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中考数学专题——全等三角形
一、思维导图
二、基础知识
知识点一:全等三角形的概念
全等图形的概念:能完全重合的两个图形叫做全等图形.
特征:①形状相同.②大小相等.③对应边相等、对应角相等.④周长、面积相等.
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全等三角形的概念:能完全重合的两个三角形叫做全等三角形.
【补充】
1)全等三角形是特殊的全等图形,同样的,判断两个三角形是否为全等三角形,主要看这两个三角形的形
状和大小是否完全相同,与它们所处的位置无关.
2)形状相同的两个图形不一定是全等图形,面积相同的两个图形也不一定是全等图形.
全等三角形的表示:全等用符号“≌”,读作“全等于”.
【补充】书写三角形全等时,要注意对应顶点字母要写在对应位置上. 如△ABC 和△DEF 全等,记作△ABC
≌△DEF,读作△ABC 全等于△DEF.
全等变换定义:只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小的变换.
常见的全等变换:平移变换、翻折变换、旋转变换,即过平移、翻折、旋转后得到的图形与原图形是全等
图形.
知识点二:全等三角形的性质与判定
全等三角形的性质:1)全等三角形的对应边相等,对应角相等.
2)全等三角形对应边上的高线相等,对应边上的中线相等,对应角的角平分线相等.
3)全等三角形的周长相等,面积相等(但周长或面积相等的三角形不一定是全等三角形).
全等三角形的判定:
1)边边边定理:有三边对应相等的两个三角形全等(可简写成“边边边”或“SSS”);
2)边角边定理:有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可简写成“边角边”或“SAS”);
【易错】
①只有两边及其夹角分别对应相等,才能判定两个三角形全等,“边边角”不能判定三角形全等;
例:
②在书写过程中,要按照边角边对应顺序书写,即对应顶点的字母写在对应的位置上.
3)角边角定理:有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角边角”或“ASA”);
4)角角边定理:有两角和它们所对的任意一边对应相等的两个三角形全等(可简写成“角角边”或“AAS”);
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5)斜边、直角边:有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可简写成“斜边、直角边”或“HL”).
【总结】从判定两个三角形全等的方法可知,要判定两个三角形全等,需要知道这两个三角形分别有三个
元素(其中至少有一个元素是边)对应相等,这样就可以利用题目中的已知边(角)准确地确定要补充的
边(角),有目的地完善三角形全等的条件,从而得到判定两个三角形全等的思路.
三、中考考点
考点一:利用全等三角形的性质求解
1.第 14届国际数学教育大会(���� − 14)会标如图 1所示,会标中心的图案来源于我国古代数学家赵
爽的“弦图”,如图 2所示的“弦图”是由四个全等的直角三角形(△ ���,△���,△ ���,△���)和
一个小正方形����拼成的大正方形����.若��:�� = 1:3,则 sin∠��� =( )
A.
5
5
B.
3
5
C.
4
5
D.
2 5
5
2.如图,在△ ���中,点�的坐标为 0,1 ,点�的坐标为 4,1 ,点�的坐标为 3,4 ,点�在第一象限(不与
点�重合),且△ ���与△ ���全等,点�的坐标是 .
3.如图 1,△ ���与△ �1�1�1满足∠� = ∠�1,�� = �1�1,�� = �1�1,∠� ≠ ∠�1,我们称这样的两个
三角形为“伪全等三角形”如图 2,在△ ���中,�� = ��,点�, �在线段��上,且�� = ��,则图中共有
“伪全等三角形”( )
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A.1 对 B.2对 C.3对 D.4对
考点二:全等三角形证明方法的合理选择
1.已知:如图,四边形����为正方形,点 E 在��的延长线上,连接��、��.
(1)求证:△ ��� ≌△ ���;
(2)若∠��� = 45°,求证:�� = ��.
2.)如图,▱����的对角线��,��相交于点�,点�,�在��上,且�� = ��.
