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状态饱和线性离散系统的 H-infty 控制#
朱湘临，嵇小辅**
基金项目：国家自然科学基金项目(60904011); 江苏省自然科学基金项目(BK2011465); 教育部高等学校博
士学科点专项科研基金项目(20093227120010)
作者简介：朱湘临，(1963-)，男，副研究员，硕士生导师，主要从事鲁棒控制，生物反应过程优化控制等
方面。
通信联系人：嵇小辅，(1979-)，男，副教授，硕士生导师，从事鲁棒控制，约束控制等方面的研究。 E-mail:
xf_ji@
（江苏大学电气信息工程学院，江苏 镇江 212013）
摘要：研究了一类具有状态饱和约束的离散线性系统的 H-infty 控制问题。通过引入一个无5
穷范数小于等于 1 的自由变量，将状态饱和约束下的离散线性系统状态变量约束在一个凸
多面体内。在此基础上，给出了状态饱和离散线性系统的有界实引理，并给出了状态反馈控
制律设计算法。所得结论表示为双线性矩阵不等式，可以通过提出的迭代线性矩阵不等式算
法求解。数值例子验证了算法的正确性与有效性。
关键词：自动控制理论；离散线性系统；H-infty 控制；状态饱和；迭代线性矩阵不等式 10
中图分类号：TP273
H-infty Synthesis for Discrete Linear Systems with State
ZHU Xianglin, JI Xiaofu
(School of Electrical and Information Engineering, Jiangsu University, 15
JiangSu ZhenJiang 212013)
Abstract: This paper is concerned with H-iinfty synthesis problem for discrete linear systems with
state saturation nonlinearity. By introducing a free matrix whose infinity norm is less than or equal
to 1, the state under saturation constraint is confined in a convex hull. Based on this, a bounded
real lemma for discrete linear systems with state saturation is obtained in terms of matrix 20
inequalities that can be solved using the presented iterative linear matrix inequality algorithm. The
H-infty synthesis problem is also solved and an explicit expression for the desired state feedback
control law is given. A numerical example is used to show that the presented method is applicable
and effective.
Keywords: Automatic Control Theory; discrete linear system; H-infty control; state saturation; 25
iterative linear matrix inequality
0 引言
状态饱和离散线性系统在有位置与速度约束的机械系统、有限精度的计算机存储设备、
人工神经网络等工业对象中经常出现，该类系统的稳定性分析与反馈控制律设计问题目前已30
成为了控制界研究的热点问题之一[1]。如果在设计过程中忽略饱和因素的影响，则设计的控
制律并不能保证闭环系统的稳定性。
文献[2]首次给出了状态饱和离散线性系统渐近稳定的充分条件。作为特例，文献[3]给
出了状态饱和二阶离散线性系统的稳定性判据，并进一步推广到 n 阶系统[4]。通过设计特殊
形式的 Lyapunov 矩阵 P ，文献[5]给出了保守性较小的稳定性判据。通过计算饱和约束下状35
态变量与不饱和情形下状态变量的偏差，并引入适当的矩阵进行估计，文献[6], [7]给出了保
守性更小稳定性判据，并得到进一步推广[8],[9],[10],[12]。
本文讨论一类状态饱和离散线性系统的 H∞ 控制问题。通过引入无穷范数小于1的自由
矩阵，将状态饱和约束下的离散线性系统状态变量约束在一个凸多面体内，设计 Lyapunov
函数，给出了状态饱和离散线性系统的有界实引理，并在此基础上给出了H∞ 状态反馈控制40
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律设计算法。所给出了稳定性判据与反馈控制律都表示为双线性矩阵不等式，可以通过论文
提出的迭代线性矩阵不等式算法求解。理论分析表明，论文所给出的方法具有更小的保守性。
数值仿真验证了论文方法的有效性。
