第五章 精密機械隨機控制
§ 機器隨機動態
§ 線上狀態估測
§ 精準機電控制
§ 精準控制模擬
R. J. Chang
Department of Mechanical Engineering
NCKU
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(1)(1)
線性動態方程隨機響應：
隨機響應分析包括時域與頻域法；頻域法僅適用於穩
態程序，故輸入程序必須為穩態，例如白噪音。而時域法
可用於非穩態之輸入程序，例如擴延白噪音(Extended
white noise)。
擴延白噪音—噪音瞬間強度即為白噪音之強度，然其
強度會隨時間而改變，而其頻譜不存在。
頻域法
1. SISO動態方程
w(t)為穩態隨機程序，則
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(2)(2)
2. SISO穩態響應
若x(t)為弱穩態程序，則x(t)之自相關函數為
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(3)(3)
則
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(4)(4)
例：已知w(t)為高斯白噪音，求以下輸出之頻譜及自相關
函數。
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(5)(5)
3. MIMO穩態響應
若系統為二階動態方程組如下
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(6)(6)
時域法
1. MIMO動態方程
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(7)(7)
2. MIMO系統之時域解
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(8)(8)
3.平均值之進展方程
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(9)(9)
4.協方差之進展方程
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(10)(10)
5.隨機響應之進展方程
協方差隨時間之關係式與平均值之進展方程獨立，
故可以分開求解再疊加，此為線性方程之必然結果。
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(11)(11)
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(12)(12)
擴延非白噪音之建模：
若線性系統包含動態方程與量測方程，當系統輸入為
擴延非白噪音程序時，如何求解系統輸出。
狀態方程具有擴延非白噪音輸入
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(13)(13)
設計整形濾波器
擴充狀態方程
擴充輸出方程
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(14)(14)
量測方程具有擴延非白噪音輸入
設計整形濾波器
擴充狀態方程
整 形 濾 波 器 之 設 計 一 般 以 頻 譜 因 子 分 解 法
(Spectral
factorization)設計得穩定極小相位之線性濾波器。
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(15)(15)
例：設計以下之整形濾波器
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(16)(16)
連續系統之離散表示及狀態進展：
系統離散化
1. 連續系統
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(17)(17)
2. 離散系統
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(18)(18)
離散系統參數
1. 非時變系統參數
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(19)(19)
2. 一階近似參數
當系統之暫態變化，或者系統之緩慢時變遠小於
取樣時間Dt 時，離散系統之參數可以下式近似計算。
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(20)(20)
離散系統狀態之進展
1. 平均值進展方程
2. 協方差進展方程
以上之平均值與協方差進展方程無任何相關；只要
分別給定起始狀態之統計訊息即可個別或同時求解。
§§ 機器隨機動態機器隨機動態(21)(21)
非線性動態方程隨機響應：
非線性動態之隨機響應問題，本質上為一非封閉性
(Non-closure)型之問題，即必須藉助物理或數學近似方
能求解。以近似求解之結果，常遭遇的兩個問題為：
1.輸出響應解的精確性。
2.系統強健穩定響應解之參數空間。
常用解法－
高斯封閉法(Gaussian Closure Method)
非高斯封閉法(Non-Gaussian Closure Method)
統計線性化法(Statistical Linearization Method)
最大熵法(Maximum Entropy Method)
資訊封閉法(Information Closure Method)
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(1)(1)
濾波問題與歷史背景：
歷史背景
卡 曼 濾 波 器 之 連 續 動 態 表 示 稱為卡 曼 -比 西
(Kalman-
Bucy)濾波器。
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(2)(2)
濾波問題
如何設計一濾波器可以使信號與雜訊分離？
