随机运筹学-6随机库存论.ppt

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随机运筹学 之6 随机库存论 壹 、 库 存 论  一一 、、 库库 存存  库库 存存 是是 为为 了了 满满 足足 未未 来来 需需 求求 而而 暂暂 时时 闲闲 置置 的的 有有 价价 值值 的的 资资 源源 。。  其其 含含 义义 有有 两两 点点 ：： 一一 是是 资资 源源 ，， 凡凡 是是 人人 、、 财财 、、 物物 、、 信信 息息 等等 有有 形形 的的 实实 物物 和和 无无 形形 的的 物物 质质 都都 可可 以以 作作 为为 资资 源源 的的 范范 畴畴 ，， 如如 汽汽 车车 、、 电电 视视 机机 、、 服服 装装 、、 电电 影影 、、 民民 航航 座座 位位 、、 医医 疗疗 、、 咨咨 询询 等等 ；； 二二 是是 有有 价价 值值 的的 资资 源源 ，， 有有 些些 资资 源源 可可 以以 满满 足足 未未 来来 的的 需需 求求 ，， 但但 不不 一一 定定 具具 有有 价价 值值 ，， 如如 空空 气气 、、 阳阳 光光 等等 ，， 可可 以以 随随 时时 随随 地地 获获 得得 ，， 但但 在在 获获 取取 时时 并并 不不 需需  要要 付付 出出 代代 价价 。。  无无 论论 是是 生生 产产 领领 域域 还还 是是 流流 通通 领领 域域 ，， 库库 存存 是是 普普 遍遍 存存 在在 的的 。。  从从 宏宏 观观 上上 来来 看看 ，， 一一 个个 国国 家家 全全 国国 范范 围围 内内 的的 生生 产产 出出 来来 的的 产产 品品 ，， 平平 均均 将将 有有 22 ~~ 33 个个 月月 的的 库库 存存 期期 。。 库库 存存 大大 部部 分分 在在 生生 产产 领领 域域 和和 流流 通通 领领 域域 ，， 约约 占占 总总 库库 存存 的的 99 00 %% 左左 右右 。。  二二 、、 库库 存存 的的 类类 型型  对对 于于 一一 个个 生生 产产 企企 业业 来来 讲讲 ，， 库库 存存 主主 要要 有有 以以 下下 类类 型型 ：：  11 、、 原原 材材 料料 库库 存存  未未 经经 加加 工工 被被 直直 接接 用用 于于 生生 产产 产产 品品 的的 材材 料料 的的 库库 存存 ，， 其其 主主 要要 作作 为为 投投 入入 使使 用用 ，， 如如 钢钢 材材 、、 木木 板板 、、 染染 料料 等等 的的 库库 存存 。。  22 、、 零零 部部 件件 库库 存存  已已 经经 过过 一一 定定 的的 加加 工工 被被 直直 接接 用用 于于 生生 产产 产产 品品 的的 材材 料料 的的 库库 存存 ，， 其其 主主 要要 作作 为为 组组 成成 部部 件件 ，， 如如 发发 动动 机机 、、 CC PP UU 、、 电电 机机 等等 的的 库库 存存 。。  33 、、 在在 制制 品品 库库 存存  在在 完完 成成 最最 终终 加加 工工 之之 前前 的的 物物 品品 的的 库库 存存 。。  44 、、 成成 品品 库库 存存  已已 完完 成成 最最 终终 加加 工工 的的 物物 品品 的的 库库 存存 。。  55 、、 备备 件件 、、 工工 具具 、、 设设 备备 等等 的的 库库 存存  用用 来来 生生 产产 产产 品品 的的 物物 品品 的的 库库 存存 。。  对对 于于 一一 个个 流流 通通 企企 业业 来来 讲讲 ，， 产产 品品 要要 经经 过过 流流 通通 加加 工工 ，， 库库 存存 主主 要要 有有 以以 下下 类类 型型 ：：  11 、、 流流 通通 加加 工工 前前 产产 品品 库库 存存  从从 生生 产产 厂厂 家家 购购 进进 的的 成成 品品 ，， 但但 还还 未未 进进 行行 流流 通通 加加 工工 的的 产产 品品 的的 库库 存存 。。  22 、、 流流 通通 加加 工工 后后 产产 品品 库库 存存  已已 进进 行行 了了 流流 通通 加加 工工 的的 产产 品品 的的 库库 存存 。。  三三 、、 库库 存存 的的 作作 用用  11 、、 获获 取取 规规 模模 效效 益益  由由 于于 生生 产产 能能 力力 设设 计计 等等 原原 因因 ，， 一一 定定 规规 模模 的的 生生 产产 才才 会会 使使 单单 位位 成成 本本 最最 低低 ，， 因因 而而 库库 存存 可可 以以 获获 取取 规规 模模 效效 益益 。。  22 、、 应应 对对 不不 确确 定定 性性 因因 素素  市市 场场 需需 求求 的的 不不 确确 定定 、、 供供 应应 商商 交交 货货 不不 确确 定定 、、 产产 品品 质质 量量 的的 不不 确确 定定 都都 需需 要要 库库 存存 来来 应应 对对 ，， 以以 免免 导导 致致 需需 求求 的的 损损 失失 。。  33 、、 平平 稳稳 生生 产产 过过 程程  在在 需需 求求 高高 峰峰 时时 期期 突突 击击 性性 地地 扩扩 大大 生生 产产 能能 力力 是是 不不 现现 实实 的的 ，， 需需 要要 通通 过过 库库 存存 来来 满满 足足 高高 峰峰 时时 的的 需需 求求 。。  44 、、 投投 机机 行行 为为  在在 产产 品品 价价 格格 发发 生生 变变 化化 时时 ，， 可可 以以 通通 过过 库库 存存 来来 获获 利利 或或 避避 免免 损损 失失 。。  55 、、 最最 低低 采采 购购 量量  供供 应应 商商 往往 往往 对对 采采 购购 方方 具具 有有 最最 低低 采采 购购 量量 的的 限限 制制 ，， 当当 需需 求求 不不 足足 时时 ，， 只只 能能 通通 过过 库库 存存 来来 慢慢 慢慢 消消 耗耗 。。  四四 、、 库库 存存 管管 理理 的的 任任 务务  （（ 一一 ）） 库库 存存 的的 系系 统统 分分 析析  最最 简简 单单 的的 库库 存存 系系 统统 至至 少少 由由 补补 货货 环环 节节 、、 仓仓 储储 环环 节节 、、 市市 场场 环环 节节 所所 组组 成成 。。  如如 果果 以以 仓仓 储储 环环 节节 为为 中中 心心 ，， 补补 货货 环环 节节 可可 以以 是是 上上 游游 供供 应应 商商 ，， 也也 可可 以以 是是 本本 企企 业业 内内 部部 的的 前前 置置 车车 间间 或或 工工 序序 ，， 市市 场场 环环 节节 可可 以以 是是 终终 端端 顾顾 客客 ，， 也也 可可 以以 是是 下下 游游 企企 业业 ，， 还还 可可 以以 是是 本本 企企 业业 内内 部部 的的 后后 续续 车车 间间 或或 工工 序序 。。  库库 存存 管管 理理 的的 对对 象象 是是 对对 整整 个个 库库 存存 系系 统统 进进 行行 管管 理理 ，， 补补 库 存 系 统 仓储环节补货环节 市场环节 物流方向  货货 环环 节节 不不 断断 地地 将将 货货 物物 补补 充充 到到 仓仓 储储 环环 节节 ，， 货货 物物 在在 仓仓 储储 环环 节节 被被 暂暂 时时 储储 存存 后后 ，， 再再 被被 送送 往往 市市 场场 环环 节节 。。  补补 货货 活活 动动 具具 有有 一一 定定 的的 主主 动动 性性 ，， 依依 管管 理理 者者 的的 决决 策策 而而 定定 ，， 而而 向向 市市 场场 的的 出出 货货 则则 一一 般般 是是 被被 动动 的的 活活 动动 ，， 每每 当当 市市 场场 产产 生生 需需 求求 时时 才才 实实 施施 出出 货货 活活 动动 。。 补补 货货 活活 动动 会会 带带 来来 成成 本本 ，， 货货 物物 在在 仓仓 储储 环环 节节 的的 储储 存存 也也 会会 带带 来来 成成 本本 ，， 出出 货货 活活 动动 同同 样样 带带 来来 成成 本本 。。  （（ 二二 ）） 影影 响响 库库 存存 系系 统统 成成 本本 的的 主主 要要 因因 素素  11 、、 货货 物物 补补 充充 的的 批批 量量  对对 于于 补补 货货 活活 动动 ，， 成成 本本 主主 要要 受受 补补 货货 批批 量量 的的 影影 响响 。。 一一 般般 地地 ，， 补补 货货 批批 量量 越越 大大 ，， 规规 模模 效效 益益 可可 使使 边边 际际 成成 本本 下下 降降 得得 越越 多多 。。  22 、、 货货 物物 补补 充充 的的 时时 机机  对对 于于 出出 货货 活活 动动 ，， 它它 与与 市市 场场 相相 关关 联联 。。 一一 方方 面面 ，， 通通 过过 实实 施施 出出 货货 活活 动动 直直 接接 获获 得得 收收 益益 ；； 另另 一一 方方 面面 ，， 如如 果果 市市 场场 产产 生生 了了 需需 求求 而而 因因 补补 货货 不不 能能 及及 时时 满满 足足 需需 求求 时时 ，， 不不 仅仅 不不 能能 获获 得得 收收 益益 ，， 而而 且且 还还 可可 能能 会会 招招 致致 惩惩 罚罚 成成 本本 。。 缺缺 货货 成成 本本 主主 要要 受受 补补 货货 时时 机机 的的 影影 响响 ，， 如如 果果 迟迟 迟迟 不不 补补 货货 ，， 致致 使使 货货 源源 紧紧 缺缺 ，， 则则 缺缺 货货 惩惩 罚罚 成成 本本 就就 会会 升升 高高 。。  补补 物物 时时 机机 可可 以以 通通 过过 查查 看看 库库 存存 量量 来来 确确 定定 ，， 比比 如如 当当 库库 存存 量量 降降 低低 到到 某某 一一 值值 时时 就就 进进 行行 货货 物物 补补 充充 。。  货货 物物 补补 充充 时时 机机 将将 直直 接接 影影 响响 到到 对对 客客 户户 的的 服服 务务 水水 平平 ，， 如如 果果 补补 货货 时时 机机 对对 应应 的的 库库 存存 量量 越越 高高 ，， 则则 对对 客客 户户 的的 服服 务务 水水 平平 也也 就就 越越 高高 ，， 缺缺 货货 的的 惩惩 罚罚 成成 本本 就就 会会 越越 低低 。。  关关 于于 货货 物物 在在 仓仓 储储 环环 节节 的的 储储 存存 所所 造造 成成 的的 成成 本本 ，， 补补 货货 时时 机机 和和 补补 货货 批批 量量 都都 会会 产产 生生 影影 响响 。。 库库 存存 量量 越越 高高 ，， 对对 应应 的的 成成 本本 也也 就就 越越 高高 。。 因因 此此 ，， 补补 货货 时时 机机 对对 应应 的的 库库 存存 量量 越越 高高 ，， 或或 补补 货货 批批 量量 越越 大大 ，， 成成 本本 也也 就就 越越 高高 。。  （（ 三三 ）） 库库 存存 管管 理理 的的 主主 要要 任任 务务  库库 存存 管管 理理 的的 目目 标标 就就 是是 通通 过过 补补 货货 时时 机机 和和 补补 货货 批批 量量 来来 控控 制制 库库 存存 系系 统统 的的 运运 行行 成成 本本 。。  库库 存存 管管 理理 的的 主主 要要 任任 务务 就就 是是 确确 定定 最最 优优 的的 补补 货货 时时 机机 和和 最最 优优 的的 补补 货货 批批 量量 ，， 使使 库库 存存 系系 统统 的的 运运 行行 成成 本本 （（ 包包 括括 客客 户户 服服 务务 水水 平平 ）） 达达 到到 最最 小小 。。  五五 、、 库库 存存 管管 理理 与与 仓仓 储储 管管 理理 的的 区区 别别  仓仓 储储 管管 理理 主主 要要 涉涉 及及 库库 房房 的的 规规 划划 与与 设设 计计 、、 货货 架架 的的 设设 置置 、、 分分 拣拣 的的 原原 理理 、、 进进 出出 货货 的的 规规 划划 、、 物物 料料 的的 搬搬 运运 方方  式 等 。  库 存 管 理 属 于 上 层 决 策 的 范 畴 ， 而 仓 储 管 理 则 属 于 底 层 操 作 的 范 畴 。 贰 、 随 机 型 存 储 模 型 概 述  一一 、、 库库 存存 系系 统统 的的 分分 类类  一一 个个 库库 存存 系系 统统 包包 含含 许许 多多 参参 数数 ，， 比比 如如 市市 场场 需需 求求 、、 补补 货货 单单 价价 、、 持持 货货 成成 本本 系系 数数 、、 缺缺 货货 惩惩 罚罚 成成 本本 系系 数数 、、 补补 货货 启启 动动 费费 用用 、、 补补 货货 提提 前前 期期 等等 。。 如如 果果 在在 库库 存存 系系 统统 运运 行行 过过 程程 中中 ，， 这这 些些 参参 数数 都都 是是 确确 定定 的的 ，， 则则 这这 个个 库库 存存 系系 统统 是是 确确 定定 性性 的的 库库 存存 系系 统统 。。  在在 许许 多多 实实 际际 库库 存存 系系 统统 中中 ，， 有有 一一 些些 参参 数数 可可 能能 是是 不不 确确 定定 的的 。。 例例 如如 ，， 最最 常常 见见 的的 是是 需需 求求 的的 不不 确确 定定 性性 。。 当当 这这 些些 参参 数数 属属 于于 系系 统统 内内 部部 参参 数数 ，， 在在 一一 定定 程程 度度 上上 还还 可可 以以  控控 制制 ，， 但但 市市 场场 往往 往往 是是 难难 以以 控控 制制 的的 ，， 充充 其其 量量 只只 能能 施施 加加 一一 定定 的的 影影 响响 而而 已已 。。 在在 库库 存存 系系 统统 中中 ，， 通通 常常 用用 随随 机机 变变 量量 来来 刻刻 画画 市市 场场 需需 求求 的的 不不 确确 定定 性性 。。 随随 机机 变变 量量 的的 分分 布布 可可 以以 是是 离离 散散 形形 式式 ，， 如如 泊泊 松松 分分 布布 等等 ，， 也也 可可 以以 是是 连连 续续 形形 式式 ，， 如如 正正 态态 分分 布布 等等 。。  库库 存存 系系 统统 中中 只只 要要 有有 一一 个个 参参 数数 是是 随随 机机 变变 量量 ，， 则则 整整 个个 系系 统统 就就 变变 成成 了了 随随 机机 模模 型型 。。 对对 随随 机机 模模 型型 而而 言言 ，， 确确 定定 其其 评评 价价 准准 则则 是是 解解 决决 问问 题题 的的 关关 键键 。。  二二 、、 随随 机机 型型 存存 储储 模模 型型 的的 特特 点点  随随 机机 型型 存存 储储 模模 型型 的的 主主 要要 特特 点点 是是 需需 求求 是是 随随 机机 的的 ，， 其其 概概 率率 和和 分分 布布 是是 已已 知知 的的 。。  例例 如如 ，， 一一 个个 商商 场场 对对 某某 种种 商商 品品 每每 天天 的的 销销 售售 量量 就就 是是 随随 机机 的的 ，， 11 00 00 00 件件 商商 品品 可可 能能 在在 一一 个个 月月 内内 售售 完完 ，， 也也 可可 能能 下下 个个 月月 之之 后后 还还 有有 剩剩 余余 。。  随随 机机 型型 存存 储储 模模 型型 的的 还还 有有 一一 个个 重重 要要 特特 点点 是是 ，， 是是 否否 允允 许许 缺缺 货货 ，， 一一 般般 都都 可可 使使 用用 概概 率率 来来 表表 达达 。。  例例 如如 ，， 如如 果果 要要 求求 的的 保保 证证 概概 率率 为为 99 00 %% ，， 那那 么么 缺缺 货货 的的 概概 率率 就就 是是 11 00 %% ，， 即即 11 00 次次 订订 货货 允允 许许 缺缺 货货 一一 次次 。。  