时间数列
第一节 时间数列概述
第二节 时间数列的水平指标
第三节 时间数列的速度指标
第四节 时间数列的变动趋势分析
例如：我国1985-1990年国民收入资料如下
14429
13176
11738
9313
7895
7020
国民收入（亿元）
1990
1989
1988
1987
1986
1985
年份
第一节 时间数列概述
一、时间数列的概念和作用
（一）概念：时间数列就是将反映某一现象数量特征的某一统计指标在不同时间上的取值按时间的先后顺序排列所形成的数列，又称动态数列。
时间数列由两个基本要素组成：现象所属时间（t）和各个时间所对应的统计指标值（Y）。即时间数列由两个互相对应的两个数列构成：时间顺序变化数列和统计指标变化数列。
（二）作用
1.时间数列可以表明社会经济现象的发展变化趋势及规律性。
2.可以根据时间数列，计算各种时间动态指标数值，以便具体深入地揭示现象发展变化的数量特征。
3.通过时间数列可以反映工作进度，帮助各级领导及时掌握情况，以便更好地指导今后的工作。
4.运用时间数列可以预测现象的发展方向和发展速度，为宏观调控和科学决策提供数列依据。
二、时间数列的种类
根据编制时间数列所采用的统计指标性质不同，可以分为总量指标时间数列、相对指标时间数列和平均指标时间数列三大类。其中总量指标时间数列，是最基本的时间数列，其余两种是派生数列。
（一）总量指标时间数列
总量指标时间数列：又称为绝对数时间数列，是指由一系列同类的总量指标数值按照时间的先后顺序排列而成的时间数列。
它反映事物在不同时间所达到的绝对水平及其发展变化的过程。根据总量指标时间数列反映的现象时间性不同，总量指标时间数列又分为时期数列和时点数列。
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1.时期数列：是指由时期总量指标编制的时间数列。数列中每项指标数值均表明某种社会经济现象在一定时期内发展过程的总量。
2.时点数列：是指由时点总量指标编制的时间数列。数列中每项指标所反映的都是现象在某一时点或时刻上所达到的总量水平。
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（二）相对指标时间数列
相对指标时间数列：也称为相对数时间数列，是指由一系列同类的相对指标数值所构成的时间数列。它可以反映社会经济现象数量对比关系的发展过程。
由于相对指标有六种形式，所以相对数时间数列也有六种形式：计划完成程度相对数时间数列、比例相对数时间数列、结构相对数时间数列、比较相对数时间数列、强度相对数时间数列和动态相对数时间数列。
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（三）平均指标时间数列
平均指标时间数列：也称为平均数时间数列，是指由一系列同类的平均指标数值所构成的时间数列。它可以反映社会经济现象一般水平的发展过程和变化趋势。
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三、时间数列数列的编制原则
(一)时间长短统一。
(二)总体范围统一。
(三)计算方法、价格和计量单位的统一。
(四)指标的经济含义统一。
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第二节 时间数列的水平指标
常见的动态分析指标有：
水平指标：发展水平、平均发展水平、增长量、平均增长量；
速度指标：发展速度、平均发展速度、增长速度、平均增长速度。
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一、发展水平
所谓发展水平，又称为发展量，即时间数列中每一项具体的统计指标数值。它反映社会经济现象的各个不同时期或时点上所达到的规模或水平。它是计算其他动态分析指标的基础 。它可以是总量指标，也可以是相对指标或平均指标。
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由于发展水平指标在时间数列中所处的位置不同，可以分为最初水平、最末水平和中间水平。
在 利用时间数列指标进行对比分析时，我们常把所研究的那个时期发展水平叫报告期水平，而把选作对比基础的发展水平叫基期水平。
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注意：发展水平指标在文字表述上习惯用“增加到”、“增加为”、或“降低到”、“降低为”等表示。
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二、平均发展水平
平均发展水平，是指时间数列中不同时期的发展水平采用一定的方法加以平均求得的平均数。由于它是将社会经济现象在不同时期上的数量差异平均化而求得的，为了与前面学过的平均数有所区别，通常又把它称为序时平均数或动态平均数。
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序时平均数的计算，由于不同时间数列具有不同特点需要用不同的方法，现分别讨论如下：
（一）根据绝对数时间数列计算序时平均数。
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1.由时期数列计算序时平均数。
由于时期数列中的各项指标数值都是反映社会经济现象在一定时期内的过程总量，具有可加性，因此我们可以采用简单算术平均的方法计算序时平均数，即将时期数列中研究范围内的各项指标数值之和除以时期项数来得到。计算公式为：
