本解和可行
解。
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凸集(Convex set)设K是n维空间的一个点集，对任意两点
时，则称K为凸集。
就是以X（1）、X（2）为端点的线
段方程，点X的位置由α的值确定，当α=0时，X=X（2），当
α=1时X=X（1）
凸组合(Convex combination) 设 是
Rn 中的点若存在
使得 成立， 则称X为 的
凸组合。
基本概念
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Page 55
极点(Extreme point) 设K是凸集， ，若X不能用
K中两个不同的 点 的凸组合表示为
< )10()1( )2()1( <-+= aaa XXX
则称X是K的一个极点或顶点。
X是凸集K的极点即X不可能
是K中某一线段的内点，只
能是K中某一线段的端点。
O
基本概念
Basic Concepts 8/17/2022
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Linear Programming
Page 56
【定理】 若线性规划可行解K非空,则K是凸集。
【定理】线性规划的可行解集合K的点X是极点的
充要条件为X是基本可行解。
【定理】若线性规划有最优解,则最优值一定
可以在可行解集合的某个极点上到达,最优解就
是极点的坐标向量。
定理刻划了可行解集的极点与基本可行解的对应
关系，极点是基本可行解，反之，基本可行解一定
是极点，但它们并非一一 对应 ，有可能两个或几
个基本可行解对应于同一极点（退化基本可行解时）。
线性规划的基本定理
基本概念
Basic Concepts 8/17/2022
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线性规划
Linear Programming
Page 57
定理描述了最优解在可行解集中的位置，若最
优解唯一，则最优解只能在某一极点上达到，若具有
多重最优解，则最优解是某些极点的凸组合，从而最
优解是可行解集的极点或界点，不可能是可行解集的
内点 。
若线性规划的可行解集非空且有界，则一定有最
优解；若可行解集无界，则线性规划可能有最优解，
也可能没有最优解。
定理及还给了我们一个启示，寻求最优解不
是在无限个可行解中去找，而是在有限个基本可行解
中去寻求。下一节将介绍一种有效地寻找最优解的方
法。
基本概念
Basic Concepts 8/17/2022
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线性规划
Linear Programming
Page 58
1. 线性规划常用的概念：可行解、基本解、基本
可行解、最优解、基本最优解、基、可行基、最
优基、凸集、极点（凸点）、凸组合
2.线性规划的三个基本定理。
作业：P34 T 9
基本概念
Basic Concepts
下一节：单纯形法
8/17/2022
单纯形法
Simplex Method
8/17/2022
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Linear Programming
Page 60
单纯形计算方法(Simplex Method)是先求出一个初始基可
行解并判断它是否最优，若不是最优，再换一个基可行解并判
断，直到得出最优解或无最优解。它是一种逐步逼近最优解的
迭代方法。
当系数矩阵A中可以观察得到一个可行基时（通常是一个单
位矩阵或m个线性无关的单位向量组成的矩阵），可以通过解线
性方程组求得基本可行解。
【例】用单纯形法求下列线性规划的最优解
单纯形法
Simplex Method
普通单纯形法
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【解】化为标准型，加入松驰变量x3、x4则标准型为
系数矩阵A及可行基B1
r(B1)=2，B1是一个初始基,x3、x4为基变量，x1、x2
为非基变量，令x1=0、x2=0由约束方程知x3=40、
x4=30得到初始基本可行解
X(1)=(0,0,40,30)T
单纯形法
Simplex Method 8/17/2022
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以上得到的一组基可行解是不是最优解，可以从目标函数中的
系数看出。目标函数 Z=3x1+4x2中x1的系数大于零，如果x1为一
正数，则Z的值就会增大，同样若x2不为零为一正数，也能使Z
的值增大；因此只要目标函数中非基变量的系数大于零，那么
目标函数就没有达到最大值，即没有找到最优解，判别线性规
划问题是否达到最优解的数称为检验数，记作λj , j=1,2…,n。
本例中λ1=3,λ2=4,λ3=0,λ4=0。参看表（a）。
最优解判断标准 当所有检验数λj≤0（j=1，…，n）时，
基本可行解为最优解。
当目标函数中有基变量xi时，利用约束条件将目标
函数中的xi消去即可求出检验数。
单纯形法
Simplex Method
检验数 目标函数用非基变量表达时的变量系数
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进基列 出
基
行
bi /ai2，
ai2>0
θi
表1-4
(1
)
XB x1 x2 x3 x4 b
