布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型.pdf

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金融工程 布莱克 -舒尔斯 -默顿期权定价模型 目录 BSM 期权定价模型的基本思路 股票价格的变化过程 BSM 期权定价公式 BSM 期权定价公式的精确度评价与拓展 2 目录 BSM 期权定价模型的基本思路 股票价格的变化过程 BSM 期权定价公式 BSM 期权定价公式的精确度评价与拓展 3 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 基本思路 1. 股票价格服从的随机过程 2. 由 Itô-Doeblin引理可得期权价格相应服从的随机过程 3. BSM微分方程 4. BSM期权定价公式（以看涨为例） 4  m st t t tdS S dt S dz               2 2 2 2 1 2 m s st t t t t f f f f df S S dt S dz S t S S          2 2 2 2 1 2 st t t f f f rS S rf t S S        1 2 r T t t tc S N d Xe N d Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 目录 BSM 期权定价模型的基本思路 股票价格的变化过程 BSM 期权定价公式 BSM 期权定价公式的精确度评价与拓展 5 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 标准布朗运动（维纳过程） 布朗运动（ Brownian Motion ）起源于英国植 物学家布郎对水杯中的花粉粒子的运动轨迹的 描述 标准布朗运动的四大特征： 初值为零 连续 独立增量：对于任何两个不同时间间隔 Δt ， Δz 的 值相互独立 独立同分布：增量均服从均值零、方差等于时间长 度的正态分布 6 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 标准布朗运动的的性质 标准布朗运动的简易表达式： dzt = εt ， εt 服从标准正态分布 也服从正态分布 均值等于 0 方差等于 T − t 标准差等于 方差可加性     1 e D n T t i i Z Z t T tZ Z T t 7 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 为何使用标准布朗运动？ 正态分布：经验事实证明，股票价格的连续复利 收益率近似地服从正态分布 数学上可以证明，维纳过程是一个马尔可夫随机 过程，从而与弱式 EMH 相符。 维纳过程在数学上对时间处处不可导和二次变分 （Quadratic Variation ）不为零的性质，与股票收 益率在时间上存在转折尖点等性质也是相符的 8 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 50ETF：20050224－20150525 9 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 沪深300：20020107－20150525 10 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 市场有效理论与随机过程 11 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 普通布朗运动 遵循普通布朗运动的变量 x 是关于时间和 dz的动 态过程，a和b为时间t的确定性函数 或者 adt为确定项，漂移率 a 意味着每单位时间内 x 漂移 a ； bdz是随机项，代表着对 xt的时间趋势过程所添加的噪 音，使变量 xt围绕着确定趋势上下随机波动，且这种噪 音是由维纳过程的 b 倍给出的，b2称为方差率，b 称为 波动率。 12     t tdx a t dt b t dz        t t t sx x a s ds b s dz0 0 0 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 对普通布朗运动的理解 普通布朗运动的离差形式为 Δx 具有正态分布特征，其均值为 ，标准差为 ，方差为 在任意时间长度 T 后 x 值的变化也具有正态分布特 征，其均值为 aT，标准差为 ，方差为 。 标准布朗运动为普通布朗运动的特例。 13 eD D Dx a t b t  Da t D b t 2Dtb b T 2b T Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 扩散过程（diffusion process） 扩散过程 其中 和 为xt和t的确定性函数 14         , , , ,      0 0 0 t t t t t t t s s s dx a x t dt b x t dz x x a x s ds b x s dz  ,ta x t  ,tb x t Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 伊藤过程（ Itô Process ） 伊藤过程 其中， 是一个标准布朗运动， a 、 b 是满足 一定正则性条件的任意函数或随机过程 15 dz      0 0 0 t t t t t t t s s s dx a dt b dz x x a ds b dz 2 0 0 , t t s s a ds b ds é ù < ¥ <¥ê ú ê úë û ò ò Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 几何布朗运动（ Geometric Brownian Motion ） 几何布朗运动 其中 μ 和 σ均为常数 一般用几何布朗运动描述股票价格的随机过程 可以避免股票价格为负从而与有限责任相矛盾的问 题 几何布朗运动意味着股票连续复利收益率服从正态 分布，这与实际较为吻合 16  m st t t tdS S dt S dz Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 单变量Itô-Doeblin Lemma 若变量 x遵循伊藤过程， 则变量 x和 t的函数G 将遵循如下过程： 前提条件是上述导数都存在并连续。其中， dzt是一个标准布朗运动。 