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宏观经济系统的信息融合跟踪控制
匡羽，王志胜，甄子洋
南京航空航天大学，南京 （210016）
摘 要：本文基于融合估计理论，研究了一种宏观经济系统模型的跟踪控制。首先，将宏观
经济系统模型转化为状态空间形式；然后，采用信息融合控制的序贯解法，对宏观经济系统
进行控制, 以保证总产出跟踪期望值稳定增长；最后，通过数学仿真验证了本文算法的有效
性。
关键词：宏观经济系统，信息融合，最优控制
1. 引言
对于宏观经济系统的动态模型，已经进行了许多控制理论方面的研究[1,2,4]。本章选取了
一类宏观经济离散系统[3]，以不同时期的总产出和货币利率为状态变量，以政府支出和货币
供应量作为控制变量，研究了系统总产出稳定增长的问题，设计了一个信息融合最优跟踪策
略。
在本文选取的系统中，国民总产出是指整个国家总产出的市场值，即国家所有产出的价
格总和[8]。直观上看来，国民总产出最直接的度量办法是将一年中全国生产的全部产品的价
格总加起来，然而，实践中，这种方法基本上是不可能实施的。但是，国民总产出的市场值
一定与人们购买这些产出支出的货币值相等，因此，可以用整个社会的总支出的货币值来测
量国民总产出。
本文将一个宏观经济系统的模型用状态空间形式表达出来，从而把控制系统总产出的稳
定增长转化为跟踪问题，采用信息融合理论进行求解。
2. 信息融合估计基本理论
定理 1[5] 设关于被估计量 nRx∈ 的各种信息均可表示为
iii vxHy +=ˆ ， ni ~1= (1)
式中， imi Ry ∈ˆ 为信息； nmi iRH ×∈ 为信息传递矩阵； imi Rv ∈ 为观测误差，且 0=][ ivE ，
⎩⎨
⎧
≠
==
ji
jiR
vvE iTji ,0
,
][ 。若∑
=
−n
i
ii
T
i HRH
1
1 为非奇异，则 xˆ是基于 iyˆ ， ni ~1= 的最优融合估计。
且
1
1
ˆ ˆ[ ] var[ ]
n
T
i i i
i
I x x x H R H−
=
= = ∑ (2)
{ } 1 1
1
ˆ ˆ ˆ[ ]
n
T
i i i
i
x I x x H R y
− −
=
= ∑ (3)
式中， ˆ[ ]I x x 表示 xˆ关于 x的信息量。
称式(1)为信息融合估计的统一线性模型，定理1为信息融合估计定理。称 1−iR 为信息 iyˆ 关
于自身的信息量，记作 1ˆ[ ]i i iI y y R −= ； iiTi HRH 1− 为 iyˆ 关于被估计量 x 的信息量，记作
ii
T
ii HRHxyI
1]ˆ[ −= 。所有关于被估计量 x的信息的信息量之和等于最优融合估计 xˆ关于自身
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的信息量，即 ∑
=
=
n
i
i xyIxxI
1
]ˆ[]ˆ[ ，如式(2)所示。通常，信息关于自身的信息量与该信息的协
方差互为倒数。
3. 基于信息融合理论的控制算法
系统建模
假设宏观经济系统总产出方程表示为
( ) ( ) ( ) ( )Y t C t G t I t= + + (4)
式中 ( )Y t 是表示以货币计算的国民总产出， ( )C t 表示总消费支出， ( )I t 表示总投资， ( )G t 表
示政府支出，为可控变量。
关于总消费支出 ( )C t 可以表示为上一期国民总产出的 ( 1)Y t − 的函数
( ) ( 1)C t bY t= − (5)
式中，有 0 1b< < 。
总投资 ( )I t 可以表示为和利率 ( )R t 与国民总产出 ( )Y t 有关的函数，即：
( ) [ ( 1) ( 2)] ( 1)I t g Y t Y t aR t= − − − + − (6)
式中， 0g > ， 0a < 。上式表明，当国民总产出增加时，可以诱发投资增加，而当利率上升
时，投资会降低。
利率 ( )R t 可以表示为：
( ) ( 1) [ ( 1) ( 1)]R t R t h L t M t= − + − − − (7)
式中 h为调节系数， ( )L t 为货币需求量， ( )M t 为货币供应量，是由国家控制的外生变量。上
式表明当货币供应量大于货币需求量时，利率下降，货币供应量小于货币需求量时，利率上
升。
货币需求量 ( )L t 可用如下方程表示：
( ) ( ) ( )L t dY t jR t= + (8)
式中 0d > ， 0j < 。上式表明，当总产出增加时，货币需求量随之增加，表现为式中右边第
一项，即交易需求量，当利率上升时，货币需求量随之减少，表现为式中右边第二项，即投
机需求量。
