完全信息动态博弈
DYNAMIC GAME OF COMPLETE INFORMATION
动态博弈的概念
一类博弈行为通常需要参与人多步决策才能完成，具有明显的阶段性。
博弈的结局、各参与人的支付值由多阶段决策结果确定。
各参与人的决策有一定的顺序。
The key features of a dynamic game of complete and perfect information are that (ⅰ)the moves occur in sequence, (ⅱ)all previous moves are observed before the next move is chosen, and (ⅲ)the players’ payoffs from each feasible combination of moves are common knowledge.
动态博弈的概念
由于动态博弈各参与人进行决策具有明显的阶段性、行动次序性，通常用扩展式(extensive form)表述法描述这些信息。
博弈的扩展式表示
参与人集合：i=1, … ,N。用N表示虚拟参与人“自然”；
自然的含义是某些外生的客观概率分布事件
参与人的行动顺序(the order of moves):描述各参与人在什么时候行动；
参与人的行动空间(action set)：在每次行动时，参与人可选择的行动集合；
博弈的扩展式表示
参与人的信息集(information set)：每次行动时参与人知道什么；
参与人的支付函数：在行动结束之后，每个参与人得到些什么。
自然选择的概率分布（假定自然状态是共同知识）。
对于有限博弈，博弈树是常用的表述方式。
扩展式表述简例
图2-1就是一个商品仿冒和反仿冒动态博弈的扩展型描述。
A
B
A
B
制止
不仿冒
仿冒
不制止
不仿冒
仿冒
制止
不制止
图2-1 仿冒和反仿冒博弈扩展型表述
(0,10)
(-2,5)
(2,2)
(10,4)
(5,5)
扩展式表述简例
图2-2是包括自然选择的博弈扩展式表述
图2-2 房地产开发博弈
A
N
B
大(1/2)
不开发
开发
小(1/2)
(8,0)
(1,0)
N
B
B
大(1/2)
小(1/2)
B
(4,4)
(-3,-3)
(0,8)
(0,0)
(0,1)
(0,0)
博弈树
若动态博弈是有限博弈，则可用博弈树表示该博弈。这里有限的含义是
各阶段各参与人的行动数目有限
博弈的阶段数有限
博弈树
博弈树的基本结构为
结点(nodes)。包括决策结及终点结。决策结是参与人采取行动的时点；终点结是博弈行动路径的终点。
枝（branches）。从一个决策结到它的直接后续结的连线，每一个枝代表参与人的一个行动选择。
节点nodes
决策节点（decision nodes）
终点节（terminal nodes）
树枝branches：每一条树枝代表一个行动
信息集information sets：参与人在决策节
点选择行动时，需要有关信息；对此前
博弈过程的一个全部而明确的认识就构
成一个信息集。信息集的定义：
Definition An information set for a player is a collection of decision nodes satisfying:
(ⅰ)the player has the move at every node in the information set,and
(ⅱ)when the play of the game reaches a node in the information set, the player with the move does not know which node in the information set has (or has not) been reached.
对完美信息动态博弈的博弈树来说，一个信
息集只包含一个决策结，对不完美信息动态博弈，则一个信息集包含多个决策结。
博弈树
信息集：是决策结集合的一个子集。将博弈树中某一决策者在某一行动阶段具有相同信息的所有决策结称为一个信息集。
每个决策结都是同一个参与人的决策结。
该参与人知道博弈进入该集合的某个决策结，但不知道自己究竟出于哪一个决策结（若该信息集有两个或两个以上元素）。
博弈树
信息集的集合可记为H,则h∈H代表一个特定的信息集。
特别地，函数h(x)表示包含决策结x的信息集。
h(x)可解释为某个参与人不能确定他是否处在x或其他x’’ ∈H。
complete information(.,games in which the players’ payoff functions are common knowledge).We analyze dynamic games that have not only complete but also perfect information, by which we mean that at each move in the game the player with the move knows the full history of the play of the game
thus far.