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例如：某商场某年各月商品零售额资料如下表
月份
1
2
零售额（万元）
100
110
6
130
5
110
4
120
3
120
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如果时点数列中的数值是逐日记录，逐日排列，就称为连续时点数列，否则称为间断时点数列。
2.由时点数列计算序时平均数。
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（1）由间隔相等的连续时点数列来计算
其计算方法与时期数列相同，即以各日时点数值的总和除以日数，求得平均每日时点数。公式：
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例如：某单位某星期每天出勤的职工人数分别为：120人、122人、118人、116人、117人、121人，则该单位本星期平均每天都出勤人数：
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（2）由间隔不等的连续时点数列来计算
在连续时点数列中，如果被研究对象不是逐日变化的，则可以根据整个研究时间内每次变化的资料，用每次变动持续的间隔长度（f）为权数对各时点水平（a）加权，应用加权算术平均法计算序时平均数。公式为：
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例如：某企业的职工人数在第一季度内的变动情况为：1月1日-20日1250人，1月21日-2月8日1264人，2月9日-2月28日为1272人，3月1日至3月15日为1270人，3月16日-3月31日为1284人，则该企业第一季度平均每日的职工人数为：
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（3）由间隔相等的间断时点数列来计算
此时，假定现象在各个时点之间的变动是均匀的，以简单算术平均法分层计算其序时平均数。
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例如：某银行某年3月至6月各月末现金库存额为：3月末620万元，4月末680万元，5月末为700万元，6月末为695万元，试计算第二季度的平均现金库存额。
首先要计算该季度三个月各月的平均库存额：
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将上述的两个步骤合并简化，则为：
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用公式表示：
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（4）由间隔不等的间断时点数列来计算
此时，我们把时间间隔长度作为权数对时点资料进行加权算术平均。公式为：
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例如：某地区某年各时点的人口资料变动情况为：1月1日万人，6月1日万人，
8月1日万人，12月31日万人。
计算该地区该年的平均人口数。
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（二）由相对数时间数列和平均数时间数列计算序时平均数
相对指标或平均指标时间数列是由互相联系的两个总量指标时间数列对比而求得的，是总量指标时间数列的派生数列。因此，计算他们的序时平均数是，要分别计算出分子、分母两个总量指标时间数列的序时平均数，然后再加以对比即可求得相对数或平均数时间数列的序时平均数。
公式表示：
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月份
1月
2月
3月
4月
5月
6月
工业总产值a（万元）
250
278
280
325
378
385
期初职工人数b（人）
1950
2000
2010
2150
2185
2220
劳动生产率c（元/人）
1282
1390
1393
1512
1730
1734
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三、增长量
增长量：是时间数列中报告期发展水平与相比较的基期发展水平之差，反映社会经济现象报告期比基期增加或减少的数量，即：增长量=报告期发展水平一基期发展水平
在增长量的计算中，由于报告期水平可以大于基期水平，也可以等于或小于基期水平，所以增长量可以是正值，也可以是零或负值，它们分别表示正增长、零增长或负增长。
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一般而言，分析的目的不同，选择的基期就不同。因此，根据基期的不同，可将增长量分为：累计增长量和逐期增长量。
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逐期增长量（环比增长量）：
是指时间数列中各期发展水平与其前期发展水平之差，说明现象逐期增加或减少的数量，用公式表示为：
逐期增长量＝报告期发展水平-报告期上期发展水平