17               2 2 2 1 2 t t t t t G G G G dG a b dt b dz x t x x  t t t tdx a dt b dz Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 证明（1）泰勒展开 G 的泰勒展开式为： 18                   2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 D D D D D D D t t t t G G G G x t x x t x G G x t t x t t Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU （2）忽略比 Δt 高阶的项 在常微分中，我们得到 在随机微分中，我们得到： 其中，最后一项的阶数为 Δt 19       D D Dt t G G G x t x t          2 2 2 1 2 D D D Dt t t G G G G x t x x t x Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU （3）将 Δx 代入 将 代入最后一项，并忽略比 Δt 高阶的项，则 由于 而 的方差和 同阶，可以忽略，因此有 20 x a t b teD D D           2 2 2 2 1 2 eD D D Dt t t G G G G x t b t x t x             ~ , , , , E E E E E t t e j e e e e e D D        22 2 2 0 1 0 1 1因此          2 2 2 1 2 D D D Dt t t G G G G x t b t x t x 2 t  2t Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU （4）取极限 取极限 代入 可得 21          2 2 2 1 2 t t t G G G dG dx dt b dt x t x  t t t tdx a dt b dz               2 2 2 1 2 t t t t t G G G G dG a b dt b dz x t x x Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU Itô-Doeblin引理的运用 如果我们知道 xt遵循的伊藤过程，通过Itô- Doeblin引理可以推导出G(x, t) 遵循的随机过程 由于衍生产品价格是标的资产价格和时间的函 数，因此Itô-Doeblin引理在衍生产品分析中扮 演重要角色 22 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 应用1：衍生品价格所服从的随机过程 当股票价格服从几何布朗运动 根据Itô-Doeblin引理 衍生证券价格G 和股票价格 S 都受同一个不确 定性来源 的影响 23  m st t t tdS S dt S dz               2 2 2 2 1 2 m s st t t t t G G G G dG S S dt S dz S t S S Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 应用2： F 所遵循的随机过程 假设变量 S 服从几何布朗运动，r为常数 由于 ，则 运用Itô-Doeblin引理可得 r为常数时，远期（期货）价格的漂移率比标的资 产小 r。 24  m st t t tdS Sdt Sdz   r T tt tF S e   , ,           2 2 0r T t t F F F e rF S S t    m st t t tdF r Fdt Fdz Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 应用3： ln St所遵循的随机过程 假设变量 St服从几何布朗运动 令 ，则 运用伊藤引理可得 所遵循的随机过程为 说明连续复利收益率 服从期望值 方 差为 的正态分布 注意： 25  m st t t tdS S dt S dz lnt tG S , ,           2 2 2 1 1 0 t t G G G S S S S t lnt tG S ln          2 2 s m st t tdG d S dt dz ln td S dt s m       2 2 dts2 ln  tt t dS d S S Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 为何采用几何布朗运动？ （1）股票连续复利收益率服从正态分布。 T − t 期间的连续复利收益率可以表示为（注意未年化） 该随机变量 ηt服从正态分布 σ是股票连续复利收益率的年化标准差，也被称为股票 价格对数的波动率（ Volatility ） 26 ln ln ht T tS S  ~ ,            2 2 s h j m st T t T t Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 股票价格的对数服从普通布朗运动，特定时刻的股 票价格服从对数正态分布。 μ 是 Δt 时间内股票价格百分比的年化预期收益率。 （2）在几何布朗运动下St是非负的，符合有限责 任原则 27               ln ln ~ , ln ~ ln ,                                  2 2 2 22 2 2 1 m m s s j m s s j m s T t T t T t T t T t T t T t S S T t T t S S T t T t E S S e Var S S e e Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 举例：几何布朗运动下股票价格的概率分布 设 A 股票的当前价格为 50 元，预期收益率为 每年18% ，波动率为每年 20% ，假设该股票价 格遵循几何布朗运动且该股票在 6 个月内不付 红利。 请问该股票 6 个月后的价格ST的概率分布如何 ？A 股票在 6 个月后股票价格的期望值和标准 差分别是多少？ 28 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU St = 50, μ = , σ = , T − t = 年 因此 6 个月后ST的概率分布为 即 29 . ln ~ ln . . , . . 0 04 50 0 18 0 5 0 2 0 5 2 FTS            ln F~ , Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 由于一个正态分布变量取值位于均值左右 个标准差范围内的概率为 95% ，因此，置信度 为 95% 时， 因此， 6 个月 A 股票价格落在 元到 元之间的概率为 95% 。 