由以上(4)——(8)式可构成宏观经济系统动态模型。采用信息融合估计理论对该系统进
行控制，要求系统表示为状态空间模式。将以上宏观经济系统动态模型以状态空间形式描述
出来，取国民总产出 ( )Y t 和利率 ( )R t 为状态变量，令控制变量为政府支出 ( )G t ，货币供应量
( )M t 。取
1
2
3
( ) ( 2)
( ) ( 1)
( ) ( 1)
x t Y t
x t Y t
x t R t
= −⎧⎪ = −⎨⎪ = −⎩
为状态变量。取 1
2
( ) ( )
( ) ( 1)
u t G t
u t M t
=⎧⎨ = −⎩
为控制变量。其中 ( )G t 表示财政政
策， ( )M t 表示货币政策。
则宏观经济系统可以表达为：
( 1) ( ) ( )x t Ax t Bu t+ = + (9)
式中， 1 2 3( ) [ ( ), ( ), ( )]Tx t x t x t x t= ， 1 2( ) [ ( ), ( )]Tu t u t u t= ，
0 1 0
0 1
A g b g a
hd hj
⎡ ⎤⎢ ⎥= − +⎢ ⎥⎢ ⎥+⎣ ⎦
，
0 0
1 0
0
B
h
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
。
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令系统的输出函数为：
( ) ( ) ( ) ( )y t Y t Cx t Du t= = − (10)
式中， [ ]C g b g a= − + ， [1 0]D = 。
问题描述
为了使系统输出 ( )Y t 按给定的速度增长，取控制目标为 *( ) tY t Yλ= ⋅ ，其中 *Y 为期望输
出的初始值，λ为增长速度， *Y 、 λ均已知。基于信息融合理论，对由式(9) 、(10)构成的
系统设计一个最优跟踪器，对系统输出进行约束，令系统性能指标函数为
1
2 2*
( )( )
1 0
( ) ( ) ( ) 0
f fk k
N kM k
k k
J y k y k u k
−
= =
= − +∑ ∑ (11)
式中， * *( ) ty k Yλ= ⋅ ， fk 为终端时刻， ( )M k 和 ( )N k 为对称正定矩阵。
式(11)的右边第一项对系统输出进行约束，表示在控制期内使系统收支差额尽量减少。
这一项共提供了 fk 个输出信息，若以信息形式表示，即 ˆ[ (1) ]I y y ， ˆ[ (2) ]I y y ，"， ˆ[ ( ) ]fI y k y 。
写成信息融合估计的统一模型有
*
1( ) ( ) ( )y k y k v k= + (12)
式中， 1( )v k 为零均值、方差为 1( )M k− 的白噪声。若以信息形式表示，则信息量为
ˆ[ ( ) ] ( )I y k y M k= 。
考虑到式(9)， ˆ( )y k 关于 x的信息量为 ˆ[ ( ) ] ( )TI y k x C M k C= ； ˆ( )y k 关于 u的信息量为
ˆ[ ( ) ] ( )TI y k u D M k D= 。
式(11)的右边第二项对系统控制量进行约束，表示作为控制量的消耗尽量小，这一项共
提供了 fk 个期望输入信息，若以信息形式表示，即 ˆ[ (1) ]I u u ， ˆ[ (2) ]I u u ，"， ˆ[ ( ) ]fI u k u 。
写成信息融合估计的统一模型有
20 ( ) ( )u k v k= + (13)
式中，2 ( )v k 为零均值，方差为 1( )N k− 的白噪声。若以信息形式表示，则信息量为 ˆ[ ] ( )I u u N k= 。
另外，本文节中所建立的宏观经济系统模型属于确定性信息，记作 [ ]I x x 。模型一共
提供了 fk 个等式约束确定性信息。
综上，信息融合最优跟踪器的所有信息即上述 4 fk 个信息。而信息融合控制的任务就是
融合上述 4 fk 个信息，得到最优控制序列 ˆ(1)u ， ˆ(2)u ，"， ˆ( )u k ，使 J 最小。
求解步骤
采用基于信息融合理论的最优控制序列的序贯解法[6]，对问题进行迭代求解。
第一步，若已经求得 ( 1)x k + 的最优估计 ˆ( 1)x k + 及其信息量 ( 1)Q k + ，将 k时刻关于被估
计量 ( )x k 的所有信息可以概括为以下四个
( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = + (9)
*
1( ) ( ) ( ) ( )y k Cx k Du k v k= + + (14)
20 ( ) ( )u k v k= + (13)
ˆ( 1) ( 1) ( 1)x k x k q k+ = + + + (15)