維納的貢獻
維納將濾波問題視為統計信號估測問題，推導出一
積分方程稱為維納-霍夫(Wiener-Hopf)方程，可解出穩
態連續線性非時變濾波器。
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(3)(3)
統計信號處理：
一般問題敘述
問題類型
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(4)(4)
濾波問題之數學描述：
系統模型
起始條件
量測模型
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(5)(5)
卡曼濾波器之推導：
問題敘述
如何結合所有可獲取的量測數據，以及事先已知之
系統與量測元件之數據傳輸程序，以便得到最精準的系
統狀態估測。
一般推導法
貝斯(Bayesian)法－最完整、假設條件最少的機率理
論推
導法。
直交投影法－構建在希爾伯特(Hilbert)空間之幾何推
導
法，需掌握廣義投影幾何之運算。
最小均方誤差法－推導簡單，但須事先假設估測器之模
型結構，簡化問題為參數優化之代數
推導。
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(6)(6)
數學推導
1. 連續系統之離散表示
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(7)(7)
2. 量測前之狀態偏差變量
3. ti量測後得到的新資訊
4. 結合量測前的狀態與量測之更新資訊以估測新狀態
5. 結合量測後之狀態精度表示
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(8)(8)
6. 參數優化求解K(ti)
7. 量測後之狀態精度計算
8. 估測狀態與誤差進展
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(9)(9)
卡曼濾波器循環：
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(10)(10)
例：估測常數值
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(11)(11)
模擬高斯白噪音
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(12)(12)
誤差估測(初始猜測值 (0) = 4)
(a). K = , (b). K = , (c). K = Kalman
gain ;
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(13)(13)
%原始碼(for MATLAB )%
clear;clc;
N=2001;
T0=500; % Recording time length
time=[0:T0/(N-1):T0]'; % Time series
v_sd=1; % Standard deviation of v(t)
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%系 統 方 程
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x=2.*ones(N,1); % Function x(t)
zero_e=0.*ones(N,1);
v=normrnd(0,v_sd,N,1); % Gaussian white noise, v(t)
z=x+v; % Function z(t)
z_co=cov(z);v_ba = mean(v);v_co = cov(v);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%初 始 條 件
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
x_heat1(1,1) = 4;x_heat2(1,1) = 4;x_heat3(1,1) = 4;
P(1)=(x_heat1(1,1) - x(1)).^2;
K1=;K2=;
K3(1)=P(1)./(P(1)+v_sd.^2);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%機 率 密 度 函 數
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
wield=abs(max(v)-min(v));
deta_w=.*v_co.^;
nn=round(wield/deta_w);
[p,w]=hist(v,nn);
p=p./(N.* deta_w);
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(14)(14)
%續上頁%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%狀 態 估 測
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
for i=2:N
x_heat1(i,1)=x_heat1(i-1,1)+K1.*(z(i-1)-x_heat1(i-1,1));
x_heat2(i,1)=x_heat2(i-1,1)+K2.*(z(i-1)-x_heat2(i-1,1));
x_heat3(i,1,1)=x_heat3(i-1,1)+K3(i-1).*(z(i-1)-x_heat3(i-1,1));
P(i)=(P(i-1).*v_sd.^2)./(P(i-1)+v_sd.^2);
K3(i)=P(i)./(P(i)+v_sd.^2);
end
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%誤 差 估 測
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