(1)求证:�� ∥ ��;
(2)过点�作�� ⊥ ��,垂足为�,交��于点�,若△ ���的周长为 12,求四边形����的周长.
3.如图,△ ���中,∠��� = 90°,点�为��边上一点,以点�为圆心,��为半径作圆与��相切于点�,
连接��.
(1)求证:∠��� = 2∠���;
(2)若�� = 8,�� = 6,求⊙�的半径.
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考点三:利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
1.如图,Rt △ ���中,∠��� = 90°,分别以顶点 A,�为圆心,大于1
2
��的长为半径画弧,两弧分别相交
于点�和点�,作直线��分别与��,��交于点�和点�;以点 A 为圆心,任意长为半径画弧,分别交��,��
于点�和点�,再分别以点�,点�为圆心,大于1
2
��的长为半径画弧,两弧交于点�,作射线��,若射线��
恰好经过点�,则下列四个结论:①∠� = 30°;②��垂直平分线段��;③�� = 2��;④�△��� =
1
6
�△���.其
中,正确结论的个数有( )
A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个
2.如图,在菱形����中,∠��� = 60°,�为对角线的交点.将菱形����绕点�逆时针旋转 90°得到菱形
�'�'�'�',两个菱形的公共点为�,�,�,�.对八边形���'����'�给出下面四个结论:①该八边形各边长
都相等;②该八边形各内角都相等;③点�到该八边形各顶点的距离都相等;
④点�到该八边形各边所在直线的距离都相等。上述结论中,所有正确结论的序号是( )
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
3.如图,△ ���和△ ���是以点�为直角顶点的等腰直角三角形,把△ ���以�为中心顺时针旋转,点�
为射线��、��的交点.若�� = 3,�� = 1.以下结论:①�� = ��;②�� ⊥ ��;③当点�在��的延长
线上时,�� = 3− 3
2
;④在旋转过程中,当线段��最短时,△���的面积为1
2
.其中正确结论有( )
A.1 个 B.2个 C.3个 D.4个
题 1 图 题 2 图
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考点四:利用全等三角形解决实际问题
1.【实践课题】测量湖边观测点�和湖心岛上鸟类栖息点�之间的距离
【实践工具】皮尺、测角仪等测量工具
【实践活动】某班甲小组根据湖岸地形状况,在岸边选取合适的点�.测量�,�两点间的距离以及∠���
和∠���,测量三次取平均值,得到数据:�� = 60米,∠��� = 79°,∠��� = 64°.画出示意图,如图
【问题解决】(1)计算�,�两点间的距离.
(参考数据:sin64° ≈ ,sin79° ≈ ,cos79° ≈ ,sin37° ≈ ,tan37° ≈ )
【交流研讨】甲小组回班汇报后,乙小组提出了另一种方案:
如图 2,选择合适的点�,�,�,使得�,�,�在同一条直线上,且�� = ��,∠��� = ∠���,当�,�,
�在同一条直线上时,只需测量��即可.
(2)乙小组的方案用到了________.(填写正确答案的序号)
①解直角三角形 ②三角形全等
【教师评价】甲、乙两小组的方案都很好,对于实际测量,要根据现场地形状况选择可实施的方案.
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2.宜宾地标广场位于三江汇合口(如图 1,左侧是岷江,右侧是金沙江,正面是长江).某同学在数学实践
中测量长江口的宽度,他在长江口的两岸选择两个标点 C、D,在地标广场上选择两个观测点 A、B(点 A、B、
C、D 在同一水平面,且�� ∥ ��).如图 2所示,在点 A处测得点 C 在北偏西 °方向上,测得点 D 在北
偏东 °方向上;在B处测得点C在北偏西 °方向上,测得点D在北偏东 °方向上,测得�� = 100
米.求长江口的宽度��的值(结果精确到 1 米).(参考数据:° ≈ ,° ≈ ,° ≈
,° ≈ ,° ≈ ,° ≈ )
3.小亮想测量屋前池塘的宽度,他结合所学的数学知识,设计了如图 1的测量方案:先在池塘外的空地上
任取一点 O,连接��,CO,并分别延长至点 B,点 D,使�� = ��,�� = ��,连接��.
