第 19卷 第 4期
2010年 7月
云南民族大学学报(自然科学版)
Journal of Yunnan University of Nationalities(Natural Sciences Edition)
Vol_19 No．4
Ju1．2010
doi：10．3969／j．issn。1672—8513．2010．04。012
一 类双复合二项风险模型的破产概率
王贵红 ，赵金娥 ，龙 瑶 ，杨慧章 ，曾 黎
(1．玉溪农业职业技术学院 计科系，云南 玉溪 653106；2．红河学院 数学学院，云南 蒙 自661lOO)
摘要：对经典风险模型进行推广，建立资金利率和通货膨胀率下带干扰的双复合二项风险模型，
分析了盈余过程的性质，并运用鞅方法和盈余过程的性质得到了破产概率的一般公式及 Lund—
berg不等式．
关键词：资金利率；通货膨胀率；调节系数；鞅；破产概率
中图分类号：O211．67 文献标识码：A 文章编号：1672—8513(2010)04—0278—04
Ruin Probability of a Double Compound Binomial I sk M odel
WANG Gui—hong ，ZHAO Jin～e ，LONG Yao。
， YANG Hui—zhang ，ZENG Li
(1．Department of Computation and Science，Yuxi Agricultural Vocation College，Yuxi 653106，China；
2．College of Mathematics，Honghe University，Mengzi 661 100 ，China)
Abstract：Wile popularizing the classical model，this paper proposes a double compound binomial risk model under
the influence of capital interest rate and inflation．The properties of the surplus process are discussed．Then by ap—
plying the martingale approach and properties of surplus process，the formula and the Lundberg inequality of the YU—
in probability are obtained．
Key words：capital interest rate；inflation rate；adjustment coefficient；martingale；ruin probability
风险理论主要是从定量的角度研究保险公司经营的安全性——保险公司最终破产或短期内破产的概率
的大小，因此破产概率一直是风险理论中十分重要的研究课题 ．在经典的复合二项风险模型_l-3]中，一个很
重要的假设就是保费的收入过程是时间的线性函数，即保险公司按照单位时间常数速率取得保单，并假定每
张保单的保险费相同．然而在实际情况下，保险公司受诸多因素的影响，单位时间内收到的保单数往往是随
机变化的，文献[4—5]采用二项分布来描述保单的到达次数，但其每次收取的保费依然假定为常数 ．众所
周知，经济形势的变化、大众保险观念的转变、经营险种的多样化以及可能发生的自然灾害等都是不确定的、
随机的．为了进一步减少这种不确定性，以实现保险公司经济利益的最大化，一个较好的方法就是采用随机
费率，文献[6—8]对保费收入为复合二项过程的风险模型进行研究，得出了破产概率满足的 Lundberg不等
式．然而在保险实务中，利率、通货膨胀率在很大程度上影响着保险公司的财务状况，尤其是近几年经济发展
变化莫测，而且由于不确定的收益和付款因素的干扰，保险公司的余额会发生一些变化，这些因素如果不加
以考虑则会造成与实际较大的偏差 ．本文综合上述因素对经典的复合二项风险模型进行改进，建立利率与
通货膨胀率下带干扰的双复合二项风险模型，并得到其破产概率的一般公式和 Lundberg不等式，这不仅加强
了模型的现实描述能力，而且使保险公司能科学地预测未来的风险和收益，对确保经营稳定性具有实际意义 ．
1 模型的建立
定义 1 设( ，F，P)是完备的概率空间，以下所以随机变量都定义在这个空间上，则对 u≥0，i≥0，
收稿日期：2009—10—27．