e1=x_heat1-x;e2=x_heat2-x;e3=x_heat3-x;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%圖 形 輸 出
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
figure(1);
subplot(211);
plot(time,v);xlabel('Time in sec');ylabel('v(t)');grid;
subplot(212);
plot(w,p);grid;legend('Probability Density Function of v(t)',2);
figure(2);
subplot(311);
plot(time,e1,time,zero_e,'r');legend('K = ',1);
subplot(312);
plot(time,e2,time,zero_e,'r');legend('K = ',1);
subplot(313);
plot(time,e3,time,zero_e,'r');xlabel('Time in sec');
legend('K = Kalman gain',1);
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(15)(15)
例：卡曼濾波器應用於兩組統計數據合併之估測
已知：兩組數據數據分佈
求：合併兩組數據之最佳統計分佈估測
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(16)(16)
非線性系統估測器：
估測問題
非線性系統方程
線性量測方程
目標函數
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(17)(17)
最佳估測解
Kolmogorov與Kushner方程
§§ 線上狀態估測線上狀態估測(18)(18)
(續)
§§ 精準機電控制精準機電控制(1)(1)
系統範疇：
§§ 精準機電控制精準機電控制(2)(2)
例：
§§ 精準機電控制精準機電控制(3)(3)
隨機控制理論：
非適應控制
1.最小預測誤差(Minimum Prediction Error)控制
最小變異量(Minimum Variance)控制
隨模(Model Reference)控制
2.性能與代價優化控制
線性二次高斯(Linear Quadratic Gaussian, LQG)控
制
廣 義 預 測 控 制 (Generalized Prediction Control,
GPC)
3.其他控制
非LQG控制
協方差設定(Covariance Assignment)控制
最小熵(Minimum Entropy)控制
§§ 精準機電控制精準機電控制(4)(4)
適應控制
最小預測誤差適應控制
最小變異量適應控制－
例：自調控制(Self -Tuning Control)
隨模適應控制
適應極點設定(Pole Assignment)控制
§§ 精準機電控制精準機電控制(5)(5)
控制結構：
外界與控制系統之交互作用將造成控制信號之干擾與
控制系統之變異。精密機電控制系統中，干擾信號與變異
行為需以隨機理論建模。
§§ 精準機電控制精準機電控制(6)(6)
隨機調節器
§§ 精準機電控制精準機電控制(7)(7)
自調控制
自調控制為Astrom及Wittenmark所提出之控制結構，
目前在工業程序控制廠有廣泛的應用。
§§ 精準機電控制精準機電控制(8)(8)
隨機最佳控制－僅含外在隨機干擾之控制
控制器執行兩項獨立功能：
1.更新 p(x(i)| y(j), u*(j-1), j = 1,2,…,i ).
2.由狀態訊息 x(i) 決定最佳控制 u*(i).
§§ 精準機電控制精準機電控制(9)(9)
隨機適應次最佳控制－含狀態量測隨機外在干擾及系統
內部變異。
由於受控機械之系統參數不確定，若將系統參數視
為新狀態以設計最佳控制器，則本適應控制會成為非線
性控制系統；因此，最佳控制將極難達成！故一般採用
次最佳控制設計。
§§ 精準機電控制精準機電控制(10)(10)
控制器穩定性：
不同收斂性之關係
§§ 精準機電控制精準機電控制(11)(11)
熵值收斂性與穩定性
隨機動態系統的熵函數(Phillis, 1982)
定義一：隨機系統具有漸近熵穩定性(asymptotic
entropy
stability)若且唯若系統熵函數滿足
定義二：隨機系統為有界漸近熵穩定性(bounded asymp
-
totic entropy stability)若且唯若系統熵函數滿足
下式：
其中Hss 是一有限的常數。
§§ 精準機電控制精準機電控制(12)(12)
LQG問題：
LQG結構特性
§§ 精準機電控制精準機電控制(13)(13)
離散LQG問題之數學表示
§§ 精準機電控制精準機電控制(14)(14)
§§ 精準機電控制精準機電控制(15)(15)
LQG控制結構
§§ 精準機電控制精準機電控制(16)(16)
LQG與LQR：
1.控制系統具全狀態之訊息時，LQG的解即為LQR的解。
2.控制系統之狀態訊息不完全時，LQG回授增益的解即為
LQR之回授增益解，而回授狀態則由卡曼濾波器提供最
佳之估測狀態。
§§ 精準機電控制精準機電控制(17)(17)
LQR(Linear Quadratic Regulator)問題：
離散系統之設計
§§ 精準機電控制精準機電控制(18)(18)
§§ 精準機電控制精準機電控制(19)(19)
§§ 精準機電控制精準機電控制(20)(20)
§§ 精準機電控制精準機電控制(21)(21)
連續系統之設計
§§ 精準機電控制精準機電控制(22)(22)
§§ 精準機電控制精準機電控制(23)(23)
§§ 精準機電控制精準機電控制(24)(24)
§§ 精準機電控制精準機電控制(25)(25)
例：考慮一線性系統，其系統方程為
若代價函數為
其中T = 10 sec，試模擬最佳控制律之迴授增益F(t)與最
佳控制參數P(t).
