期货期权FUTURES OPTION期权的Delta对冲策略对比分析Comparative Analysis of Options Delta Hedging Strategies邓璎函（中信建投期货，重庆 400015）摘要：期权的非系统对冲方法（以固定时间间隔进行对冲、对冲至一个delta带、根据标的资产价格变化的对冲）有各种缺陷。基于效用最大化的方法Hodges-Neuberger范式从理论上解决了对冲问题，但在实践中难以实施，于是有了Whalley-Wilmott渐近方法和Zakamouline双渐近方法。 本文详细分析了Whalley-Wilmott方法和Zakamouline方法的特性。并分别通过Monte Carlo模拟进行动态对冲模拟和实际的恒生指数期权与期货的对冲，对比分析了三种方法（以固定时间间隔进行对冲、Whalley-Wilmott方法和Zakamouline方法）的对冲效果。实证分析结果表明，对冲能够有效地减少巨额亏损的风险，且Whalley-Wilmott方法和Zakamouline方法比以固定时间间隔进行对冲的方法更节约成本，也更加有效。关键词：期权的非系统对冲方法 Whalley-Wilmott方法 Zakamouline双渐近方法BSM公式的推导中使用了对冲的概之后很长一段时间内，对冲都没有被定量念，在实际交易中，使用对冲手段来消除化，因此早期的对冲策略都属于非系统化标的资产的价格风险敞口是很有必要的。对冲。此外我们也需要用对冲来隔离波动率敞（一）以固定的时间间隔进行对冲口。最简单的对冲策略就是在固定的时廉价且有效的对冲手段的重要性不言间间隔进行对冲。在每个时段的末尾，执而喻，成功的对冲是以最少的成本移除尽行交易以保证标的资产组合的总delta值为可能多的风险。0（由于受到交易单位为离散值的限制，delta值尽可能接近于0）。这个办法实施一、非系统对冲方法起来比较简单，而且易于理解，但是在选不同交易员都有各自的方法来决定择对冲的时间间隔时显得有些随意。很显什么时候调整对冲头寸，在期权定价理论然，提高对冲频率可以降低风险，但反57
期货与金融衍生品FUTURES AND FINANCIAL DERIVATIVES之，降低对冲频率可以降低成本。John C. 义一个效用函数，然后最大化该效用函数的Hull的书中“Delta对冲的动态过程”的例期望值来确定具体的对冲策略的参数。子就是这种方法。（一）效用理论（二）对冲至一个delta带效用理论是领导者进行决策方案选择这种方法首先应该确定一个固定的时采用的一种理论。经济学将市场参加者能容忍的delta敞口，当delta超过这个数值的风险偏好分为三类：风险厌恶、风险爱时，交易员就进行对冲。这个delta带就好和风险中性。是一个无需对冲的区间（No-Transaction 对交易员来说，合理的效用函数最重Region），delta带的边界满足如下表达式：要的是：（1）函数曲线的斜率为正，因为钱总是越多越好；（2）函数是向下凹的，因为当交易涉及更多的金额时，交易其中，是常数。员会逐渐变得厌恶风险。交易员需要主观确定这个delta区间可以通过Arrow-Pratt绝对风险厌恶系的大小，且确定的delta区间不是固定不变数来量化风险厌恶的程度：的，而是取决于期权头寸。因此这个方法 需要随时进行调整才能实现。（三）根据标的资产价格变化来对冲指数效用函数是一个常用的效用函数：使用这个策略的时候，交易员在标的资产价格变化到一定量之后，才对delta这个效用函数的特点是具有恒定的绝对进行相应的调整。但是此方法需要主观确风险厌恶值，与财富拥有量无关。定适合触发调整平衡的价格变化量，以及假设未来财富的均值为，标准差为刻画价格变化的指标的选择，如百分比变，那么化、绝对价格变化、重要的技术水平、隐含波动率、历史波动率等。因此可知确定性等价量，进一步得到风险厌恶系数的表达式：二、基于效用最大化的对冲方法对冲实际上必须在降低风险和产生成本两者之间进行权衡。当经济学家研究类（二）Hodges-Neuberger方法似的权衡问题时，他们通常会使用效用的Hodges和Neuberger(1989)采用指数效概念，作为在不同方法之间进行比较和选用函数，利用随机控制中求效用最大化的择的框架基础。方法对期权进行定价，得到一个无需对冲效用最大化策略试图寻求一种全局最优的区间（No-Transaction Region）。当对的对冲策略。其做法是，首先为对冲策略定冲头寸低于无需对冲区域的下限时，必须58
