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行政职业能力测试
知识框架之
-数量关系
I
目录
目录.....................................................................................................................................................................I
1 行测数学运算知识框架 ......................................................................................................................................3
计算问题之数的性质 ............................................................................................................................................3
整除问题...............................................................................................................................................4
公约数与公倍数问题 ............................................................................................................................5
余数问题...............................................................................................................................................7
奇偶性与质合性问题 ..........................................................................................................................10
数字问题.............................................................................................................................................11
计算问题之算式计算 ..........................................................................................................................................12
比较大小问题 .....................................................................................................................................12
定义新运算问题..................................................................................................................................14
平均值问题 .....................................................................................................................................一五
不定方程问题 .................................................................................................................................一五
不等式问题 .........................................................................................................................................17
算式等式问题 .................................................................................................................................一八
最值问题.............................................................................................................................................19
数列问题.............................................................................................................................................20
速算与技巧 .........................................................................................................................................23
行程问题.....................................................................................................................................................26
初等行程问题 .....................................................................................................................................26
相遇问题.............................................................................................................................................27
追及问题.............................................................................................................................................28
行船问题.............................................................................................................................................29
排列组合问题..............................................................................................................................................30
常规排列组合问题 ..............................................................................................................................30
比赛问题.............................................................................................................................................32
几何问题.............................................................................................................................................................33
平面几何问题 .....................................................................................................................................33
立体几何问题 .....................................................................................................................................36
II
特殊情境问题 .....................................................................................................................................................37
鸡兔同笼问题 .....................................................................................................................................37
牛儿吃草问题 .....................................................................................................................................38
日期星期问题 .....................................................................................................................................39
钟表问题.............................................................................................................................................40
年龄问题.............................................................................................................................................42
植树问题.............................................................................................................................................42
方阵问题.............................................................................................................................................43
分段计算问题 .....................................................................................................................................45
概率问题.............................................................................................................................................................46
容斥原理问题 .....................................................................................................................................................47
统筹问题.............................................................................................................................................................48
工程问题.............................................................................................................................................................50
浓度问题.............................................................................................................................................................51
利润利率问题 .....................................................................................................................................................53
和差倍比问题 .....................................................................................................................................................55
抽屉原理问题 .....................................................................................................................................................57
盈亏问题.............................................................................................................................................................58
3
1 行测数学运算知识框架
公务员行政能力测试一共分为五大模块，其中一块是数量关系。数学运算是数量关系中的一种。
数学运算主要考查考生对基本数量关系的分析能力和理解能力，以及对数学运算方法和策略的运用能力，内容包括了小
学奥数，初高中代数、几何，甚至大学的统计学等众多方面的知识，是历年考试中的难点和热点。
数学运算一共分为十四个模块，每个模块已经公务员考试资料网解构与提炼，希望同学们可以轻松搞定数学运算问题。
计算问题之数的性质
数的性质一般只有五个方面，考生只需牢牢掌握这五个方面，便可轻松搞定这类问题。
从近几年的行测考试来看，这部分试题难度基本保持在中等程度，考试的重点主要集中在整除问题和数字问题。同时，
数的性质是构成数学运算的基础，尤其是数字的基本性质更是构成“秒杀”的基本理论，复习时需要引起考生足够的重视。
备注： 该篇只是简要介绍了“数的性质”模块的知识框架。而对于其框架下各知识点具体内容，我们将在下属知识点
中进行精讲。
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整除问题
在公务员考试中，数的整除性质被广泛应用在运算里，同时在行程、工程等问题中，很多时候都需要用到整除性质。整
除问题一般只考两个方面，考生只需牢牢掌握这两个方面，便可轻松搞定这类问题。
1、题型简介
数的整除性质被广泛应用在数学运算里。一般情况下题目会给出某个 N 位数能被 M 个数整除的已知条件，求解这个 N
位数。
2、核心知识
如果 a、b、c 为整数，b≠0，且 a÷b=c，称 a 能被 b 整除(或者说 b 能整除 a)。
数 a 除以数 b(b≠0)，商是整数或者有限小数而没有余数，称 a 能被 b 除尽(或者说 b 能除尽 a)。
整除是除尽的一种。
(1)整除的性质
A、如果数 a 和数 b 能同时被数 c 整除，那么 a±b 也能被数 c 整除。
如：36，54 能同时被 9 整除，则它们的和 90、差一八也能被 9 整除。
B、如果数 a 能同时被数 b 和数 c 整除，那么数 a 能被数 b 与数 c 的最小公倍数整除。
如：63 能同时被 3、7 整除，则 63 也能被 3 和 7 的最小公倍数 21 整除。
C、如果数 a 能被数 b 整除，c 是任意整数，那么积 ac 也能被数 b 整除。
如：58 能被 29 整除，则 58 乘以任意整数的积，例如 58×5，也能被 29 整除。
D、平方数的尾数只能是 0、1、4、5、6、9。
E、若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
F、若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
(2)整除特征
表 1 常见数字整除的数字的特性表
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3、核心知识使用详解
(1)三个连续的自然数之和(积)能被 3 整除。
(2)实际生活中很多事物的数量是以整数为基础来计量的，这一点在解题的过程中需要考生自己来发掘。
(3)1 能整除任何整数，0 能被任何非零整数整除
公约数与公倍数问题
在公务员的考试中，公约数与公倍数问题考查点只有两种类型。无论生活场景如何改变，同学只要牢牢把握这两种类型，
就能轻松搞定公约数与公倍数问题。
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1.题型简介
(1)约数与倍数
若数 a 能被 b 整除，则称数 a 为数 b 的倍数，数 b 为数 a 的约数。其中，一个数的最小约数是 1，最大约数是它本身。
(2)公约数与最大公约数
几个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。
公约数中最大的一个，称为这几个自然数的最大公约数。
(3)公倍数与最小公倍数
几个自然数公有的倍数，叫做这几个自然数的公倍数。
公倍数中最小的一个，称为这几个自然数的最小公倍数。
考试题型一般是已知两个数，求它们的最大公约数或最小公倍数。
2.核心知识
(1)两个数最大公约数和最小公倍数
一般采用短除法，即用共同的质因数连续去除，直到所得的商互质为止。
A、把共同的质因数连乘起来，就是这两个数的最大公约数。
B、把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来，就是这两个数的最小公倍数。
如：求 24、36 的最大公约数与最小公倍数。
24、36 的最大公约数为其共同质因数的乘积，即 2×2×3=12;
24、36 的最小公倍数为其共同质因数及独有质因数的乘积，即(2×2×3)×(2×3) =72。
(2)三个数最大公约数和最小公倍数
A、求取三个数的最大公约数时，短除至三个数没有共同的因数(除 1 外)，然后把所有共同的质因数连乘起来。
B、求取三个数的最小公倍数时，短除到三个数两两互质，然后把共同的质因数和各自独有的质因数连乘起来。
如：求 24、36、90 的最大公约数和最小公倍数。
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3.核心知识使用详解
(1)两个数如果存在着倍数关系，那么较小的数就是其最大公约数，较大的数就是其最小公倍数。
(2)互质的两个数的最大公约数是 1，最小公倍数是它们的乘积。
(3)利用短除法求取三个数的最大公约数和最小公倍数时要注意二者的区别：求取三个数的最大公约数时，只需短除到三
个数没有共同的因数(除 l 外)即可;而求取三个数的最小公倍数时，需要短除到三个数两两互质为止。
(4)多于三个数的最大公约数与最小公倍数的求法与三个数的求法相似。
余数问题
公务员考试中余数问题一般只有两种类型，只要理解题目，掌握解题的基本方法，便能轻松搞定这类问题。
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1、题型简介
公务员考试中常见的题型是给出相关的已知条件，计算出余数。
2、核心知识
被除数=除数×商+余数(都是正整数)
(1)一个被除数，多个除数
A、基本形式——中国剩余定理
原型：
《孙子算经》记载：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?”