x3 2 1 1 0 40
x4 1 3 0 1 30
λj 3 4 0 0
(2
)
x3
x2
λj
(3
)
x1
x2
λj
基变量
1
10
0
0
1/3 0 1/3 10
5/3 1 -1/3
40
5/3 0 -4/3
30
1 0 3/5 -1/5 18
0 1 -1/5 2/5 4
0 0 -1 -1
将3化为1
乘
以
1/3
后
得
到
单纯形法
Simplex Method
30 18
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Linear Programming
Page 64
最优解X=(18，4，0，0)T，最优值Z=70
O
20 30
10
40
(3,4)
X(3)
=(18,4)
最优解X=(18,4)
最优值Z=70
X(1)=(0,0)
20
10
x2
x1
30
单纯形法
Simplex Method
X(2)=(0,10)
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Page 65
单纯形法全过程的计算，可以用列表的方法计算更为简洁，
这种表格称为单纯形表（表）。
计算步骤：
1.求初始基可行解，列出初始单纯形表，求出检验数。其中
基变量的检验数必为零；
2.判断：
（a）若λj≤０（j＝１，２，…，n）得到最解；
（b）某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规划具有无
界解(见例)。
（c）若存在λk>0且aik (i=1,…,m)不全非正，则进行换基；
单纯形法
Simplex Method 8/17/2022
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第Ｌ个比值最小 ，选最小比值对应行的基变量为出基变量，若
有相同最小比值，则任选一个。aLk为主元素；
(c）求新的基可行解：用初等行变换方法将aLk 化为１,k列
其它元素化为零（包括检验数行）得到新的可行基及基本可
行解，再判断是否得到最优解。
（b）选出基变量 ，求最小比值：
单纯形法
Simplex Method
3.换基：
（a）选进基变量
设λk=max｛ λj | λj >0｝,xk为进基变量
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Page 67
【例】 用单纯形法求解
【解】将数学模型化为标准形式：
不难看出x4、x5可作为初始基变量，单纯法计算结果如表
1.５所示 。
单纯形法
Simplex Method 8/17/2022
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Linear Programming
Page 68
Cj 1 2 1 0 0
b θ
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 2 －3 2 1 0 15
0 x5 1/3 1 5 0 1 20
λj 1 2 1 0 0
0 x4
2 x2
λj
1 x1
2 x2
λj
表1－5
1/3 1 5 0 1 20
3 0 17 1 3 75
1/3 0 －9 0 －2
M
20
25
60
1 0 17/3 1/3 1 25
0 1 28/9 －1/9 2/3 35/3
0 0 －98/9 －1/9 －7/3
最优解X=(25，35/3，0，0，0)T，最优值Z=145/3
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Linear Programming
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【例】用单纯形法求解
【解】 这是一个极小化的线性规划问题,可以将其化为极大化问题
求解,也可以直接求解,这时判断标准是：λj≥0(j=1，…，n)时得到
最优解。
容易观察到,系数矩阵中有一个3阶单位矩阵,x3、x4、x5为基变量。
目标函数中含有基变量x4,由第二个约束得到x4=6+x1－x2，并代入
目标函数消去x4得
单纯形法
Simplex Method 8/17/2022
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Page 70
XB x1 x2 x3 x4 x5 b θ
x3
x4
x5
1
-1
6
[1]
1
2
1
0
0
0
1
0
0
0
1
5→
6
21
5
6
21/2
λj 1 -1↑ 0 0 0
x2
x4
x5
1
-2
4
1
0
0
1
-1
-2
0
1
0
0
0
1
5
1
11
λj 2 0 1 0 0
表中λj≥0,j=1,2,…,5所以最优解为X=(0,5,0,1,11,)最优值
Z=2x1－2x2－x4=－2×5－1=－11
极小值问题,注意判断标准,选进基变量时,应选λj<0的变量xj进基。
单纯形法
Simplex Method
表
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【例】求解线性规划
【解】化为标准型
单纯形法
Simplex Method 8/17/2022
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Page 72
初始单纯形表为