基金项 目：云南省 自然科学 基金 (2008CD186)；云南 省教育厅 科学研 究基金 (07Y10102)；红河学 院博 硕基金
(XJ1S0923)．
作者简介：王贵红(1979一)，男，讲师．主要研究方向：金融数学 ．
第4期 王贵红，赵金娥，龙 瑶，等 ：一类双复合二项风险模型的破产概率 279
≥0，定义保险公司在 17．时刻的盈余为：
肼(n) AT(n)
(n)=u(1+i一 )+∑ 一∑X +6 (n)，
其中：1)／Z为保险公司的初始资本， √为常数，i为利率， 为通货膨胀率；
2)M(／1．)为(0，n]时间内保险公司签订的保单数，服从参数为(t／,，P )的二项分布，即Pr{M(／1．)= }=
c
⋯
k k n
．
～
，ql= 1一P1；
3)N(n)为(O，n]时间内发生的总理赔次数，服从参数为(n，P：)的二项分布，即 Pr{N(凡)= }=
c g；～，q2=1一P：；
4){X ， =1，2，⋯}，{y^，|j}=1，2，⋯}均为取值于(0，+∞)的独立同分布随机变量序列， 表示第
次的理赔额， 表示第 ．i}份保单收取的保费，且 E(Xk)= ，liar(Xk)= ，E( )=tx：，liar(y^)= ；
5)IV(r1．)是离散的Brownian运动，表示保险公司由于理陪纠纷、政府补贴等不确定事件所引起的不确定
收益和付款，6为大于0的常数；
6){M(几)，n=1，2，⋯}，{N(n)，n=1，2，⋯}，{ (n)，凡=1，2，⋯}，{X ， =1，2，⋯}，{ ， =1，2，
⋯ }相互独立 ．
M(n) iV(n)
记5(n)=∑ 一∑Xk+ (n)，表示保险公司在 时刻的盈利．为保证保险公司的稳定经营，通常
k： l k= l
要求 E[5(n)]>0，即p >p ，由此定义相对安全负荷系数 0=p—l／—~2—1>0
．
P2 1
定义2 记 T=inf{U(n)<0，n=1，2，⋯}表示保险公司破产的时刻，则在初始资本为u的条件下，定
义保险公司最终破产概率为 (“)=Pr{T<∞I u(o)：u}．
2 模型的基本性质
引理 1【9 盈利过程{Js(n)，n=1，2，⋯}有以下性质：
1)具有平稳独立增量性；
2)存在正数r，使得 E[e ’]<∞．
弓I理2 E[U(n)]=M(1+i— )+(pl 2一p2 1)凡；
Vat[U(n)]=nip (q + ；)+p (q2 + )+6 ]．
肼(n) Ⅳ(n)
证明 E[ (n)]=E[“(1+i-j)]+E[∑ ]一E[∑ ]+E[sw(n)]：
u(1+i—J)+E[M(n)] [ ]一 [N(n)]E[ ]=
M(1+i一_，)+(P1tx2一p2 1)n
肘(n) Ⅳ(n)
r[ (见)]= r[u(1+i-j)]+ r[∑ ]+ r[∑ ]+ r[6 (n)]=
凡[p1(gI ；+ ；)+P2(g2 + )+82]
3 破产概率
定理1 对于盈利过程 {S(n)，n=1，2，⋯}，存在函数g(r)，使得 e ‘ ’]=e ‘ ，且方程g(r)=0有
唯一正解 ，并称尺为风险过程{U(n)，T／,=1，2，⋯}的调节系数 ．
(n) Ⅳ(n)
证明 E[e ]=E{exp[一r∑y^+r∑X 一 (n)]}=
= l = l
肘(n) Ⅳ(n)
E[exp(一r∑ )]·E[exp(r∑ )]·E[exp(一rS~／(n)]=
e 一[p1 y(一r)+q1]“[p2 (r)+q2] =
exp{n[1n(p1My(一r)+q1)(PzMx(r)+q2)+— 书 r ]
280 云南民族大学学报(自然科学版) 第 19卷
其中 (r)：E[e ]为理赔额{ ，．i2=1，2，⋯}的矩母函数，又 e ’]≠0，则由引理 1知E[e ’]在
任意有限区间内有界，故存在函数：
g(r)=ln(p1My(一r)+q1)(P2M (r)+q2)+ l_6 r
使得 E[e ]=e吲 ．
又因为g (r)： -_ + +6 r，
，，， 、 PlM y(一r)(PlM (～r)+q1)一(PlMy(一r) ． P2M (r)(P2Mx(r)+q2)一(PzMx(r)
． g【 ) ———————————— 二_ _ ——————一 +—————————— ： l¨_ ————～ +d·
由施瓦兹不等式有 g”(r)>0，则曲线g(r)是下凸的，因而方程g(r)=0至多有2个解，又g(O)=0，
g (0)=一PllX：+P2tz。<0，且当r一 ∞ 时，g(r)一 ∞，故方程 g(r)=0存在唯一正解 R．