基本解法——层层推进法：
以上题为例，满足除以 3 余 2 的最小数为 2;
在 2 的基础上每次加 3，直到满足除以 5 余 3，这个最小的数为 8;
在 8 的基础上每次加 3、5 的最小公倍数一五，直到满足除以 7 余 2，这个最小的数为 23。
所以满足条件的最小自然数为 23，而 3、5、7 的最小公倍数为 105，故满足条件的数可表示为 105n+ 23(n=0，1，
2，…)。
B、特殊形式——余同、和同、差同
特殊形式的口诀：余同取余，和同加和，差同减差，最小公倍数为最小周期。
(2)多个被除数，一个除数
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A、同余
两个整数 a、b 除以自然数 m(m>1)，所得余数相同，则称整数 a、b 对自然数 m 同余，记做 ( cmod m)。
例如：23 除以 5 的余数是 3，一八除以 5 的余数也是 3，则称 23 与一八对于 5 同余。
同余的特殊性质：在同余的情况下(a-b)必能被 m 整除，所得的商为两数商之差。例如：
那么：
B、不同余
两个整数 a、b 除以自然数 m(m>1)，所得余数不相同，则称整数 a、b 对自然数 m 不同余。
同余和不同余的三个重要的性质——可加性，可减性，可乘性。
对于同一个除数 m，两个数和的余数等于余数的和，两个数差的余数等于余数的差，两个数积的余数等于余数的积。
3、核心知识使用详解
(1)一个数被 2(或 5)除得到的余数，就是其末一位数字被 2(或 5)除得到的余数。
(2)一个数被 4(或 25)除得到的余数，就是其末两位数字被 4(或 25)除得到的余数。
(3)一个数被 8(或 125)除得到的余数，就是其末三位数字被 8(或 125)除得到的余数。
(4)一个数被 3(或 9)除得到的余数，就是其各位数字之和被 3(或 9)除得到的余数。
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奇偶性与质合性问题
奇偶性和质合性问题在公务员的考试中，一般只考两种类型。无论生活场景如何改变，同学只要牢牢把握这两种类型的
性质，就能轻松搞定奇偶性和质合性问题。
1、题型简介
公务员考试中，利用奇偶性与质合性解决问题，一般都是在具体情境中结合其他知识一起考查的，很少单独考查，但对
于单独考查的这类问题，考生也不能掉以轻心。
2、核心知识
(1)奇偶性
奇数：不能被 2 整除的整数。
偶数：能被 2 整除的整数(需特别注意的是：0 是偶数)
奇数和偶数的运算规律：
奇数±奇数=偶数、奇数×奇数=奇数;
偶数±偶数=偶数;偶数×偶数=偶数;
奇数±偶数=奇数;奇数×偶数=偶数。
(2)质合性
质数：如果一个大于 1 的正整数，只能被 1 和它本身整除，那么这个正整
数叫做质数(质数也称素数)，如 2、3、5、7、11、一三……
合数：一个正整数除了能被 l 和它本身整除外，还能被其他的正整数整除，
这样的正整数叫做合数，如 4、6、8、9、10……
1 既不是质数也不是合数。
3、核心知识使用详解
(1)两个连续自然数之和(或差)必为奇数。
(2)两个连续自然数之积必为偶数。
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(3)乘方运算后，数字的奇偶性保持不变。
如：a 为奇数(偶数)，则 an (n 为正整数)为奇数(偶数)。
(4)2 是唯一一个为偶数的质数。
如果两个质数的和(或差)是奇数，那么其中必有一个数是 2;
如果两个质数的积是偶数，那么其中也必有一个数是 2。
数字问题
公务员考试中数学问题一般只有两种类型，无论情景如何变，同学只要牢牢把握这两种类型，就能轻松搞定数字问题。
1、题型介绍
数字问题是研究有关数字的特殊结构、特殊关系以及数字运算中变换问题的一类问题，相对来说，难度较大。通常情况
下题目会给出某个数各个位数关系，求这个数为多少。
2、核心知识
(1)数字的拆分
是将一个数拆分成几个因数相乘或者相加的形式，经常需要综合应用整除性质、奇偶性质、因式分解、同余理论等。
(2)数字的排列与位数关系
解答数字的排列与位数关系时，经常需要借助于首尾数法进行考虑、判断，同时可以利用列方程法、代入法、假设法等
一些方法，进行快速求解。
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计算问题之算式计算
算式计算一般有九个方面，考生只需牢牢掌握这九个方面，便可轻松搞定这类问题。
算式计算能力是数量关系部分的基本能力，它不仅考查考生的计算水平，更多考查的是考生对计算方法的掌握和对计算
技巧的运用能力，是准确、快速解决具体问题的方法和手段，因此，希望考生在平时解题过程中不断积累，做到灵活运用。
备注： 该篇只是简要介绍了“算式计算”模块的知识框架。而对于其框架下各知识点具体内容，我们将在下属知识点
中进行精讲。
比较大小问题
在公务员考试中，比较大小问题的解决方法有六种，但从历年真题来看，中间值法、倒数法、不等式法这三种方法考查
较多。所以无论比较大小问题怎么变化，同学只要牢牢把握这三种主要类型，就能轻松搞定比较大小问题。
1、 题型简介
比较大小问题在近年来各类公务员考试中出现较少。下面给出了比较几个数大小的常用方法及其原理，从真题来看，中
间值法、倒数法、不等式法这三种方法考查较多，同学们可以重点学习。
2、核心知识
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（1）作差法
对于任意两个数 a、b，
若 a-b≥0，则 a≥b；若 a-b＜0，则 a＜b。
（2）作商法
当 a、b 为任意两个正数时，
若 ≥1，则 a≥b；若 ＜1，则 a＜b。
当 a、b 为任意两个负数时，
若 ≥1，则 a≤b；若 ＜1，则 a＞b。
（3）中间值法
对任意两个数 a、b，若能找到一个中间值 c，满足 a＞c 且 c＞b，则可以推出 a＞b。
（4）倒数法
当 a、b 同号时，
若 ≤ ，则 a≥b；若 ＞ ，则 a＜b。
（5）不等式法（根据不等式的性质进行判断）
a、 若 a≥b，则 a±c≥b±c；
若 a≥b，c≥d，则 a+c≥b+d，a-d≥b-c；
b、 若 a＞b，c＞0，则 ac＞bc， ＞ ；
若 a＞b，c＜0，则 ac＜bc， ＜ ；
若 a＞b＞0，c＞d＞0，则 ac＞bd, ＞ ；
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c、 若 a＞b＞0，则 an ＞bn （n＞1）；若 a＞b＞0，则 ＞
（n＞1）。
d、 当 an ≥bn ，n＞0 且 n 为偶数时，
若 a＞0，b＞0，则 a≥b＞0；
若 a＜0，b＜0，则 a≤b＜0。
当 an ≥bn ，n＞0 且 n 为奇数时，则 a≥b。
（6）差值比较法
通常情况下，比较几个分数的大小时，如果其值与“1”或某一个整数比较接近，则
可通过比较这几个分数与“1”的差值来比较它们的大小。
定义新运算问题
在公务员考试中，定义新运算问题并不难。解决这类问题要充分理解新定义，严格按照新定义的公式带入数值，便可轻
松搞定这类问题。
1、题型简介
定义新运算通常是用某些特殊符号表示特定的运算意义，实质是给出一种新的运算规则，并赋予该运算方法新的运算符
号，如*、※、※、※等，计算其式子。
2、核心知识
定义新运算：新的运算符号，对这些符号规定了新的运算规则，按照新的运算规则进行运算。
（1）公式法
根据题目提供的新定义的公式，将数值带入。
（2）分步法
对于一些复杂的定义新运算问题，需要分步完成，根据已知公式多次代入和计算。
（3）归纳法
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根据已知条件归纳新运算规则。
平均值问题
公务员考试中平均值问题一般只有两种类型（几何平均值因计算不便，故基本没有涉及）。无论情景如何改变，同学只
要牢牢把握这两种类型，就能轻松搞定平均值问题。
1、题型简介
平均值有分为算术平均值、加权平均值、几何平均值等等。其中以算术平均值最常见，在公务员考试中由于不允许使用
计算器，所以几何平均值的问题出现的概率十分的低，掌握各种平均值解法就能很容易的解决问题。
2.核心知识
（1）算术平均值
所有数据之和除以数据个数所得的商，用公式表示：
M=
（2）加权平均值
如果在 N 个数中， 分别出现了 那么，
或
叫做 的加权平均值。
不定方程问题