XB x1 x2 x3 x4 b
x3
x4
3
2
－2
－1
1
0
0
1
1
4
λj －1 1 0 0
λ2=1>0, x2进基，而a12<0，a22<0，没有比值，从而线性规划的最
优解无界。由模型可以看出，当固定x1使x2→+∞且满足约束条
件，还可以用图解法看出具有无界解。
单纯形法
Simplex Method 8/17/2022
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【例】求解线性规划
【解】:化为标准型后用单纯形法计算如下表所示
单纯形法
Simplex Method 8/17/2022
XXBB xx11 xx22 xx33 xx44 xx55 bb θθ
(1)(1)
xx33
xx44
xx55
－－11
11
11
[2][2]
22
－－11
11
00
00
00
11
00
00
00
11
4→4→
1010
22
22
55
——
λλjj 22 4↑4↑ 00 00 00
(2)(2)
xx22
xx44
xx55
－－1/21/2
[2][2]
1/21/2
11
00
00
1/21/2
－－11
1/21/2
00
11
00
00
00
11
22
6→6→
44
——
33
88
λλjj 4↑4↑ 00 －－22 00 00
(3)(3)
xx22
xx11
xx55
00
11
00
11
00
00
1/41/4
－－1/21/2
[3/4][3/4]
1/41/4
1/21/2
－－1/41/4
00
00
11
7/27/2
33
5/2→5/2→
1414
——
10/310/3
λλjj 00 00 0↑0↑ －－22 00
(4)(4)
xx22
xx11
xx33
00
11
00
11
00
00
00
00
11
1/31/3
1/31/3
－－1/31/3
－－1/31/3
2/32/3
4/34/3
8/38/3
14/314/3
10/310/3
λλjj 00 00 00 －－22 00
8/17/2022
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线性规划
Linear Programming
Page 75
表 (3)中λj全部非正,则最优解为:
表 (3)表明,非基变量x3的检验数λ3=0, x3若增加,目标函数值不
变, 即当x3进基时Z仍 等于20。使x3进基 x5出基继续迭代 ,得到
表(4)的另一 基本最优解
X(1),X(2)是线性规划的两个最优解，它的凸组合
仍是最优解，从而原线性规划有多重最优解。
单纯形法
Simplex Method 8/17/2022
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Page 76
唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数
非零,则线规划具有唯一最优解 。
多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为
零,则线则性规划具有多重最优解。
无界解的判断: 某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线
性规划具有无界解
退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可
行解。
单纯形法
Simplex Method 8/17/2022
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线性规划
Linear Programming
Page 77
在实际问题中有些模型并不含有单位矩阵，为了得到一组基向
量和初基可行解，在约束条件的等式左端加一组虚拟变量，得
到一组基变量。这种人为加的变量称为人工变量，构成的可行
基称为人工基，用大M法或两阶段法求解，这种用人工变量作
桥梁的求解方法称为人工变量法。
【例】用大M法解 下列线性规划
1. 大M 单纯形法
大M和两阶段单纯形法
单纯形法
Simplex Method 8/17/2022
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线性规划
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Page 78
【解】首先将数学模型化为标准形式
式中x4，x5为松弛变量，x5可作为
一个基变量，第一、三约束中分
别加入人工变量x6、x7，目标函数
中加入―Mx6―Mx7一项，得到人工
变量单纯形法数学模型
用前面介绍的单纯形法求
解，见下表。
单纯形法
Simplex Method 8/17/2022
CCjj 33 22 －－11 00 00 －－MM －－MM bb
CCBB XXBB xx11 xx22 xx33 xx44 xx55 xx66 xx77
－－MM
00
－－MM
xx66
xx55
xx77
－－44
11
22
33
－－11
－－22
11
22
[1][1]
－－11
00
00
00
11
00
11
00
00
00
00
11
44
1010
1→1→
λλjj 3-2M3-2M 2+M2+M -1+2M↑-1+2M↑ －－MM 00 00 00
－－MM
00
－－11
xx66
xx55
xx33
－－66
－－33