博弈树
对于有限动态博弈，若参与人对彼此在各决策结点的行动集合，彼此的效用函数，历史的行动有着完全的了解，则称这样的博弈为完全信息动态博弈。
如果博弈树的所有信息集都是单元素集，称该博弈为完美信息博弈(game of perfect information)。
上述两个定义的差别在于对自然行动信息的描述。
博弈树实例
注意，扩展式表述也可以用于分析静态博弈，如图2-5的囚徒问题。
A
B
B
坦白
抵赖
坦白
抵赖
抵赖
坦白
(-5,-5)
(0,-8)
(-8,0)
(-1,-1)
图2-5 囚徒问题的扩展式表述
一些说明
一般假定博弈满足“完美回忆”(perfect recall)要求。
“完美回忆” 的概念
完美回忆是指没有任何参与人会忘记自己以前知道的事情，所有参与人都知道自己以前的选择。
可以利用信息集概念描述完美回忆。
一些说明
图2-6描述了不完美回忆现象。
图2-6 不具有完美回忆的例子
A
B
L
D
U
B
A
A
L
R
A
R
A不能区分（D,L）和(D,R)是正常的，因为参与人1可能没有观察到B是选择了L还是选择了R。
但A不能区分（U,R）和(D,L)则说明A忘记了在开始博弈时选择了U行动还是D行动，因而不具有完美回忆。
一些说明
现实中不具完美回忆的一个例子是扑克比赛。在扑克比赛中，参与人常常忘记别人曾出过些什么牌。
一些说明
“完美回忆”的数学描述
若x1和x2属于同一个信息集，即x2∈h(x1)， x∈P(x1), x是x1的前列结（排在x1前面的决策结），且均属于同一参与人i。
那么，存在一个x‘(可能是x本身)，满足x’∈h(x)； x‘是x2的前列结；在x到达x1的行动与x‘到达x2的行动完全一致。
一些说明
上述事实可用图2-7表述
x
x1
D
U
x‘
x2
D
U
1
图2-7 完美回忆图示
1
一些说明
需要注意的是，若有些动态博弈的阶段很多乃至无限，或者参与人在一个阶段有许多可以选择的行为，这时采用博弈树表述将变得很困难，或者不可行。如下棋等。
此时应用文字描述或用数学抽象形式表述。
动态博弈的策略式表述
相机选择(contingent play)
动态博弈中参与人的策略是各自预先设定的，在博弈的各阶段，针对各种情况做出相应决策。即“等待”博弈到达自己的信息集（包含一个或多个决策结）后再决定如何行动。
在战略式表述博弈中，参与人似乎是博弈开始之前就制定出了一个完全的相机选择，即“如果……发生，我将选择……”。
动态博弈的策略式表述
从扩展式表述构造战略式表述
假定开发商A先决策，开发商B观测到A的选择后决策。
那么博弈的扩展式表述如图2-8表述。
A
B
B
开发
不开发
开发
不开发
不开发
开发
(-3,-3)
(1，0)
(0,1)
(0,0)
图2-8 房地产开发博弈
动态博弈的策略式表述
这是一个完美信息博弈（每个参与人的信息集是单结的）。
A只有一个信息集，两个可选择行动，因而A的行动空间也就是A的战略空间：SA=(开发，不开发)。
A
B
B
开发
不开发
开发
不开发
不开发
开发
(-3,-3)
(1，0)
(0,1)
(0,0)
图2-8 房地产开发博弈
动态博弈的策略式表述
但B有两个信息集，每个信息集上有两个可选择的行动，因而B有四个纯战略，分别为
不论A开发还是不开发，我开发；
A开发我开发，A不开发我不开发；
A开发我不开发，A不开发我开发；
不论A开发与否，我不开发。
A
B
B
开发
不开发
开发
不开发
不开发
开发
(-3,-3)
(1，0)
(0,1)
(0,0)
图2-8 房地产开发博弈
动态博弈的策略式表述
若把B的信息集从左到右排列，上述四个纯战略可以简单记为
{开发，开发}