公务员考试中不定方程应用题一般只有三种类型。解答不定方程时，一定要找出题中明显或隐含的限制条件，从而利用
数的奇偶性、数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除法等技巧去解，理清解题思路，掌握解题方法，就
能轻松搞定不定方程问题。
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1、题型简介
未知数个数多于方程个数的方程（组），叫做不定方程（组）。通常只讨论它的整数解或正整数解。
在各类公务员考试中，最常出现的是二元一次方程，其通用形式为 ax+by=c，其中 a、b、c 为已知整数，x、y 为所求自
然数。在解不定方程问题时，我们需要利用整数的奇偶性、自然数的质合性、数的整除特性、尾数法、特殊值法、代入排除
法等多种数学知识来得到答案。
2、核心知识
形如 ， ， 的方程叫做不定方程，其中前两个方程又叫做一次不定方程。这些方程的
解是不确定的，我们通常研究：
a.不定方程是否有解？
b.不定方程有多少个解？
c.求不定方程的整数解或正整数解。
（1）二元一次不定方程
对于二元一次不定方程问题，我们有以下两个定理：
定理 1：
二元一次不定方程 ，
A.若其中 ，则原方程无整数解；
B.若 ，则原方程有整数解；
C.若 ，则可以在方程两边同时除以 ，从而使原方程的一次项系数互质，从而转化为 B 的情形。
如：方程 2x+4y=5 没有整数解；2x+3y=5 有整数解。
定理 2：
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若不定方程 有整数解 ，则方程 有整数解 ，此解称为特解。
方程 的所有解（即通解）为 （k 为整数）。
（2）多元一次不定方程（组）
多元一次不定方程（组）可转化为二元一次不定方程求解。
例：
※－※消去 x 得 y+2z=11 ※
※的通解为 ，k 为整数。
所以 x=10－y－z=4－k，当 k=0 时，x 最大，此时 y=1，z=5。
（3）其他不定方程
3、核心知识使用详解
解不定方程问题常用的解法：
（1）代数恒等变形：如因式分解、配方、换元等；
（2）不等式估算法：利用不等式等方法，确定出方程中某些变量的范围，进而求解；
（3）同余法：对等式两边取特殊的模（如奇偶分析），缩小变量的范围或性质，得出不定方程的整数解或判定其无解；
（4）构造法：构造出符合要求的特解，或构造一个求解的递推式，证明方程有无穷多解；
（5）无穷递推法。
（6）特殊值法：已知不定方程（组），在求解含有未知数的等式的值时，在该等式是定值的情况下，可以采用特殊值
法，且可以设为特殊值的未知数的个数=未知数的总个数-方程的个数。
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不等式问题
不等式是用不等号将两个解析式连结起来所成的式子，公务员考试中不等式问题一般只有两种类型，掌握这两个方面，
就轻松掌握不等式问题。
1、题型简介
不等式是用不等号将两个解析式连结起来所成的式子，在公务员考试中，对不等式的考查主要有两个方面：(1)由不等式
确定未知量取值范围，(2)均值不等式。
2.核心知识
均值不等式：任意 n 个正数的算术平均数总是不小于其几何平均数。
当且仅当 时，等号成立。
公务员考试中，多考查两个数或三个数的均值不等式。
（1） 当且仅当 时等号成立。
（2） 当且仅当 =0 时等号成立。
算式等式问题
公务员考试中的算式等式问题，主要是指由已知等式（关系式）求取相关的特定关系式的值。这类型的题目的关键在于
认真观察题干中的关系式，然后按照核心公式拆解，从而得到解题需要的关系式，这样就轻松搞定算式等式问题。
1、题型简介
公务员考试中的算式等式问题，主要是指由已知等式（关系式）求取相关的特定关系式的值。这类型的题目的关键在于
认真观察题干中的关系式，然后按照核心公式拆解，从而得到解题需要的关系式。
2、核心知识
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（1）完全平方和（差）公式：
变形： ；
；
（2）立方和（差）公式：
（3）抛物线 的对称轴为
（4）已知 f(a+x)=f(b-x)，则 f(x)的对称轴为：
最值问题
在近几年的公务员考试中，最值问题主要考查的是最大值和最小值，通常只有不等式法、求导法、二次函数法三种方法，
其中以不等式法为主。只要掌握其规律及其解题技巧，便能轻松搞定该类问题（不等式法和求导法重点掌握）。
1、题型简介
最值问题一般为题目中出现“至多”、“至少”、“最多”、“最少”、“最大”、“最小”、“最快”、“最慢”、“最高”、“最低”等字
样，通常采用不等式法、求导法等求最大值，最小值。
2、核心知识
（1）不等式法
正数的算术平均值不小于它们的几何平均数，即：
，当且仅当 时，等号成立；
a2 +b2 ≥2ab，当且仅当 a=b 时，等号成立；
（ ，当且仅当 时，等号成立）；
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（ ，当且仅当 时，等号成立）。
（2）求导法
对于未知数的指数在二次以上的函数
经常使用求导法求最值：
当 时，
求得的 x 值代人原式可以得到 y 的最值。
常见的是对二次方函数和三次方函数求导求最值，即
，
（3）二次函数法（了解）
二次函数：
当 时， 为最小值；
当 时， 为最大值。
数列问题
公务员考试中，通常情况下考察数列问题只有两种形式：
（1）求数列的第 n 项，以求等差数列的第 n 项为主；
（2）求数列和，分式数列求和以裂项相消的题型为主。
无论考察哪种，只要牢牢掌握其公式及其解题技巧，就能轻松搞定数列问题。
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1、题型简介
按一定次序排列的一列数称为数列。数列中的每一个数都叫做这个数列的项，排在第一位的数称为这个数列的首项。如
果一个数列的第 n 项 与其项数 n 之间的关系可用式子 来表示，这个式子就称为该数列的通项。在公务员考试中
会以求数列第 N 项，数列求和这两种考察较多。
2、核心知识
（1） 求第 N 项
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（2）数列求和
A．单一数列求和
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B．多个数列求和：
①分组求和法（重要）：
将原数列拆分成若干个基本数列，利用基本数列求和公式进行求和。
①错位相减法：
对于满足 的数列 ,其中 是等差数列， 是公比 q≠1 的等比数列，可以采用错位相减法,即：
的前 N 项和为 ， 的前 n 项和为 ，求 前 n 项和 ，……通常在和式的两边都乘以该等比数列的公比 q，
然后再将得到的新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。
①倒叙相加法：
如果一个数列 ，与首末项等距的两项之和满足一定的规律，则可以将正反两种顺序的原数列对应项相加，同时借助
于基本数列求和公式进行求解。
3.核心知识使用详解
公式推理：
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（1）1+2+3+4+5+……+n= ；
（2）1+3+5+7+……+（2n-1）= ；
（3） +……+ = ；
（4） ……+ = ；
（5） +……+ = ；
（6） +……+ = = ；
（7） +……+ = 。
速算与技巧
在公务员考试中，计算能力是数量关系部分的基本能力，几乎所有题目最后都会转化成对计算规律的考查。这一节，将
向大家详细介绍计算的规律及技巧，一般来说，速算的方法只有五种，只要掌握这五种方法，就可以让你轻松掌握计算问题。
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1、题型简介
速算与技巧，它不仅考查考生的计算水平，更多考查的是考生对计算方法的掌握和对计算技巧的运用能力，是数量关系
部分的基础，是准确、快速解决具体问题的方法和手段。
2.核心知识
（1）凑整法
凑整法：是根据数的特点，借助于数的组合、分解以及四则运算等规律，将几个数字凑成整十、整百、整千、整万的数，
也可以把较大的数字估算为与其相近的整数，从而达到简化计算的目的，是最常用、最简便的方法。