1 问题描述
考虑如下的状态饱和离散线性系统， 45
( 1) ( ( ) ( ) ( ))
( ) ( ) ( ) ( )
x k h Ax k Bu k B k
z k Cx k Du k D k
ω
ω
ω
ω
+ = + +
= + +
(1)
其中 ( ) : { ( ) : 1 ( ) 1, 1,2, , }
n n
ix k D x k x k i n∈ = ∈ℜ − ≤ ≤ = … 是状态向量， ( ) mu k ∈ℜ 是控制输入
向量， ( )
pkω ∈ℜ 是扰动输入向量， ( ) qz k ∈ℜ 是被调输出向量。 A ， B ， Bω ，C ，D ，Dω
是适当维数的常数矩阵。
系统(1)的饱和函数 ( ( ) ( ))h Ax k kξ+ 定义为 50
1 1 1
2 2 2
( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
( ( ) ( ))
( ( ) ( ))n n n
h A x k k
h A x k k
h Ax k k
h A x k k
ξ
ξξ
ξ
⎡ + ⎤⎢ ⎥+⎢ ⎥+ = ⎢ ⎥⎢ ⎥+ ⎥⎢ ⎦⎣
M
(2)
其中 iA 是矩阵 A 的第 i 行构成的行向量，即 1 2[ ]i i i inA a a a= L ， ( ) ( ) ( )k Bu k B kωξ ω= + ，
( )i kξ 是列向量 ( )kξ 的 i 个元素。
对于任意的 [1, ]i n∈ ，
1, 1
( ) , 1 1
1, 1
i
i i i i
i
v
h v v v
v
− < −⎧⎪= − ≤ ≤⎨⎪ >⎩
如
如
如
(3) 55
其中 ( ) ( )i i iv A x k kξ= + 。
系统(1)的H∞ 性能定义为
2
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )).( T T
k
J z k z k k kω γ ω ω
∞
=
= −∑
对于状态饱和离散线性系统(1)，给定 H∞ 性能指标 0γ > ，本文讨论如何设计状态反馈
控制律 ( ) ( )u k Kx k= ， m nK ×∈ℜ 使得闭环系统在 ( ) 0kω = 时是渐近稳定的，同时在零初始条件60
和有限能量扰动信号 ( )kω 输入下满足 ( ) 0J ω < 。
2 有界实引理
对于一组给定向量 1 2, , ,u u u… I ，定义其凸集为
1 1
co{ , [1, ]}: : 1, 0 .i ii i i
i i
u i uα α α
= =
⎧ ⎫⎪ ⎪∈ = = ≥⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭∑ ∑
I I
I
引理 1 (Hu et al.[1]) 定义 11 2, , , , mu u u u… ∈ℜI ， 21 2, , , , mv v v v… ∈ℜJ 。如果 co{ , [1, ]}iu u i∈ ∈ I ，65
co{ , [1, ]}jv v j∈ ∈ J ，则
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co{ : [1, ], [1, ]}
i
j
u u
i j
v v
⎡ ⎤⎡ ⎤ ∈ ∈ ∈⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
I J
(4)
定义 1 定义 nD 为 n n× 阶的对角元素为1或0 的对角矩阵的集合。很显然， nD 中有 2n 个
元素，分别定义为 iD 。定义 i iD I D
− = − 。显然，如果 niD ∈D ，则 i nD− ∈D 。
引理 2 令矩阵 [ ] n nijG g ×= ∈ℜ 满足 1G ∞ ≤ ，则 70
( ( ) ( )) co{ ( ( ) ( )) ( )}, [1, 2 ]ni ih Ax k k D Ax k k D Gx k iξ ξ −+ ∈ + + ∈ (5)
证明 注意到 1G ∞ ≤ 和 1ix ≤ ，( 1,2, , )i n= … ，有
1 1
1
n n
i ij j ij
j j
G x g x g G ∞
= =
≤ ≤ ≤ ≤∑ ∑ 成
立，因此， 1 1iG x− ≤ ≤ 。如果系统(1)的状态没有饱和，有 ( )i i i i ih A x A xξ ξ+ = + 成立，这时显
然 co{( ) , }i i i i i ih A x A x G xξ ξ+ ∈ + 成立，即 ( ) ( ) (1 )i i i i i ih A x A x G xξ α ξ α+ = + + − ， 0 1α≤ ≤ 。如果
系统(1)的状态发生饱和，当 1i iA x ξ+ > 有 ( ) 1i i ih A x ξ+ = ，或当 1i iA x ξ+ < − 有 ( ) 1i i ih A x ξ+ = − 。75
如果 1i iA x ξ+ > ，由于 1i iA x ξ+ < ，显然有 co) , }{( 1i i i i i ih A x A x G xξ ξ+ = ∈ + 成立。
