第43卷第2期江汉大学学报(自然科学版)2015年4月J. Jianghan Univ. (Nat. Sci. Ed.) Apr. 2015 多险种Poisson-Geometric风险模型的折现惩罚期望函数李碧云余国胜*1姚春11各姚缸刘斌2(1江汉大学数学与计算机科学学院，湖北武汉430056;2.华中科技大学数学与统计学院，湖北武汉430074)摘要:研究了多险种多复合Poisson-Geometric过程的常利率风险模型，得到了折现惩罚期望函数所满足的更新方程，在此基础上，对经典风险理论中的一些结果作了进一步的讨论。关键词:多险种多复合Poisson-Geometric风险模型;常利率;更新方程;折现惩罚期望函数中图分类号:文献标志码:A文章编号:1673-0143(2015)02一0101-04DOI: Discounted Penalty Function on Poisson-Geometric Risk Model of Multi-Type-Insurance 2 LI Biyun’, YU Guosheng*’, YA O Chunlin’, YA O Zheng’, LIU Bin( l. School of Mathematics and Computer Science, Jianghan University, Wuhan 430056, Hubei, China; 2. School of Mathematics and Statiscs, Huazhaong University of Science and Technology, Wuhan 430074, Hubei, China) Abstract: Considered a multi-compound Poisson-Geometric risk model of multi-type-insurance with a constant interest rate, the renewal equation of the discounted penalty function has been given. Based on the study, some results in the classical risk theory were discussed in detail. Keywords: multi-compound Poisson-Geometric risk model of multi-type-insurance; constant interest rate; renewal equation; discounted penalty function 。引言近年来，有研究者开始关注Poisson-Geometric过程文献[lJ首次引出了Poísson-Geometric计数过程(简记为PG过程)，并对破产概率进行了研究，得到其破产概率所满足的更新方程。文献[2J针对PG模型首先得到了Gerber-Shiu折现惩罚期望函数所满足的更新方程。但两者均没有考虑利率因素所带来的影响。文献[3J讨论了常利率下索赔次数为复合Poisson-Geomet时过程的风险模型的罚金函数，得到了罚金函数的期望函数所满足的积分方程。随着保险公司业务种类的日益增多和复杂化，多险种的风险模型的研究就显得越来越有必要。文献[4J将单险种的风险模型进行了推广，建立了双险种双复合Poisson-Geometric风险模型，对不带利率情形下带干扰和不带干扰两种情况进行了研究。然而多险种多复合Poisson-Geometric过程的常利率风险模型的折现惩罚期望函数的研究涉及不多，本文拟对这一问题予收稿日期:2015-01 -21 基金项目:国家自然科学基金项目(10871077);江汉大学科研启动项目(2011021)作者简介:李碧云(1995一)，女，研究方向:金融数学。*通讯伟者:余国胜(1980一)，男，讲师，博士，研究方向:随机动力系统、金融数学oE-mail: 1085776555@