常用公式：
加法交换律：a+b=b+a；
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c);
乘法交换律：ab=ba;
乘法结合律：（ab)c=a(bc);
乘法分配律：(a+b)c=ac+bc。
（2）因式分解法
因式分解法是把一个多项式转化为几个因式乘积的形式。常用的方法有提取公因式法、公式法、分组分解法等。
A．提取公因式法：
通过提取相同的因数或因式进行“凑整”的方法，如 am+bm+cm=m(a+b+c)，这是因式分解中最基本的方法。该方法一般
以求取公约数或公因式作为基础。
B．公式法：
是利用乘法公式来分解因式的方法。公式法在后面的消去法、换元法、算式等式等部分中应用也非常广泛。常用的乘法
公式有：
平方差公式： ；
立方和（差）公式： ；
完全平方和（差）公式： ；
完全立方和（差）公式： ；
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幂的乘方法则： ；
同底数幂的乘法： ；
同底数幂的除法： ；
积的乘方： 。
C．分组分解法：
将多项式中的某两项或多项作为一组，使该组内的几项适合于利用提取公因式法或公式法等进行因式分解，或者是将该
多项式转化为已知条件的某种形式。
D．拆补法：
在保证多项式数值不变的基础上，将式子中的某一项等值拆分成几项、或者同时加减上相等的两项或几项，使之适合于
利用提取公因式法、公式法或分组分解法等进行分解，或者是将多项式中的各项转化为已知条件的某种形式。
（3）消去法
“消去法”思想来源于解方程组时的消元思想，它是通过消去一个复杂式子中的重复部分来达到简化计算的目的。
对于加减运算中项数较多的式子，优先考虑使用该方法。一般在乘除运算较多和分式较多的式子中要先利用“约分”来消
去相同的项。
（4）换元法
换元法是把式子的某个部分看成一个整体，并用一个新的变量去替换它，从而使式子简化的方法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识体系中去研究。
在数学运算中，一般采用的是局部换元法，是指在已知或未知的代数式中，用一个字母代替重复出现的复杂式子，进而
把复杂的计算和推证简化。
（5）首尾数法
首尾数法：是根据原式的运算将首位或者末位数字（一位或者两位）运算后得到的结果来确定答案的。
通常在所给题干的数值比较大、计算复杂，而四个选项的首位数字或末位数字不相同的情况下使用，可以达到“秒杀”的
效果。大部分的计算题都可以用首数法或者尾数法，其中尾数法在数学运算和数字推理中应用的尤其普遍。
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行程问题
行程问题是研究物体运动的，它研究的是物体速度、时间、行程三者之间的关系。此类问题是公务员考试中常见的题型
之一。行程问题一般只有四种类型，考生只需牢牢掌握这四种类型，便可轻松搞定这类问题。
初等行程问题
行程问题只有三个变量，每个变量有 N 种变化，但万变不离其宗。只要把握这三个变量，就能轻松搞定初等行程问题。
1、题型简介
初等行程问题就是研究一个物体的运动，即研究单个物体的速度、时间、路程三者之间的关系。
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2、核心知识
路程=速度×时间；
路程÷时间=速度；
路程÷速度=时间。
3、核心知识使用详解
虽然是考核心公式的应用，但公务员考题中基本不是直接代入核心公式就可以解题，出题者往往都会在各个变量上面设
“弯道”。
1、路程“弯道”：单向直路、往返路、上坡路、下坡路、环型路、“回头”路、速度不同的一段路、队伍（火车）过桥（隧
道、电线杆）、动物爬树（井）、 “树”路……
2、时间“弯道”：具体时刻、时间提前、时间延后、休息时间……
3、速度“弯道”：平均速度、速度变大、速度变小……
相遇问题
在公务员考试中，相遇问题虽然是考核心公式的应用，但基本不是直接代入核心公式就可以解题，但总的来说其只有以
下两种情况，每种情况有 2 种变化。同学只要牢牢把握这两种情况，就能轻松搞定相遇问题。
1、题型简介
相遇问题是行程问题的典型应用题，研究“相向运动”的问题，反映的是两个量或者多个物体所走的路程、速度和时间的
关系。其核心就是速度和。通常是已知速度、路程等变量，求相遇时间或者已知时间，速度，求路程等这类题型。
2、核心知识
速度和×相遇时间=相遇路程；
相遇路程÷相遇时间=速度和；
相遇路程÷速度和=相遇时间。
（1）直线相遇问题
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当相遇问题发生在直线路程上时，甲的路程+乙的路程=总路程；
（2）环线相遇问题
当相遇问题发生在环形路程上时，甲的路程+乙的路程=环形周长。
3.核心知识使用详解
解答相遇问题时，一般需要借助于列方程法进行求解。
对于复杂的相遇问题，正确画出行程图、找准突破口往往是解题的关键。
一般而言，单个量的往返问题，一般以时间关系为突破口；
两个量的往返问题，一般以路程为突破口。
追及问题
公务员考试中，追及问题虽然是考核心公式的应用，但基本不是直接代入核心公式就可以解题，但总的来说追及问题只
有以下两种情况，每种情况有 2 种变化。同学只要牢牢把握这两种情况，就能轻松搞定追及问题。
1、 题型简介
追及问题是行程问题的常考典型应用题，是研究“同向运动”的问题，追及问题反映的是两个量或者多个量所走的路程、
速度和时间的关系。核心就是速度差。
2、核心知识
追及时间=路程差÷速度差；
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路程差=追及时间×速度差；
速度差=路程差÷追击时间。
小红和小明的家相距 300 米，两人同时从家里出发去学校，小明在小红后面，小明每分
钟走 160 米，小红每分钟走 100 米，问小明几分钟追上小红？
追及时间=路程差÷速度差=300 ÷（160-100）=5 分钟
3、核心知识使用详解
当追及问题发生在直线路程上时：路程差=追者路程一被追者路程=速度差×追及时间；
当发生在环形路程上时：快的路程-慢的路程=曲线的周长；
行船问题
在公务员的考试中，行船问题的考查点只有以下两种类型，无论情景如何改变，同学们只要记住由于流水具有一定的速
度，行船问题就是弄懂物体在有相对速度情况下的路程、时间和速度的关系，一般采用列方程法求解。这样就能轻松搞定行
船问题。
1、题型简介
行船问题是行程问题的一种，有基本行船问题和变形行船问题（扶梯问题）两种类型。在公务员考试中，解决行船问题
的关键是确定“船”的运动速度。一般情况下可采用列方程法求解。
2、核心知识
（1）基本行船问题
顺水速度=船速+水速
逆水速度=船速-水速
由上述两个公式进行相加相减得以下两公式：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷2
水速=（顺水速度-逆水速度）÷2
（2）变形行船问题——扶梯问题
A.沿电梯运动
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能看到的电梯级数=人实际走过的级数+电梯本身移动的级数；
由于人实际走过的时间与电梯本身移动的时间相等，
那么，上式变形为：
能看到的电梯级数 = 顺行速度 × 沿电梯运动方向运动所需时间 = （人速+电梯速度）× 沿电梯运动方向运动所需时间；
B.逆电梯运动
能看到的电梯级数=人实际走过的级数-电梯本身走过的级数；
由于人实际走过的时间与电梯本身移动的时间相等，
那么，上式变形为：
能看到的电梯级数 = 逆行速度 × 逆电梯运动方向运动所需时间 =（人速-电梯速度）× 逆电梯运动方向运动所需时间。
排列组合问题
常规排列组合问题
排列组合问题根据是否与顺序有关，只有排列和组合两种类型；根据事情的完成步骤，只有分类和分步两种类型；根据
解题方法，只有基础公式型、分类讨论型、分步计算型、捆绑插空型、错位排列型、重复剔除型、多人传球型、等价转化型
八种类型。无论排列组合的元素怎么变化，同学只要牢牢把握这几种主要类型和解题方法，就能轻松搞定排列组合问题。
1、题型简介
排列组合问题在近年来各类公务员考试中出现较多。下面给出了解决排列组合问题的几个核心知识点，从真题来看，基
础公式型、分类讨论型、分步计算型、重复剔除型、等价转化型这五种题型考查较多，同学们可以重点学习。