其中，式(9)为确定性信息；式(14)为期望输出对系统状态的约束信息；式(13)为控制目标对
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系统控制量的约束信息；式(15)为系统状态量的估计信息。式(15)中， ( 1)q k + 为均值为0，
方差为 ( 1)Q k + 的白噪声。
将式(13)和式(15)代入式(9)和(14)，并整理后有
2ˆ( 1) ( 1) ( ) [0 ( )]x k q k Ax k B v k+ − + = + − (16)
*
2 1( ) ( ) (0 ( )) ( )y k Cx k D v k v k= + − + (17)
将式(16)写成 3ˆ( 1) ( ) ( )x k Ax k v k+ = + ，式中， 3 ( )v k 为均值为0、方差为 11 ( )L k− 的白噪声，且有
1 1 1
1 ( ) ( 1) ( )
TL k Q k BN k B− − −= + + 。将式(17)写成
*
4( ) ( ) ( )y k Cx k v k= + (18)
式中， 4 ( )v k 为均值为0，方差为 12 ( )L k− 的白噪声，且有
1 1 1
2 ( ) ( ) ( )
TL k M k DN k D− − −= + (19)
现在关于被估计量 ( )x k 的所有信息浓缩为式(14)和式(18)。根据定理1，融合式(14)和式
(18)，可求得 ( )x k 的信息量 ( )Q k 及其最优估计 ˆ( )x k 分别为
1 2( ) ( ) ( )
T TQ k A L k A C L k C= + (20)
1 *1 2ˆ ˆ( ) ( )[ ( ) ( 1) ( ) ( )]
T Tx k Q k A L k x k C L k y k−= + + (21)
再讨论最优融合 ˆ( )u k 的融合求法，关于被估计量 ( )u k 的所有信息概括为以下四个
( 1) ( ) ( )x k Ax k Bu k+ = + (9)
*
1( ) ( ) ( ) ( )y k Cx k Du k v k= + + (14)
20 ( ) ( )u k v k= + (13)
ˆ( 1) ( 1) ( 1)x k x k q k+ = + + + (15)
其中，式(9)、(14)、(13)、(15)分别为系统的确定性信息，控制目标中期望输出对系统控制
量的约束信息，控制目标对系统控制量的约束信息，系统状态量的估计信息。根据信息融合
定理，融合上述4个信息，可以求得 ( )u k 的信息量 ( )U k 及其最优融合 ˆ( )u k 分别为
( ) ( 1) ( ) ( )T TU k B Q k B N k D M k D= + + + (22)
[ ]( )1 *ˆ ˆ( ) ( ) ( 1) ( 1) ( ) ( ) ( ) ( )T Tu k U k B Q k x k Ax k D M k y k Cx k− ⎡ ⎤= + + − + −⎣ ⎦ (23)
在整个求解策略的算法过程中，信息的流向如图1所示。
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ˆ( )u k
(0)x
ˆ ( 1)x k −
# #
ˆ[ (0) ]I u u
ˆ[ (0) ]I y u
ˆ[ ]I x x
ˆ[ ( ) ]I y k x
ˆ[ ( ) ]I u k u
ˆ[ ]I x x
ˆ[ ( 1) ]I y k x−
ˆ[ ( 1) ]I u k u−
ˆ[ ]I x x
ˆ[ (1) ]I y x
ˆ[ (1) ]I u u
ˆ[ ]I x x
ˆ[ (1) ]I u u
ˆ[ (1) ]I y u
ˆ[ ]I x x
ˆ[ ( 2) ]I u k u−
ˆ[ ( 2) ]I y k u−
ˆ[ ]I x x
[ ]I x x
ˆ ( )x k
ˆ ( 1)x k +
ˆ (2)x
ˆ[ ( ) ]I u k u
ˆ[ ( ) ]I y k u
ˆ[ ]I x x
ˆ (1)x
ˆ[ ( 1) ]I u k u−
ˆ[ ( 1) ]I y k u−
ˆ[ ]I x x
ˆ(0)u
ˆ (1)u
ˆ( 2)u k −
ˆ ( 1)u k −
#
(1)x
( 2)x k −
( 1)x k −
( )x k
[ ]I x x
[ ]I x x
图 1 信息融合控制策略的信息流向图
4. 实例仿真
现把上面宏观经济系统的控制策略应用到我国的现实经济问题加以讨论。考虑系统(4)，
其中由参考文献[3]根据《1995年中国统计年鉴》和《1995年中国金融年鉴》数据，用最小
二乘法估计出相关参数为