期货期权FUTURES OPTION买进标的股票使之达到该下限值；反之，，是交易证券的总数如果对冲头寸高于无需对冲区域的上限量；是BSM模型的gamma值；是风险厌时，须卖出标的股票使之等于该上限值；恶系数。当对冲头寸处于无需对冲区域时则不进行（四）Zakamouline的双渐近解任何交易。Zakamouline(2006)研究了基于效用的关于这个无需对冲的区间：1. 空头和对冲策略的特性，并提出了一个对冲策略多头要区别对待，用不同的方法对冲。空公式，它能够保持Hodges-Neuberger模型头的对冲带要更窄一些，即对空头头寸的最重要的特性。这个对冲带具有以下形对冲更为保守。2. 最优的delta对冲带并未式：完全覆盖BSM模型中的delta。在交易成本存在的情况下，由BSM得到的完美对冲头这个对冲带不是以BSM delta为中心寸量是需要调整的。的，而是根据修正后的波动率计算出的遗憾的是，该方法的估计等式没有解BSM delta为中心的。其中，析解，而即使是数值求解也非常复杂，因此在实践中难以实施。（三）Whalley-Wilmott的渐近解Whalley和 Wilmott(1997)在假设交易成本相对于BSM公式中的期权价格而言很小的情况下，通过对最优化系统的渐进分析，提出了一个相对容易实行的对冲算法。他们采用的是Global-in-time方法，即是与gamma相关的项，与其在通过提供一个决策规则，在每个时间瞬间Whalley-Wilmott模型中的作用类似。项监控股价并决定是否进行对冲头寸调整，使得对于深度价外期权而言（gamma可视解决因连续交易而带来的交易成本问题。为0时），对冲带的宽度也不等于0，这与渐进分析的结果是，得到一个相对简单的Hodges-Neuberger模型的精确数值解的结用以计算无需对冲区域的公式。他们得到果一致。一个围绕 Black-Scholes 模型的 delta 值的对冲带，对冲带的边界满足如下表达式：三、实证分析（一）Whalley-Wilmott与Zakamouline的特性分析其中，1. Whalley-Wilmott的特性分析为了考察Whalley-Wilmott的渐近方法的特性，本文找出了使用该方法得到的对其中，是按比例计算的交易成本：59
期货与金融衍生品FUTURES AND FINANCIAL DERIVATIVES冲带与BSM delta的函数关系。图1展示了当交易成本改变时，对冲带的宽度也一个使用该方法进行对冲的对冲带，它使会改变。分析发现当交易成本下降时，对用的例子是波动率为的一年期看涨期冲带宽度变小，且当交易成本为0时，对权，交易成本为，持仓成本为0，利率冲带就变成了BSM delta线。如图2所示，为，风险厌恶系数为1。左侧是交易成本为的情形，右侧是交由图1可知，对冲带是以BSM delta为易成本为的情形。中心的，gamma多头和gamma空头所对应当调整风险厌恶系数时，对冲带的宽的对冲带是对称的，看涨期权和看跌期权度会改变，分析发现当风险厌恶系数上升的对冲带形状完全一样。的时候，对冲带的宽度会减小。如图3所 图1 Whalley-Wilmott的渐近方法得到的对冲带与BSM delta的函数关系 图2 Whalley-Wilmott的渐近方法下交易成本不同的比较 图3 Whalley-Wilmott的渐近方法下风险厌恶系数不同的比较60
期货期权FUTURES OPTION示，左侧是风险厌恶系数为1的情形，右②对冲带是以BSM delta为中心的。侧是风险厌恶系数为5的情形。2. Zakamouline的特性分析这一方法的特点有：为了考察Zakamouline的渐近方法的特①当交易成本降低时，对冲带的宽度性，本文同样找出了使用该方法得到的对也会减小。当交易成本为0时，对冲带就冲带与BSM delta的函数关系。图4、图5展变成了BSM delta线，这和完整的Hodges-示了一个使用该方法进行对冲的对冲带，Neuberger理论是一致的。它使用的例子仍是波动率为的一年期看②当风险厌恶系数上升的时候，对涨期权，交易成本为，持仓成本为0，冲带的宽度会减小，这和完整的Hodges-利率为，风险厌恶系数为1。Neuberger理论是一致的。由图4、图5可以明显的看出，比起③这个方法也可用于处理其他不同形Whalley-Wilmott方法，Zakamouline的方式的交易成本，即改变trading cost公式。法更接近Hodges-Neuberger模型的结果：这一方法的不足之处以及与完整的（1）无需对冲的区间中间的那部分与BSMHodges-Neuberger方法不同的是：没有重叠，这正是由于使用了修正过的对①gamma多头和gamma空头所对应的对冲波动率；（2）多头和空头的对冲带并冲带对称了。渐近解的大小只与gamma的绝不对称，期权空头的对冲带更窄一些。另对大小有关，而与gamma头寸方向无关了。外，看涨期权和看跌期权的对冲带形状完图4 Zakamouline的渐近方法得到的空头对冲带与BSM delta的函数关系 图5 Zakamouline的渐近方法得到的多头对冲带与BSM delta的函数关系61