30 . ln . . .     T T S S 3 72 4 27 41 09 71 41 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 半年后，A 股票价格的期望值为 元，标 准差为 或 。 31       . . . . . . . . 0 18 0 5 2 0 18 0 5 0 04 0 5 50 54 71 2500 1 60 46 T T E S e Var S e e           Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 百分比收益率与对数收益率 短时间内 几何布朗运动只意味着短时间内的股票价格百 分比收益率服从正态分布，长期间内股价百分 比收益率正态分布的性质不再存在，但连续复 利收益率始终服从正态分布。   d md se dt t t S t t S 32 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 1900－2000主要国家股指实际收益率 33 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 预期收益率 μ 为 Δt 时间内股票的年化百分比期望收益率，股 票的期望连续复利收益率 。 根据CAPM，现实测度下的 取决于该证券的系统 性风险、无风险利率水平、以及市场的风险收益 偏好。由于后者涉及主观因素，因此其决定本身 就非常复杂。 幸运的是，在无套利条件下，衍生证券的定价与 标的资产的预期收益率是无关的。 34 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 波动率 σ 证券价格对数的年波动率，是股票价格对数收 益率的年化标准差（所有参数都是年化的） 历史标准差波动率：从历史的证券价格数据中 计算出样本对数收益率的标准差，再对时间标 准化，得到年标准差，即为波动率的一种常见 估计值。 在计算中，一般情况下时间距离计算时越近越 好；但时间窗口也不宜太短；一般采用交易天 数计算波动率而不采用日历天数。 35  ~ ,T t T tsh j m s            2 2 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 目录 BSM 期权定价模型的基本思路 股票价格的变化过程 BSM 期权定价公式 BSM 期权定价公式的精确度评价与拓展 36 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 假设 不存在无风险套利机会 允许卖空标的证券 没有交易费用和税收 证券交易是连续的，价格变动也是连续的 所有证券都完全可分 证券价格遵循几何布朗运动，即 μ 和 σ为常数 衍生证券有效期内，无风险利率 r 为常数 衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 37 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU BSM偏微分分程的推导 由于假设股票价格 S 遵循几何布朗运动，因此 在一个小的时间间隔 Δt 中， S 的变化值 ΔSt为 38  m st t t tdS S dt S dz  m sD D Dt t t tS S t S z Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 设 f 是依赖于 S 的衍生证券的价格，则 f 一定是 S 和t 的函数，根据伊藤引理可得： 在一个小的时间间隔 Δt 中， f 的变化值 Δf 满足： 39               2 2 2 2 1 2 m s st t t t t f f f f df S S dt S dz S t S S               2 2 2 2 1 2 m s sD D Dt t t t t f f f f f S S t S z S t S S Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 为了消除风险源 Δzt，可以构建一个包括一单 位衍生证券空头和 单位标的证券多头的组 合。 令Π代表该投资组合的价值，则： 在 Δt 时间后，该投资组合的价值变化 ΔΠt为 40 f S        Pt t t f f S S      DP D Dt t t f f S S Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 代入 Δf 和 ΔS 可得 由于消除了风险，组合Π必须获得无风险收益， 即 41          2 2 2 2 1 2 sDP Dt t f f S t t S DP PDt tr t Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 因此 化简可得： 这就是著名的 BSM偏微分分程，它适用于其 价格取决于标的证券价格 S 的所有衍生证券的 定价。 42              2 2 2 2 1 2 s D Dt t t f f f S t r f S t t S S          2 2 2 2 1 2 st t t f f f rS S rf t S S Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 风险中性定价原理 观察 BSM偏微分方程可以发现，受制于主观 的风险收益偏好的标的证券预期收益率并未包 括在衍生证券的价值决定公式中。这意味着， 无论风险收益偏好状态如何，都不会对 f 的值 产生影响。 因此我们可以作出一个可以大大简化我们工作 的假设：在对衍生证券定价时，所有投资者都 是风险中性的。 43 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 风险中性世界  投资者只关心资产的预期回报（Expected Payoff），而不关心该回报的风险。这样预期 回报相等的资产，其目前的价格都相等。  对于到期回报为1的贴现式债券而言  则对于到期预期回报为 的资产而言，其 价格为 44 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 在所有投资者都是风险中性的条件下（有时我 们称之为进入了一个“风险中性世界”）： 所有可交易资产的百分比预期收益率都等于无风险 利率 r，因为风险中性的投资者并不需要额外的收 益来吸引他们承担风险。 未来现金流的期望值都应该使用无风险利率进行贴 现。 这就是风险中性定价原理。 