22
[5][5]
33
－－22
00
00
11
－－11
00
00
00
11
00
11
00
00
3→3→
88
11
λλjj 5-6M5-6M 5M↑5M↑ 00 －－MM 00 00
22
00
－－11
xx22
xx55
xx33
－－6/56/5
[3/5][3/5]
－－2/52/5
11
00
00
00
00
11
－－1/51/5
3/53/5
－－2/52/5
00
11
00
3/53/5
31/5→31/5→
11/511/5
λλjj 5↑5↑ 00 00 00 00
22
33
－－11
xx22
xx11
xx33
00
11
00
11
00
00
00
00
11
11
11
00
22
5/35/3
2/32/3
1313
31/331/3
19/319/3
λλjj 00 00 00 －－55 -25/3-25/3
8/17/2022
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Linear Programming
Page 80
（1）初始表中的检验数有两种算法，第一种算法是利用第一、
三约束将x6、x7的表达式代入目标涵数消去x6和x7，得到用非基
变量表达的目标函数，其系数就是检验数；第二种算法是利用
公式计算，如
（2）M是一个很大的抽象的数，不需要给出具体的数值，可以
理解为它能大于给定的任何一个确定数值；
最优解X＝（31/3，13，19/3，0，0)T；最优值Z＝152/3
注意：
单纯形法
Simplex Method 8/17/2022
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Page 81
【例】求解线性规划
【解】加入松驰变量x3、x4化为标准型
在第二个方程中加入人工变量x5，目标函数中加上M x5一项，
得到
单纯形法
Simplex Method 8/17/2022
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Page 82
用单纯形法计算如下表所示。
Cj 5 －8 0 0 M b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
0
M
x3
x5
[3]
1
1
－2
1
0
0
－1
0
1
6→
4
λj 5－M↑ －8+2M 0 M 0
5
M
x1
x5
1
0
1/3
－7/3
1/3
－1/3
0
－1
0
1
2
2
λj 0 －29/3+7/3M －5/3+1/3M M 0
单纯形法
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表中λj≥0，j=1，2，…，5，从而得到最优解X=（2，0，0，0
，2）， Z=10+2M。但最优解中含有人工变量x5≠0说明这个解
是伪最优解，是不可行的，因此原问题无可行解。
两阶段单纯形法与大M单纯形法的目的类似，将人工变量从基
变量中换出，以求出原问题的初始基本可行解。将问题分成两
个阶段求解，第一阶段的目标函数是
约束条件是加入人工变量后的约束方程，当第一阶段的最优解
中没有人工变量作基变量时，得到原线性规划的一个基本可行
解，第二阶段就以此为基础对原目标函数求最优解。当第一阶
段的最优解w≠0时，说明还有不为零的人工变量是基变量，则原
问题无可行解。
单纯形法
Simplex Method
2. 两阶段单纯形法
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Page 84
【例】用两阶段单纯形法求解例19的线性规划。
【解】标准型为
在第一、三约束方程中加入人工变量x6、x7后，第一阶段问题为
用单纯形法求解，得到第一阶段问题的计算表如下：
单纯形法
Simplex Method 8/17/2022
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Cj 0 0 0 0 0 1 1
b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
1
0
1
x6
x5
x7
－4
1
2
3
－1
－2
1
2
[1]
－1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
4
10
1→
λj 2 －1 －2↑ 1 0 0 0
1
0
0
x6
x5
x3
－6
－3
2
[5]
3
－2
0
0
1
－1
0
0
0
1
0
1
0
0
3→
8
1
λj 6 －5↑ 0 1 0 0
0
0
0
x2
x5
x3
－6/5
3/5
－2/5
1
0
0
0
0
1
－1/5
3/5
－2/5
0
1
0
3/5
31/5
11/5
λj 0 0 0 0 0
单纯形法
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线性规划
Linear Programming
Page 86
最优解为 最优值w=0。第一阶段最后一张最优表
说明找到了原问题的一组基可行解，将它作为初始基可行解，求
原问题的最优解，即第二阶段问题为
单纯形法
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线性规划
Linear Programming
Page 87