期货与金融衍生品FUTURES AND FINANCIAL DERIVATIVES全一样。多头还可以发现，当交易成本下降时，空当交易成本改变时，对冲带的宽度也头和多头就越来越趋近于对称，不对称性会改变。分析发现当交易成本下降时，对减小。如图6所示，左侧是交易成本为冲带宽度变小，且当交易成本为0时，对冲的情形，右侧是交易成本为的情形。带就变成了BSM delta线。同时对比空头和当调整风险厌恶系数时，对冲带的图6 Zakamouline的渐近方法下交易成本不同的比较 图7 Zakamouline的渐近方法下风险厌恶系数不同的比较62
期货期权FUTURES OPTION宽度会改变，分析发现当风险厌恶系数上中抽取样本，带入股价行为模型从而得升的时候，对冲带的宽度会减小。同时对到股票价格的轨迹。比空头和多头还可以发现，当风险厌恶系图8给出了三次20个星期的股价模拟数上升时，空头和多头的不对称性加剧。路径图。股票初始价格为49，股票价格波如图7所示，左侧是风险厌恶系数为1的情动率是每年20%，股票的预期收益率是每形，右侧是风险厌恶系数为5的情形。年13%。模拟的时间间隔为1分钟。这一方法的特点有：①对冲带不是以BSM delta为中心的，而是以修正后的波动率σ计算出的BSM mdelta线（图中虚线）为中心的。②gamma多头和gamma空头所对应的对冲带不是对称的。③当交易成本降低时，对冲带的宽度也会减小，空头和多头不对称性减少。当交易成本为0时，对冲带就变成了BSM delta线，空头和多头也完全对称了。④当风险厌恶系数上升的时候，对冲带的宽度会减小，空头和多头的不对称性加剧。⑤这个方法也可用于处理其他不同形式的交易成本，即改变trading cost公式。（二）动态对冲模拟1.图8 股价模拟路径图 Monte Carlo模拟股价描述股票价格行为最广泛的模型是：2. 用不同方法进行delta动态对冲采用与John C. Hull的书中“Delta对冲其中，是股票价格波动率，为股票的动态过程”的例子相同的假设：某机构价格的预期收益率。其离散形式为：出售100000股不付红利股票的欧式看涨期权，股票初始价格为49，执行价格为50，其中，为短时间后股票价格的无风险利率是每年5%，股票价格波动率是变化，为标准正态分布的随机抽样值，每年20%，距离到期时间还有20周，股票。的预期收益率是每年13%。假设交易成本Monte Carlo是从该随机过程中随机取为，风险厌恶系数为1。样的一种方法。我们通过不断的从63
期货与金融衍生品FUTURES AND FINANCIAL DERIVATIVES在非系统对冲方法中，以固定时间间表1是三次模拟的结果，假设期权的卖隔进行对冲是最常用的。本文分别给出了价是BSM的价格。如果期权到期时为实值期以固定时间为1周的间隔进行delta对冲、权，那么就会被执行，对冲的损益=卖出股以Whalley-Wilmott模型进行delta对冲、以票收入+期权费-累计成本，由表中结果可Zakamouline模型进行delta对冲的三次模拟知，不对冲的损益显著大于对冲后的损益；过程。三次模拟的股票价格的路径与上节如果期权到期时是虚值期权，那么就不会被中Monte Carlo模拟股价相同。执行，对冲的损益=期权费-累计成本，这图9给出了三次模拟的Whalley-Wilmott时损益可能是负值，但是不大。其中，BSM和Zakamouline的delta带，黑色为delta随时的期权费为，100 000股期权费应为：间变化的曲线，红色为delta带随时间变化。的曲线。可以看出：Zakamouline的delta为了进一步考察并比较动态对冲的损带较窄；在到期时刻，Whalley-Wilmott的益，本文用Monte Carlo模拟股票价格变化delta带是收敛的，而Zakamouline的delta带1000次，所得如表2所示。是发散的；Whalley-Wilmott的delta带是对由上述结果可知，进行对冲的目的称的，而Zakamouline的delta带在股价下降是：支付少量资金防止巨额亏损。对三种时下方较窄、在股价上升时上方较窄。对冲方法比较：Whalley-Wilmott模型和图9 三次模拟的Whalley-Wilmott和Zakamouline的delta带64
