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离散广义控制大系统的状态反馈镇定
陈园园，孙水玲，陈潮填
广东技术师范学院 计算机科学学院 ，广州（510665）
摘 要：本文在所有孤立子系统都是正则，具有因果关系且 R-能控的条件下，运用广义
Lyapunov 矩阵方程，加权和型 Lyapunov 函数方法和矩阵理论方法研究了离散广义控制大
系统状态反馈镇定性，给出了大系统渐近稳定性的充分条件和关联参数稳定域。最后，用一
个算例说明了方法的实用性。
关键字：离散广义大系统；控制系统；渐近稳定；镇定；加权和 Lyapunov函数；状态反馈
1 引言
自 1974 年 Rosenbrock 提出广义系统以来，人们已经发现在航空、电力、机械、化工等
工程和经济、人口等系统中广泛存在着广义系统。而上述的这些系统中往往会有多个广义系
统，这些广义系统就组成了广义大系统。广义大系统有较为实际的背景，能更好地描述实际
生产过程，离散广义大系统更是如此，因而对离散广义大系统的控制问题研究的意义就更明
显。由于离散广义大系统特有的正则性与因果性，使有关结果变得复杂而富于挑战性。文献
[2]采用标量 Lyapunov 函数研究了离散广义大系统的渐近稳定与镇定，本文利用向量
Lyapunov 函数方法研究了同一问题，并给出了关联参数稳定域。
2 问题描述和定义
考虑如下的离散线性广义控制大系统
( ) ( ) ( ) ( )( )
1,
1 1,2,
m
i i ii i ij j i i
j j i
Ex k Ax k Ax k BU k i m
= ≠
+ = + + =∑ " （1）
其中 ( ) inix k R∈ 是半状态列向量， imiU R∈ 是控制输入向量； iiA , i in niE R ×∈ ，
i in m
iB R
×∈ 为常数矩阵；
1
m
i
i
n n
=
=∑ ，
1
m
i
i
m n
=
=∑ ，
1
m
i
i
r r
=
=∑ ， ( )i i irank E r n= ≤ ，
( )1, 2, , mE Block diag E E E= − " ， ( )rank E r n= < ，
( )1 2, , , mB Block diag B B B= − " 。
现在给出离散广义系统
( ) ( )1Ex k Ax k+ = （2）
及离散广义控制系统
( ) ( ) ( )1Ex k Ax k Bu k+ = + ( )1, ,k N= " （3）
的一些概念。
其中 A , n nE R ×∈ ， n mB R ×∈ 是常数矩阵， ( )rank E r n= < ， ( ) nx k R∈ 是半状态向量，
( ) mu k R∈ 是控制输入向量。
定义 1 离散广义系统（2）是正则的，如果存在 z C∈ ,使 ( )det 0zE A− ≠ .
定义 2 离散广义系统（2）的零解是稳定的，如果对于任意 0ε > ，存在 0δ > ，使得当
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0x δ< 时，恒有 ( )0, 0x k k x ε<； ， ( )0k k≥ ，其中 ( )x k 是满足 ( )0 0x k x= 的解。
定义 3 离散广义系统（3）称为具有因果关系，若任一时刻 ( )x k ( 0 k N≤ ≤ )能由 ( )0x
和 k 以前（连同 k）的控制输入 ( ) ( )0 , ,u u k" 唯一确定。否则就称它不具有因果关系。
现在考虑系统（1）的孤立子系统
( ) ( ) ( )1i i ii i i iE x k A x k Bu k+ = + ( )1, ,i m= " （4）
假设系统（4）都是 R-能控的，我们选取系统（4）的线性控制律
( ) ( )i i iU k K x k= − （5）
则（1）的闭环广义大系统为
( ) ( ) ( ) ( )
1,
1
m
i i ii i i i ij j
j j i
E x k A B K x k A X k
= ≠
+ = − + ∑ ( )1, ,i m= " （6）
相应的闭环孤立子系统为
3 主要结果
为了考察广义大系统（1）的稳定性，给出下列引理：
引理 1[6] 离散广义系统（3）具有因果关系的充要条
件是
( ){ } ( )deg det zE A rank E− = .
引理 2[6] 系统（3）是 R-能控的，若存在 z C∈ 使
[rank zE A− ]B = n .