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累计增长量（定基增长量）：
是指时间数列中报告期发展水平与某一固定基期发展水平之差，说明现象在一定时期内总的增加或减少的数量，用公式表示为：
累计增长量＝报告期发展水平-固定基期发展水平
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二者的关系：
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此外，在实际工作中，为了消除季节变动的的影响，常会计算年距增长量指标。
年距增长量=报告年某月（季）水平-上年同 月（季）水平
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年份
2000
2001
2003
年收入（万元）
累计增长量
2002
逐期增长量
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四、平均增长量
平均增长量：是指时间数列中各逐期增长量的序时平均数，说明某社会经济现象在一段时期内平均每期增加或减少的数量。一般用简单算术平均法计算。其公式为：
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年份
2000
2001
2003
年收入（万元）
累计增长量
-
2002
逐期增长量
-
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第三节 时间数列速度指标
一、发展速度
发展速度是用时间数列中的报告期水平与基期水平之比来反映报告期较基期发展的一种相对程度指标。其计算公式为：
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发展速度通常以百分数表示，发展速度大于100%表示上升，小于100%表示下降。当发展速度很大时也可以以倍数表示，比如我们常说的“翻两番”就是以倍数关系表示的。由于对比基期的不同，发展速度又可分为定基发展速度和环比发展速度。
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定基发展速度是时间数列中各报告期水平与某一固定基期水平(固定基期一般是最初水平 ，有时可以是某一特殊水平)之比,反映现象在一个较长时期内的发展变动程度。因此，定基发展速度又称为总发展速度。其计算公式为：
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环比发展速度:
是时间数列中报告期水平与前一期水平之比。反映现象逐期发展变动的程度。如果计算的单位时间为一年，这个指标也可叫做年速度。其计算公式为：
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二者的数量关系：
1.定基发展速度等于各相应时期环比发展速度的连乘积，即
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2.两个相邻时期的定基发展速度之比等于相应时期的环比发展速度，即
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例如：我国1985-1990年国民收入资料如下
-
环比发展速度%
-
定基发展速度%
14429
13176
11738
9313
7895
7020
国民收入（亿元）
1990
1989
1988
1987
1986
1985
年份
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为了消除季节因素对社会经济现象发展变化的影响，在计算月份或季度发展速度时，可选用上年同期作为对比的基期，计算年距发展速度。
年距发展速度=报告年某月（季）/上年同月（季）水平
此外，还可以选用历史最高水平的时间作为对比的基期，以反映在报告期超过或不及历史最高水平的程度。
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二、增长速度
增长速度又称为增减速度，是报告期增长量与基期发展水平之比。它是表明社会经济现象增长程度的相对指标。
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增长速度通常用百分数表示。当发展速度大于100%时,增长速度为正值,表示现象增加的程度，也称为增长率；当发展速度小于100%时，增长速度为负值，表示现象减少的程度，也称为降低率。
增长速度由于采用基期不同，也分为定基增长速度和环比增长速度。
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定基增长速度:
是报告期的累计增长量与某一固定基期(通常为最初水平)之比，表明某种现象在一段时期内总的增长速度。其计算公式为：
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环比增长速度:是指逐期增长量与前一期水平之比，表明某种现象逐期的增长速度。其计算公式为：
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值得注意的是，定基增长速度和环比增长速度之间没有量的直接乘除关系，就是说，环比增长速度的连乘积不等于定基增长速度。如需推算，必须将增长速度转化为发展速度，利用发展速度的关系互相推算，再转化为增长速度。