期货期权FUTURES OPTION表1 不同对冲方法的三次模拟结果比较分析期权类型到期股票价格卖股收入BSM期权费不对冲总损益对冲方法累计成本对冲总损益固定时间5 274 170-29 448模拟一实值 000 000244711-338 320Zak模型5 246 344-1 622WW模型5 236 0898 633期权类型到期股票价格卖股收入BSM期权费不对冲总损益对冲方法累计成本对冲总损益固定时间297 -53 模拟二虚值 711Zak模型282 -37 模型296 -52 期权类型到期股票价格卖股收入BSM期权费不对冲总损益对冲方法累计成本对冲总损益固定时间5 177 43767 实值模拟三靠近 000 000244711187 模型5 247 409-2 687平值WW模型5 279 730-35 008表2 Monte Carlo模拟结果统计对冲损益到期价格区间概率不对冲损益固定时间Zak模型WW模型 711-67 -46 208-19 711-41 -42 -34 711-39 -4 8100-32 711-41 -44 -52 -45 -48 -54 -137 156-66 -48 -41 -478 802-42 -49 885-30 -963 858-48 -44 -41 +-1 536 377-47 -45 -22 模型的净支出相比固定时间的保值效果参数以期权保值支出的标准差与净支出少，特别是期权到期时为深度实值该期权的BSM价格的比率来衡量，完全对或深度虚值，这应该是由于对冲带的设置冲策略中，保值效果参数等于0。表3列出减少了交易次数，从而减少了交易成本；了本文在上一小节进行Monte Carlo模拟股Whalley-Wilmott模型与Zakamouline模型相票价格变化1000次的三种对冲方法delta保比，期权到期时为深度实值或深度虚值时值效果的统计数据。Whalley-Wilmott模型的净支出更少，这应表3 delta对冲效果固定时间Zak模型WW模型该是由于Zakamouline模型的对冲带相对较保值效果度量窄。3. 不同方法进行delta动态对冲的套期从结果可知，Whalley-Wilmott模型和保值效果Zakamouline模型的对冲方法的保值效果略套期保值效果用保值效果参数评价，好于固定时间间隔对冲方法。65
期货与金融衍生品FUTURES AND FINANCIAL DERIVATIVES（三）恒生指数期权和期货的delta动 C22200的收盘价为826，则期态对冲权费收入为826000，算上时间价值，到期delta对冲实际上是使保值头寸保持时刻期权费收入相当于。表4给delta中性的状态，上文中使用股票对期权出了对冲与不对冲的损益分析，可知进行进行对冲，实际上期货也可以对期权进行对冲后损失减少。表5列出了三种方法此对冲。期货的delta为：次对冲的delta保值效果数据。表4 2013年4月1日 C22200空头的对冲与不对冲的损益分析其中，为期货合约的到期日，为无到期损益期权费收入到期总损益风险利率，为红利率。不对冲-1007040846 910 -160 130实际操作中，标的资产价格大幅度的卖出期货累计成本期权费收入到期总损益Zak模频繁跳跃可能会影响Whalley-Wilmott方23 182 000-23 935 045 846 910 93 865 型对冲法和ZWW模akamouline方法的有效性，我们可23 182 000-23 916 971 846 910 111 940 型对冲以考虑将以固定时间间隔对冲方法与其相固定时间间隔23 182 000 -24 182 957 846 910 -154 046 结合，即在固定时间间隔的基础上再使用对冲Whalley-Wilmott方法或Zakamouline方法。本文用对冲，表5 2013年4月1日 C22200空头的几种delta对冲的效果使用HSI过去30天的历史波动率作为动态固定时间间隔ZakamoulineWhalley-波动率。