102 江汉大学学报(自然科学版)总第43卷以讨论。1 风险模型设(n，F，p)是一个完备的概率空间，本文所有的随机变量都定义在这个空间上，考虑如下风险模型:dUa(t)=cdt+δU(t)dt+dS，(t)-dS(t)， (1) ð2其中初始盈余为u?;O，c为单位时间内收取的保费，S,(t), S2(t)分别称为保费收入过程和索赔过程，具体形式为:2S,(t) = L x~) + L xi) +…+立xf，Sz(t)=ZYf+立Yf)+…+三叮-叫，其中N，(t)，N(t)，…，凡(t)分别表示直到时刻Jt为止m种保单的个数。而{X?);i?;月，{X(2); i?; 1}，…，{Xi(m);i注1}2i分别为第j(j=1，2，…，m)种保单第i次收取的保费，其均值为酌，此，…，的独立同分布非负随机变量序列，它们的分布函数分别为Fx，(x)，Fxμ)，…，Fxm(x) ，记F2(吟，F;:(吟，…，F;:(x)为F，(吵，Fxμ)，…，Fxρ)x的k重卷积。Nm+，(t)，N+(t)，…，Nn(t)分别表示直到时刻Jt为止n-m种险种的索赔次数，为第m2j(j= 1, 2, , n-m)种险种第i次的索赔额，其均值为凡+"凡+2'…，μn的独立同分布非负随机变量序列，分布函数分别为F巾)，F巾)，…，F凡m(Y)，记Ff(纱，F;:(y)，…，F旦夕)为F巾)，F巾)，…，)的k重卷积。所有保费与索赔额同N，(t)，N(t), , Nn(t)相互独立，且2N，(t)-PG(λ山p，)，N，(t)-PG(λ山P2)'…，Nn(t)-PG(λnt，叫，其中0运ρi<l(i=I，2，…，n)。模型(1)称为多险种多复合Poisson-Geometric过程的常利率风险模型。由(1)可以得到UJ)=uJ+cf+LJt飞其中叫rt，若δ=0，J. ) r. 8v 1 S:’ = Iρdv= < n& _ 1 Jo~ ~V-\e 81，如>0。记破产时刻为T. = 1in f {t : U(们O}，δ-1∞，Vt>O， U(t)?;O。则定义保险公司的最终破产概率为ψμ)=P{ U (U，(t)<O)}。为保证保险公司的安全运作，通常要求λ , λ白句λ A 1-汇:μm+'1-汇;μ川-…1-瓦μn>U 考虑在破产发生的条件下，以破产前瞬时盈余和破产时赤字为自变量的折现惩罚期望函数φð(U) =牛(U(功，IU(凡)1)川<~J’ 被称之为Gerber-…Shiu折现惩罚函数，其中I(A)是A的示性函数，ω是有界非负实函数，vε(0，可表示折现因子。2 预备知识以下考虑在常利率δ下多险种多复合Poisson-Geometric风险模型，为此先介绍Poisson-Geometric过程的定义如下。
2015年第2期李碧云，等:多险种Poisson-Geometric风险模型的折现惩罚期望函数103 定义1[IJ 设λ>0，0::三p<1，称{N(t)，t~O}为参数为λ，p的复合Poisson-Geometric过程，如果满足:(1) N(O) =0; (2) (N(t), t歹O}具有独立平稳增量;-λ____ r"Tf.\l_λt (1 +ρ) (3)对t>O，有N(t)-PG(λt，p)分布，而且E[N(t)] = 1 ~tn' var [N(t)] = ":.一一，其中PG(λt，p)定义为:母1-ρ"~'l"\VJJ (1-ρ)2 函数是exp~ À.(t二~~所对应的分布为复合Poisso刊eomet配分布。晶I1-ρt I /I-Pi) 引理1[IJ 设{战(t)，t注明是参数为(λι，p，)(i= 1,2, , n)复合Poisson-Geometric过程αι--7?一(Pi=O时，取αι=人=αzρι，i = 1，2，…，时，则当t足够小时有AP{N(t)=O}=e-，t=I-λit + o(t) , i P{N(t)=k}=αiP~t + A~(t )o(t), k = 1, 2, ,n, i 其中A~(←ρ~+ (k一1)[ρι(1+αιt)f斗，o(t)与k无关，且一致收敛。=1，2，…，吟。3 折现惩罚期望函数矶(u)定理1记Fp(Y) =立(l_p，)p;-1F;k (吵，i= 1, 2, ,m, FPmJy) =立(I-Pm+，)p~二1iF;~(y)， i = 1, 2, ,n-m, 瓦(z)=rj;[1-凡(t1dt，z=12，，rm。