同理，在 1i iA x ξ+ < − 时，由 1iG x ≥ − ， c( ) 1 ,o }{i i i i i ih A x A x G xξ ξ+ = − ∈ + 成立。证毕。□
在该引理基础上，可以给出以下的有界实引理。
定理 1 给定标量 0γ > ，状态饱和离散线性系统(1)在 ( ) 0u k = 是渐近稳定的，且具有H∞
性能γ ，如果存在对称正定矩阵 P 和满足 1G ∞ ≤ 的矩阵G ，使得 80
2
0 ( )
0, [1, 2 ]
0
T T
i i
T T
ni
P D A D G P C
I B D P D i
P
I
ω ωγ
−⎡ ⎤− +⎢ ⎥∗ −⎢ ⎥ < ∈⎢ ⎥∗ ∗ −⎢ ⎥⎢ ⎥∗ ∗ ∗ −⎣ ⎦
(6)
证明 在引理 2 中，令 ( ) ( )k B kωξ ω= ，则有
co{( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( )}, [1,2 ]ni ih Ax k B k D Ax k B k D Gx k iω ωω ω −+ ∈ + + ∈ (7)
定义 Lyapunov 函数 ( ( )) ( ) ( )
TV x k x k Px k= ，其中 P 为对称正定矩阵。注意到 ( ) TV Pη η η=
对于变量η 是凸函数[15]，有下式成立， 85
[1,2 ]
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) max [ ( ( ) ( )) ( )]
· [ ( ( ) ( )) ( )]
n
T T
i i
i
i i
h Ax k B k Ph Ax k B k D Ax k B k D Gx k
P D Ax k B k D Gx k
ω ω ω
ω
ω ω ω
ω
−
∈
− + +
+ + ≤ + +
这时有
2
2
[1,2 ]
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
( ( ) ( )) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
max [ ( ( ) ( ))
n
T T
T T T
T
i i
i
V x k z k z k k k
h Ax k B k Ph Ax k B k x k Px k k k
Cx k D k Cx k D k
D Ax k B k D
ω ω
ω ω
ω
γ ω ω
ω ω γ ω ω
ω ω
ω −
∈
Δ + −
= + + − −
+ + +
≤ + +
2
11 12
[1,2 ] 22
( )] �
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
max
( ) ( )n
T
i i
T T T
T
i
Gx k P D Ax k B k D Gx k
Cx k D k Cx k D k x k Px k k k n
x k x k
k k
ω
ω ω
ω
ω ω γ ω ω
ω ω
−
∈
+ +
+ + + − −
Ξ Ξ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥∗ Ξ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
(9)
成立，其中
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11 ( ) ( )
T T
i i i iD A D G P D A D G C C P
− −Ξ = + + + − ， 90
12 ( )
T T
i i iC D D A D G PD Bω ω−Ξ = + + ，
2
22
T T
i iI D D B D PD Bω ω ω ωγΞ = − + + 。
由 Schur 补引理，由不等式(6)得到
2( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) 0T TV x k z k z k k kγ ω ωΔ + − < 。注意到
( (0)) 0V x = ， ( ( )) 0V x ∞ ≥ ，我们有
2
0
2
0
2
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( (0))
( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))
0
( )
( )
( )
T T
k
T T
k
T T
k
J z k z k k k
z k z k k k V x V x
z k z k k k V x k
ω γ ω ω
γ ω ω
γ ω ω
∞
=
∞
=
∞
=
= −
≤ − + ∞ −
= − + Δ
<
∑
∑
∑
(10) 95
同时，由(6)可知
( ) ( ) 0, [1, 2 ]T ni i i iD A D G P D A D G P i
− −+ + − < ∈ (11)
即系统(1)在 ( ) 0kω = 和 ( ) 0u k = 时是稳定的。 □
很显然，由定理 1 可以得到状态饱和离散线性系统(11)的稳定性条件如下。