同样假设交易成本为，风对冲模型模型Wilmott模型险厌恶系数为1，数量为1000份合约。由保值效果度量 于恒生指数的动态波动率变化比较大且频繁，本文使用了在固定时间间隔的基础上如果是在2013年7月1日卖出期权合约的Zakamouline模型和Whalley-Wilmott模 C22200，并用进行型，以及以固定时间间隔进行对冲三种方delta对冲，到期时间为2013年9月27日，法，固定时间间隔周期均为一周（5个交期间一共63个交易日。2013年7月1日的易日）。 C22200为虚值期权，到期时为深以卖出期权合约 C22200的度实值的期权。如果没有对冲，则面临巨对冲为例，假设2013年4月1日卖出1 000股额亏损。2013年7月1日 C22200的HS收盘价为188，则期权费收入为188000，算 C22200，并用进行delta对冲，到期时间为2013年9月27日，上时间价值，到期时刻期权费收入相当于期间一共120个交易日。2013年4月1日的。表6给出了对冲与不对冲的损益HS分析，可知进行对冲后呈现收益状态，而 C22200为接近平值的实值期权，到期时为深度实值的期权，如果没有不对冲则亏损。表7列出了三种方法此次对对冲，则面临巨额亏损。2013年4月1日冲的delta保值效果数据，。66
期货期权FUTURES OPTION表6 2013年7月1日 C22200空头表7 2013年7月1日 C22200空头的对冲与不对冲的损益分析的几种delta对冲的效果固定时间间隔ZakamoulineWhalley-到期损益期权费收入到期总损益对冲模型模型Wilmott模型-1 007 不对冲190 365 -816 675 保值效果度量 040卖出期货累计成本期权费收入到期总损益Zak模23 182 000-22 340 467 190 365 1 031 897 从上面的对冲损益和保值效果参数型对冲WW模23 182 000-22 282 411 190 365 1 089 954 的结果都能看出， Zakamouline模型、型对冲固定时Whalley-Wilmott模型比以固定时间间隔对间间隔23 182 000 -22 768 182 190 365 604 183 冲更节约成本、更有效。对冲作者简介：邓璎函，女，中信建投期货研究发展部研究员，邮箱：dengyinghan@。参考文献[1] Hodges, S., and A. Neuberger. 1989. Optimal Replication of Contingent Claims Under Transaction Costs. Review of Futures Markets 8: 222~239.[2] Hull, . Options, Futures and Other Derivatives, 6th edition. New York: Prentice Hall.[3] Sinclair, E. Volatility Trading. New York: John Wiley & Sons.[4] Whalley, A. E., and P. Wilmott. 1993. An Asymptotic Analysis of the Davis, Panas and Zariphopoulou Model for Option Pricing with Transaction Costs. Working paper, Oxford Centre for Industrial and Applied Mathematics.[5] Whalley, A. E., and P. Wilmott. 1994. Optimal Hedging of Options with Small but Arbitrary Transaction Cost Structure. Working paper, Oxford Centre for Industrial and Applied Mathematics.[6] Zakamouline, V. 2006. Optimal Hedging of Complex Option Positions with Transaction Costs. Working paper, Faculty of Economics, Agder University College, Norway.（责任编辑 罗 麟）67