三三 、、 随随 机机 型型 存存 储储 模模 型型 的的 类类 型型  11 、、 单单 周周 期期 随随 机机 存存 储储 模模 型型  所所 谓谓 单单 周周 期期 随随 机机 存存 储储 模模 型型 是是 指指 在在 一一 个个 周周 期期 内内 只只 订订 货货 一一 次次 ，， 周周 期期 末末 库库 存存 货货 物物 与与 下下 一一 个个 周周 期期 的的 订订 货货 量量 没没 有有 关关 系系 ，， 在在 各各 周周 期期 之之 间间 的的 订订 货货 量量 和和 销销 售售 量量 是是 相相 互互 独独 立立 的的 。。  典典 型型 的的 单单 周周 期期 随随 机机 存存 储储 模模 型型 是是 ““ 报报 童童 问问 题题 ”” ，， 因因 为为 报报 纸纸 当当 天天 若若 卖卖 不不 出出 去去 ，， 第第 二二 天天 就就 过过 时时 而而 丧丧 失失 了了 新新 闻闻 价价 值值 。。  单单 周周 期期 随随 机机 存存 储储 模模 型型 将将 一一 个个 存存 储储 周周 期期 作作 为为 时时 间间 最最  小小 单单 位位 ，， 而而 在在 周周 期期 开开 始始 时时 作作 一一 次次 决决 策策 ，， 确确 定定 订订 货货 量量 。。  单单 周周 期期 随随 机机 存存 储储 模模 型型 又又 根根 据据 需需 求求 量量 是是 离离 散散 的的 或或 连连 续续 的的 分分 为为 随随 机机 离离 散散 型型 和和 随随 机机 连连 续续 型型 。。  22 、、 多多 周周 期期 随随 机机 存存 储储 模模 型型  多多 周周 期期 随随 机机 存存 储储 模模 型型 是是 指指 订订 货货 机机 会会 周周 期期 地地 出出 现现 ，， 即即 在在 一一 个个 阶阶 段段 开开 始始 时时 存存 储储 量量 为为 II ，， 订订 货货 量量 为为 QQ ，， 若若 供供 应应 不不 足足 ，， 则则 II 便便 承承 担担 缺缺 货货 ；； 若若 供供 应应 有有 余余 ，， 则则 将将 多多 余余 部部 分分 存存 储储 起起 来来 ，， 存存 储储 量量 达达 到到 II ++ QQ 。。  四四 、、 随随 机机 存存 储储 模模 型型 的的 订订 货货 策策 略略  11 、、 定定 期期 订订 货货 策策 略略  定定 期期 订订 货货 策策 略略 是是 指指 确确 定定 一一 个个 固固 定定 的的 订订 货货 周周 期期 ，， 每每 个个 周周 期期 都都 只只 根根 据据 上上 一一 周周 期期 末末 剩剩 余余 的的 存存 储储 量量 来来 确确 定定 当当 期期 的的 订订 货货 量量 ，， 即即 剩剩 下下 的的 存存 储储 量量 小小 就就 多多 订订 货货 ，， 剩剩 下下 的的 存存 储储 量量 大大 就就 少少 订订 货货 ，， 甚甚 至至 可可 以以 不不 订订 货货 。。  定定 期期 订订 货货 策策 略略 下下 订订 货货 时时 间间 固固 定定 ，， 而而 每每 次次 订订 货货 的的 数数 量量 是是 不不 确确 定定 的的 。。  22 、、 定定 点点 订订 货货 策策 略略  定定 点点 订订 货货 策策 略略 是是 指指 确确 定定 一一 个个 固固 定定 的的 订订 货货 点点 ，， 每每 当当 库库 存存 下下 降降 到到 订订 货货 点点 时时 就就 组组 织织 订订 货货 。。  定定 点点 订订 货货 策策 略略 下下 每每 次次 订订 货货 数数 量量 确确 定定 ，， 而而 订订 货货 时时 间间 是是 不不 确确 定定 的的 。。 因因 此此 ，， 要要 保保 证证 按按 订订 货货 点点 订订 货货 ，， 要要 求求 必必 须须 对对 库库 存存 进进 行行 连连 续续 的的 监监 控控 或或 记记 录录 。。  33 、、 定定 期期 与与 定定 点点 相相 结结 合合 的的 策策 略略  定定 期期 与与 定定 点点 相相 结结 合合 的的 策策 略略 是是 指指 每每 隔隔 一一 定定 时时 间间 对对 库库 存存 检检 查查 一一 次次 ，， 如如 果果 库库 存存 数数 量量 大大 于于 订订 货货 点点 ss ，， 就就 不不 订订 货货 ；； 如如 果果 库库 存存 数数 量量 小小 于于 订订 货货 点点 ss ，， 就就 组组 织织 订订 货货 ，， 并并 使使 得得 补补 充充 后后 的的 存存 储储 数数 量量 达达 到到 SS 。。 因因 此此 ，， 这这 种种 策策 略略 也也  简 称 为 （ s ， S ） 策 略 。 叁 、 随 机 库 存 的 服 务 水 平  一 、 随 机 库 存 系 统 的 评 价 准 则  对 随 机 库 存 系 统 ， 最 常 见 的 评 价 准 则 有 概 率 准 则 、 期 望 值 准 则 、 方 差 准 则 等 。 在 库 存 系 统 中 ， 通 常 用 成 本 或 收 益 作 为 系 统 的 绩 效 指 标 ， 而 评 价 准 则 多 采 用 期 望 值 准 则 ， 确 定 补 货 时 机 和 补 货 批 量 ， 使 系 统 成 本 的 期 望 值 达 到 最 小 ， 或 使 系 统 收 益 的 期 望 值 达 到 最 大 等 。 肆 、 单 周 期 随 机 型 存 储 模 型  一一 、、 一一 次次 性性 订订 货货 的的 离离 散散 型型 随随 机机 存存 储储 模模 型型  例例 11 某某 商商 场场 拟拟 在在 新新 年年 期期 间间 出出 售售 一一 批批 新新 年年 贺贺 卡卡 ，， 每每 售售 出出 11 千千 张张 可可 盈盈 利利 77 元元 。。 如如 果果 在在 新新 年年 期期 间间 不不 能能 售售 完完 ，， 就就 必必 须须 削削 价价 处处 理理 ，， 则则 11 千千 张张 亏亏 损损 44 元元 ，， 定定 能能 售售 完完 。。 根根 据据 以以 往往 的的 经经 验验 ，， 市市 场场 需需 求求 的的 概概 率率 为为 下下 表表 ：：  问问 ：： 每每 年年 只只 能能 订订 货货 一一 次次 ，， 问问 订订 购购 贺贺 卡卡 几几 千千 张张 才才 能能 使使 获获 利利 最最 大大 或或 损损 失失 最最 小小 ？？  11 ）） 计计 算算 盈盈 利利 期期 望望 值值 最最 大大 的的 方方 法法  22 ）） 计计 算算 损损 失失 期期 望望 值值 最最 小小 的的 方方 法法 市 场 需 求 的 概 率 信 息 盈 利 期 望 值 最 大 方 法  一一 般般 地地 ，， 模模 型型 假假 设设 ：：  QQ —— —— 订订 货货 量量 ；；  rr —— —— 随随 机机 需需 求求 变变 量量 ；；  PP （（ rr ）） —— —— 需需 求求 为为 rr 的的 概概 率率 ；；  kk —— —— 单单 位位 收收 益益 ；；  hh —— —— 单单 位位 损损 失失 。。  11 、、 计计 算算 盈盈 利利 期期 望望 值值 最最 大大 的的 模模 型型  可可 设设 出出 贺贺 卡卡 数数 量量 为为 rr （（ 千千 张张 ）） ，， 其其 概概 率率 为为 PP （（ rr ）） 为为 已已 知知 ，， ∑∑ rr == 00 ，， …… ，， ∞∞ PP （（ rr ）） == 11 ，， 订订 货货 数数 量量 为为 QQ 。。  （（ 11 ）） 当当 供供 过过 于于 求求 （（ rr ≤≤ QQ ）） 时时 ，， 只只 能能 销销 售售 出出 rr 千千 张张 贺贺 卡卡 ，， 每每 千千 张张 赚赚 kk 元元 ，， 共共 赚赚 kk •• rr 元元 ，， 没没 有有 销销 售售 出出 去去 的的 贺贺 卡卡 ，， 每每 千千 张张 赔赔 hh 元元 ，， 则则 滞滞 销销 损损 失失 为为 hh （（ QQ -- rr ）） 元元 。。 