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为了把速度指标、水平指标结合起来，深入分析环比增长速度与逐期增长量之间的关系，进一步反映增长速度的实际效果，有必要计算环比增长速度每增加一个百分点所代表的绝对量，通常称为增长1%的绝对量。其计算公式为：
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例如上年的销售额为1030万元，今年要增加5%，今年的销售额目标是万元，所对应的增长1%绝对量就是万元。
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三、平均发展速度与平均增长速度
社会经济现象在不同时期的发展速度是不同的，为了说明社会经济现象在一段较长时期内发展变化的一般程度，必须将现象在这个时期内的发展速度差异加以抽象，计算平均速度指标。平均速度指标有平均发展速度和平均增长速度两种。
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平均发展速度是某种社会经济现象各环比发展速度的序时平均数，说明在发展期内平均发展变化的程度。平均增长速度又称平均增减速度，说明现象在较长时期内平均每期增长或降低的速度，是根据它与平均发展速度的关系推算出来的。其计算公式为：
平均增长速度=平均发展速度-1(或100%)
平均发展速度的计算方法有两种，一是水平法(或称几何平均法)，另一种是累计法（或称为方程式法）。
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（一）水平法
由于社会经济现象发展的总速度不等于各年发展速度之和，而等于各年环比发展速度的连乘积，所以平均发展速度不能用算术平均法计算，而要用几何平均法计算，这种方法也称为水平法。其计算公式为：
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以上计算平均发展速度的三个公式，虽然形式不同，但其实质内容与计算结果完全相同。计算平均发展速度，究竟采用哪个公式，主要取决于所掌握的资料。
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计算结果表明，用以上三种公式对同一现象计算平均发展速度，其计算结果相同 。但是这种方法不能准确反映中间水平的起伏状况。从理论上讲，用水平法计算的平均发展速度，是对一定发展阶段各期环比发展速度的平均，受各个时期发展水平的影响；但从计算公式中观察，它只突出了最初水平和最末水平的影响，不能全面反映现象在整个发展阶段各期发展快慢的差别。
因此，在运用这一指标时，应注意最初水平与最末水平是否受特殊因素影响；同时，要联系各期环比发展速度加以分析，必要时用分段平均发展速度补充总平均发展速度，以对现象的发展作出更加全面、客观、科学地评价。
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(二)累计法
累计法是以各期发展水平的总和与某一基期水平之比为基础，利用一元高次方程计算平均发展速度的方法。这种方法的出发点是：如果从最初水平出发，每期按照固定的平均发展速度发展，则各期的计算水平总和应与各期的实际水平总和相等。计算公式：
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解这个高次方程，其正根即为平均发展速度。但是,要求解这个高次方程是非常麻烦的，因此，在实际工作中，往往利用己经编好的《平均增长速度查对表》来计算。
平均增长速度查对表由两部分组成，一部分为递增表，一部分为递减表。因此我们在查表前要首先判断从哪一部分查找。
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20
10
19
9
18
8
17
7
16
6
15
5
14
4
13
3
12
2
11
1
5年发展水平总和为基期%
年平均增长%
5年发展水平总和为基期%
年平均增长%
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我国1985-1990基建投资额资料 单位：亿元
投资额
1990
1989
1988
1987
1986
1985
年份
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年平均增长速度的计算：
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几何平均法和高次方程法是计算平均发展速度的基本方法，但两种方法的侧重点不同：前者是从最末水平出发来研究问题，而后者则是从各期水平的累计总和出发进行考察。
如果研究的主要目的在于考察现象最后一年达到的水平时，就可以用几何平均法计算平均发展速度。如果研究的主要目的在于考察较长时期现象的累计发展水平时，则可以采用方程式法求平均发展速度。
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第四节 时间数列的变动趋势分析
一、时间数列的变动因素
影响时间数列变动的具体因素是多种多样的。但归纳起来可以分为种主要因素：长期趋势、季节变动、循环变动和不规则变动。
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（一）长期趋势（T）