(1)如图 1,①求证:�� = ��;②若∠� = 35°,∠���=90°,则∠� =______°.
(2)如图 2,但在实际测量中,受地形条件的影响,于是小亮采取以下措施:延长 CO至点 D,使�� = ��,
过点 D作��的平行线��,延长��至点 F,连接��,测得∠��� = 120°,∠��� = 90°,�� = 5m,�� = 9m,
请求出池塘宽度��.
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考点五:全等三角形与相似三角形综合
1.如图,正方形����中,�� = 3,点 E 在边��上,�� = 2��, �是��的中点,点 H 在��边上,∠��� = 45°,
则��的长为( ).
A.
3 10
4
B.
3 5
2
C.
5 5
4
D.
2 10
3
2.如图,在四边形����中,∠� = 90°,连接��,过点�作�� ⊥ ��,垂足为�,��交��于点�,∠1 = ∠���.
(1)求证:∠2 = ∠3;
(2)若∠4 = 45°.
①请判断线段��,��的数量关系,并证明你的结论;
②若�� = 13,�� = 5,求��的长.
3.如图,在▱����中,∠���为锐角,点�在边��上,连接��, ��,且�△��� = �△���.
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(1)如图 1,若�是边��的中点,连接��,对角线��分别与��, ��相交于点�, �.
①求证:�是��的中点;
②求��: ��:��;
(2)如图 2,��的延长线与��的延长线相交于点�,连接��, ��的延长线与��相交于点�.试探究线段��
与线段��之间的数量关系,并证明你的结论.
四、重点难点
重难点一:添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线
1.【问题初探】
(1)数学课上,李老师出示了这样一个问题:如图 1,在△ ���中,�� = ��,点 F 是��上一点,点 E 是��
延长线上的一点,连接��,交��于点 D,若�� = ��,求证:�� = ��.
①如图 2,小乐同学从中点的角度,给出了如下解题思路:在线段��上截取��,使�� = ��,连接��,
利用两个三角形全等和已知条件,得出结论;
②如图 3,小亮同学从平行线的角度给出了另一种解题思路:过点 E 作�� ∥ ��交��的延长线于点 M,利用
两个三角形全等和已知条件,得出了结论;
请你选择一位同学的解题思路,写出证明过程;
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【类比分析】
(2)李老师发现两位同学的做法非常巧妙,为了让同学们更好的理解这种转化的思想方法,李老师提出了
新的问题,请你解答,
如图4,在△ ���中,点E在线段��上,D是��的中点,连接��,��,��与��相交于点N,若∠��� +∠��� =
180°,求证:�� = ��;
【学以致用】
(3)如图 5,在 Rt △ ���中,∠��� = 90°,∠� = 30°,��平分∠���,点 E 在线段��的延长线上运动,
过点 E作�� ∥ ��,交��于点 N,交��于点 D,且�� = ��,请直接写出线段��,��和��之间的数量关系.
2.【感知】(1)小明同学在学习相似三角形时遇到这样一个问题:
如图①,在△ ���中,点 D是��的中点,点 E是��的一个三等分点,且�� = 1
3
��.连结��,��交于点 G,
求
��
��
值.
小明发现,过点 D 作��的平行线或过 E作��的平行线,利用相似三角形的性质即可得到问题的答案.请你
根据小明的提示(或按自己的思路)写出求解过程
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(2)如图②,在△ ���中,D为��上一点,�� = ��,连结��,若�� ⊥ ��,交��、��于点 E、F.若�� = 9,
�� = 3,�� = 8,则��的长为 .
【拓展提高】
(3)如图③,在平行四边形����中,点 E为��的中点,点 F 为��上一点,��与��、��分别交于点 G、M,
若
��
��
= 2
5
,若△���的面积为 2,则△ ���的面积为 .