模型(1)破产前瞬时盈余和破产时赤字的折现惩罚期望函数民(μ)满足如下更新方程(uδ+c)φδ(u) -cφδ(0) -(λ1+λ2+…+λ+δ)川φδ(t)也dt=2扣λ忖f;归fλo:矶<队φÞ蚓加5州忻(t什t州川++xz忖训证明对充分小的时间h，考虑虑、(Oρ，坷h]内的盈余情况，分成如下4种情况:①没有保费收入和索赔;②有一个险种的保费收入，没有索赔;③有一个险种的索赔，没有保费收入;④至少有两个险种的保费收入和索赔。由引理1，最后一种情况相对h是高阶无穷小。于是由引理1和全期望公式有州)= [1 -(川+人)h+o( h)]φ忖+斗1)+2去 j归汕oøφ巩叫钊δ扩{(z去 J归λ冲;φ叽河叫δ护{(μ旷←Me♂←5晶伊h+ 斗1与叫_-寸y才才)[川川m++5z去 j二ι侃:+牛扩ω(M旷伊晶+斗1川川俨e8晶，川寸C斗ν叫y)+o咐(仙h均例)。整理后得φ矶叫(5个叫(u旧←e川斗午1斗)问-斗φ矶吭蚓巾5刮ω(州削时忡u州中()怡=(札札巾+叫λ人叽川n叫问)φδ(ue Bh立豆J归:øφδ(ue+斗l+x)[αp~h叫的o(h)]dF;~(x)
104 江汉大学学报(自然科学版)总第43卷z去 j归;φ河8(M旷伊晶+今l上与叫-y才寸)才[川川+Z去 j二ι:"咛ω (川+ 斗1川♂-斗l}i[札叽+ß川pρ~ι川++i办i忖们h川+川A叫叫~叫+刷i刷((h的仙)例o(h 将其两边同除以h，再令h→0，可以得到(u1ì村)￡咸阳)=(人巾叫n)咸阳)-2α队(u叫去p;dF;:(x)-…℃mv"…"℃勾川Nlμ ,, 、‘.，/φ 吨rtz、‘.，/TIr’••••d ,, 、哈J、‘，-GF EGF , α ωu γd nr γJ α .. U γJ .. u p .. γJ JMM a''‘、YE飞+ ‘、yt,/ + ‘、】川川上式变U为t后两边从O到U积分，整理可得(uδ+c)φ8(U) -cφδ(0) -(λ1+λ2+…+λ+δ) I:φ8(t)dt= 主λI:I;民(t训三λm+J:I;ω(M)dtm+B(t+z)dt。注1:当m=O，n-m= 1，δ=0时，(2)式符合文献[2J的()式。注2:当m=O，n-m= 1, 11= 1时，(2)式符合文献[3J的定理。推论1模型(1)的破产概率ψ点)满足如下更新方程(uδ+c)队(u)-c队(0)-(λ1+λ2+…+λ汁的K队(t)dt = !λιI: I;1/18(t+X) dFpi(X) dt+艺λm+i乒~+iI: I; 1/18 (t-y) dF;.Jy) dt-fλ叫I:[1-凡(t)]dt。l-Pm+i JV JV 1:i 证明在(2)式中取11= 1，ω(叭，到)= 1，即得证。推论2令H8{U，y, z) =P(U(T;)町，IU(T8)1白，T8<∞)，则(u1ì+c)H巾，y，z)-cH{0, y, z)-(λ1+λ2+…+札+δ)fo"H8{t, y, z) dt = 8主λI:I; H8 (t川)dFpi(x)也+艺λm+tkjA川三λ叫I:1(%I"’YI [F(x+z)-F(x)]dx0 111 证明在(2)式中取ν=1，ω(叭，x)=/I%I'"川同，即得证。2参考文献(References ) [ 1 ] 毛泽春，刘锦莓.索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的风险模型及破产概率[J].应用数学学报，2005 , 28 ( 3 ) : 419-428. [剖2]廖基定，龚日朝，:>p叫妇j刘再明，等.复合Poi怡ss回on-Geo町mmetr配t扣c风险模型Gωer由ber-铀Shiu(6): 1076-1085 [3] 熊双平.索赔次数为复合Poisson-Geometric过程的常利率风险模型的罚金函数[J].经济数学，2008，25(2) : l36-142. [4] 王春梅，廖基定.双险种双复合Poisson-Geometric风险模型[J].南华大学学报:自然科学版，2011,25(3) :68-71. (责任编辑:胡燕梅)