引理 3[5] 若 , nu v R∈ , n nV R ×∈ 是半正定矩阵，则对 0ε∀ > ,有
12 T T Tu Vv u Vu v Vvε ε −≤ +
引理 4[7] 若系统（2）正则且具有因果关系，则它渐近稳定的充要条件是对任意给定
的正定矩阵W ,存在半正定矩阵V 满足
T T TA VA E VE E WE− = −
引理 5[8] 若系统（2）正则，具有因果关系，且关于Ex的二次标量函数 ( )v Ex 满足下
列条件：
(a) ( ) ( )( ) ( )( )Tv Ex Ex k V Ex k= ， 其 中 V 是 半 正 定 矩 阵 ， 且
( ) ( )Trank E VE rank E r= = ；
(b) ( ) ( )( ) ( )( )TV EX Ex k W Ex kΔ ≤ − ,其中W 是正定矩阵；
则系统（2）的子平衡态 0Ex = 渐近稳定。
定理 1 若离散广义控制大系统（1）的所有孤立子系统 R-能控，所有闭环孤立子系统
（7）正则，具有因果关系且渐近稳定，如果存在实数 0δ > 满足
( ) ( )2 2ij j j jA x k E x kδ≤ ( ), 1,i j m= " （8）
则当下式成立时
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( ) ( ) ( ) ( )2 2 1m i M i M iW V m Vλ λ δλ− + − − ( ) ( )
1
2 1 0
m
M i
i
m Vδλ
=
+ − <∑ （9）
系统（1）的闭环大系统（6）的零解是渐近稳定的。其关联参数稳定域由（9）给出。
证明：（7）正则且具有因果关系，由其渐近稳定，则对任意给定的正定矩阵 iW ，Lyapunov
方程
( ) ( )T T Tii i i i ii i i i i i i i i iA BKC V A BKC E VE E WE− − − = −
有半正定解 iV 。以矩阵 iV 构造二次型
( ) ( ) ( )Ti i i i i i i iv E x k E x k V E x k=⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
作为子系统（7）的 Lyapunov 函数。令
( ) ( )( )
1
m
i i i i
i
v Ex k a v E x k
=
=⎡ ⎤⎣ ⎦ ∑
为系统（1）的向量 Lyapunov 函数。其中 ia 为正的常数。我们有
( ) ( )6i i iv E x kΔ ⎡ ⎤⎣ ⎦
= ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( )61 1T Ti i i i i i i i i iEx k V Ex k Ex k V Ex k+ + −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ( ) ( ) ( )
1,
T
m
ii i i i i ij j i
j j i
A B K C x k A x k V
= ≠
⎡ ⎤− +⎢ ⎥⎣ ⎦∑
( ) ( ) ( )
1,
m
ii i i i i ij j
j j i
A BK C x k A x k
= ≠
⎡ ⎤× − +⎢ ⎥⎣ ⎦∑
( ) ( )Ti i i i iE x k V E x k− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
= ( ) ( ) ( ) ( )T T Ti ii i i i ii i i i i i ix k A BK V A BK E VE x k⎡ ⎤− − −⎣ ⎦
( ) ( ) ( )
1,
mT
ii i i i i ij j
j j i
A B K x k V A x k
= ≠
⎡ ⎤+ −⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑
( ) ( ) ( )
1,
T
m
ij j i ii i i i
j j i
A x k V A B K x k
= ≠
⎡ ⎤+ −⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦∑
( ) ( )
1, 1,
T
m m
ij j i ij j
j j i j j i
A x k V A x k
= ≠ = ≠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑
由引理 3，取 1ε = ，有
( ) ( )6i i iv E x kΔ ⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( ) ( )T Ti i i i ix k E W E x k≤ − ( ) ( ) ( ) ( )Tii i i i i ii i i iA B K x k V A B K x k+ − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
+ ( ) ( )
1, 1,
2
T
m m
ij j i ij j
j i j j i j
A x k V A x k
= ≠ = ≠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑
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= ( ) ( ) ( )T Ti i i i ix k E W E x k−
+ ( ) ( ) ( ) ( )T Ti ii i i i ii i i ix k A B K V A B K x k⎡ ⎤− −⎣ ⎦
+ ( ) ( )
1, 1,
2
T
m m
ij j i ij j
j j i j j i
A x k V A x k
= ≠ = ≠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑
= ( ) ( )2T T Ti i i i i i i ix k E W E E V E x k⎡ ⎤− +⎣ ⎦
+ ( ) ( )
1, 1,
2
T
m m
ij j i ij j
j j i j j i
A x k V A x k
= ≠ = ≠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑
由于 ( ) ( )
1, 1,
T
m m
ij j i ij j
j i j j j i
A x k V A x k
= ≠ = ≠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑
( ) ( )
1, 1,
Tm m
ij j i ij j
j j i j j i
A x k V A x k
= ≠ = ≠
⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑
( )( ) ( )
1, 1,
m m T
ij j i is s
j j i s s i
A x k V A x k
= ≠ = ≠
= ∑ ∑
( )( ) ( )
1, 1,
1 2
2
m m T
ij j i is s
j j i s s i
A x k V A x k
= ≠ = ≠
= ∑ ∑
( )( ) ( )
1, 1,
1
2
m m T
ij j i ij j
j j i s s i
A x k V A x k
= ≠ = ≠
⎡≤ ⎢⎣∑ ∑
( )( ) ( )Tis s i is sA x k V A x k+ ⎤⎦
( ) ( )( ) ( )
1, 1,
1
2
m m T
M i ij j ij j
j j i s s i
V A x k A x kλ
= ≠ = ≠
⎡= ⎢⎣∑ ∑
( )( ) ( )Tis s is sA x k A x k+ ⎤⎦
( ) ( )( ) ( )
1, 1,2
m m T
M i j j j j
j j i s s i
V E x k E x kδ λ
= ≠ = ≠
⎡≤ ⎢⎣∑ ∑
( )( ) ( )Ts s s sE x k E x k+ ⎤⎦
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1,
1
2
m T
M i j j j j
j j i
V m E x k E x kδ λ
= ≠
= −⎡⎣∑ ( )( ) ( )
1,
m T
s s s s
s s i
E x k E x k
= ≠
+ ⎤⎦∑
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1,
1
2
m T
M i j j j j
j j i
V m E x k E x kδ λ
= ≠
⎡= −⎢⎣ ∑
( ) ( )( ) ( )
1,
1
m T
s s s s
s s i
m E x k E x k
= ≠
+ − ⎤⎦∑
( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1,
2 1
2
m T
M i j j j j
j j i
V m E x k E x kδ λ
= ≠
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∑
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( ) ( ) ( )( ) ( )( )
1,
1
m T
M i j j j j
j j i
m V E x k E x kδλ
= ≠
= − ∑
故有 ( ) ( )6i i iv E x kΔ ⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( )2 Ti i i i iE x k W Ex k≤− ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦+ ( ) ( )Ti i i i iE x k V E x k⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( ) ( )
1,
2 1
m T
M i j j j j
j j i
m V E x E xδλ
= ≠
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑
≤ ( ) ( ) 22 m i i iW E x kλ− + ( ) ( )Ti i i i iE x k V E x k⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ( ) ( )
2
1,
2 1
m
M i j j
j j i
m V E xδλ
= ≠
+ − ∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 1m i M i M i i iW V m V E x kλ λ δλ≤ − + − −⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( ) 2
1
2 1
m
M i i i
i
m V E xδλ
=
+ − ∑
从而 ( ) ( )6v ExΔ
( ) ( ) ( ) ( )
1
2 2 1
m
i m i M i M i
i
a W V m Vλ λ δλ
=
≤ − + − −⎡⎣∑
( ) ( ) ( ) 2
1
2 1
m
M i i i
i
m V E x kδλ
=
⎤+ − ⎥⎦∑
而
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1m i M i M iW V m Vλ λ δλ− + − − ( ) ( )
1
2 1 0
m
M i
i
m Vδλ
=
+ − <∑ 由引理 5 可得 ( )lim 0k V Ex→∞ = ，
所以 ( )lim 0i i ik V E x→∞ = ，从而 ( )lim 0i ik E x k→∞ = .
下面证明 ( )lim 0
k
x k→∞ = 。由系统（7）正则且具有因果关系知道，存在可逆矩阵
iP , iQ ( )1,i m= " ,使得
( )1 0
0 0
i
i i i
IPEQ
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
， ( ) ( )200i ii i i i i
M
P A B K Q
I
⎡ ⎤− = ⎢ ⎥⎣ ⎦
令
( ) ( )
( ) ( )
1 12
21 2
ij ij
i i j i
ij ij
A A
PA Q
A A
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
， ( ), 1, , ,i j m i j= ≠" ; ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
1
1
2
i
i i i
i
z k
z k Q x k
z k
− ⎡ ⎤= = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
其中 ( )1iI 是 i ir r× 单位矩阵， ( )2iI 是 ( ) ( )i i i in r n r− × − 单位矩阵， iP， iQ ，M ， ( )1ijA ，
( )12
ijA ， ( )21ijA ， ( )2ijA 为相应维数的矩阵。则系统（6）等价于系统
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
1 1 1 1 12 2
1 2
1.