Cj 3 2 -1 0 0 b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
2
0
－1
x2
x5
x3
1
0
0
0
0
1
0
1
0
λj 5↑ 0 0 0 0
2
3
－1
x2
x1
x3
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
2 13
λj 0 0 0 －5
Cj 3 2 －1 0 0 b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
2
0
－1
x2
x5
x3
－6/5
[3/5]
－2/5
1
0
0
0
0
1
－1/5
3/5
－2/5
0
1
0
3/5
31/5 →
11/5
λj 5 ↑ 0 0 0 0
2
3
－1
x2
x1
x3
0
1
0
1
0
0
0
0
1
1
1
0
2
5/3
2/3
13
31/3
19/3
λj 0 0 0 －5 －25/3
用单纯形法计算得到下表
最优解X＝（31/3，13，19/3，0，0)T；最优值Z＝152/3
单纯形法
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【例】用两阶段法求解例的线性规划。
【解】例的第一阶段问题为
用单纯形法计算如下表：
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Cj 0 0 0 0 1 b
CB XB x1 x2 x3 x4 x5
0
1
x3
x5
[3]
1
1
－2
1
0
0
－1
0
1
6→
4
λj －1↑ 2 0 1 0
0
1
x1
x5
1
0
1/3
－7/3
1/3
－1/3
0
－1
0
1
2
2
λj 0 7/3 1/3 1 0
λj≥0,得到第一阶段的最优解X=(2,0,0,0,2)
T,最优目标值w=2≠0,x5
仍在基变量中,从而原问题无可行解。
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解的判断
唯一最优解的判断：最优表中所有非基变量的检验数非零,则线
规划具有唯一最优解
多重最优解的判断:最优表中存在非基变量的检验数为零,则
线则性规划具有多重最优解。
无界解的判断: 某个λk>0且aik≤０（i=1，2,…,m）则线性规
划具有无界解
退化基本可行解的判断:存在某个基变量为零的基本可行解。
无可行解的判断：(1)当用大M单纯形法计算得到最优解并
且存在Ri>0时，则表明原线性规划无可行解。
(2) 当第一阶段的最优值w≠0时，则原问题无可行解。
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设有线性规划
其中Am×n且r(A)=m,
X≥0应理解为X大于等于零向量，即xj≥0,j=1,2…,n。
计算公式
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不妨假设A＝（P1，P2，…，Pn）中前m个列向量构成一个可行
基，记为B=(P1，P2，…，Pm)。矩阵A中后n－m列构成的矩阵
记为N＝（Pm+1,…Pn）,则A可以写成分块矩阵A=（B，N）。对
于基 B，基变量为 XB=（ x1,x2，…， xm ） T, 非基变量为
XN=(xm+1,xm+2,…xn)T。
则X可表示成 同理将C写成分块矩阵C=（CB，CN），
CB=(C1,C2,…,Cm), CN=(Cm+1Cm+2，…，cn) 则AX=b可写成
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因为r（B）=m（或|B|≠0）所以B —1存在，因此可有
令非基变量XN=0，XB=B—1b，由 B是 可行基的假设，则得到
基本可行解 X=(B－1b，0)T
将目标函数写成
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得到下列五个计算公式： (令XN=0)
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上述公式可用下面较简单的矩阵表格运算得到，设初始矩阵
单纯形表1-15
将B化为I（I为m阶单位矩阵）,CB化为零,即求基本可行解和
检验数。用B－1左乘表中第二行,得到表1-16
XXBB XXNN bb
XXBB II BB--11NN BB--11bb
CCjj-Z-Zjj CCBB CCNN 00
XXBB XXNN bb
XXBB BB NN bb
CCjj-Z-Zjj CCBB CCNN 00
表1－15
表1－16
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再将第二行左乘－CB后加到第三行,得到
λΝ XB －Z0
XXBB XXNN bb
XXBB II BB--11NN BB--11bb
λλ＝＝CCjj--ZZjj 00 CCNN--CCBBBB－－11NN －－CCBBBB－－11bb
表1－17
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五个公式的应用
【例】线性规划
已知可行基
求(1)单纯形乘子π; (2)基可行解及目标值; (3)求λ3;
(4)B1是否是最优基,为什么;
(5)当可行基为 时求λ1及λ3。