45 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 风险中性世界中可交易资产的随机过程 如果某种可交易资产的价格在现实世界中的随 机过程为 则在风险中性世界中其遵循： 根据伊藤引理，其远期合约的价值在风险中性 世界中遵循 46  m st t t dS dt dz S   st t t dS rdt dz S  st t t tdf rf dt S dz Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 例子：理解风险中性定价 股票无红利，3个月期行权价的欧式看涨期权 无风险利率10% 构建一个由 1 单位看涨期权空头和Δ 单位的标的 股票多头组成的组合 47 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 理解风险中性定价 可以看出，在确定期权价值时，我们并不需要 知道股票价格在真实世界中上涨到 11 元的概 率和下降到 9 元的概率。也就是说，我们并不 需要了解真实世界中股票未来价格的期望值， 而期望值的确定正与投资者的主观风险偏好相 联系。 因此我们可以在假设风险中性的前提下为期权 定价。 48 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 投资者厌恶风险程度、股票的预期收益率和股 票升跌概率之间的联系： 在风险中性世界中，无风险利率为 10% ，则股票上 升的概率 P 为： 如果在现实世界中股票的预期收益率为 15% ，则股 票的上升概率为： 49  . . . %e P P P         0 1 0 2510 11 9 1 62 66  . . . %e P P P         0 15 0 2510 11 9 1 69 11 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 无收益资产欧式看涨期权定价公式 在风险中性世界中，无收益资产欧式看涨期权 到期时(T 时刻)的期望值为： 其中， 表示风险中性条件下的条件期望值。 相应地欧式看涨期权的价格 c 等于 50 ˆ tE  ˆ max ,  0t TE S X    ˆ max ,    0 r T t t t Tc e E S X Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 由于在风险中性世界中 51  ln ~ ln ,             2 2 s j sT tS S r T t T t Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 积分可得 其中 52        1 2 r T t t tc S N d Xe N d             ln / / ln / /              2 1 2 2 1 2 2 s s s s s t t S X r T t d T t S X r T t d d T t T t Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU BSM 期权定价公式的推导 由于 和 令 53    ˆ max ,    0 r T t t t Tc e E S X  ln ~ ln ,             2 2 s j sT tS S r T t T t ln   TT S m W s Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 其中 显然 即随机变量WT的密度函数 h(WT) 为 54       ˆ ln ln ln              2 2 s s T t T m E S S r T t s Var S T t  ~ ,0 1TW N     2 2 1 2p TW Th W e Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 55                             ln ln ln ln ln ln ln ln ˆ max , max ln ln ln lnT t T T T T T T T T TX X S sW m X m X mT T T T T T T TX X s s W sW s msW m X m X m X mT T T T s s s E S X S X f S dS S f S dS Xf S dS e g S d S Xg S d S e h W dW Xh W dW e e dW Xh W d W e e dW p p 22 2 2 2 2 0 1 1 2 2                                                      ln ln * ln ln ln ˆ s m X m T Ts s t t t T m X XN s S r T t X e h W dW XN T t S S r T t r T t X X E S N XN T t T t s s s s s s 2 2 2 2 2 2 2 2                                                                      Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 理解BSM定价公式I 我们可以用股票和负债复制期权。 可以证明， 是构造无风险组合Π时的 Δ ，是复制投资组合中股票的数量， 就是股票的市值 而 则是复制交易策略中负债的价值。 由于主要参数都是时变的，因此这种复制策略是动态 复制策略，必须不断调整相关头寸数量。 56   fN d S   1 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 理解 II 从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可以 分拆成或有资产看涨期权（ Asset-or-nothing Call Option ）多头和X 份或有现金看涨期权 （ Cash-or-nothing Call Option ）空头之和 57 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 理解 III 是在风险中性测度下 的概率，即欧式看涨期权被 执行的概率，因此 可以看成预期执行期权所需 支付的现值。 而 则是在风险中性测度下，一个如果 就等于 否则就等于 0 的一个变量的期望值， 则是这个值 的贴现值，可以看成期权持有者预期执行期权所得收入的 现值。 是在以股票作为记账单位的风险中性世界里 大 于X的概率。 因此整个看涨期权定价公式就是在风险中性测度下期权未 来期望回报的现值。 