推论 1 状态饱和线性离散系统 ( ) ( ( ))x k h Ax k= 在 ( ) 0u k = ， ( ) 0kω = 是渐近稳定的，如100
果存在对称正定矩阵 P ，满足 1G ∞ ≤ 的矩阵G ，使得
( ) 0, [1,2 ]
T
ni iP D A D G P i
P
−⎡ ⎤− + < ∈⎢ ⎥∗ −⎢ ⎥⎣ ⎦
(12)
注 1 文献[13]首次引入一个对角占优且对角元素为负的矩阵来研究状态饱和连续线性
系统的稳定性问题，但是由于离散系统与连续系统饱和特性数学描述的不同，这种对角占优
且对角元素为负的矩阵并不适用于离散系统。为此，定理 1 引入满足 1G ∞ ≤ 的矩阵G 将状105
态饱和约束下的离散系统状态限制于一个定点与系统状态矩阵相关的凸多面体内，并运用凸
多面体不确定性系统鲁棒控制的相关理论来该问题。
注 2 文[11]提出，系统(1)在 ( ) 0u k = ， ( ) 0kω = 是稳定的，如果存在对称正定矩阵 P ，
矩阵 [ ]ij n nC c ×= 满足
1,
( )
j n
ii ij ij
j j i
c α β
=
= =/
= +∑ ， [1, ]i n∈ ， ij ij ijc α β= − ， , [1, ], ( )i j n i j∈ =/ ， 0ijα > ，
0ijβ > ， , [1, ], ( )i j n i j∈ =/ 使得 0TC C H+ − > 和 110
1( ) 0T T TA C C C H C A H−+ − − < (13)
成立。
对于任意矩阵 X 和对称正定矩阵 Y ， 1( ) ( ) 0TX Y Y X Y−− − > 成立， 将该不等式式展
开得
1 .T TXY X X X Y− ≥ + − 115
从而有
1( )T T i iC C C H C H D HD
−+ − ≥ ≥
因此，如果不等式(13)成立，不等式(12)一定存在解 P H= 和 0G = ( 0G = 显然满足
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1G ∞ ≤ )，即本文结论与文[11]相比，具有更小的保守性。
注 3 文[12]提出，系统(1)是稳定的，如果存在对称正定矩阵 H ，正定对角矩阵120
1 2
ˆ ˆ ˆˆ ( , , , ) 0diag mD d d d= … > ， ˆ 0id > ， [1, ]i m∈ 使得
ˆ( )
0
ˆ ˆ( )
T T
T T T
A HA H A HB BD
B H DB A B HB D
⎡ ⎤− − <⎢ ⎥⎢ − − ⎥⎣ ⎦
(14)
其中
1
n
i ij
i
k a
=
= ∑ 满足 1ik > ， [1, ]i m∈ ， 1ik ≤ ， [ 1, ]i m n∈ + ，1 m n≤ ≤ ， [ 0]T n mmB I ×= ∈ℜ 。
利用 Schur 补引理，同时注意到
1ˆ ˆ( )( ) � (T T T T T
T
T
i i
A HA A A H HB BD B HB D B H DB
A HA H
A D HD A H
−− + − − −
≥ −
≥ −
125
如果不等式(14)成立，则不等式(12)一定存在解 P H= ， 0G = 。因此本文结论与文[12]
结论相比，具有更小的保守性。
定理 1 具有较低的保守性，但是不等式(6)为双线性矩阵不等式，常规的线性矩阵不等
式算法无法使用。为了利用成熟的线性矩阵不等式算法，本文给出一种不等式(6)的迭代线
性矩阵不等式算法。为此，首先说明约束 1G ∞ ≤ 可以表示为线性矩阵不等式。 130
定义V 为只有一个元素为1，其它元素为0 的 n 维行向量的集合。集合V 中有 n 个元素，
记它的第 i 个元素为 iv ，该向量的第 i 个分量为1，其他分量为 0 。定义Y为元素为1或 1− 的
n 维列向量的集合。集合Y中有 2n 个元素，其第 j 个元素表示为 jy 。这样，满足约束 1G ∞ ≤
的 n nG ×∈ℜ 可以等价表示为
1, [1, ], [1, 2 ]ni jGy i nv j≤ ∈ ∈ 135
算法 1 状态饱和离散线性系统(1)有界实引理的迭代线性矩阵不等式算法。
Step 1) 选择 0Q > ，求解以下的 Lyapunov 方程
.TA PA P Q− = −
令 0α > 为充分大的标量。
Step 2) 利用上一步求取的矩阵 P 求解以下的线性矩阵不等式优化问题， 140
2
inf
0 ( )
s. t. , [1, 2 ]
0
1, [1, ], [1,2 ]
G
T T
i i
T T
ni
n
i j
P D A D G P C
I B D P D I i
P
I
v Gy i n j
ω ω
β
γ β
−⎡ ⎤− +⎢ ⎥∗ −⎢ ⎥ < ∈⎢ ⎥∗ ∗ −⎢ ⎥⎢ ⎥∗ ∗ ∗ −⎣ ⎦
≤ ∈ ∈
如 0β < 或 β α> ，令α β= ，转 Step 4)。否则，令α β= ，转下一步。
Step 3) 利用上一步求取的G ，求解以下的线性矩阵不等式优化问题，
inf
P
β
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2
0 ( )
s. t.