2、核心知识
（1）基础公式法
加法原理：
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一件事情，有 n 类方法可以完成，并且每类方法又分别存在 种不同方法，则完成这件事情共
有 种方法。
乘法原理：
一件事情，需要 n 个步骤完成，并且每步又分别存在 种不同方法，则完成这件事情共有
种方法。
排列基础公式：
从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素组成一列（与顺序有关），有
种方法。
组合基础公式：
从 n 个不同元素中，任取 m(m≤n)个元素组成一组（与顺序无关），有
(其中 m!=1×2×3×…×m)种方法。
（2）分类讨论法
根据题意分成若干类分别计算。
（3）分步计算法
根据题意，分步计算。
（4）捆绑插空法
相邻问题——捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列。
不相邻问题——插空法：先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中。
（5）错位排列法
错位排列问题：有 n 封信和 n 个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数计算 Dn，则 D1＝0，D2＝
1，D3＝2，D4＝9，D5＝44，D6=265…（请牢牢记住前六个数）。
（6）重复剔除法
A．平均分组问题
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将 NM 个人平均分成 N 组，总共有 种分配方法。
B．多人排成圈问题
N 人排成一圈，有 种排法。
C．物品串成圈问题
N 个珍珠串成一条项链，有 种串法。
（7）多人传球法
M 个人传 N 次球，记 ，则与 X 最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与 X 第二接近的整数
便是传给自己的方法数。
（8）等量转换法
比赛问题
公务员考试中，根据比赛规则，比赛问题主要只有两类，扎实掌握每类比赛对应的解题方法，就能轻松搞定比赛问题。
1、 题型简介
根据比赛规则，比赛问题主要分为淘汰赛和循环赛，每类比赛都有对应的解题方法。其中 N 为参加比赛的总人数或总的
队数。一般都给你些已知条件，求比赛场次、比赛分数、比赛人数等。
2、核心知识
（1）淘汰赛
A、所需场次仅需决出冠亚军
比赛场次 = N-l
B、需决出第 1、2、3、4 名
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比赛场次 = N
（2）循环赛
A、单循环（任意两个队打一场比赛，和顺序无关，所以是组合问题）
比赛场次 =
B、双循环（任意两个队打两场比赛，和顺序有关，所以是排列问题）
比赛场次 =
几何问题
几何问题也是数学运算的常考题型，一般涉及平面图形的长度、角度、周长、面积和立体图形的表面积、体积等。几何
问题一般只有两种类型，考生只需牢牢掌握这两种类型，便可轻松搞定这类问题。
平面几何问题
公务员考试中，平面几何问题一般涉及平面范围内的点、线、角、周长、面积等之间的相互关系。扎实掌握基本公式、
图形性质及几何原理，理解以下三种类型的解法，就能轻松搞定平面几何问题。
1、 题型简介
平面几何问题一般涉及平面范围内的点、线、角、周长、面积等之间的相互关系。一般来说，对于规则图形的这些量都
有现成的公式及常见的定理。因此，扎实掌握基本公式、图形性质及几何原理是同学顺利解决规则图形几何问题的关键。通
常情况下，题目都给你已知量，根据公式定理，求相关周长、面积或变长等。
2、 核心知识
(1).与线、角相关问题
A．三角形的边与角的定理：
a. 三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；
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b. 较大的角对应的边也较大，反之亦然；
c. 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；
d. 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
B．直角三角形的有关定理：
勾股定理：a2 +b2 =c2 ；
sinA＝a/c； cosA＝b/c； tanA＝a/b； cotA＝b/a。
C.多边形的边、角的定理：
a. n 边形的内角的和等于（n－2）×一八 0°；
b. 任意多边形的外角和等于 360°。
c. 平行线中的比例关系
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（2）周长与面积相关问题
平面图形的周长和面积公式：
a.相似的平面图形的面积之比等于对应边长度之比的平方；
b.周长相等的平面图形中，越接近圆（边数越多）的图形，面积越大；
c.面积相等的平面图形中，越接近圆（边数越多）的图形，周长越小；
d.边数和周长相等的平面图形中，正多边形的面积最大；
3、核心知识使用详解
平面几何问题的解决方法主要有三种，分别为公式法、割补法和图示法。
A.公式法要求同学必须扎实地掌握公式。
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B.割补法可使不规则图形的解题过程大为简化。当遇到不规则图形，可对图形进行割补，使之成为规则图形后，再进行
计算。
C.图示法主要针对没有给出几何图形的应用题，画出图形进行分析，直观明了。
立体几何问题
公务员考试中，立体几何问题一般涉及空间范围内的点、线、角、周长、面积等之间的相互关系。扎实掌握其基本公式、
几何原理及这些类型的解法，就能轻松搞定平面几何问题。
1.题型简介
立体几何问题一般涉及空间范围内的点、线、角、周长、面积等之间的相互关系。主要题型为已知边、角之间的数量关
系，求边、表面积或体积。
2.核心知识
（1）与线、角相关问题（立体）
三垂线定理
在上图中，PO 垂直于平面 ABCD，OE※AB，则 PE※AB。
（2）表面积与体积相关问题
立体图形的表面积和体积公式：
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表面积相等的立体图形，越接近球体（面数越多），体积越大；
体积相等的立体图形，越接近球体（面数越多），表面积越小；
3.核心知识使用详解
平面几何问题的解决方法主要有三种，分别为公式法、判断法和转化法。其中转化法，则是将其转化为平面几何问题，
再灵活利用平面几何问题的三种解决方法进行求解。
特殊情境问题
特殊情景问题是公务员考试中较为常考的一类问题。这些问题涉及的数学知识或者基本原理难度都不是很大，但考生往
往被多变的情景搞晕了。因此，考生在备考过程中，要熟悉各类情景问题的考法，方可胸有成竹，处变不惊。特殊情景问题
一般八种类型，考生只需牢牢掌握这八种类型，便可轻松搞定这类问题。
鸡兔同笼问题
在公务员考试中，鸡兔同笼问题是已知各部分的平均值和总量，求总体中各部分的个数，其实质是加权平均问题，这类
问题相同的情景一般只有以下几类，主要掌握假设法和列方程法，这样就能轻松搞定鸡兔同笼问题。
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1、题型简介
鸡兔同笼问题是已知各部分的平均值和总量，求总体中各部分的个数，其实质是加权平均问题。一般情况下，这类问题
强烈推荐各位考生使用假设法和“列方程”的方法。
2、核心知识
核心公式：
代表分数（比如“总头数”）；
代表加权分数（比如“总脚数”）；
代表数值 1（比如“鸡数”）；
代表数值 2（比如“兔数”）；
代表权重 1（比如“鸡脚数”）；
代表权重 2（比如“兔脚数”）。
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牛儿吃草问题
牛儿吃草问题根据“牛”和“草地”的不同，只有分为标准型牛儿吃草问题、牛羊同吃草问题、M 头牛吃 W 亩草问题三种
类型。无论“牛”的种类和数目怎么变化，最主要还是采用方程法列出方程，然后求解。
1、 题型简介
牛儿吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场问题，是 17 世纪英国伟大的科学家牛顿提出的。典型牛儿吃草问题通常给出