重难点二:添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线
1.如图,将正方形����先向右平移,使点 B与原点 O重合,再将所得正方形绕原点 O 顺时针方向旋转 90°,
得到四边形�'�'�'�',则点 A 的对应点�'的坐标是( )
A. −1, − 2 B. −2, − 1 C. 2,1 D. 1,2
2.数学课上,老师给出以下条件,请同学们经过小组讨论,提出探究问题.如图 1,在△ ���中,�� = ��,
点 D 是��上的一个动点,过点 D 作�� ⊥ ��于点 E,延长��交��延长线于点 F.
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请你解决下面各组提出的问题:
(1)求证:�� = ��;
(2)探究
��
��
与
��
��
的关系;
某小组探究发现,当
��
��
= 1
3
时,
��
��
= 2
3
;当
��
��
= 4
5
时,
��
��
= 8
5
.
请你继续探究:
①当
��
��
= 7
6
时,直接写出
��
��
的值;
②当
��
��
= �
�
时,猜想
��
��
的值(用含 m,n 的式子表示),并证明;
(3)拓展应用:在图 1 中,过点 F作�� ⊥ ��,垂足为点 P,连接��,得到图 2,当点 D运动到使∠��� = ∠���
时,若
��
��
= �
�
,直接写出
��
��
的值(用含 m,n 的式子表示).
3.如图,在矩形����中,�� = 4, �� = 8,点 E 是边��上的动点,连结��,以��为边作矩形����(点 D,
G在��的同侧),且�� = 2��,连结��.
(1)如图 1,当点 E 为��边的中点时,点 B,E,F在同一直线上,求��的长.
(2)如图 2,若∠��� = 30°,设��与��交于点 K.求证:�� = ��.
(3)在点 E 的运动过程中,��的长是否存在最大(小)值?若存在,求出��的最值;若不存在,请说明理
由.
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重难点三:添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
1.【发现问题】数学兴趣小组在活动时,老师提出了这样的一个问题:
如图①,在△ ���中,�� = 6,�� = 8,第三边上的中线�� = �,则�的取值范围是____.
【探究方法】小明同学通过组内合作交流,得到了如下解决方法:
(1)如图②,延长��至点�',使得��' = ��,连结�'�,根据“SAS”可以判定△ ��� ≌__________,得出
�'� = �� = 6.在△ ��'�中,�'� = 6,�� = 8,��' = 2�,故中线��的长 x 的取值范围是_______.
【活动经验】当条件中出现“中点”,“中线”等条件时,可以考虑将中线延长一倍,构造全等三角形,把
分散的已知条件和所求的问题集中到同一个三角形中,进而解决问题,这种作辅助线的方法叫做“倍长中
线”法.
【问题解决】(2)如图③,已知�� = ��,�� = ��,∠��� +∠��� = 180°,连接��和��,点�是��
的中点,连接��.求证:�� = 2��.小明发现,如图④,延长��至点�',使��' = ��,连接�'�,通过证
明△ ���≌△��'�,可推得�� = ��' = 2��.
下面是小明的部分证明过程:
证明:延长��至点�',使��' = ��,连接�'�,
∵点�是��的中点,
∴�� = ��.
∵�� = �'�,∠��� = ∠�'��,
∴△ ��� ≌△ �'��(SAS),
∴�'� = ��,∠�'�� = ∠���,
∴�'�∥��,∠�'�� +∠��� = 180°.
请你补全余下的证明过程.
【问题拓展】(3)如图⑤,在△ ���和△ ���中, �� = ��,�� = ��,∠��� +∠��� = 180°,点 M,N
分别是��和��的中点.若�� = 4,�� = 6,则 MN 的取值范围是 .