0
T T
i i
T T
i
P D A D G P C
I B D P D I
P
I
ω ωγ β
−⎡ ⎤− +⎢ ⎥∗ −⎢ ⎥ <⎢ ⎥∗ ∗ −⎢ ⎥⎢ ⎥∗ ∗ ∗ −⎣ ⎦
， [1, 2 ]ni ∈ ， 145
如 0β < 或 β α> ，令α β= ，转 Step 4)。否则，令α β= ，转 Step 2)。
Step 4) 如 0α < ，系统(1)在 ( ) 0u k = 是渐近稳定的，且具有 H∞ 性能 γ 。否则，该算法
失败。选取不同的 0Q > ，从 Step 1)重新迭代。
3 状态反馈控制律设计
以下定理给出了状态饱和离散线性系统(1)状态反馈可镇定且闭环系统具有 H∞ 性能 γ150
的充分条件。
定理 2 给定标量 0γ > ，状态饱和离散线性系统(1)是状态反馈可镇定的，且闭环系统
具有H∞ 性能 γ ，如果存在对称正定矩阵 P ，矩阵G 满足 1G ∞ ≤ ，矩阵K ，使得
13
2
0 ( )
0, [1,2 ]
0
T
T T
ni
P C DK
I B D P D i
P
I
ω ωγ
⎡ ⎤− Ξ +⎢ ⎥∗ −⎢ ⎥ < ∈⎢ ⎥∗ ∗ −⎢ ⎥⎢ ⎥∗ ∗ ∗ −⎣ ⎦
(15)
这时，状态反馈控制律为 155
( ) ( ).u k Kx k=
其中
13 ( ( ) )
T
i iD A BK D G P
−Ξ = + + .
证明：设计状态反馈控制律为 ( ) ( )u k Kx k= 并注意到定理(1)结论，定理 2 显然成立。 □
算法 2 状态饱和离散线性系统(1)的状态反馈控制律设计算法。 160
Step 1) 选择 0Q > ，求解以下的 Lyapunov 方程
( ) ( )TA BK P A BK P Q+ + − = −
其中K 是使得矩阵 A BK+ 是 Schur 稳定的矩阵。令 0α > 为充分大的标量。
Step 2) 利用上一步求取的矩阵 P 求解以下的线性矩阵不等式优化问题，
,
inf
G K
β 165
2
0 ( )
. , [1, 2 ]
0
1, [1, ], [1,2 ]
T
T T
ni
n
i j
P C DK
I B D P D I i
P
I
v Gy i n j
ω ωγ β
⎡ ⎤− Ξ +⎢ ⎥∗ −⎢ ⎥ < ∈⎢ ⎥∗ ∗ −⎢ ⎥⎢ ⎥∗ ∗ ∗ −⎣ ⎦
≤ ∈ ∈
， [1, 2 ]ni ∈
如 0β < 或 β α> ，令α β= ，转 Step 4)。否则，令α β= ，转下一步。
Step 3) 利用上一步求取的矩阵K ，求解以下的线性矩阵不等式优化问题，
inf
P
β
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2
0 ( )
.
0
T
T T
i
P C DK
I B D P D I
P
I
ω ωγ β
⎡ ⎤− Ξ +⎢ ⎥∗ −⎢ ⎥ <⎢ ⎥∗ ∗ −⎢ ⎥⎢ ⎥∗ ∗ ∗ −⎣ ⎦
, [1, 2 ]ni ∈ 170
如 0β < 或 β α> ，令α β= ，转 Step 4)。否则，令α β= ，转 Step 2)。
Step 4) 如 0α < ，系统(1)是状态反馈可镇定的，且闭环系统具有H∞ 性能 γ ，这时状态
反馈控制律为 ( ) ( )u k Kx k= 。否则，该算法失败。选取不同的 0Q > ，从 Step1)重新迭代。
4 数值算例
考虑状态饱和离散线性系统(1)，其中参数为 175
1 1 1 1
, 1 0 , 1 , 1 , , .