不同头数的牛吃同一片草，这片草地既有原有的草，又有每天新长出的草，假设草的变化速度及原有存量不变，求若干头牛
吃这片地的草可以吃多少天。掌握牛儿吃草问题，可以帮助同学们解决原有存量的负载量“如原有草量可供几头牛吃多少天”
问题。
2、核心知识
y=（N-x）×T
y 代表原有存量（比如“原有草量” ）；
N 代表促使原有存量减少的消耗变量（比如“牛数” ）；
x 代表存量的自然增长速度（比如“草长速度”，也就是每天生长的草量为 x 头牛一天吃的草量），如果草自然减少，“-”
变为“+” ；
T 代表存量完全消失所耗用的时间。
只要是标准型牛儿吃草问题、牛羊同吃草问题、M 头牛吃 W 亩草问题三种类型，便可套用以上公式。
3、核心知识使用详解
（1）有牛有羊时，需要将牛全部转换为羊，或者将羊全部转换为牛，再代入公式计算；
（2）出现“M 头牛吃 W 亩草”时，N 用“M/W”代入，此时 N 代表单位面积上牛的数量。
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日期星期问题
在公务员考试中，日期问题主要考查的题型为根据已知条件求日期或星期。这类题型的解题方法一般只有：分段法、余
数法、综合推断法；掌握年份、日期、星期的相关知识，你就可以轻松搞定日期星期问题。
1、题型简介
日期问题主要是根据已知的条件求星期、日期问题。一般情况下，这类型题目主要采用分段法、余数法、综合推断法解
题。
2、核心知识
（1）平年和闰年
平年 2 月有 28 天，全年 365 天；
闰年 2 月有 29 天，全年 366 天。
（2）闰年的判定
四年一闰，百年不闰，四百年再闰，三千二百年再不闰
（1）能被 4 整除但不能被 100 整除（如 2008 年是闰年，2009 年就不是）
（2）能被 400 整除而不能被 3200 整除的是闰年（如 1900 年是平年，2000 年是闰年，3200 年是平年）。
（3）大月和小月
大月：一、三、五、七、八、十、十二月，每月共 31 天；
小月：四、六、九、十一月，每月共 30 天。
（4）星期
星期每七天一个循环（例如 5 日是星期二，那么 12 日也是星期二）。
日期星期问题本质上就是余数问题，比如星期几就是除 7 后余几。（如 2008 年 1 月 1 日为星期二，2009 年 1 月 1 日为
星期几？2008 年为闰年，有 366 天，366 除以 7 余 2，故 2009 年 1 月 1 日为星期四。）
星期口诀：
平年每年的第一天和最后一天为同一个星期数，闰年每年的最后一天星期数为该年第一天星期数加上 1。
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钟表问题
钟表问题，是研究钟面上时针和分针关系的问题。公务员考试中主要考查只有两种类型：时针与分针的角度关系和时钟
的校准问题。从路程（格）和角度两个方向进行解答钟表问题的方法掌握了，你就可以轻松搞定日期星期问题。
1、题型简介
钟表问题，是研究钟面上时针和分针关系的问题。一般说来，钟表问题可以从路程（格）和角度两个方向进行解答。
2、核心知识
（1）时针与分针的角度关系
A．按“格”来分，则钟面上的路程（角度）和速度（角速度）有如下关系：
a。钟面一圈按“小时”分：
可分为 12 大格；
时针每小时走 1 大格，分针每小时走 12 大格；
它们每小时相差 12－1＝11 大格，每分钟分针比时针多走 11/60 大格。
b．钟面一圈按“分钟”分：
可分为 60 小格；
时针每小时走 5 小格，分针每小时走 60 小格；
它们每小时相差 60－5＝55 小格，每分钟分针比时针多走 11/12 小格。
c 分针的速度是时针的 12 倍。
B．按“角度”来分，则钟面上的路程和速度有如下关系：
a．钟面一圈为 360°，时针每小时走 30°，分钟每小时走 360°；它们每小时相差 360°-30°=330°；
b.时针每分钟走 °，分针每分钟走 6°；它们每分钟相差 6°－°=°；
c.分针的速度是时针的 12 倍。
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（2）时钟校准问题
时钟校准问题的关键之找出不正常表的时间与正常时间之间的关系。
3、 核心知识使用详解
(1)可以转化成时针和分针的相遇追及问题。
时针速度为 度/分，分针速度为 6 度/分，该方法适用于定量计算。
(2)借助画图，缩小范围，然后进行排除，该方法适用于定性分析。
(3)直接应用工具——手表，通过旋转手表解题。
(4)对于坏表问题，要注意时间指的是标准时间。
年龄问题
公务员考试中，年龄问题主要以年龄差和年龄倍数的形式出现，比较灵活多变，但其实质是和差倍问题。
1、题型简介
年龄问题主要是和差问题和倍数问题的变形，题目多为已知某些人年龄之间的数量关系，求他们的年龄或者已知两人或
若干人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系。
2、核心知识
（1）年龄问题的主要特点是：
A、随着时间的推移，两个人的年龄增加，且增加的数量相等，亦即年龄差始终不变；
B、随着年龄的增加，两个人的年龄倍数关系也会发生变化，且会变小。
年龄问题是和差问题与倍数问题的变形，比较灵活多变。但是，总体而言此类问题可以由和差、倍数关系来解决。
（2）核心公式：
小年龄数×倍数＝大年龄数；
年龄之和数÷（倍数＋1）＝小年龄数；
年龄之差数÷（倍数－1）＝小年龄数；
(年龄之和数＋年龄之差数)÷2＝大年龄数；
(年龄之和数－年龄之差数)÷2＝小年龄数。
3、核心知识使用详解
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(1)方程法：根据年龄差不变或题目中的其他已知等量关系建立方程。
(2)画图法：根据题干中的表述，将数据之间的关系画图，进而求解未知项。
植树问题
植树问题根据端点是否植树，只有分为三种类型，但是有 5 种变化，变化主要集中在两端均植树问题中。
1、题型简介
在一条公路上等距离植树，如给出植树的方式（端点是否植树）、相邻两棵树之间的距离、路的总长度，就可以求出共
需要植多少棵树，这就是植树问题。其实植树问题在生活中有许多变形，比如锯木头问题、走楼梯问题等。
2、核心知识
植树问题研究的是总长、间距和棵数之间的相互关系。根据端点是否植树，可以分成三个类型。
（1）两端均不植树
（2）只有一端植树
（3）两端均植树
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以上数量关系适用的是单边植树问题，双边植树问题需在以上基础上乘以 2。
方阵问题
在公务员考试中方阵问题考察的内容无非只有以下两种类型，算是比较简单的一类问题，从历年真题来看，无论它如何
变化，只要掌握其计算公式便可轻松搞定此类问题。
1、题型简介
许多人或许多事物，按一定条件排成正方形或长方形(简称方阵)，再根据已知条件求总人(物)数，这类问题称为方阵问题
(也叫乘方问题)。
2、核心知识
方阵问题可分为实心方阵和空心方阵，以下便做详细介绍：
（1）实心方阵
实心方阵公式：
实心方阵总元素数＝（最外层每边元素数）2
（2）空心方阵
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空心方阵公式：
空心方阵总元素数 ＝（最外层每边元素数×2 －（最内层每边元素数－2）×2
＝（最外层每边元素数）×2 －（最外层每边元素数－2×层数）×2
＝（最外层每边元素数－层数）×层数×4；
3、核心知识使用详解
方阵主要有以下几点性质：
方阵不论哪一层，每边上的元素数量都相同，每向里一层，每边上的数量就少 2。
每层元素数＝（每边元素数－1）×4
内层元素数＝外层元素数－8
层数为积数的空心方阵，总人数的平均数与中间一层的人数相同。
实心方阵的总人数是一个完全平方数，空心方阵的总人数是 4 的倍数
分段计算问题
分段计算其实质是数学代数中的分段函数问题，只要能正确的找出分段点，明确各分区间内数量间的关系，然后套用公
式，就能轻松搞定分段计算问题。
1、题型简介
在近几年的公务员考试中，分段问题主要涉及两个区间段，甚至更多区间段的计算，内容涵盖销售、税金、支付，提成
等。
2、核心知识
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核心公式：