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重难点四:添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
1.问题背景:如图 1,在四边形����中,∠��� = 90°,∠��� = 90°,�� = ��,∠��� = 120°,∠��� = 60°,
∠���绕 B 点旋转,它的两边分别交��、��于 E、F.探究图中线段��,��,��之间的数量关系.小李同
学探究此问题的方法是:延长��到 G,使�� = ��,连接��,先证明△��� ≌△ ���,再证明△ ��� ≌△ ���,
可得出结论,他的结论就是_______________;
探究延伸 1:如图 2,在四边形����中,∠��� = 90°,∠��� = 90°,�� = ��,∠��� = 2∠���,∠���
绕 B 点旋转,它的两边分别交��、��于 E、F.上述结论是否仍然成立?请直接写出结论(直接写出“成立”
或者“不成立”),不要说明理由.
探究延伸 2:如图 3,在四边形����中,�� = ��,∠��� +∠��� = 180°,∠��� = 2∠���,∠���
绕 B 点旋转,它的两边分别交��、��于 E、F.上述结论是否仍然成立?并说明理由.
实际应用:如图 4,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O 处)北偏西 30°的 A处舰艇乙在指挥中心南
偏东 70°的 B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以 75 海里/小时的
速度前进,同时舰艇乙沿北偏东 50°的方向以 100 海里/小时的速度前进, 小时后,指挥中心观测到甲、
乙两舰艇分别到达 E、F 处,且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为 70°,试求此时两舰艇之间的距离.
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2.如图,在⊙�中,��是⊙�直径,�� = 8,过��的中点�作��的垂线交⊙�于点�和�,�是���上一动
点.连接��,��,��,��.
(1)求���的长度;
(2)延长��到点�,连接��,使得��2 = �� ⋅ ��.求证:��是⊙�的切线;
(3)猜想��,��,��间的数量关系,并证明.
重难点五:与全等三角形有关的基础模型-一线三等角
1.如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数� =− 4
3
� + 4 与坐标轴交于�、�两点,若△ ���是等腰直角
三角形,求点�的坐标.
2.(1)问题发现:如图 1,在△ ���中,∠��� = �,将边��绕点 C顺时针旋转�得到线段��,在射线��
上取点 D,使得∠��� = �,线段��与��的数量关系是______;
(2)类比探究:如图 2,若� = 90°,作∠��� = 90°,且�� = 1
2
��,其他条件不变,写出变化后线段��
与��的数量关系,并给出证明;
(3)拓展延伸:如图 3,正方形����的边长为 6,点 E是边��上一点,且�� = 2,把线段��逆时针旋转
90°得到线段��,连接��,直接写出线段��的长.
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重难点六:与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型
1.两个大小不同的等腰直角三角板按图 1 所示摆放,将两个三角板抽象成如图 2 所示的△ ���和△ ���,
其中∠��� = ∠��� = 90°,点�、�、�依次在同一条直线上,连结��.若�� = 4,�� = 2,则△���的
面积是 .
2.等腰直角Δ���与等腰直角Δ���的直角顶点�重合.��与��相交于�,��的延长线交��于�,连接��.
(1)如图 1,求证:�� ⋅ �� = �� ⋅ ��;
(2)如图 2,�,�,�在同一条直线上,取��的中点�,分别连接��,��,求证:�� = ��;
(3)如图 3,过�作��的平行线,过�作��的平行线,两线相交于�,且点�在��的延长线上,若�� = 2��,
求
��
��
的值.
知识点一:全等三角形的概念
知识点二:全等三角形的性质与判定
考点一:利用全等三角形的性质求解
考点二:全等三角形证明方法的合理选择
考点三:利用全等三角形的性质与判定解决多结论问题
考点四:利用全等三角形解决实际问题
考点五:全等三角形与相似三角形综合
重难点一:添加辅助线证明两个三角形全等-构造平行线
重难点二:添加辅助线证明两个三角形全等-构造垂线
重难点三:添加辅助线证明两个三角形全等-倍长中线法
重难点四:添加辅助线证明两个三角形全等-截长补短法
重难点五:与全等三角形有关的基础模型-一线三等角
重难点六:与全等三角形有关的基础模型-手拉手模型