{开发，不开发}
{不开发，开发}
{不开发，不开发}
A
B
B
开发
不开发
开发
不开发
不开发
开发
(-3,-3)
(1，0)
(0,1)
(0,0)
图2-8 房地产开发博弈
动态博弈的策略式表述
B的纯策略为
{开发，开发}
{开发，不开发}
{不开发，开发}
{不开发，不开发}
A的纯策略为
SA=(开发，不开发)
于是可以写成策略式表述形式，为
A
B
B
开发
不开发
开发
不开发
不开发
开发
(-3,-3)
(1，0)
(0,1)
(0,0)
图2-8 房地产开发博弈
动态博弈的策略式表述
A
B
B
开发
不开发
开发
不开发
不开发
开发
(-3,-3)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
图2-8 房地产开发博弈
0，0
0，1
0，0
0，1
不开发
1，0
1，0
1，0
-3，-3
开发
不开发，不开发
不开发，开发
开发，不开发
开发，开发
表2-1 房地产开发博弈：策略式表述
动态博弈的策略式表述
该博弈有四个纯战略纳什均衡，分别为
（开发，{开发，不开发}）
（开发，{不开发，开发}）
（开发，{不开发，不开发}）
（不开发，{开发，开发}）
A
B
B
开发
不开发
开发
不开发
不开发
开发
(-3,-3)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
图2-8 房地产开发博弈
0，0
0，1
0，0
0，1
不开发
1，0
1，0
1，0
-3，-3
开发
不开发，不开发
不开发，开发
开发，不开发
开发，开发
表2-1 房地产开发博弈：策略式表述
动态博弈的策略式表述
在扩展式表述博弈中，所有n个参与人的一个纯战略组合s=(s1,…,sn)决定了博弈树上的一个路径。
比如（开发，{不开发，开发}）决定了博弈的路径为A开发B不开发(1,0)
A
B
B
开发
不开发
开发
不开发
不开发
开发
(-3,-3)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
图2-8 房地产开发博弈
0，0
0，1
0，0
0，1
不开发
1，0
1，0
1，0
-3，-3
开发
不开发，不开发
不开发，开发
开发，不开发
开发，开发
表2-1 房地产开发博弈：策略式表述
动态博弈的策略式表述
（不开发，{开发，开发}）决定了博弈的路径为A不开发B开发(0, 1)
（开发，{不开发，开发}）决定了博弈的路径为A开发B不开发(1,0)
A
B
B
开发
不开发
开发
不开发
不开发
开发
(-3,-3)
(1,0)
(0,1)
(0,0)
图2-8 房地产开发博弈
0，0
0，1
0，0
0，1
不开发
1，0
1，0
-3，-3
-3，-3
开发
不开发，不开发
不开发，开发
开发，不开发
开发，开发
表2-1 房地产开发博弈：战略式表述
动态博弈的策略式表述
给出了扩展式表述的战略式表述转换，就可以像静态博弈那样，定义纯战略纳什均衡或混合战略纳什均衡。
按照Von Neumann观点，将动态博弈模型转化成策略式表述形式后，按照静态博弈分析方法，即可处理动态博弈问题。
近来研究表明，存在策略式表述相同，但却有本质差别的，不同扩展式表述的动态博弈。说明上述观点具有一定的局限性。因此，策略式表述并不能取代扩展式表述。
行为战略
混合战略纳什均衡：在扩展式表述博弈中，一个重要概念是“行为战略” (behavior strategies)，用以区别战略式表述博弈的混合策略概念。
行为战略指参与人在每个信息集上随机地选择行动。
令Δ（A(hi)）为定义在行动集合A（hi）上的概率分布，bi为参与人i的一个行为战略，那么bi是迪卡尔积