售价＝重量×单价
售价＝原价×打折率
售价＝分段 1×价格 1＋分段 2×价格 2＋分段 3×价格 3＋……
售价＝分段 1×折率 1＋分段 2×折率 2＋分段 3×折率 3＋……
分段计算，实质就是代数中的分段函数问题，解题的关键是正确找出分段点，明确各分区间内数量间的关系，然后分区
间计算。
概率问题
在历年的公务员考试中，概率问题考查的常见的形式只有三种，包括单独概率、条件概率、二项分布。无论概率问题中
事件怎么变化，同学只要牢牢把握这三种形式，就能轻松搞定概率问题。
1、 题型简介
表示一个事件发生的可能性大小的数，叫做该事件的概率。掌握概率问题，可以帮助解决事件发生可能性大小的问题
2、核心知识
（1）单独概率
如果试验中可能出现的结果有 n 个，而事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的概率 。
（2）条件概率
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在事件 A 发生[P(A)>0]的前提下，事件 B 发生的条件概率等于事件 A、B 同时发生的概率与事件 A 发生的概率之商，即
为 ，在解答概率问题时，经常需要用到条件概率的变式， 和
。
（3）二项分布
重复试验 n 次，每次试验中只有两种相互对立的可能结果，并且事件发生的概率 p 在整个试验中保持不变，则 n 次独立
重复试验中发生 k 次的概率为 。
公式：
类型 公式
单独概率
条件概率
二项分布
提示（总体概率）：
事件 A 发生的概率与事件 A 未发生的概率满足 ,对于一些较复杂的概率问题，可以考虑利用该条件
进行间接求解。
容斥原理问题
根据集合个数，容斥原理问题一般有两集合容斥关系和三集合容斥关系两种类型，两集合容斥关系只要采用公式法就可
轻松解决，三集合容斥关系又可分为标准型、图示标数型、整体重复型三类，对应解题方法是公式法、文氏图法、方程法。
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1、题型简介
容斥原理是在不考虑重叠的情况下，先将所有对象的数目相加，然后再减去重复的部分，从而使得计算的结果既无遗漏
又无重复。掌握容斥原理问题，可以帮助同学们解决多集合元素个数的问题。
2、核心知识
（1）两个集合容斥关系
（2）三个集合容斥关系
A、标准型公式
B、图示标数型（文氏
图法）
画图法核心步骤：
1 画圈图；
2 数字(先填最外一层，再填最内一层，然后填中间层)；
※做计算。
C、整体重复型
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A、B、C 分别代表三个集合（比如“分别满足三个条件的元素数量”）；
W 代表元素总量（比如“至少满足三个条件之一的元素的总量”）；
x 代表元素数量 1（比如“满足一个条件的元素数量”）；
y 代表元素数量 2（比如“满足两个条件的元素数量”）；
z 代表元素数量 3（比如“满足三个条件的元素数量”）。
3、核心知识使用详解
（1）容斥原理问题要清楚容斥原理公式中各项的实际含义，与题中的数据准确对应。
（2）容斥原理问题的关键在于把文字转化为文氏图，在图中应准备反应题中集合之间的关系。
（3）容斥问题的难度在于题中集合可能较多，某些集合之间的关系可能不确定，这需要仔细的分析，抓住不确定的。
统筹问题
统筹问题主要考查的题型只有以下几个类型，解决统筹问题要从整体把握，在使各部分的指标与整体目标相协调的同时，
总体效果达到最优。无论统筹问题怎么变化，同学只要牢牢把握这几种主要类型和解题方法，就能轻松搞定统筹问题。
1、题型简介
统筹问题主要研究，完成一件事情，怎样安排才能做到时间最少、路线最近、费用最省或效果最好等等，诸如此类的问
题都是统筹规划的问题。
统筹问题在日常生活、学习、工作中更经常接触到，尤其在生产、建设、工程和企业管理中更是广泛应用，它对于进行
合理调度、提高工作效率、保证工作质量等等，都十分有效。
2、核心知识
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（1）时间统筹问题
时间统筹问题就是合理安排时间，合理利用等待时间，使得完成工作所用时间最少。其主要题型为一人做多事、多人做
一事、多人做多事。通常有画图法、列表法、推理法.
解决此类问题时，需注意以下几点：
A、要做哪些工作，完成工作的程序，即先做什么，后做什么，哪些工作可以同时进行；
B、做每件工作所需的时间，进而分析出哪些工作可以同时完成。
（2）空瓶换酒问题
空瓶换酒问题，即为等量转化问题，比如 n 个空瓶换 m 瓶饮料等。
求解“已知 y 个空瓶可换 n 瓶饮料，假设某人买了 x 瓶饮料，问他最多能喝多少瓶饮料”的问题，解决此类问题的方法是
采用“等价交换”的原则。
y 个空瓶可换 n 瓶饮料时，可以推出“等量转化问题”的核心公式：
A．若 y 个空瓶可换 n 瓶饮料，买了 x 瓶饮料，则最多可以喝 z 瓶，有 ；
B．若 y 个空瓶可换 n 瓶饮料，最多喝 z 瓶，则需要买 x 瓶饮料，有 。
（3）货物集中问题
货物集中问题即集中统筹问题，是指在将货物集中的同时，使得货物的运费最省
集中统筹问题的“核心法则”：
即在非闭合路径上（如线形、树形等）有多个“点”，点上有一定重量的货物，每个点之间由一定的路径连接，把货物集
中到一点上最优的方式遵循法则：确定一点，判断该点两端货物的重量，把轻的一端向重的一端集中。
（4）人员分配问题
人员分配问题一般是如何分配使其所用人员数量达到最少的最优分配。
核心法则：
如果有 X 个工厂和 Y 辆车，则最少需要的装卸工人数为：
A．当 X>Y 时，所需的装卸工总数最少是需要装卸工人数最多的 Y 个工厂所需的装卸工人数之和；
B．当 X≤Y 时，所需的装卸工总数最少是各个工厂需要的装卸工人数之和。
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（5）最优效率分配问题
最优效率分配即效率统筹，是根据完成工作的效率不同，合理分配工作，使得完成这些工作所用时间最少。一般来说，
应优先分配做某件事情效率最高的人（或物）来做该件事情，即最优效率分配原则。
列表法是常用方法：
列表法就是将各个工作及效率以表格的形式表示出来，之后根据最优效率分配原则，分配工作，进而求得最优分配方法。
工程问题
工程问题一般只有两种类型，单独完工问题（只有一种题型）和合作完工问题（有五种题型）。解答工程问题时，
往往以工作总量一定作为解题的突破口，利用列方程法、特殊值法、比例法、设“1”法进行求解，掌握着解题方法，就
能轻松搞定工程问题。
1、题型简介
工程问题是将一般的工作问题分数化，换句话说从分数的角度研究工作总量、工作时间、工作效率三者之间关系
的问题。解答工程问题时，往往以工作总量一定作为解题的突破口，利用方程法、特殊值法、比例法、设“1”法进行求
解，其中工作总量既可以是某一具体的数值，也可以是相对值“1”。
2、核心知识
工作总量=工作效率×工作时间；
工作效率=工作总量÷工作时间；
工作时间=工作总量÷工作效率。
浓度问题
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浓度问题在公务员考试中主要只有三类，溶质变化、溶剂变化和不同溶液混合，其中不同溶液混合分为规律变化和无规
律变化两种形式。只要掌握其解题技巧，这类问题便可轻松搞定浓度问题。
1、题型简介
化学定量分析常涉及溶液的配置和溶液浓度的计算，在实际生活中我们也常遇到溶液配比的问题，由此产生的许多问题
归为浓度问题。公务员考试中浓度问题实际是从小学应用题演变而来的，其本质是比例问题。
2、核心知识
一般溶液是指将一种固体或液体溶于另一种液体（一般为水）中，得到的均匀混合物，被溶解的固体或液体为溶质，起
溶解作用的液体（一般为水）为溶剂。
浓度问题就是研究溶质、溶剂、溶液和浓度之间关系的问题。它们存在以下四个基本关系：
溶液质量=溶质质量+溶剂质量； 溶质质量=浓度×溶液质量；
； 溶液质量= 。
（1）溶剂的变化——蒸发与稀释问题
溶液蒸发 水含量降低 溶质浓度增加；
溶质不变
溶液稀释 溶剂含量增加 溶质浓度降低；
利用相同溶质的不同比例求解溶剂变化的情况。
（2）溶质变化——溶质的增减问题
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一般而言，直接计算溶质的增减比较复杂，由于溶剂与溶质对立而统一，大部分情况下，溶质变化的浓度问题需要通过