定理2 对风险模型{ (n)= (1+i-j)+∑ 一∑X + (凡)， =l，2，⋯}，最终破产概率满足：
(M) (V ≥0)，
其中R为调节系数，T：inf{n≥1 l (n)<0}．
证明 对任意的n≥1和r>0，由全概率公式有：
E[e ‘ ’]=E[e “‘ l T≤n]Pr{T≤n}+E[e ‘ l T>n]Pr{T>n} (1)
由 ( )=M(1+i—J-)+s( )知： ’
E[e ‘ ]=e一 ‘ E[e稍‘ ]=exp{-rM(1+i—J)+
凡[1n(p1M (一r)+q1)(PzM (r)+q2)+ 6 r ]}．
记(1)式右端第一项为 ，。，因为 U(n)=U(T)+[S(n)一S(T)]，且对于给定的 ，[S(n)一S(T)]与
U( )独立，于是有：
，1=E[e e一 ’一5‘ l T≤n]Pr{T≤n}=
E[e一 ‘n·exp{[1n(p M (一r)+q。)(p：Mx(r)+q )+ _15 r ](凡一 )]}l T≤凡]]Pr{T≤n}，取
r=R，即为调节系数，由定理 1，则(1)式可化简为：
e
州
= E[e “‘ I T≤n]Pr{T≤n}+ e删‘ l T>n]Pr{T>n} (2)
令 一 。。，则(2)式右端第 1项即为：
E[e ¨l T<∞]Pr{T<∞}．
若能证明当n— 时，(2)式右端第2项(记为，2)趋于0，则定理得证 ．
记O／=pl／x 一p ， =P (ql／x + ；)+P：(q + )+6 ，易知gar[U(n)]= ．由于OL>0，考
察A =M(1+i一 )+n 一卢凡丁，只要 n充分大，以是正的，且当n一 。。时 一 。o．现将 ，2拆成2项，即得：
I2=E[e ‘ l T>n，0≤U(／7,)≤A]Pr{T>n，0≤ U(n)≤A}+
E[e一 ‘“’l T>凡，U(n)>A]Pr{T>凡，U(n)>A}≤
P，{0≤U( )≤A}+e ．
由Chebychev不等式，得：
Pr{0≤U(n)≤A}=Pr{0≤U(n)≤E[U( )一 n丁]}≤
Pr{}U(n)一E[ (n)]l≥卢n了}≤
Vat[U(n)] 一 n一了=n-丁．
于是当，z一 。。时， 一 0，故在(2)式中令 一 。。，有
( )： E[
e删‘ J T<。。]‘
第4期 王贵红，赵金娥，龙 瑶 ，等：一类双复合二项风险模型的破产概率 281
因为 T<∞ 时， (T)<0，e >1，从而 V／Z≥0，有如下结论：
肘(n) Ⅳ(n)
定理3 对风险模型{ (凡)=“(1+i-j)+∑ 一∑ +6 (n)，凡=1，2，⋯}，其最终破产概率满
足 Lundberg不等式：
( )≤e ‘ 州 ．
定义 3 对于盈利过程{S(n)， =1，2，⋯}，定义事件流：
F ={F ，n=1，2，⋯}，其中 = {S(n )，n ≤n}．
定理4 令M (几)： 二 争 # ，则{ (n)， ， ：l，2，⋯}为一正鞅． exp Lng r j
证明 V，n≤n，m，凡=1，2，⋯，由引理 1有
E E M )- ]=E{ =
。
exp[一r(S(n)一S(，n
exp[(n—m)g(r)]
gu( E{
所以{M (n)， ，n=1，2，⋯}为一正鞅．
)=
下面用鞅方法再给出定理2与定理 3的证明．
证明 因为{S( )，n=1，2，⋯}为具有齐次独立增量的随机过程，且 s(1)]=Pl 一p 。<∞，则
由强大数定理有limS(n)=∞，。．s．，又因为破产时刻 T是 停时，则对任意取定的n，T八n为有界停时，所
以由定理 1及有界停时定理有
e =E[M (0)]=E[M (n八 )]=
E[ (n八 )I T<n]Pr{T<n}+E[M (n八 )l T≥n]Pr{T≥n}=
E[M (T)l T<n]Pr{T<n}+E[ (n)I ≥n]Pr{T≥n}．
由于当n<T时，U(n)≥0，从而0≤M (n)=e坷 ≤1，所以在上式两端令n— o。，则由单调收敛定
理与 Lebesgue控制收敛定理，有
limE[M (n)l ≥n]Pr{ ≥n}=0，P一口．S．
所以e “‘“。 =E[M ( )l T<∞]Pr{T<∞}，即
．／ 、 e一尺 (1 )
缈( 丽
再注意到 (T)<0，e一 ‘ >1，从而 V“≥0，有 (M)≤e 川“ ．
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(责任编辑 万志琼)