行为战略
也就是说，一个行为战略规定了对应每一个信息集的行动集合上的概率分布，且不同信息集上的概率分布是独立的。
通俗地说，行为战略可以表述为 “如果hi(1)出现，我将以Δ（A(hi（1）)）的概率分布选择A(hi(1))；如果hi(2)出现，我将以Δ（A(hi（2）)）的概率分布选择A(hi(2))……”。
行为战略
纯战略可以理解为行为战略的一个特例，这里概率分布是退化分布。
可以仿造纯战略形式给出行为战略意义下纳什均衡的定义。这里从略。
可用σi表示行为战略， σi（ai|hi）表示参与人i在信息集hi选择行动ai的概率。
可以定义基于行为战略意义下的纳什均衡。
完全信息动态博弈纳什
均衡存在性定理
可以证明，有限博弈在行为战略意义下至少存在一个纳什均衡。
特别地，如果有限博弈是完美信息博弈，他还有一个纯战略纳什均衡（Zermelo,1913）。
通过一个简单实例（见图2-9 ）说明Zermelo定理。
D
U
R
L
(3,1)
(0,0)
图2-9 逆推法求纳什均衡
(2,2)
A
B
逆推归纳法
逆推归纳法是求解完美信息动态博弈的经典方法。
逆推法思路。假设博弈到了第二阶段，参与人B的信息集为{D}，选择L获利1单位，选择R获利0单位，因此B应该选择L;
在博弈的第一阶段，参与人A选择U获利2单位，选择D获利状况取决于参与人B的选择；
D
U
R
L
(3,1)
(0,0)
图2-9 逆推法求纳什均衡
(2,2)
A
B
逆推归纳法
但A知道B是理性的，一旦到达第二阶段，B肯定会选择L行动，从而A获利为3单位，因此，A应选择D。
因此，（D,L）是纯战略纳什均衡。
D
U
R
L
(3,1)
(0,0)
图2-9 逆推法求纳什均衡
(2,2)
A
B
与策略式分析比较
如果采用博弈的战略式表述（见表2-2）,可得到另一个纳什均衡(U,R)。
如果A选择U,那么B的信息集不能达到，我们说B的信息集不在均衡路径上(out-of-equilibrium path)。
A
B
D
U
R
L
(3,1)
(0,0)
图2-9 逆推法求纳什均衡
(2,2)
0,0
3,1
D
2,2
2,2
U
R
L
表2-2 策略式表述
与策略式分析比较
此种情况下，B的选择对A没有什么影响。
因此，纳什均衡对一个参与人在非均衡信息集上的选择没有限制。
但是，一个参与人在非均衡信息集上的战略可以影响其他参与人在均衡信息集上的选择。
A
B
D
U
R
L
(3,1)
(0,0)
图2-9 逆推法求纳什均衡
(2,2)
0,0
3,1
D
2,2
2,2
U
R
L
表2-2 策略式表述
与策略式分析比较
逆向归纳法实质上是重复剔除劣战略法在扩展式博弈中的应用。
逆向归纳法不适用于无限博弈和不完美信息博弈。
逆向归纳法剔除了“非理性”的均衡策略…
海盗分赃－逆向归纳案例
5个海盗抢来了100枚金币，大家决定分赃的方式是：由海盗一提出一种分配方案，如果同意该方案的人达到半数，则该提议通过并实施；否则，提议人将被扔进大海喂鲨鱼。然后由接下来的海盗继续重复提议过程。
假设每个海盗都绝顶聪明，也不相互合作，并且极度自私，那么第一个海盗该如何提议？
海盗分赃－逆向归纳案例
使用逆向归纳法可以求解如下：
首先，考虑只剩下最后的海盗五，显然他会分给自己100枚，并赞成自己；
再回溯到只剩下海盗四和海盗五的决策，海盗四可以分给自己100枚并赞成自己；海盗五被分得0枚，即使反对也无用；
海盗分赃－逆向归纳案例
回到海盗三，海盗三可以分给海盗五1枚得到海盗五的同意；分给自己99枚，自己也同意；分给海盗四0枚，海盗四反对但无用；