长期趋势是指现象在较长时期内持续发展变化的方向和状态。研究长期趋势，对正确认识事物发展变化的数量规律有重要意义。
长期趋势是现象在一段较长的时间内，由于普遍的、持续的、决定性的基本因素的作用，使发展水平沿着一个方向，逐渐向上或向下变动的趋势。
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（二）季节变动（S)
季节变动是指现象随着季节的变动而引起的比较有规则的变动。认识和掌握这种变动规律，对于组织生产、安排人民生活等都具有重要意义。研究季节变动，对于正确认识现象整体的发展变化规律性，也具有重要意义。例如，农牧业生产就是典型的季节性生产，并且也影响以农牧业产品为原料的加工工业的生产、商业部门对农牧产品的购销以及交通运输部门的货运量方面，使得它们的生产经营也带有季节性。 季节变动的原因，主要是自然季节、气候的影响，同时也与人们的生活习惯、作息制度有关。自然季节的更替不以人们的意志为转移，人们的生活习俗、作息制度也较稳定，因而季节性变动是规律性较强的变动。
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（三）循环变动（C）
循环变动：是指社会经济现象以若干年为周期的涨落起伏相同或基本相同的一种波浪式的变动。如资本主义经济由危机、萧条、复苏、繁荣的一个周期再到下一个危机、萧条、复苏、繁荣的周期。
这种变动虽然其变动周期长短不同，波动幅度大小也不一样，但由于它是涨落起伏相互交替的变动，不是朝单一方向持续发展的变动，从而区别于长期趋势。又由于其变动周期至少在一年以上，且无固定期间，因而区别于季节变动。
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（四）不规则变动（I）
不规则变动：指客观社会经济现象由于天灾、人祸、战乱等突发事件或偶然因素引起是无周期性波动。
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时间数列变动因素的组合模型：
1.加法模型：各自独立
Y=T+S+C+I
2.乘法模型：相互依存
Y=T×S×C×I
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二、长期趋势的测定
长期趋势的测定，就是用一定的方法对动态数列进行修匀，使修匀后的数列排除季节变动，偶然变动等因素的影响，显示出现象变动的基本趋势，作为预测的依据。一般常用的修匀方法有三种：时距扩大法、移动平均法、数学修匀法。
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（一）时距扩大法
就是将原有时距较小的时间数列，按照相等的时间间隔加工整理为时距较大的时间数列，以显示其现象变动总趋势的方法。
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例如：某企业某年各月产值增加值 单位：万元
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
增加值
510
500
535
556
570
563
581
598
610
608
612
629
季度
一
二
三
四
增加值
1545
1689
1789
1849
月平均增加值
515
563
596
616
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注意：
1.选择时距的大小，要根据现象发展的具体特点来决定，不能凭主观意志随意选择。若原数列水平波动有一定的周期性，扩大时应与周期相同；如无周期性，就逐步扩大。
2.时期数列时距扩大后的指标数值可以用总量指标表示，也可以用序时平均数表示；时点数列、相对数或平均数时间数列，时距扩大后的指标数值只能用序时平均数表示。
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（二）移动平均法
所谓移动平均，就是从原有的时间数列的第一位数值开始，按一定项数求序时平均数，逐项移动，边移动边平均。这样就可以得到一个由移动平均数构成的新的动态数列，这个派生的新动态数列把原数列中的某些不规则变动加以修匀，变动更平滑，趋势倾向更明显，可以更深刻地描述现象发展的基本趋势。
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月份
3项移动平均数
1
-
2
515
3
530
4
554
5
563
6
571
7
581
8
596
9
605
10
610
11
618
12
-
增加值
510
500
535
556
570
563
581
598
610
608
612
629
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移动平均项数的确定是一个重要问题，因为移动项数多少直接影响修匀的程度。一般说来，移动项数越多，修匀的作用就越大，而所得出的移动平均数的项数也就越少；反之，移动项数越少，修匀的作用就越小，所得出的移动平均数的项数也就越多。选择移动项数注意：