= ； = ； = ； = ； = − ； = −
则按照本文的模型转换方式，转换成状态空间形式后有：
0 1 0
0
A
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
，
0 0
1 0
0
B
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦
，
[ ] = − ， [ ]1 0D =
按 照 参 考 文 献 [7] 的 方 法 ， 取 fk =100 ， ˆ( 1) 0x k + = ， ( 1) k + = ，
( ) 10M k = , 1 0
0 1
N ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦，取增长速度 λ = 。
根据本文的信息融合最优跟踪策略，可以求出总产出的序列为：
4190 4500 5770 6040 7540 8070 9880 10770 12980 14330
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17080 19050 22510 25310 29780 33890
而期望值为：
4094 4708 5414 6226 7160 8234 9469 10889 12522
14401 16561 19045 21902 25187 28965 33310
在图 2中可以直观的看出跟踪效果。
0 2 4 6 8 10 12 14 16
0
1
2
3
x 104
所求y值
期望值y*
图 2 采用信息融合跟踪策略的仿真结果
从图 2中可以看出，总产出的序列很好的跟踪了期望值，表明了本文中信息融合控制策
略对宏观经济系统的有效性。
5. 结语
本章通过一个宏观经济系统模型，选取了财政政策和货币政策作为控制量，对系统总产
出进行控制。研究了系统产出稳定增长的控制策略，通过设计信息融合最优跟踪器来达到控
制目标。仿真结果表明，信息融合最优跟踪器确实能使系统产出跟踪期望值并保持稳定的增
长速度。
参考文献
[1], 郭宝平，顾新华，国民经济系统消费跟踪控制理论的应用问题，系统工程，1992， 4(4)：23~27
[2], 匡永祝，宏观经济系统的最优反馈原理，武汉大学学报，1985，4：6~10
[3], 黄国石，关于宏观经济模型的一个控制策略，厦门大学学报，1998，37(1):19~23
[4], Chow G C, Control methods for macroeconomic policy analysis, American Economic Association, 1976, 66:
340~345
[5], 周军，王志胜，周凤岐. 基于线性均方估计的数据融合理论[J]. 宇航学报，24-4，2003：364~367
[6], 王志胜，王道波. 含理想控制策略和期望轨道的最优控制[J]. 控制与决策，21-1，2006：100~104
[7], 匡羽，非均衡微观经济系统的信息融合控制，南京航空航天大学第九届学术会议，2007，9：64~71
[8], 黄国石，经济控制论[M]，厦门：厦门大学出版社，1994.
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Information fusion tracking control for Macroeconomic
system
Kuang Yu，Wang Zhisheng，Zhen Ziyang
Nanjing University of aeronautics and astronautics，Nanjing (210016)
Abstract
A track control to one tape of macroeconomic system model is addressed based on the information
fusion theory. First, the macroeconomic system model is studied, and translated into a form of state
space; Second, using sequential method of information fusion control theory, control the system to
ensure the total output track to the goals, and last verified by simulation.
Keywords：Macroeconomic system，Information fusion，Optimal control