58        ˆ 1 1 r T t t t Te S N d E S N d Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 理解IV 给定期权的市场价格，我们可利用BSM公式倒 推期权隐含波动率 波动率微笑 波动率期限结构 波动率曲面 59 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 波动率微笑 - 60 - Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 波动率期限结构 隐含波动率与期限的关系 黄金期货期权波动率期限结构（） 61 13 14 15 16 17 18 2013年11月 2014年6月 2014年12月 2015年7月 2016年1月 2016年8月 2017年3月 2017年9月 2018年4月 2018年10月 2019年5月 2019年12月 C P Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 隐含波动率曲面 - 62 - 在值程度 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 欧式平价看涨期权的定价公式 欧式平价看涨期权 63 ( ) ( ) 3 5 2 1 2 2 2 / 2 / 21 1 2 1 2 2 6 402 2 c T t T t T t N N N S T t T tT t T t T t s s s s ss p s s p æ ö æ ö æ ö- - -÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= - - = -ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç çè ø è ø è ø é ùæ ö÷ç - -ê ú÷-ç ÷ê úç» + - + - + ÷ç ÷ê úç ÷÷çê ú÷çè øë û - » » -   － Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 平价期权 c/S与波动率与期限的关系 64 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 无收益资产欧式看跌期权定价公式 根据 PCP 可得 对于平价期权，c=p 65          2 1 r T t t tp Xe N d S N d Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 无收益资产美式看涨期权定价公式 在标的资产无收益情况下， C = c ，因此无收 益资产美式看涨期权的定价公式同样是： 66        1 2 r T t t tC S N d Xe N d Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 有收益资产的欧式期权定价公式 在收益已知的情况下，我们可以把标的证券的 价格分解成两部分：期权有效期内已知收益的 现值部分和一个有风险部分。在期权到期之前 ，收益现值部分将由于标的资产支付收益而消 失。 因此，只要从标的证券当前的价格 S 中消去收 益现值部分，将剩下有风险部分的证券价格作 为真正影响期权价值的标的资产价格，用 σ表 示证券价格中风险部分的波动率，就可直接套 用公式分别计算出有收益资产的欧式看涨期权 和看跌期权的价值。 67 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 当标的证券已知收益的现值为 I 时，用 (St − I) 代替 St 当标的证券的收益为按连续复利计算的固定收 益率 q（单位为年）时，用 代替 St 68 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 一般来说，期货期权、股指期权和外汇期权都 可以看作标的资产支付连续复利收益率的期权 。 欧式期货期权可以看作一个支付连续红利率为 r 的 资产的欧式期权 股指期权则是以市场平均股利支付率为收益率 外汇期权标的资产的连续红利率为该外汇在所在国 的无风险利率 69 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 有收益资产的美式看涨期权的定价 先确定提前执行美式看涨期权是否合理 若不合理，则按欧式期权方法定价 若在 提前执行可能是合理的，则要分别计算在 T 时刻和 时刻到期的欧式看涨期权的价格，然后将 二者之中的较大者作为美式期权的价格。在大多数 情况下，这种近似效果都不错。 案例 70 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 美式看跌期权的定价 美式看跌期权无论标的资产有无收益都有提前 执行的可能，而且与其对应的看涨期权也不存 在精确的平价关系，因此一般通过数值方法来 求美式看跌期权的价值。 71 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU BSM 期权定价公式的参数估计 BSM 期权定价公式中的期权价格取决于下列 五个参数：标的资产市场价格、执行价格、到 期期限、无风险利率和标的资产价格波动率 在这些参数当中，前三个都是很容易获得的确 定数值。但是无风险利率和标的资产价格波动 率则需要进行估计。 到期期限、无风险利率和波动率的时间单位必 须相同（通常为年）。 72 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 估计无风险利率 使用连续复利的即期利率 美国：国债利率；中国：银行存款利率/国债 市场即期利率 选择距离期权到期日最近的利率 73 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 估计标的资产价格的波动率 I 历史波动率 样本对数收益率标准差（案例 ） 广义自回归条件异方差模型（ Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity， GARCH ）和随机波动率模型 隐含波动率 74 Copyright © 2018 Zheng, Zhenlong & Chen, Rong，XMU 目录 BSM 期权定价模型的基本思路 股票价格的变化过程 BSM 期权定价公式 BSM 期权定价公式的精确度评价与拓展 75 BSM 期权定价公式的精确度评价 BSM 期权定价公式在定价方面存在一定偏差 ，但它依然是迄今为止解释期权价格动态的最 佳模型之一，应用广泛，影响深远。 BSM 期权定价与市场价格存在差异的主要原 因： 期权市场价格偏离均衡； 使用错误的参数； BSM 期权定价公式建立在众多假定的基础上。 76 BSM 期权定价公式的缺陷与拓展 无交易成本假设的放松 常数波动率假设的放松 参数假设的放松 资产价格连续变动假设的放松 77