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1.移动项数的确定应注意动态数列水平波动的周期性。一般要求移动项数与周期变动的时距相吻合，或为它的整倍数。比如，对于具有季度水平资料的时期数列，经受每年季节性的涨落，主要必须清除季节变动因素，以运用4项或8项移动平均为宜。在以年为单位的数据所形成的动态数列中，所要清除的是循环变动和不规则变动因素，这时，可借助于动态数列水平的观察，看一看循环周期大体是几年，就相应采用几年移动平均。
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563
505
2项移动平均数
月份
二次移动平均数
1
-
2
3
4
5
6
增加值
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2.移动项数宜用奇数项较简便，每次移动平均值应对准所平均时期的正中间，奇数项平均数正好对着中间时期，一次平均即可，偶数项移动平均因为中点错了半期，需要再作一次两项移动平均才能正过来。可见，偶数项移动平均，计算较繁，故一般多用奇数移动平均。
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（三）数学模型法
也称为趋势线配合法。即在原有时间数列资料进行初步分析的基础上，根据其发展变化趋势的类型，用数学的方法配合适当的方程式，以预测现象未来发展变化趋势的一种方法。
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思路：
1.选择模型
现象发展变化趋势：直线趋势和曲线趋势
直线：yc=a+bt
曲线： 指数曲线：yc=abt 抛物线：yc=a+bt +ct2
（1）散点图
（2）指标法
如时间数列的环比增长量大体相等，则趋势近似一条直线；如时间数列的各期环比发展速度大体相等，则趋势近似一条指数曲线；如时间数列的逐期增长量大体上呈等量递增或递减态势，则其趋势近似一条抛物线。
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2.确定模型中的参数
最小二乘法（最小平方法）
德国科学家卡尔.高斯
使因变量的观察值y和估价值yc之间的离差平方和达到最小来求得参数的方法，称为最小二乘法。
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直线方程：yc=a+bt
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某地区粮食产量资料表
年份
时间变量t
粮食产量y
t2
ty
2000
1
1
2001
2
4
2002
3
9
2003
4
16
2004
5
25
2005
6
36
合计
21
91
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t的取值：
时间
1998
1999
2000
2001
2002
2003
t
-2
-1
0
1
2
3
1997
-3
时间
1997
1998
1999
2000
2001
2002
t
-5
-3
-1
1
3
5
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三、季节变动趋势的测定
长期趋势不存在或不明显：同期平均法
具有明显的长期趋势：移动平均趋势剔除法
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（一）同期平均法（按月（季）平均法）
季节模型：是指一时间数列在各年中所呈现的典型状态，它是由一套指数组成的，各指数刻画了现象在一个年度内各月或各季的典型特征。
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⒈将数据列表（至少3年的资料）；
⒉求不同年份同月（季）平均发展水平，消除非季节因素；
⒊求不同年份所有月（季）总的平均发展水平；
⒋求各月（季）季节指数
⒌求校正系数
⒍求校正后的季节指数
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2003
2004
2005
2006
合计
平均数
季节比率（%）
调整后季节比率（%）
季度
年份
一
二
三
四
合计
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1.根据季节指数的计算公式可以看出，季节指数是以全年月份或季度资料的平均数为基础计算的，因此季度指数的平均数应等于100%，全年各月（季度）指数之和应等于1200%（400%）。
2.如果现象的发展没有季节变动，则各期的指数应该等于100%；
3.如果某一月或季度有明显的季节变动，则各期的季节指数应该大于或小于100%
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（二）移动平均趋势剔除法
⒈用移动平均法计算长期趋势。
季度资料：4项移动平均；月度资料：12项移动平均，然后进行2季（月）移动平均以“正位”，所得数值作为各期长期趋势T
⒉从时间数列中剔除掉T， 计算Y/T
⒊将Y/T重新排列，对新的时间数列按照”同期平均法”计算季节比率。
四、循环变动分析
剩余法：
1.通过长期趋势测定得到T
2.用移动平均剔除法计算季节指数S
=Y/TS
4.用移动平均法消除I,得到循环变动C
五、不规则变动的测定方法
I=Y/CST=CI/C
本章要求
1.了解时间数列的种类及编制原则
2.掌握各种水平指标的计算方法
3.掌握各种速度指标的计算方法
4.掌握时间数列的变动因素及其趋势分析