因因 此此 ，， 盈盈 利利 的的 期期 望望 值值 为为  ∑∑ rr == 00 ，， …… ，， QQ [[ kk •• rr -- hh （（ QQ -- rr ）） ]] PP （（ rr ））  （（ 22 ）） 当当 供供 不不 应应 求求 （（ rr ＞＞ QQ ）） 时时 ，， 因因 为为 只只 有有 QQ 千千 张张 贺贺 卡卡 可可 供供 出出 售售 ，， 共共 赚赚 kk •• QQ 元元 ，， 无无 滞滞 销销 损损 失失 。。 因因 此此 ，， 盈盈 利利 期期 望望 值值 为为  ∑∑ rr == QQ ++ 11 ，， …… ，， ∞∞ kk •• QQ •• PP （（ rr ））  因因 而而 ，， 当当 订订 货货 量量 为为 QQ 时时 ，， 其其 盈盈 利利 的的 期期 望望 值值 为为  RR （（ QQ ）） == ∑∑ rr == 00 ，， …… ，， QQ [[ kk •• rr -- hh （（ QQ -- rr ）） ]] PP （（ rr ）） ++ ∑∑ rr == QQ ++ 11 ，， …… ，， ∞∞ kk •• QQ •• PP （（ rr ））  在在 rr 为为 离离 散散 变变 量量 的的 情情 况况 下下 ，， 要要 使使 订订 货货 量量 QQ 时时 的的 盈盈 利利 期期 望望 值值 最最 大大 ，， 则则 应应 满满 足足 下下 列列 关关 系系 式式 ：：  ①① RR （（ QQ ++ 11 ）） ≤≤ RR （（ QQ ））  ②② RR （（ QQ -- 11 ）） ≤≤ RR （（ QQ ））  由由 条条 件件 ①① ，， 可可 推推 得得  ∑∑ rr == 00 ，， …… ，， QQ PP （（ rr ）） ≥≥ kk // （（ kk ++ hh ））  由由 条条 件件 ②② ，， 可可 推推 得得  ∑∑ rr == 00 ，， …… ，， QQ -- 11 PP （（ rr ）） ≤≤ kk // （（ kk ++ hh ））  因因 此此 ，， 最最 佳佳 订订 货货 量量 QQ 应应 按按 下下 式式 确确 定定 ：：  ∑∑ rr == 00 ，， …… ，， QQ -- 11 PP （（ rr ）） ≤≤ kk // （（ kk ++ hh ）） ≤≤ ∑∑ rr == 00 ，， …… ，， QQ PP （（ rr ））  22 、、 计计 算算 损损 失失 期期 望望 值值 最最 小小 的的 模模 型型  ①① 当当 供供 过过 于于 求求 （（ rr ≤≤ QQ ）） 时时 ，， 因因 为为 不不 能能 销销 售售 出出 去去 而而 承承 担担 损损 失失 。。 因因 此此 ，， 损损 失失 的的 期期 望望 值值 为为  ∑∑ rr == 00 ，， …… ，， QQ [[ hh （（ QQ -- rr ）） ]] PP （（ rr ））  ②② 当当 供供 不不 应应 求求 （（ rr ＞＞ QQ ）） 时时 ，， 因因 为为 缺缺 货货 而而 失失 去去 赚赚 钱钱 的的 机机 会会 。。 因因 此此 ，， 损损 失失 的的 期期 望望 值值 为为  ∑∑ rr == QQ ++ 11 ，， …… ，， ∞∞ kk •• （（ rr -- QQ ）） PP （（ rr ））  因因 而而 ，， 损损 失失 的的 期期 望望 值值 为为  CC （（ QQ ）） == ∑∑ rr == 00 ，， …… ，， QQ [[ hh （（ QQ -- rr ）） ]] PP （（ rr ）） ++ ∑∑ rr == QQ ++ 11 ，， …… ，， ∞∞ kk •• （（ rr -- QQ ）） PP （（ rr ））  同同 样样 地地 ，， 其其 损损 失失 的的 期期 望望 值值 应应 满满 足足  ③③ CC （（ QQ ）） ≤≤ CC （（ QQ ++ 11 ））  ④④ CC （（ QQ ）） ≤≤ CC （（ QQ -- 11 ））  由由 条条 件件 ③③ ，， 可可 推推 得得  ∑∑ rr == 00 ，， …… ，， QQ PP （（ rr ）） ≥≥ kk // （（ kk ++ hh ））  由由 条条 件件 ④④ ，， 可可 推推 得得  ∑∑ rr == 00 ，， …… ，， QQ -- 11 PP （（ rr ）） ≤≤ kk // （（ kk ++ hh ））  因因 而而 ，， 综综 合合 条条 件件 ③③ 和和 ④④ ，， 有有 最最 佳佳 订订 货货 量量 条条 件件 为为  ∑∑ rr == 00 ，， …… ，， QQ -- 11 PP （（ rr ）） ≤≤ kk // （（ kk ++ hh ）） ≤≤ ∑∑ rr == 00 ，， …… ，， QQ PP （（ rr ））  与与 盈盈 利利 期期 望望 值值 最最 大大 模模 型型 结结 论论 完完 全全 一一 致致 。。  例例 22 已已 知知 某某 地地 有有 一一 天天 将将 有有 许许 多多 人人 聚聚 集集 。。 盒盒 饭饭 的的 需需 求求 量量 是是 一一 个个 离离 散散 型型 随随 机机 变变 量量 。。 若若 卖卖 出出 一一 盒盒 ，， 将将 获获 利利 11 元元 ；； 若若 不不 能能 卖卖 出出 一一 盒盒 ，， 损损 失失 00 .. 22 元元 。。 问问 应应 订订 购购 多多 少少 盒盒 才才 能能 使使 获获 利利 最最 大大 ？？  例例 33 新新 华华 书书 店店 拟拟 订订 购购 一一 批批 挂挂 历历 在在 元元 旦旦 期期 间间 出出 售售 。。 每每 出出 售售 一一 本本 可可 获获 利利 88 元元 。。 在在 元元 旦旦 前前 不不 能能 出出 售售 ，， 每每 出出 售售 一一 本本 损损 失失 11 22 元元 。。 根根 据据 以以 往往 的的 经经 验验 ，， 市市 场场 需需 求求 服服 从从 λλ == 11 00 00 00 泊泊 松松 分分 布布 。。 问问 应应 订订 购购 多多 少少 本本 挂挂 历历 才才 能能 获获 利利 最最 大大 ？？  例例 44 某某 运运 动动 时时 装装 店店 在在 春春 季季 准准 备备 销销 售售 一一 种种 新新 服服 装装 ，， 估估 计计 销销 售售 情情 况况 如如 表表 。。 已已 知知 进进 价价 为为 11 88 00 元元 // 套套 ，， 销销 售售 价价 为为 33 00 00 元元 // 套套 ，， 在在 春春 季季 末末 销销 售售 为为 11 22 00 元元 // 套套 。。 问问 该该 店店 进进 货货 多多 少少 套套 为为 宜宜 ？？ 服 装 需 求 状 况 货 物 需 求 状 况  例例 66 设设 某某 货货 物物 的的 需需 求求 量量 在在 11 77 件件 至至 22 66 件件 之之 间间 ，， 已已 知知 需需 求求 量量 的的 分分 布布 概概 率率 如如 表表 ，， 并并 且且 其其 成成 本本 价价 为为 每每 件件 55 元元 ，， 售售 价价 为为 每每 件件 11 00 元元 ，， 处处 理理 价价 为为 22 元元 。。 问问 进进 货货 多多 少少 时时 才才 能能 使使 总总 利利 润润 的的 期期 望望 值值 最最 大大 ？？  二二 、、 一一 次次 性性 订订 货货 的的 连连 续续 型型 随随 机机 存存 储储 模模 型型  假假 定定 订订 货货 单单 位位 成成 本本 为为 kk 元元 ，， 售售 价价 为为 pp 元元 ，， 单单 位位 存存 储储 费费 为为 cc 11 元元 ，， 需需 求求 量量 rr 是是 连连 续续 的的 随随 机机 变变 量量 ，， 密密 度度 函函 数数 为为 ff （（ rr ）） ，， 其其 分分 布布 函函 数数 为为 FF （（ aa ）） == ∫∫ 00aa ff （（ rr ）） dd rr  （（ aa >> 00 ）） ；； cc 22 为为 一一 次次 订订 货货 费费 。。  （（ 11 ）） 当当 订订 货货 量量 为为 QQ 时时 ，， 实实 际际 的的 销销 售售 量量 只只 能能 是是 mm ii nn [[ rr ，， QQ ]] 。。  （（ 22 ）） 当当 rr >> QQ 时时 ，， 发发 生生 缺缺 货货 损损 失失 ；； 当当 rr << QQ 时时 ，， 发发 生生 存存 储储 费费 用用 。。 因因 此此 ，， 需需 要要 支支 付付 的的 存存 储储 费费 为为 ：：  CC ss （（ QQ ）） == cc 11 （（ QQ -- rr ）） 当当 rr << QQ 时时  00 当当 rr ≥≥ QQ 时时  因因 此此 ，， 一一 次次 订订 货货 的的 盈盈 利利 为为 ：：  RR （（ QQ ）） == pp •• mm ii nn [[ rr ，， QQ ]] -- （（ cc 22 ++ kk QQ ）） -- CC ss （（ QQ ））  其其 中中 ，， 期期 望望 销销 售售 收收 入入 为为  EE [[ pp •• mm ii nn {{ rr ，， QQ }} ]] == pp ∫∫ 00QQ rr ff （（ rr ）） dd rr ++ pp ∫∫ QQ++ ∞∞ QQ ff （（ rr ）） dd rr  而而 期期 望望 费费 用用 为为 cc 11 ∫∫ 00QQ （（ QQ -- rr ）） ff （（ rr ）） dd rr ++ （（ cc 22 ++ kk QQ ）） 。。  总总 之之 ，， 期期 望望 利利 润润 EE [[ RR （（ QQ ）） ]] 为为  EE [[ RR （（ QQ ）） ]] == pp ∫∫ 00QQ rr ff （（ rr ）） dd rr ++ pp ∫∫ QQ++ ∞∞ QQ ff （（ rr ）） dd rr -- cc 11 ∫∫ 00QQ （（ QQ -- rr ）） ff （（ rr ）） dd rr -- （（ cc 22 ++ kk QQ ））  == pp ∫∫ 00 ++ ∞∞ rr ff （（ rr ）） dd rr -- pp ∫∫ QQ++ ∞∞ rr ff （（ rr ）） dd rr ++ pp ∫∫ QQ++ ∞∞ QQ ff （（ rr ）） dd rr -- cc 11 ∫∫ 00QQ （（ QQ -- rr ）） ff （（ rr ）） dd rr -- （（ cc 22 ++ kk QQ ））  == pp EE （（ rr ）） -- [[ pp ∫∫ QQ++ ∞∞ （（ rr -- QQ ）） ff （（ rr ）） dd rr ++ cc 11 ∫∫ 00QQ （（ QQ -- rr ）） ff （（ rr ）） dd rr ++ （（ cc 22 ++ kk QQ ）） ]]  令令 EE [[ CC （（ QQ ）） ]] == pp ∫∫ QQ++ ∞∞ （（ rr -- QQ ）） ff （（ rr ）） dd rr ++ cc 11 ∫∫ 00QQ （（ QQ -- rr ）） ff （（ rr ）） dd rr ++ （（ cc 22 ++ kk QQ ））  由由 于于 利利 润润 的的 最最 大大 化化 等等 价价 于于 成成 本本 的的 最最 小小 化化 ，， 因因 而而 由由 极极 值值 原原 理理 有有 ：：  dd EE [[ CC （（ QQ ）） ]] // dd QQ == cc 11 ∫∫ 00QQ ff （（ rr ）） dd rr -- pp ∫∫ QQ++ ∞∞ ff （（ rr ）） dd rr ++ kk  在在 dd EE [[ CC （（ QQ ）） ]] // dd QQ == 00 时时 ，， 令令 FF （（ QQ ）） == ∫∫ 00QQ ff （（ rr ）） dd rr  有有 ：： cc 11 FF （（ QQ ）） -- pp [[ 11 -- FF （（ QQ ）） ]] ++ kk == 00 ，， 即即  FF （（ QQ ）） == （（ pp -- kk ）） // （（ cc 11 ++ pp ））  再再 由由 该该 式式 解解 出出 QQ ，， 即即 为为 EE [[ CC （（ QQ ）） ]] 的的 最最 小小 值值 点点 。。  讨讨 论论 ：： 11 ）） 当当 pp -- kk << 00 时时 ，， 由由 于于 需需 求求 量量 为为 QQ 的的 概概 率率 为为 FF （（ QQ ）） >> 00 ，， 因因 而而 上上 式式 中中 的的 QQ 取取 00 值值 ，， 即即 当当 售售 价价 低低 于于 进进 价价 时时 ，， 以以 不不 订订 货货 为为 佳佳 。。  22 ）） 如如 果果 单单 位位 缺缺 货货 损损 失失 cc 33 >> pp ，， 则则 应应 以以 cc 33 为为 单单 位位 缺缺 货货 损损 失失 代代 替替 pp （（ 缺缺 货货 丧丧 失失 的的 不不 仅仅 仅仅 是是 销销 售售 机机 会会 ，， 还还 有有 企企 业业 的的 信信 誉誉 ）） ，， 此此 时时 有有  FF （（ QQ ）） == （（ cc 33 -- kk ）） // （（ cc 11 ++ cc 33 ））  33 ）） 对对 正正 态态 分分 布布 ，， 首首 先先 确确 定定 （（ pp -- kk ）） // （（ cc 11 ++ pp ）） 的的 值值 ；； 再再 由由 FF （（ zz ）） == ∫∫ 00zz ff （（ rr ）） dd rr 确确 定定 积积 分分 上上 限限 zz 值值 ；； 最最 后后 由由 zz == （（ xx -- μμ ）） // σσ 可可 以以 推推 导导 出出 xx == QQ 的的 值值 。。  例例 44 某某 公公 司司 出出 售售 某某 种种 商商 品品 ，， 其其 单单 位位 成成 本本 为为 11 00 元元 // 件件 ，， 单单 位位 售售 价价 为为 11 55 元元 // 件件 ，， 单单 位位 存存 储储 费费 用用 为为 22 元元 // 件件 。。 需需 求求 量量 为为 随随 机机 变变 量量 ，， 且且 服服 从从 正正 态态 分分 布布 NN （（ 22 00 00 ，， 33 00 22 ）） 。。 假假 设设 只只 许许 订订 货货 一一 次次 ，， 试试 确确 定定 最最 佳佳 订订 货货 量量 。。  例例 55 假假 定定 某某 市市 场场 每每 天天 对对 蔬蔬 菜菜 的的 需需 求求 量量 是是 连连 续续 型型 随随  机 变 量 ξ （ 单 位 ： 千 克 ） 。 蔬 菜 的 需 求 量 服 从 [ 1 0 0 0 ， 2 0 0 0 ] 上 的 均 匀 分 布 。 假 定 每 出 售 蔬 菜 1 千 克 ， 可 获 利 0 . 3 元 ； 但 假 如 销 售 不 出 ， 则 浪 费 保 养 费 0 . 1 元 / 千 克 。 问 题 ： 每 天 组 织 多 少 千 克 蔬 菜 ， 才 能 使 收 益 最 大 ？ 伍 、 多 周 期 随 机 型 存 储 模 型  一一 、、 多多 周周 期期 随随 机机 型型 存存 储储 定定 点点 （（ 量量 ）） 控控 制制 模模 型型  考考 虑虑 正正 态态 分分 布布 的的 模模 型型 环环 境境 ：：  11 、、 提提 前前 期期 确确 定定 、、 需需 求求 不不 确确 定定 的的 定定 点点 （（ 量量 ）） 控控 制制 系系 统统 的的 存存 储储 模模 型型  假假 设设 用用 BB 表表 示示 单单 位位 产产 品品 计计 的的 订订 货货 点点 ，， dd 表表 示示 每每 天天 的的 平平 均均 需需 求求 量量 ，， LL 表表 示示 以以 天天 计计 的的 订订 货货 提提 前前 期期 ，， σσ 表表 示示 提提 前前 期期 中中 每每 天天 需需 求求 的的 标标 准准 差差 ，， SS LL 表表 示示 服服 务务 水水 平平 。。  