§§ 精準機電控制精準機電控制(26)(26)
解：此為LQR問題；以下圖說明，即 r(t) = 0！
§§ 精準機電控制精準機電控制(27)(27)
離散化
§§ 精準機電控制精準機電控制(28)(28)
最佳控制參數P(t)之模擬
取樣時間, D t = sec
§§ 精準機電控制精準機電控制(29)(29)
迴授增益F(t)之模擬
取樣時間, D t = sec
§§ 精準機電控制精準機電控制(30)(30)
%原始碼(for MATLAB )%
clear;clc;
T0=10;dt=;N=10./+1;
time=[0:T0/(N-1):T0];
A=[0,1;-1,-2];B=[0;1];S=[5,0;0,0];Q=[1,0;0,2];R=[1];
P(:,:,N)=[S(1,:);S(2,:)];
for i=1:N-1
k=N-i;
P(:,:,k) = (Q + P(:,:,k+1)*A + A'*P(:,:,k+1) - P(:,:,k+1)*B*inv(R)*B'*P(:,:,k+1)).*dt;
P(:,:,k) =P(:,:,k) + P(:,:,k+1);
F(k,:) = inv(R)*B'*P(:,:,k);
end
for i=1:N
P11(i)=P(1,1,i);P12(i)=P(1,2,i);P22(i)=P(2,2,i);
end
figure(1)
plot(time,P11,time,P12,time,P22),legend('P_1_1','P_1_2 & P_2_1','P_2_2',2),xlabel('time in
sec'),grid;
figure(2)
plot(time(1:N-1),F(:,1),time(1:N-1),F(:,2)),legend('F_1','F_2',2),xlabel('time in sec'),grid;
§§ 精準機電控制精準機電控制(31)(31)
LQG-H2-norm 控制:
標準控制架構
控制器設計
找出一個最佳的K使得以下成本函數為最小
Matlab設計工具
H2-norm控制器設計，使用
§§ 精準機電控制精準機電控制(32)(32)
全狀態訊息非線性連續系統控制：
系統模型
控制輸入
§§ 精準機電控制精準機電控制(33)(33)
閉回路控制系統
閉回路平穩態矩方程
平穩態次優化控制的代價函數
Hamiltonian 函數
由 Hamiltonian 函數最小化必要條件得以下三式
§§ 精準機電控制精準機電控制(34)(34)
§§ 精準機電控制精準機電控制(35)(35)
合併三式成一矩函數方程
在不失一般性下，令拉葛蘭日乘法器矩陣為一對稱
矩陣L=LT ，則
求解控制器增益
由上式求解L再代入增益方程可得次優化控制律，但
求解過程一般必須藉助高斯或非高斯密度假設。
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(1)(1)
精機隨機控制結構與模型：
受控機械與閉路結構
隨機動態模型
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(2)(2)
高速、高精度進給控制：
• 關鍵技術
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(3)(3)
系統分析建模
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(4)(4)
誤差分析建模
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(5)(5)
機械傳動誤差－
1.滾珠導螺桿驅動的伺服增益受限於傳動系統的結構撓
性(Compliance)或者結構共振頻率；反之線性馬達
系統
結構剛性較高。
2.滾珠導螺桿具有背隙、摩擦力，以及滾珠滾動產生的
震動噪音，運動平滑度也比線性馬達差。
3.其他尚有摩擦力問題、預壓預拉問題、殘留應力問題、
剛性問題與結構共振問題…等 。
伺服控制誤差－
1.元件誤差(包含伺服馬達本身特性、驅動器內部非線
性
特性補償不良、回授元件解析度與頻寬問題與控制器
硬體等)。
2.環境干擾誤差(包含負載慣量變動、接觸工件時的切
削
力與工作環境造成回授信號雜訊)。
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(6)(6)
3.參數不確定性(包含系統建模時未考慮到之動態、類
比
元件之老化造成參數飄移、溫升造成參數變動等)。
CNC技術誤差－
傳統的CNC數值控制機械，無法直接接受CAD系統所
設計的自由曲面模具資料，只能以微小圓弧或直線逼近所
設計的外形，因此有加工時間過長及加工精度不良…等缺
點。
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(7)(7)
隨機動態方程模擬：
1. 透過密度函數演進方程－差分與擴散方程
2. FPK方程之數值解－密度函數近似解
3. 直接數值積分與白噪音積分－蒙特卡羅法