0 1 1 1
T
T
A B B C D Dω ω
−⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= − = = = = =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
给定 1γ = ，利用算法 2 可以求得状态反馈控制律为
( ) ( ).
u k x k
⎡ ⎤= ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
所得的闭环系统对于如图 1 所示的干扰输入 ( )kω ，被调输出 ( )z k 如图 1 所示。这时，
在仿真时间域内有 ( ) ( )
( ) ( )
T
T
z k z k
k kω ω =
∑∑ . 180
图 1 系统干扰输入 ( )kω 图 2 系统被调输出 ( )z k
Fig. 1 Trajectory of disturbance input ( )kω Fig. 2 Trajectory of controlled output ( )z k
如果设 γ = ，利用算法 2 以求得状态反馈控制律为 185
( ) ( )
u k x k
⎡ ⎤= ⎢ ⎥− − −⎣ ⎦
所得的闭环系统对于如图 3 所示的干扰输入 ( )kω ，被调输出 ( )z k 如图 4 所示。这时，
在仿真时间域内有 ( ) ( )
( ) ( )
T
T
z k z k
k kω ω =
∑∑ 。
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图 3 系统被调输出 ( )z k 图 4 系统被调输出 ( )z k 190
Fig. 3 Trajectory of disturbance input ( )z k Fig. 4 Trajectory of controlled output ( )z k
5 结论
对于一类具有状态饱和非线性约束的离散线性系统，通过引入无穷范数小于等于 1 的
自由变量，基于 Lyapunov 定理，给出了状态饱和离散线性系统的有界实引理，并给出了基195
于迭代线性矩阵不等式的状态反馈控制律设计算法。数值例子验证了算法的正确性和有效
性。
[参考文献] (References)
[1] Hu T, Lin Z. Control systems with actuator saturation: analysis and design[M]. Boston, MA: Birkhauser Press, 200
2001.
[2] Singh V. A new realizability condition for limit cycle-free sate-space digital filters employing saturation
arithmetic [J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems, 1985, 32(10): 1070~1071.
[3] Ritzerfeld J H F. A criterion for the overflow stability of structure using saturation [J]. IEEE Transactions on
Circuits and Systemm, 1989, 36(8): 1049~1057. 205
[4] Liu D, Michel A N. Asymptotic stability of discrete-time systems with saturation nonlinearities with
application to digital filters [J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and
Applications, 1992, 39(10): 789~807.
[5] Liu D, Michel A N. Dynamical systems with saturation nonlinearities: Analysis and Design [M], Boston, MA:
Birkhauser Press, 2001. 210
[6] Kar H, Singh V. Stability analysis of discrete-time systems in a state-space realisation with partial state
saturation nonlinearities [J]. IET Control Theory and Applications, 2003, 150(3): 205~208.
[7] Singh V. Stability analysis of discrete-time systems in a state-space realisation with state saturation
nonlinearities: linear matrix inequality approach [J]. IET on Control Theory and Applications, 2005, 152(1): 9~12.
[8] Singh V. Modified form of Liu-Michel's criterion for global asymptotic stability of fixed-point state-space 215
digital filters using saturation arithmetic [J]. IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, 2006,
53(2): 1423~1425.
[9] Singh V. Stability analysis of a class of digital filters utilizing single saturation nonlinearity [J]. Automatica,
2008, 44(1): 282~285.
[10] Kandanvli V, Kar H. Robust stability of discrete-time state-delayed systems with saturation nonlinearities: 220
linear matrix inequality approach [J]. Signal Processing, 2008, 89(2): 161~173.
[11] Singh V. Modified criterion for global asymptotic stability of fixed-point state-space digital filters using
two's complement arithmetic [J]. Automatica, 2010, 46(2): 475~478.
[12] Fang H, Lin Z. Stability analysis for linear systems under state constraints [J] IEEE Transactions on
Automatic Control, 2004, 49(6): 950~955. 225
[13] Ji X, Sun Y, Su H, et al. Improvement on stability analysis for linear systems under state saturation [J]. IEEE
Transactions on Automatic Control, 2008, 30(8): 1961~1963.
[14] Su H, Ji X, Chu J. New results of robust quadratically stabilizing control for uncertain linear time-delay
systems [J]. International Journal of Systems Science, 2005, 36(1): 27~37.
230