订订 货货 点点 由由 ：：  PP {{ 提提 前前 期期 内内 的的 需需 求求 ≤≤ BB }} ≥≥ SS LL  由由 提提 前前 期期 内内 每每 天天 的的 需需 求求 服服 从从 正正 态态 分分 布布 NN （（ dd ，， σσ 22 ）） ，， 则则 提提 前前 期期 内内 的的 需需 求求 服服 从从 正正 态态 分分 布布 NN （（ LL dd ，， LL σσ 22 ）） 。。  因因 此此 ，， 正正 态态 分分 布布 标标 准准 化化 为为 ：：  PP {{ （（ 提提 前前 期期 内内 的的 需需 求求 -- LL dd ）） // LL 11 // 22 σσ ≤≤ （（ BB -- LL dd ）） // LL 11 // 22 σσ }} ≥≥ SS LL  由由 正正 态态 分分 布布 表表 ，， 知知 （（ BB -- LL dd ）） // LL 11 // 22 σσ == zz SS LL ，， 因因 而而 BB == LL dd ++ LL 11 // 22 σσ zz SS LL  其其 中中 ，， LL 11 // 22 σσ zz SS LL 为为 安安 全全 库库 存存 量量 。。 BB 的的 值值 扣扣 除除 安安 全全 库库 存存 量量 ，， 就就 是是 提提 前前 期期 内内 的的 平平 均均 需需 求求 量量 。。  例例 11 家家 家家 乐乐 超超 市市 的的 中中 华华 牙牙 膏膏 每每 天天 的的 需需 求求 量量 为为 44 00 支支 ，， 需需 求求 变变 动动 的的 标标 准准 差差 为为 11 00 ，， 订订 货货 提提 前前 期期 为为 11 22 天天 ，， 如如 果果 家家 家家 乐乐 超超 市市 希希 望望 中中 华华 牙牙 膏膏 不不 出出 现现 缺缺 货货 的的 概概 率率 要要 不不 小小 于于 99 55 %% ，， 假假 设设 提提 前前 期期 11 22 天天 是是 确确 定定 的的 ，， 则则 对对 于于 中中 华华 牙牙 膏膏 这这 种种 商商 品品 应应 该该 订订 货货 点点 设设 置置 在在 什什 么么 水水 平平 才才 能能 保保 证证 不不 缺缺 货货 的的 概概 率率 为为 99 55 %% ？？  22 、、 需需 求求 确确 定定 、、 提提 前前 期期 不不 确确 定定 的的 定定 点点 （（ 量量 ）） 控控 制制 系系 统统 的的 存存 储储 模模 型型  假假 设设 用用 BB 表表 示示 单单 位位 产产 品品 计计 的的 订订 货货 点点 ，， dd 表表 示示 每每 天天 的的 需需 求求 量量 ，， LL 表表 示示 以以 天天 计计 的的 平平 均均 订订 货货 提提 前前 期期 ，， σσ LL 表表 示示 订订 货货 提提 前前 期期 的的 标标 准准 差差 ，， SS LL 表表 示示 服服 务务 水水 平平 。。  订订 货货 点点 由由 ：：  PP {{ 提提 前前 期期 内内 的的 需需 求求 ≤≤ BB }} ≥≥ SS LL  提提 前前 期期 服服 从从 正正 态态 分分 布布 NN （（ LL ，， σσ LL22 ）） ，， 则则 提提 前前 期期 内内 的的 需需 求求 服服 从从 正正 态态 分分 布布 NN （（ dd LL ，， dd 22 σσ LL22 ）） 。。  标标 准准 化化 正正 态态 分分 布布 为为 ：：  PP {{ （（ 提提 前前 期期 内内 的的 需需 求求 -- LL dd ）） // dd σσ LL ≤≤ （（ BB -- LL dd ）） // dd σσ LL }} ≥≥ SS LL  由由 正正 态态 分分 布布 知知 ，， （（ BB -- LL dd ）） // dd σσ LL == zz SS LL ，， 则则  BB == LL dd ++ dd σσ LL zz SS LL  其其 中中 ，， dd σσ LL zz SS LL 为为 安安 全全 库库 存存 量量 ，， BB 的的 值值 扣扣 除除 安安 全全 库库 存存 量量 ，， 就就 是是 提提 前前 期期 内内 的的 平平 均均 需需 求求 量量 。。  例例 22 某某 超超 市市 的的 绿绿 箭箭 牌牌 口口 香香 糖糖 每每 天天 的的 需需 求求 量量 较较 为为 稳稳 定定 ，， 需需 求求 量量 为为 66 00 盒盒 ，， 但但 是是 这这 种种 商商 品品 的的 订订 货货 提提 前前 期期 很很 不不 稳稳 定定 ，， 有有 时时 需需 要要 55 天天 ，， 而而 有有 时时 却却 需需 要要 11 55 天天 。。 通通 过过 对对 供供 应应 商商 的的 供供 货货 提提 前前 期期 进进 行行 统统 计计 检检 验验 得得 知知 提提 前前 期期 的的 分分 布布 服服 从从 正正 态态 分分 布布 ，， 平平 均均 提提 前前 期期 为为 88 天天 ，， 提提 前前 期期 的的 标标 准准 差差 为为 55 天天 。。 假假 定定 该该 超超 市市 希希 望望 绿绿 箭箭 牌牌 口口 香香 糖糖 不不 出出 现现 缺缺 货货 的的 概概 率率 不不 小小 于于 99 55 %% ，， 则则 绿绿 箭箭 牌牌 口口 香香 糖糖 的的 订订 货货 点点 应应 设设 置置 为为 多多 少少 ？？  33 、、 需需 求求 不不 确确 定定 、、 提提 前前 期期 不不 确确 定定 的的 定定 点点 （（ 量量 ）） 控控 制制 系系 统统 的的 存存 储储 模模 型型  假假 定定 需需 求求 和和 提提 前前 期期 是是 相相 互互 独独 立立 的的 ，， 用用 BB 表表 示示 单单 位位 产产 品品 计计 的的 订订 货货 点点 ，， dd 表表 示示 每每 天天 的的 平平 均均 需需 求求 量量 ，， LL 表表 示示 以以 天天 计计 的的 平平 均均 订订 货货 提提 前前 期期 ，， σσ LL 表表 示示 订订 货货 提提 前前 期期 的的 标标 准准 差差 ，， σσ 表表 示示 需需 求求 的的 标标 准准 差差 ，， SS LL 表表 示示 服服 务务 水水 平平 ，， 则则 订订 货货 点点 为为  BB == dd ×× LL ++ zz SS LL （（ LL σσ 22 ++ dd 22 σσ LL22 ）） 11 // 22  例例 33 假假 定定 某某 超超 市市 的的 牛牛 奶奶 需需 求求 量量 和和 需需 求求 时时 间间 都都 很很 不不 稳稳 定定 ，， 根根 据据 历历 史史 资资 料料 统统 计计 发发 现现 ：： 牛牛 奶奶 的的 平平 均均 需需 求求  量量 为为 22 00 00 箱箱 ，， 标标 准准 差差 为为 11 00 箱箱 ，， 而而 提提 前前 期期 平平 均均 为为 11 55 天天 ，， 标标 准准 差差 44 天天 。。 要要 使使 该该 超超 市市 的的 牛牛 奶奶 不不 出出 现现 缺缺 货货 的的 概概 率率 不不 小小 于于 99 55 %% ，， 则则 牛牛 奶奶 的的 订订 货货 点点 应应 设设 置置 为为 多多 少少 ？？  二二 、、 多多 周周 期期 随随 机机 型型 存存 储储 定定 期期 控控 制制 模模 型型  在在 多多 周周 期期 随随 机机 型型 存存 储储 定定 期期 控控 制制 模模 型型 中中 ，， 需需 要要 确确 定定 订订 货货 周周 期期 和和 目目 标标 库库 存存 水水 平平 。。  