回到海盗二，海盗二可以分给海盗四1枚得到海盗四同意；分给自己99枚，自己也同意；海盗三、五各分得0枚，他们会反对但反对没有用
海盗分赃－逆向归纳案例
回到海盗一，他可以分给海盗三、五各1枚，获得海盗三、五的同意；分给自己98，自己也同意；分给海盗二、四各0枚，他们会反对但反对不起作用。
海盗分赃－逆向归纳案例
因此，这个海盗分赃问题的答案是（98,0,1,0,1）：海盗一提出分给自己98枚，分给海盗二、四各0枚，分给三、五个1枚；该提议会被通过，因为海盗一、三、五会投赞成票 。
我们可以把这个逆向决策的过程用如下矩阵表达出来（下图，其中画下划线的数字表示海盗对该方案投了赞成票，未加下划线对应于反对票）
海盗分赃－逆向归纳案例
海盗分赃逆向推理过程(全部海盗半数同意即可通过)
分配者 分配给各海盗的金币枚数
海盗一 海盗二 海盗三 海盗四 海盗五
海盗五 100
海盗四 100 0
海盗三 99 0 1
海盗二 99 0 1 0
海盗一 98 0 1 0 1
海盗分赃－逆向归纳案例
思考：
1，如果规则改为超过半数通过，怎么提议？
2，如果规则改为除了提议人之外的海盗超过半数通过，怎么提议？
可信性问题
可信性(credibility)的含义
参与人事先宣布的行动方案是否在实际执行过程中也能保持一致？
可信性问题
一个实例
B
A
分
不借
借
不分
图2-10 开金矿博弈
(1,0)
(2,2)
(0,4)
A在开采价值4万元的金矿时缺1万元资金，B正好有1万元资金可以投资。设想A说服B将这1万元资金借给自己用于开矿，并许诺在采到金子后与B对半分成，B是否应该将钱借给A呢？
B关心的是A开采到金子后是否会履行诺言？
可信性问题
B
A
分
不借
借
不分
图2-10 开金矿博弈
(1,0)
(2,2)
(0,4)
B的处境是“不借”则资金安全，但得不到利润；“借”则面临A的不守信风险。
若根据 “经济理性”原则，一旦B将钱借出，A将卷款逃走；因此，B的最优策略是“不借”
这说明，在这样的博弈结构下，A的承诺是“不可信的” 。
可信性问题
B
A
分
不借
借
不分
图2-10 开金矿博弈
(1,0)
(2,2)
(0,4)
因此，双方最优策略为第一阶段，B选择“不借”
若博弈到达第二阶段，则A 选择不分。
如果引入法律机制…
可信性问题
B
A
分
不借
借
不分
图2-11 有法律保障的开金矿博弈
(1,0)
(2,2)
(0,4)
B
(1,0)
打
不打
图2-11是有法律保障的开金矿博弈问题。
由该图可以看出，最终博弈的理性结果为B借钱给A，开采结束后，A与B利润平分（用逆序归纳法，自己验证一下）。
可信性问题
B
A
分
不借
借
不分
图2-12 法律保障不足的开金矿博弈
(1,0)
(2,2)
(0,4)
B
(-1,0)
不打
打
若法律保障不足以使B坚持打官司，如图2-12所示，则与前面分析类似，B在第一阶段将选择“不借”，A在第二阶段将选择“不分”（一旦B借款给A的话）。
一旦B由于“糊涂”将钱借给了A，则第三阶段将选择不打官司。
可信性问题
B
A
分
不借
借
不分
图2-12 法律保障不足的开金矿博弈
(1,0)
(2,2)
(0,4)
B
(-1,0)
不打
打
上述分析说明，在一个有私心，重视自身利益的成员组成的社会里，完善公正的法律制度不但能保证社会的公平，而且还能提高社会经济活动的效率。
逆向归纳法小结
逆向归纳法求解策略：从动态博弈的最后一个阶段出发，对该参与人采用经济理性原则进行分析，逐步到推回前一个阶段相应参与人的行动选择，一直到第一阶段的分析方法。
逆向归纳法小结
由于逆推法确定的各参与人在各阶段的行动选择，都是建立在后续阶段各个参与人理性选择基础上的，因此自然排除了包含不可信承诺的可能性。