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(8)(8)
蒙特卡羅模擬法：
蒙特卡羅循環
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(9)(9)
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(10)(10)
模擬方法
1. 隨機(變數)函數的模擬
－產生 x , b 的統計與實現
2. 確定性問題的解答
－狀態方程式與數值積分
3. 大量模擬問題的實現
－蒙特卡羅模擬次數
4. 統計分析的結果
－隨機數值分析(平均值、變異量、值域、時域、頻
域)
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(11)(11)
核心技術：
擬亂數(Pseudo Random Number)產生器
乘積產生法
xi+1 = A xi (模數M)，起始種子 x0
即A xi 除以模數再取其餘數，作為下一次亂數輸入值
A與M之選取
A = 19971, M = 220
A = 1366853, M = 231
A = 65539, M = 230
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(12)(12)
非線性轉換
將兩組(0,1)範圍獨立均勻分佈之隨機變數，轉換
為
兩組具零均值與單位變異量之獨立高斯分佈隨機變數。
Box-Muller轉換函數
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(13)(13)
線性整型濾波器
例：已知 y 的自相關函數 Ryy(t) = exp(-2|t |) - (-|t
|)，
設 x 為高斯白噪音，即Rxx(t) = d (t) .
則
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(14)(14)
連續隨機程序的離散化
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(15)(15)
連續與離散白噪音程序
自相關函數－
連續白噪音
離散白噪音
功率頻譜密度－
連續白噪音
離散白噪音
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(16)(16)
等效離散白噪音強度－
一階近似－
當 h<<1 時 Qc = Qd h, 上式亦為 w = 0 時連續與離散
之等效頻譜大小。亦可由 d -函數等效自相關函數的面積
係求得，即
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(17)(17)
數值積分法則
1.確定系統RK4 (Runge Kutta 4th-order)
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(18)(18)
2.隨機系統 RK4
動態方程－
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(19)(19)
(續)
Stratonovich 形式之運算可使用一般微積分公式，
而Ito形式則需使用高階修正式。
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(20)(20)
數值計算－
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(21)(21)
(續)
當隨機系統僅受到外在隨機激擾時，使用確定系
統之RK4法可得到精確的結果。
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(22)(22)
狀態/函數 估測
估測器：
不偏的(Unbiased)
一致性(Consistent)
有效率的(Efficient)
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(23)(23)
例：模擬直流馬達平台控制精準度
受控機械
馬達轉子轉動慣量J
10-2 (kg-
m2)
轉矩常數Kt (N-m/A)
反電動勢常數Ke (V/rad/sec)
電樞電感L 10-3( H)
電樞電阻R (Ω)
平台質量M (Kg)
平台黏滯摩擦係數C 104(N-s/m)
滾珠導螺桿剛性Kn 10
-6 (N/m)
滾珠導螺桿效率
滾珠導螺桿導程KR
10-
3(m/rad)
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(24)(24)
蒙特卡羅模擬
H∞與H2 LQG控制器的
輸出機率密度函數
H2 LQG控制器與PID控制器
之輸出精度比較
§§ 精準控制模擬精準控制模擬(25)(25)
結果討論
1. H∞控制器與H2 控制器在系統輸出精度的表現有類似
的效果。
2. H2 LQG控制器比PID控制器更能提高平台系統的定位
精度。
3.非線性對定位精度之效應還未能完全模擬確認。