11 、、 订订 货货 周周 期期 的的 确确 定定  经经 济济 订订 货货 次次 数数 == 年年 需需 求求 量量 ÷÷ 经经 济济 订订 货货 批批 量量  订订 货货 周周 期期 == 11 22 ÷÷ 经经 济济 订订 货货 次次 数数 （（ 单单 位位 为为 月月 ））  22 、、 目目 标标 库库 存存 水水 平平 的的 确确 定定  订订 货货 量量 有有 两两 个个 用用 途途 ：： 一一 是是 为为 了了 满满 足足 订订 货货 周周 期期 加加 上上 订订 货货 提提 前前 期期 内内 的的 平平 均均 需需 求求 量量 ，， 二二 是是 为为 了了 满满 足足 安安 全全 库库 存存 的的 需需 求求 。。  把把 订订 货货 周周 期期 加加 上上 订订 货货 提提 前前 期期 的的 时时 期期 称称 为为 订订 货货 保保 管管 期期 。。  在在 定定 期期 控控 制制 系系 统统 中中 ，， 在在 订订 货货 周周 期期 TT 进进 行行 再再 订订 购购 ，， 固固 定定 提提 前前 期期 为为 LL ，， 需需 求求 是是 随随 机机 分分 布布 的的 且且 均均 值值 为为 dd ，， 订订 货货 量量 为为 ：：  订订 货货 量量 == 保保 管管 期期 内内 的的 平平 均均 需需 求求 量量 ++ 安安 全全 库库 存存 -- 现现 有有 库库 存存 定 期 控 制 系 统 现有 库存 时间 安全 库存 订货周期 S s 第一个订单量 收到订单1的货 下第一个订单 收到订单2的货 第二个订单量 第一个提前期 下第二个订单  QQ == dd （（ TT ++ LL ）） ++ zz σσ TT ++ LL -- II  其其 中中 ，， QQ —— —— 订订 购购 量量  TT —— —— 两两 次次 盘盘 点点 间间 的的 间间 隔隔 天天 数数  LL —— —— 提提 前前 期期 的的 天天 数数 （（ 下下 订订 单单 与与 收收 到到 货货 物物 之之 间间 的的 时时 间间 长长 度度 ））  dd —— —— 预预 测测 的的 日日 平平 均均 需需 求求 量量  zz —— —— 特特 定定 服服 务务 水水 平平 概概 率率 下下 的的 标标 准准 倍倍 数数  σσ TT ++ LL —— —— 盘盘 点点 周周 期期 与与 提提 前前 期期 期期 间间 需需 求求 的的 标标 准准 差差  I — — 现 有 库 存 水 平 （ 包 括 已 订 购 而 尚 未 到 达 的 ） 。  例 4 某 企 业 的 自 行 车 每 天 的 需 求 量 为 1 0 辆 ， 标 准 差 为 3 辆 。 订 货 周 期 为 3 0 天 ， 提 前 期 为 1 4 天 。 管 理 部 门 制 定 的 目 标 是 要 满 足 9 8 % 的 对 库 存 物 料 的 需 求 。 在 盘 点 周 期 开 始 时 ， 库 存 中 有 2 0 0 辆 自 行 车 ， 求 订 购 量 应 该 是 多 少 ？ 伍 、 （ s ， S ） 型 存 储 模 型  一一 、、 需需 求求 为为 连连 续续 的的 随随 机机 变变 量量  设设 货货 物物 单单 位位 成成 本本 为为 KK ，， 单单 位位 存存 储储 费费 为为 CC 11 ，， 单单 位位 缺缺 货货 费费 为为 CC 22 ，， 每每 次次 订订 货货 费费 为为 CC 33 ，， 需需 求求 rr 是是 随随 机机 变变 量量 ，， 密密 度度 函函 数数 为为 ΦΦ （（ rr ）） ，， ∫∫ ΦΦ （（ rr ）） dd rr == 11 ，， 分分 布布 函函 数数 为为 FF （（ aa ）） == ∫∫ 00aa ΦΦ （（ rr ）） dd rr ，， 期期 初初 存存 储储 为为 II ，， 订订 货货 量量 为为 QQ ，， 期期 初初 存存 储储 达达 到到 SS == II ++ QQ 。。 目目 标标 是是 确确 定定 QQ 的的 值值 使使 损损 失失 的的 期期 望望 值值 最最 小小 。。  期期 初初 存存 储储 II 为为 常常 量量 ，， 订订 货货 量量 为为 QQ ，， 则则 期期 初初 存存 储储 达达 到到 SS == II ++ QQ ，， 本本 阶阶 段段 需需 订订 货货 费费 CC 33 ++ KK QQ ，， 本本 阶阶 段段 需需 付付 存存  储储 费费 用用 的的 期期 望望 值值 为为 ∫∫ 00SS CC 11 （（ SS -- rr ）） ΦΦ （（ rr ）） dd rr ，， 需需 付付 缺缺 货货 费费 用用 的的 期期 望望 值值 为为 ∫∫ ss∞∞ CC 22 （（ rr -- SS ）） ΦΦ （（ rr ）） dd rr ，， 因因 此此 订订 货货 费费 、、 存存 储储 费费 及及 缺缺 货货 费费 之之 和和 为为  CC （（ SS ）） == CC 33 ++ KK QQ ++ ∫∫ 00SS CC 11 （（ SS -- rr ）） ΦΦ （（ rr ）） dd rr ++ ∫∫ ss∞∞ CC 22 （（ rr -- SS ）） ΦΦ （（ rr ）） dd rr  == CC 33 ++ KK QQ ++ CC 11 SS ∫∫ 00SS ΦΦ （（ rr ）） dd rr -- CC 11 ∫∫ 00SS rr ΦΦ （（ rr ）） dd rr ++ CC 22 ∫∫ ss∞∞ rr ΦΦ （（ rr ）） dd rr -- CC 22 SS ∫∫ ss∞∞ ΦΦ （（ rr ）） dd rr  == CC 33 ++ KK （（ SS -- II ）） ++ CC 11 SS ∫∫ 00SS ΦΦ （（ rr ）） dd rr -- CC 11 ∫∫ 00SS rr ΦΦ （（ rr ）） dd rr ++ CC 22 ∫∫ ss∞∞ rr ΦΦ （（ rr ）） dd rr -- CC 22 SS ∫∫ ss∞∞ ΦΦ （（ rr ）） dd rr  dd CC （（ SS ）） // dd SS == KK ++ CC 11 ∫∫ 00SS ΦΦ （（ rr ）） dd rr -- CC 22 ∫∫ ss∞∞ ΦΦ （（ rr ）） dd rr == 00 ，， 有有  FF （（ SS ）） == ∫∫ 00SS ΦΦ （（ rr ）） dd rr == （（ CC 22 -- KK ）） // （（ CC 11 ++ CC 22 ）） 称称 为为 临临 界界 值值 ，， 并并 且且 小小 于于 11 。。  因因 此此 ，， 存存 储储 策策 略略 为为 ：： 由由 ∫∫ 00SS ΦΦ （（ rr ）） dd rr == NN ，， 确确 定定 SS 的的 值值 ，， 再再 由由 QQ == SS -- II 确确 定定 订订 货货 量量 。。  对对 于于 模模 型型 中中 的的 订订 购购 费费 CC 33 ，， 如如 果果 本本 阶阶 段段 不不 订订 货货 可可 以以 节节 省省 订订 购购 费费 CC 33 ，， 可可 以以 设设 想想 是是 否否 存存 在在 一一 个个 数数 值值 ss （（ ss ≤≤ SS ）） 使使 下下 面面 不不 等等 式式 成成 立立 ：：  KK ss ++ CC 11 ∫∫ 00ss （（ ss -- rr ）） ΦΦ （（ rr ）） dd rr ++ CC 22 ∫∫ ss∞∞ （（ rr -- ss ）） ΦΦ （（ rr ）） dd rr ≤≤ CC 33 ++ KK SS ++ CC 11 ∫∫ 00SS （（ SS -- rr ）） ΦΦ （（ rr ）） dd rr ++  CC 22 ∫∫ SS∞∞ （（ rr -- SS ）） ΦΦ （（ rr ）） dd rr  当当 ss == SS 时时 ，， 不不 等等 式式 成成 立立 。。  