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【解】(1)因为B1由A中第一列、第二列组成,故x1、x2为基变量，
x3、x4、x5为非基变量,有关矩阵为
CB=(c1,c2)=(1,2)
CN=(c3,c4,c5)=(1,0,0)
故单纯形乘子
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(2)基变量的解为
故基本可行解为
目标函数值为
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(3) 求λ3
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(4) 要判断B1是不是最优基,亦是要求出所有检验数则否满
足λj≤0,j=1…,5。x1,x2是基变量,
故λ1=0,λ2=0,而 剩下来求λ4,λ5，由λN计算公式得
因λj≤0, j=1,…,5,故B1是最优基。
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(5) 因B2是A中第四列与第二列组成的,x4、x2是基变量x1、
x3、x5是非基变量,这时有
即
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【例】求解线性规划
解 用大M单纯形法，加入人工变量x4、x5，构造数学模型
退化与循环
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CCjj 11 22 11 MM MM bb θθ
CCBB XXBB xx11 xx22 xx33 xx44 xx55
(1)(1) MM
MM
xx44
xx55
11
44
－－22
－－99
[4][4]
1414
11
00
00
11
4→4→
1616
11
8/78/7
λ λjj 11－－5M5M 2+11M2+11M 11－－18M↑18M↑ 00 00
(2)(2) 11
MM
xx33
xx55
[1/4][1/4]
1/21/2
－－1/21/2
－－22
11
00
1/41/4
－－7/27/2
00
11
1→1→
22
44
44
λ λjj 3/43/4－－1/2M↑1/2M↑ 5/2+2M5/2+2M 00 －－1/4+9/2M1/4+9/2M 00
(3)(3) 11
MM
xx11
xx55
11
00
－－22
[[－－1]1]
44
－－22
11
－－44
00
11
44
0→0→
λ λjj 00 4+M↑4+M↑ －－3+2M3+2M －－1+5M1+5M 00
(4)(4) 11
22
xx11
xx22
11
00
00
11
88
[2][2]
99
44
－－22
－－11
44
0→0→
λ λjj 00 00 －－11↑11↑ MM－－1717 MM－－44
(5)(5) 11
11
xx11
xx33
11
00
－－44
1/21/2
00
11
11
22
22
－－1/21/2
44
00
λ λjj 00 15/215/2 00 MM－－1717 MM－－3/23/2
表1－18
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单纯形法迭代对于大多数退化解时是有效的，很少出现不收敛
的情形．1955年Beale提出了一个用单纯形法计算失效的模型
加入松弛变量后用单纯形法计算并且按字典序方法（按变量下
标顺序）选进基变量，迭代6次后又回到初始表，继续迭代出现
了无穷的循环，永远得不到最优解．但该模型的最优解为
X＝(1，0，1，0)T，Z＝－5/4．
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单纯形法
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1.将问题化为标准型，寻找一个初始可行基，化为典式，列出初
始单纯性表；
2.判断基本可行解。有3种情形：①已是最优解，②是无界解，③
不能确定。
前2种情形计算结束，第3种情形需要继续迭代，先进基后出
基，初等变换求下一个基本可行解，直到出现最优解或无界解为
止。
3.人工变量是过度变量，当原问题有可行解时，人工变量最终会
退出基变量。如果原问题没有可行解，人工变量就不会退出基
变量。
4.处理人工变量的方法有两种，无论哪一种结果都是一样。
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Page 107
The End of Chapter 1
作业：P35 T 10～17
5.本节的5个公式是单纯形法的基本公式
6.只要已知基矩阵，利用公式就能计算我们所需要的结果
7.应用公式时注意数据的来源，即给定基矩阵B和CB、CN、N、b都
是标准型的数据，而λ、Z0、π、 是通过公式计算的结果。
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部分习题答案
8/17/2022
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习题(5)
(1)
(2)
(3)
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Page 110
习题(6)
(1)
(2)
(3)
8/17/2022