逆向归纳法中的共同知识。
逆推归纳法是完美信息动态博弈分析中使用最普遍的方法。
反国家分裂法的承诺作用
子博弈完美均衡
在动态博弈的战略式表述中，纳什均衡假定每一个参与人在选择最优战略时，是基于其他所有参与人战略选择给定前提下进行的，而没有考虑到自己的选择对其他参与人的影响，因此，纳什均衡具有一定的缺陷性。
泽尔腾(Selten)的子博弈完美纳什均衡(subgame perfect Nash Equilibrium)在一定程度上对此作出了贡献。
子博弈完美均衡
子博弈概念
一个扩展式博弈的子博弈G由一个决策结x和所有该决策结的后续结T(x)组成，它满足下列条件：
x是一个单结信息集,即h(x)={x};
对于所有的T(x)中的x’，如果x’’与x’同属于一个信息集，则x’’也在T(x)中。
图2-13表示了子博弈与原博弈的关系。需要说明的是，G本身是自己的一个子博弈。
A
B
B
开发
不开发
开发
不开发
开发
图2-13 博弈和子博弈
B
开发
a)原博弈
b)子博弈I
不开发
不开发
B
开发
c)子博弈II
不开发
(-3,-3) (1,0) (0,1) (0,0)
(-3,-3) (1,0) (0,1) (0,0)
子博弈完美均衡
图2-14的两个博弈扩展型中，特殊颜色标示的部分都不是原博弈的子博弈。
A
B
B
L
D
U
R
L
图2-14 构不成子博弈的图形表示(1)
a)原博弈
R
子博弈完美均衡
图2-15中红色部分构成的图形不是原博弈的子博弈，因为参与人C的信息集被切割。
A
B
B
L
D
U
R
L
R
C
l
C
r l
C
r l
C
r l r
图2-15 构不成子博弈的图形表示(2)
子博弈完美均衡
子博弈完美纳什均衡
扩展式博弈的一个战略组合s*=(s1*,…,si*,…,sn*)是一个子博弈完美纳什均衡，如果
它是原博弈的纳什均衡。
它在每一个子博弈上都是纳什均衡。
子博弈完美均衡
行为战略子博弈完美纳什均衡可类似定义。
纳什均衡与子博弈精炼纳什均衡的关系
前面分析说明，一个特定的纳什均衡决定了原博弈树上唯一的一条路径，这条路径称为“均衡路径”(equilibrium path)。
相对该纳什均衡，其他路径称为非均衡路径(out-of-equilibrium path)。如图2-16中的房地产博弈中
子博弈完美均衡
博弈的路径A不开发B开发(0，1)是纳什均衡 （不开发，{开发，开发}）的均衡路径，相对此纳什均衡，其他路径为非均衡路径。
纳什均衡只要求在均衡路径的决策结上是最优的。
不开发
开发
不开发
开发
(0,1)
(0,0)
图2-16 房地产开发博弈
A
B
B
(-3,-3)
(1,0)
开发
不开发
子博弈完美均衡
在每一个子博弈上给出纳什均衡意味着，构成子博弈纳什均衡的战略不仅在均衡路径的决策结上是最优的，同时在非均衡路径的决策结上也是最优的。
对于有限完美信息博弈，前面介绍的逆推归纳法得出的纳什均衡即是子博弈精炼纳什均衡。
不开发
开发
不开发
开发
(0,1)
(0,0)
图2-16 房地产开发博弈
A
B
B
(-3,-3)
(1,0)
开发
不开发
一些说明
逆推归纳法实质上是以“所有参与人是理性的”是所有参与人的共同知识。
但对参与人数较多且博弈阶段数较多时，上述假设在实际中将会受到怀疑。
请看图2-17的“蜈蚣博弈”
（1,…,1）
（1/2,…,1/2）
（1/i,…,1/i）
（1/n,…,1/n）
（2,…,2）
…
…
图2-17 蜈蚣博弈
D
D
D
D
1 A
2 A
A
A
一些说明
若使用逆推归纳法，可以预测所有参与人都将选择A。
当n很大时，上述预测很值得怀疑。考虑参与人1...