当当 ss << SS 时时 ，， 不不 等等 式式 右右 端端 存存 储储 费费 用用 期期 望望 值值 大大 于于 左左 端端 存存 储储 费费 用用 期期 望望 值值 ，， 右右 端端 缺缺 货货 费费 用用 期期 望望 值值 小小 于于 左左 端端 缺缺 货货 费费 用用 期期 望望 值值 。。 如如 果果 有有 至至 少少 一一 个个 ss 的的 值值 使使 下下 列列 不不 等等 式式 成成 立立 ，， 则则 选选 其其 中中 最最 小小 者者 作作 为为 （（ ss ，， SS ）） 存存 储储 策策 略略 的的 ss 。。  CC 33 ++ KK （（ SS -- ss ）） ++ CC 11 [[ ∫∫ 00SS （（ SS -- rr ）） ΦΦ （（ rr ）） dd rr -- ∫∫ 00ss （（ ss -- rr ）） ΦΦ （（ rr ）） dd rr ]] ++ CC 22 [[ ∫∫ SS∞∞ （（ rr -- SS ）） ΦΦ （（ rr ）） dd rr -- ∫∫ ss∞∞ （（ rr -- ss ）） ΦΦ （（ rr ）） dd rr ]] ≥≥ 00  相相 应应 的的 存存 储储 策策 略略 是是 ：： 每每 阶阶 段段 初初 期期 检检 查查 存存 储储 ，， 当当 库库 存存 II << ss 时时 ，， 需需 要要 订订 货货 ，， 订订 货货 数数 量量 为为 QQ ，， QQ == SS -- II ；； 当当 库库 存存 II ≥≥ ss 时时 ，， 本本 阶阶 段段 不不 订订 货货 。。  二二 、、 需需 求求 是是 离离 散散 的的 随随 机机 变变 量量  设设 需需 求求 rr 取取 值值 为为 rr 00 ，， rr 11 ，， …… ，， rr mm （（ rr ii << rr ii ++ 11 ）） ，， 其其 概概 率率 为为 PP （（ rr 00 ）） ，， PP （（ rr 11 ）） ，， …… ，， PP （（ rr mm ）） ，， 且且 ∑∑ PP （（ rr ii ）） == 11 ，， 原原 有有 存存 储储 量量 为为 II ，， 并并 且且 在在 本本 阶阶 段段 内内 为为 常常 量量 ，， 当当 本本 阶阶 段段 开开 始始 时时 订订 货货 量量 为为 QQ ，， 存存 储储 量量 达达 到到 II ++ QQ ，， 本本 阶阶 段段 所所 需需 的的 各各 种种 费费 用用 为为 ：：  （（ 11 ）） 订订 货货 费费 ：： CC 33 ++ KK QQ  （（ 22 ）） 存存 储储 费费 ：： 当当 需需 求求 rr << II ++ QQ 时时 ，， 未未 能能 售售 出出 的的 存存 储储 部部 分分 需需 要要 支支 付付 存存 储储 费费 ；； 当当 需需 求求 rr ≥≥ II ++ QQ 时时 ，， 不不 需需 要要 支支 付付 存存 储储 费费 。。  因因 此此 ，， 存存 储储 费费 的的 期期 望望 值值 为为 ：： ∑∑ rr ≤≤ II ++ QQ CC 11 （（ II ++ QQ -- rr ）） PP （（ rr ）） （（ rr == II ++ QQ 时时 ，， 不不 支支 付付 存存 储储 费费 及及 缺缺 货货 费费 ））  （（ 33 ）） 缺缺 货货 费费 ：： 当当 需需 求求 rr >> II ++ QQ 时时 ，， （（ rr -- II -- QQ ）） 部部 分分 需需 支支 付付 缺缺 货货 费费  因因 此此 ，， 缺缺 货货 费费 的的 期期 望望 值值 为为 ：： ∑∑ rr >> II ++ QQ CC 22 （（ rr -- II -- QQ ）） PP （（ rr ））  综综 上上 所所 述述 ，， 本本 阶阶 段段 所所 需需 订订 货货 费费 、、 存存 储储 费费 和和 缺缺 货货 费费 之之 和和 为为 ：：  CC （（ SS ）） == CC （（ II ++ QQ ）） == CC 33 ++ KK QQ ++ ∑∑ rr ≤≤ II ++ QQ CC 11 （（ II ++ QQ -- rr ）） PP （（ rr ）） ++ ∑∑ rr >> II ++ QQ CC 22 （（ rr -- II -- QQ ）） PP （（ rr ））  == CC 33 ++ KK （（ SS -- II ）） ++ ∑∑ rr ≤≤ SS CC 11 （（ SS -- rr ）） PP （（ rr ）） ++ ∑∑ rr >> SS CC 22 （（ rr -- SS ）） PP （（ rr ）） ，， 求求 出出 SS 值值 使使 CC （（ SS ）） 最最 小小 。。  求求 解解 方方 法法 如如 下下 ：：  （（ 11 ）） 将将 需需 求求 rr 的的 随随 机机 变变 量量 值值 按按 大大 小小 顺顺 序序 排排 列列 为为 rr 00 ，， rr 11 ，， …… ，， rr mm ，， rr ii << rr ii ++ 11 ，， rr ii ++ 11 -- rr ii == ⊿⊿ rr ii ≠≠ 00 （（ ii == 11 ，， 22 ，， …… ，， mm ））  （（ 22 ）） SS 只只 从从 rr 00 ，， rr 11 ，， …… ，， rr mm 中中 取取 值值 。。 当当 SS 取取 值值 为为 rr ii 时时 ，， 记记 为为 SS ii ，， ⊿⊿ SS ii == SS ii ++ 11 -- SS ii == rr ii ++ 11 -- rr ii == ⊿⊿ rr ii ≠≠ 00 （（ ii == 11 ，， 22 ，， …… ，， mm ））  （（ 33 ）） 求求 SS 的的 值值 使使 CC （（ SS ）） 最最 小小 。。  得得 到到 ：：  ∑∑ rr ≤≤ SS （（ ii -- 11 ）） PP （（ rr ）） << （（ CC 22 -- KK ）） // （（ CC 11 ++ CC 22 ）） ≤≤ ∑∑ rr ≤≤ SS （（ ii ）） PP （（ rr ）） 求求 出出 SS ii 为为 SS ，， 本本 阶阶 段段 订订 货货 量量 为为 QQ == SS -- II 。。  例例 11 某某 公公 司司 利利 用用 塑塑 料料 制制 成成 产产 品品 出出 售售 ，， 已已 知知 每每 箱箱 塑塑 料料 购购 价价 为为 88 00 00 元元 ，， 订订 购购 费费 CC 33 == 66 00 元元 ，， 存存 储储 费费 每每 箱箱 为为  CC 11 == 44 00 元元 ，， 缺缺 货货 费费 每每 箱箱 CC 22 == 11 00 11 55 元元 ，， 原原 有有 存存 储储 量量 II == 11 00 箱箱 。。 已已 知知 对对 原原 料料 需需 求求 的的 概概 率率 为为 PP （（ 33 00 ）） == 00 .. 22 00 ，， PP （（ 44 00 ）） == 00 .. 22 00 ，， PP （（ 55 00 ）） == 00 .. 44 00 ，， PP （（ 66 00 ）） == 00 .. 22 00 ，， 求求 该该 公公 司司 订订 购购 原原 料料 的的 最最 佳佳 订订 购购 量量 。。  例例 22 某某 工工 厂厂 在在 一一 段段 时时 间间 内内 对对 某某 一一 产产 品品 的的 需需 求求 量量 是是 一一 随随 机机 变变 量量 ，， 如如 表表 。。 每每 次次 订订 购购 费费 为为 55 00 00 元元 ，， 每每 月月 存存 储储 费费 用用 为为 55 00 元元 ，， ，， 每每 月月 每每 件件 缺缺 货货 费费 为为 11 00 00 00 元元 ，， 每每 件件 单单 价价 为为 66 00 00 元元 ，， 采采 用用 （（ ss ，， SS ）） 策策 略略 求求 存存 储储 方方 案案 。。