计算溶剂的变化来反推浓度。
（3）不同溶液的混合问题
A.浓度呈规律性变化
这类题往往具有多次操作，浓度不断变化且呈一定规律的特征。其关键是抓住浓度变化的统一规律，从而忽略掉每个步
骤的分析过程，应用公式法，简化计算。
B．无规律变化
※某一溶液相对于混合后溶液，溶质增加；另一种溶液相对于混合后溶液，溶质减少。由于总溶质不变，因此增加的溶
质等于减少的溶质。此类混合问题采用十字交叉法。
※使用混合判定法，从选项入手，根据溶液混合特性，使用带入排除法解题。
3、核心知识使用详解
浓度问题主要有四种解决方法。其中，方程法具有思维过程简单的特点，适用于大部分浓度问题。因此，同学需要优先
而扎实地掌握以不变应万变的方程法。
（1）方程法
一般来说，该方法有两个要素，第一是设未知数，要求易于求解；第二是找等量关系列出方程。浓度问题中往往以浓度
作为未知数，这样等量关系易于表达，但也伴有浓度数值大多是小数不好计算的弊病，同学可在实际做题中细加体会。
（2）特殊值法
在很多情况下，同学可选取符合一般情况的特殊值求解。
（3）十字交叉法
十字交叉法主要用于解决加权平均值问题，在浓度问题中即混合浓度问题。
两部分混合，第一部分的平均值为 a，第二部分的平均值为 b（这里假设 a＞b），混合后的平均值为 r，利用十字交叉法
有：
平均值 交叉作差 对应量
第一部分 a r-b A
总体平均值 r
第二部分 b a-r B
得到等式：（r-b）÷（a-r）=A÷B。
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（4）混合特性判定法
同学可从选项入手，根据溶液混合特性直接排除一些选项，通常与代入排除法混合使用。其优点在于可以省去繁琐的计
算，但较依赖于命题者对选项的设置。在熟练掌握上述基本方法的前提下，有意识地运用该方法，可提高解题效率。
（5）公式法
多次混合问题公式：
设原有盐水的质量为 M，浓度为 c0
先倒出 M0 克盐水 ，再倒入 M0 克清水，如此重复 n 次后，溶液浓度 cn 为：
先倒入 M0 克清水，再倒出 M0 克盐水，如此重复 n 次后，溶液浓度 cn 为：
利润利率问题
利润利率问题其实是许多生活问题的体现。成本、定价、利润、打折是利润问题中的常见词汇。而在利润问题中，还有
利息和利率问题。总的来说，利润利率问题一般只有以下三种类型，同学只要牢牢把握这三种类型，就能轻松搞定利润利率
问题。
1.题型简介
利润利率问题在公务员考试中常见题型主要是根据题目所给的成本、定价、利润、打折等量之间的关系求未知量。
2.核心知识
（1）成本、售价、利润、利润率之间的等量关系
成本是货物的买入价格
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售价是货物的卖出价格 即：售价=成本×（1+利润率）
利润是售价和成本的差 即：利润=售价-成本
利润率（或加价率）是利润占成本的百分数 即：利润率=
（2）销售数量和售价反向变化引起的最大利润问题
打折是在售价的基础上按一定折扣定价；
（3）其他利润相关问题
A．利息和利率问题
本金是存入银行的钱；
利率是银行公布的，是把本金看成单位“1”，按百分之几或千分之几付给储户的。
利息是存款到期后，除本金外，按利率付给储户的钱；
等额本息还款法是每月以相等的金额偿还货款本息；
等额本金还款法是每月等额偿还本金，贷款利息逐月递减。
B．混合商品的投资、售价问题
C．不同消费方式成本比较问题
3.核心知识使用详解
利润问题的解决方法主要有四种，分别为方程法、公式法、特殊值法、十字交叉法。其中，设售价或成本为未知数，列
方程求解，往往是最直接的解题思路。因此，同学需要优先掌握该方法。而对于部分打折问题，可视情况采用十字交叉法。
利息和利率问题：
复利的计算公式：
；
如果按月计复利，则公式中的利率为月利率，n 为月数；
如果按年计复利，则公式中的利率为年利率，n 为年数。
不计复利的计算公式：
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本息和=本金×(l+ n×利率)；
式中利率为月利率时，n 为月数；为年利率时，n 为年数。
和差倍比问题
和差倍比问题通常只有以下三种类型，无论考察哪种形式，只要分析题意，找出倍比对应的已知量，进而去求未知量，
同时熟悉题型的主要解题方法，即公式法，方程法，利用整除的性质（建议采用方程法），这样就能轻松搞定和差倍比问题。
1、题型简介
和差倍比问题研究的是不同量之间的和、差、倍、比关系的数学应用题，是一类比较简单的问题，但这类题目对大家计
算的速度和精度的要求较高。对于公务员考试来说，使用列方程的方法来解答和差倍比问题一般是最简便而又最迅速的。
2、核心知识
（1）和差倍问题
已知两个或两个以上的数的和（差）及它们之间的倍数关系，求这两个数或这些数各是多少。
（2）比例问题
已知分量、总量、分量所占的比例三者中的两个量，求第三个量。
（3）连比问题
已知甲※乙＝a※b，乙※丙＝c※d，求甲※乙※丙。
3、核心知识使用详解
（1）公式法
A、和差倍公式
和÷（倍数＋1)＝1 倍量，
差÷（倍数-1）＝1 倍量，
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l 倍量×倍数＝几倍量；
B、比例公式
分量÷总量＝所占比例，
分量÷所占比例＝总量；
（2）方程法
除套用公式外，根据倍比关系设未知数，列方程求解往往是最直接的方法。应用方程法时，要注意未知数应尽量少，且
利于计算。
方程法公式：
， 。（x 代表数值 1；y 代表数值 2；m 代表和÷差； 代表比例；n 代表倍率。）
（3）利用整除特征
A.遇到含分数、百分数和比例的问题，可以根据题目中的倍数关系，结合选项，利用整除特性求解。
B.遇到连比问题，例如：甲※乙＝a※b，乙※丙＝c※d，求甲※乙※丙，可先寻找中间量 b、c 的公倍数，转化得到甲※乙＝
ac※bc，乙※丙＝bc※bd,进而甲※乙※丙＝ac※bc※bd。
抽屉原理问题
抽屉原理问题通常与其他问题相结合来进行考查，一般只有抽屉原理 1、抽屉原理 2 和逆用抽屉原理三种类型。解抽屉
原理问题的常用的方法是遵循最差原则，即考虑最差情况，其本质都是抽屉原理问题的基本原理。无论“抽屉”大小、种类怎
么变化，同学只要牢牢把握这三种类型和解题原则，就能轻松搞定抽屉原理问题。
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1、题型简介
抽屉原理的一般含义：假如有 n＋l 或多于 n＋l 个元素放到 n 个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
在公务员考试数学运算中，考查抽屉原理问题时，题干通常有“至少……，才能保证……”。掌握抽屉原理问题，可以帮助同
学们解决“至少……”的问题。
2、核心知识
（1）抽屉原理 1：
将多于 n 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品件数不少于 2。（也可以理解为至少有 2 件物品
在同一个抽屉），一般遵循最差原则，即考虑极端情况，最差的情况。从各类公务员考试真题来看，“考虑最差情况”这一方
法的使用广泛而且有效。
（2）抽屉原理 2：
将多于 m×n 件的物品任意放到 n 个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于 m＋1。（也可理解为至少有 m
＋1 件物品在同一个抽屉）
（3）逆用抽屉原理
即是对抽屉原理 2 的逆向思维，从“抽屉物品数量件数不少于 m＋1”推出 m，然后根据公式，得出抽屉数量 n。
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盈亏问题
1、题型简介
盈亏问题早在我国古代数学名著《九章算术》中的第六章——盈不足章节中就曾记载：盈就是有余，亏就是不足的意思。
把一定数量的物体分给若干个对象，按某种标准分，结果刚好分完，或多余（盈），或不足（亏），再按另一种标准分，
又出现分完、多余或不足的结果，根据每次的结果来求物体以及分配对象的数量的问题，就称为盈亏问题。
2、核心知识
一般情况下，盈亏问题强烈推荐各位考生使用方程法。
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