2 21 1 2 2
1 2
1.
1
0
m
i i ij j ij j
j j i
m
i ij j ij j
j j i
z k Mz k A z k A z k
z k A z k A z k
= ≠
= ≠
⎧ + = + +⎪⎪⎨⎪ = + +⎪⎩
∑
∑
由于 ( ) ( ) ( )( )1 1 0i i i i iz k I PE x= ，
则由 ( )lim 0i ik E x k→∞ = 可知 ( ) ( )1lim 0ik z k→∞ = .
又由于 ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 12 1
21 2 2
ij ij j
i ij j
ij ij j
A A z k
PA x k
A A z k
⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
，则
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )21 1 2 21 2ij j ij jA z k A z k+ = ( )( ) ( )20 i i ij jI PA x k ,由（8）式知 ( )lim 0ij jk A x k→∞ = ,即
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )21 1 2 21 2lim 0ij j ij jk A z k A z k→∞ + = , 从 而 ( ) ( )2lim 0ik z k→∞ = . 所 以 ( )lim 0ik z k→∞ = , 即
( )lim 0
k
x k→∞ = .
定理 1 得证。
定理 2 若离散广义控制大系统（1）的所有孤立子系统 R-能控，所有闭环孤立子系统
（7）正则，具有因果关系，且对任意给定的 i in n× 正定矩阵 iW ,存在正定矩阵 iV ,满足
( ) ( )T T Tii i i i ii i i i i i i i i iA BK C V A BKC E VE E WE− − − = ，
( )1,i m= " ，且存在实数 0δ > 满足
( ) ( )2 2ij j j jA x k E x kδ≤ ( ), 1,i j m= "
则当下式成立时
( ) ( ) ( ) ( )2 2 1m i M i M iW V m Vλ λ δλ− + − − ( ) ( )
1
2 1 0
m
M i
i
m Vδλ
=
+ − <∑
闭环广义大系统（6）的零解是不稳定的。
4 算例
考虑如下由两子系统构成的五阶离散广义控制大系统
( ) ( ) ( ) ( )2
1,
1i i ii i ij j i i
j j i
E x k A x k A x k BU k
= ≠
+ = + +∑ ( )1, 2i =
1
1 0 0
0 0 1
0 0 0
E
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
, 2
1 0
0 0
E ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
, 1
0 1
0 1
1 0
B
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
, 2
0
1
2
B
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎝ ⎠
, 11
1 0 0
2
10 0
2
0 1 0
A
⎛ ⎞−⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
,
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12
1 0
4
1 0
5
0 0
A
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
，
22
1 0
2
0 1
A
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎝ ⎠
， 21
1 10
6 6
1 10
5 5
A
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎜ ⎟⎝ ⎠
，
我们取控制律 ( ) ( )i i iU k K x k= − ( )1,2i =
1
10 0
2
0 0 0
K
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎝ ⎠
, 2
1 0
2
K ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠ ,
和 1 3W I= , 2 2W I= , 12δ = ，
则 1
4 0 0
3
40 0
3
0 0 0
V
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
, 2
4 0
3
0 0
V
⎛ ⎞⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
,
容易验证，它们满足式（8）和（9）。由定理 1 知，该系统是镇定的。
5 结论
本文主要用加权和型的 Lyapunov 函数方法研究了状态反馈作用下的离散广义控制大系
统的镇定性，得到了相应的闭环广义大系统渐近稳定的充分条件，并给出了关联参数稳定域
与不稳定域。这种方法的好 处是可以选取适当的 ia ，使关联参数稳定域更大。
参考文献
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联参数域[J].华南理工大学学报，1996
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State Feedback Stabilization of Discrete Singular
Large-scale Control Systems
Chen Yuanyuan, Sun Shuiling, Chen Chaotian
Computer and Mathematics Science Faculty, Guangdong Polytechnic Normal University,
Guangzhou (510665 )
Abstract
This paper studies the state feedback stabilization of discrete singular large-scale control systems by
using Lyapunov matrix equation, weighted sum Lyapunov function method and matrix theory. There
gives some sufficient conditions for determining the asymptotical stability and unstability of the
corresponding singular closed-loop large-scale systems while the subsystems are regular, causal and
R-controllable. At last, an example is given to show the application of main result.
Keywords: discrete singular large-scale system; control system; asymptotical stability; stabilization;
weighted sum Lyapunov function; state feedback