（1,…,1）
（1/2,…,1/2）
（1/i,…,1/i）
（1/n,…,1/n）
（2,…,2）
…
…
图2-17 蜈蚣博弈
D
D
D
D
1 A
2 A
A
A
一些说明
由此类问题及其他问题引出的博弈理论模型与真实行为差异的论争，在博弈论诞生之日至今，一直是没有停止的话题。
（1,…,1）
（1/2,…,1/2）
（1/i,…,1/i）
（1/n,…,1/n）
（2,…,2）
…
…
图2-17 蜈蚣博弈
D
D
D
D
1 A
2 A
A
A
经典案例(1):斯塔克博格模型
与古诺模型类似，斯塔克博格(Stackelberg)模型也有两个厂商，但
两个厂商一方实力较强，一方较弱。
产量决策由实力较强的一方先进行选择，较弱的一方则根据较强的一方的产量（能够完全观察得到）选择自己的产量。
其他有关信息，如策略空间、支付函数、信息结构等与古诺模型一致。
经典案例(1):斯塔克博格模型
Stackelberg博弈在实际中是很多的
长虹主动出击的价格战
美国的通用汽车与福特、克莱斯勒等
经典案例(1):斯塔克博格模型
进而可以求出两个厂商在给定产量下的利润，为
经典案例(1):斯塔克博格模型
用逆推法分析该博弈
根据逆推法的思路，先分析第二个阶段厂商2的决策。
在厂商2开始决策时，厂商1的选择q1实际上已经决定且为厂商2知道。
因此，对于厂商2来说，相当于在给定q1的情况下，求使u2达到最大值的q2.即对u2求极值。
经典案例(1):斯塔克博格模型
令厂商2的1阶导数等于0，求得等式为
即
该式表明厂商2根据场上1不同的产量来决定自己的最优产量，实质上这是厂商2的反应函数。
经典案例(1):斯塔克博格模型
厂商1知道厂商2的这种决策思路，因此在决定q1时，就知道厂商2会按上式进行针对性的决策。因此，可将上式直接代入其利润函数，为
可以很容易地求出上式的最大值，为
经典案例(1):斯塔克博格模型
由厂商1的最优产量决策
以及厂商2的最优反应函数
根据上面两个表达式，可以求出厂商2的最优产量及最优产量下的利润水平
经典案例(1):斯塔克博格模型
利用斯塔克博格模型有关假设数据，可以算出二寡头古诺模型中，二厂商的均衡价格、产量、利润（过程从略）。结果与斯塔克博格模型对照，见表2-3
(, )
(3, )
斯塔克博格模型
4
(4, 4)
(2, 2)
古诺模型
厂商利润
市场出清
价格
厂商产量
表2-3 古诺模型和斯塔克模型对照
经典案例(1):斯塔克博格模型
小结
由于厂商1占据先行之利，因此获得了较大的利益。
在信息不对称的博弈中，掌握较多信息的参与人（如斯塔克博格模型中参与人2）不一定得到较多的利益（与古诺模型对照）。
讨价还价实例
假设两人就冰激凌的分配讨价还价。冰激凌会随时间而融化。
假设冰激凌重量为100克，每一回合融化10克（即10个回合全部融化）。
假设甲先提议，然后是乙。
讨价还价实例
两回合谈判的均衡结果推导过程：
第二回合乙提议之后博弈结束，因此相当于他面临独裁博弈。此时，他会将全部冰激凌分给自己（比例为1）。由于已经化掉1/10，因此，尽管乙得到了全部，但实际上是90克；甲什么也没得到。再回溯到第一回合，为了不使乙反对，甲必须使得乙所获得的冰激凌实际额不低于其第二回合的数量。
因此，均衡结果是甲10克，乙90克
讨价还价实例
三回合谈判的均衡结果推导过程：
第三回合甲提议之后博弈结束，因此相当于他面临独裁博弈。此时，他会将全部冰激凌分给自己（比例为1）。由于已经化掉2/10，因此，尽管甲得到了全部，但实际上是80克；第二回合中，为了不使甲反对，乙必须使得甲所获得的冰激凌实际额不低于其第三回合的数量，即甲80克，乙10克；再回溯到第一回合，为了不使乙反对，甲必须使得乙所获得的冰激凌实际额不低于其第二回合的数量，即乙10克，甲90克。
因此，均衡结果是甲90克，乙10克
讨价还价实例
同学们可以自己推导一下，第9回合和第十回合的均衡结果是多少？
讨价还价实例
第9回合，甲60克，乙40克；
第10回合，甲乙各50克。
推导过程9和10回合.doc
讨价还价实例
结论：
1，低于10回合外，谁最后提议，谁有优势。
2，谈判的回合越多，两人的利益分享额越接近平均分配。
3，回合足够多得话，平均分配合作利益。
